安徽大学高等数学期末试卷和答案

安徽大学2011—2012学年第一学期《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（闭卷 时间120分钟）考场登记表序号题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分 一、选择题（每小题2分，共10分）1.设A 为阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ）。

n （A）； （B）1(2)2A −=1A −11(2)(2)T T A A −−=； （C）； （D）。

1111(())(())T T A A −−−−=11(())(())T T T A A −−−=12.若向量组12,,,r αα α可由另一向量组12,,,s ββ β线性表示，则下列说法正确的是（ ）。

（A）； （B）r ；r s ≤s ≥（C）秩(12,,,r ααα )≤秩(12,,,s ββ β)； （D）秩(12,,,r ααα ≥)秩(12,,,s ββ β)。

3.设,A B 为阶矩阵，且n A 与B 相似，E 为阶单位矩阵，则下列说法正确的是（ ）。

n （A）E A E B λλ−=−；（B）A 与B 有相同的特征值和特征向量； （C）A 与B 都相似于一个对角矩阵；（D）对任意常数，与k kE A −kE B −相似。

4.设123,,ααα为3R 的一组基，则下列向量组中，（ ）可作为3R 的另一组基。

（A）11212,,3ααααα−−； （B）1212,,2αααα+； （C）12231,,3αααααα++−； （D）12231,,3αααααα+++。

5.设，，()0.8P A =()0.7P B =(|)0.8P A B =，则下列结论正确的是（ ）。

（A）事件A 与B 互不相容； （B）A B ⊂；（C）事件A 与B 互相独立； （D）。

()()()P A B P A P B =+∪二、填空题（每小题2分，共10分） 得分6.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵的秩为 *A 。

7.设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1213A −⎛⎞⎜⎟⎝⎠必有一个特征值等于 。

8.设离散型随机变量X 的分布列为2()3k P X k a ⎛⎞==⋅⎜⎟⎝⎠，，则0,1,2,3k =a =。

9.设离散型随机变量X 的分布列为，若1010.250.50.25−⎛⎞⎜⎟⎝⎠2Y X =，则 (1)P Y ==。

10.某车间生产的滚珠直径X 服从2(,)N μσ,现从产品中随机抽取6件,测得平均直径为14.95x =,若已知方差,则平均直径20.06σ=μ的置信度为95%的置信区间为 。

((1.96)0.975,(1.645)0.95Φ=Φ=)三、计算题（每小题9分，共9分）得分11.计算下列行列式1231111100100n na a D a a =，这里230n a a a ≠ 。

得分答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------四、分析题（每小题13分，共65分）12.已知线性方程组AX β=有无穷多解，其中1101011a A a a ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，211β−⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟。

求：（1）的值； a （2）方程组AXβ=的通解。

13.设二次型2221232()23343f X x x x x =+++x ，（1）求正交变换X QY =，并写出()f X 的标准形； （2）判定二次型()f X 的正定性。

14.玻璃杯成箱出售，每箱8只，假设每箱含0只和1只残次品的概率分别为0.8和0.2。

一位顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看2只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。

15.设(,)X Y 服从以x 轴、直线1x =以及y x =围成的三角区域上均匀分布，试判断,X Y 的独立性和相关性。

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16.假设总体X 的密度函数为(),(;)0,x e x f x x θθθθ−−⎧≥=⎨<⎩ 其中，0θ>是未知参数，1(,,)n X X 为取自X 的样本，试求θ的矩估计量和最大似然估计量。

得分五、证明题（每小题6分，共6分）17.若A 为阶方阵，且，证明：n 30A =A E −为可逆矩阵。

安徽大学2011—2012学年第一学期《高等数学A （三）》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题2分，共10分）1、C ；2、C ；3、D ；4、D ；5、C 。

二、填空题（每小题2分，共10分）6、0；7、3/4；8、27/65；9、0.5； 10、。

(14.754,15.146)三、计算题（每小题9分，共9分）11.解：将第j 列乘上1ja −均加到第1列上（2,3,,j n ="），得到12323111111000000nn na a a a a D a a −−−−="""""""""00" (7分)12321n n j j a a a a =⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑"a . （9分）四、分析题（每小题13分，共65分）12. 解：（1）增广矩阵1120101111aA a a −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 1110101112a a a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠211101010112a a a a a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠211101010011a a a a ⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠， 因为线性方程组AX β=有无穷多解，故1a =−。

（6分） （2）当时，1a =−11111013/20201020100000000A −−⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟⎠1013/20101/20000−⎛⎞⎜⎟→−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜→−→−⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝， 故方程组的通解为31110201X ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠k （k 为任意常数）。

（13分）13.解：(1)二次型的矩阵为。

由200032023A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠200032(2)(5)(023E A λλλλλλ−−=−−=−−−−−1)λ1⎞⎟⎟⎟⎠1⎞⎟⎟⎟⎠,得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1。

（4分）当λ1=2时, 解方程，由(2)0E A X −=000012201200021000E A ⎛⎞⎛⎜⎟⎜−=−−→⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝，得特征向量(1, 0, 0)T . 取。

1(1,0,0)T α=当λ2=5时, 解方程，由(5)0E A X −=300100502201022000E A ⎛⎞⎛⎜⎟⎜−=−→−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝，得特征向量(0, 1, 1)T .取2T α=。

当λ3=1时, 解方程()E A X −=0,⎞⎟⎟⎟⎠ 由100100022011022000A E −⎛⎞⎛⎜⎟⎜−=−−→⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝，得特征向量(0, −1, 1)T .取3(0,T α=−−。

于是有正交矩阵123(,,)Q ααα=和正交变换X QY =, 使f =2y 12+5y 22+y 32。

（10分）(2) 因为该二次型的正惯性指数为3，故该二次型为正定二次型。

（13分）14. 解：设A =“顾客买下该箱玻璃杯”，i B =“该箱中恰有i 个残次品”，。

0,1i =（1）由全概率公式有001()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+1228722880.80.20.95C C C C =×+×=。

（7分）（2）由贝叶斯公式有000001()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+12828228722880.80.8420.80.2C C C C C C ×=×+×=。

（13分）15. 解：设(,)X Y 的联合概率密度函数为2(,)(,)0(,)x y Gf x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩02,01()(,)0,xX dy x f x f x y dy +∞−∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩∫∫其他2,010,x x ≤≤⎧=⎨⎩其他 同理12,01()(,)0,y Y dx y f y f x y dx +∞−∞⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩∫∫其他2(1),010,y y −≤≤⎧=⎨⎩其他因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以,X Y 不独立。

（7分）131001222|33EX x xdx x =⋅=⋅=∫， 123100222(1)()|133EY y y dy y y =⋅−=−=−=∫13x GEXY xydxdy xydy dx ==∫∫∫∫， 102[2]1120012[]2|2x xx ydy dx x y dx ==⋅∫∫∫ 124100112|24x x dx x =⋅==∫14， 1211(,)043336Cov X Y EXY EXEY =−=−⋅=≠， 故,X Y 相关。

（13分）16.解：先求θ的矩估计量()1x x EX xe dx e xe dx θθθθμ+∞+∞−−−===∫∫()[|x x e xd e e xe e d θθθθθ+∞+∞−−+∞=−=−−∫∫]x x −[0|][]x e e e e e e θθθθθθθ−−+∞−−=−−+=−−−θ[]e e e θθθθθ−−=+=1+。