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李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)

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数值分析课程第五版课后习题答案

数值分析课程第五版课后习题答案
N +1 N
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？ 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知， 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) ， 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。

它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。

数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。

2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。

它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。

数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。

3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。

与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。

数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。

4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。

在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。

计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。

第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。

例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。

绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。

2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。

对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。

相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。

3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。

计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。

舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。

4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。

数值分析报告第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题问题详解

数值分析报告第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题问题详解

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)

李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)
如果求积区间中被积函数变化很大有的部分函数值变化剧烈需要使用小不长另一部分函数值变化平缓可以使用大步长针对被积函数在区间上的不同情形采用不同的步长使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长
第4章
复习与思考题
习题 1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。
(1)
1 0
4
x x2
dx,
n
8
梯形公式
n6
Tn
h[ 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
n8
,所以 xk
k 8
,k
0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8
f (x0 ) 0 f (x1) 0.0311 f (x2 ) 0.0615 f (x3) 0.0906 f (x4 ) 0.1176 f (x5 ) 0.1423 f (x6 ) 0.1644 f (x7 ) 0.1836 f (x8 ) 0.200
使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小，针对这类问题的算法技巧是在不同区间上 预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长。就是自动求积的一般步骤。
12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分
基本原则：累次积分。
多重积分的辛普森公式：
bd
a c f (x, y)dydx
k[ 6
h n1
n1
n1
S2
6
[f
k 0
(a) 4
k 0
f
(xk1/2 ) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)]

数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案

数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*11.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

数值分析第五版全答案chap4

数值分析第五版全答案chap4

第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 1012101211212(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];h h h h hf x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若101(1)()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则3221123h h A h A -=+从而解得 011431313A h A h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0h h hhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。

令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3h h hhf x dx x dx hA f h A f A f h h---==-++=⎰⎰故此时，101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。

数值分析第五版全答案chap4

第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h);101h2h(2)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h);10 1 2h1(3)f(x)dx[f(1)2f(x)3f(x)]/3;121h2(4)f(x)dx h[f(0)f(h)]/2ah[f(0)f(h)];解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若h(1)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101 h令f(x)1，则2h A A A101令f(x)x，则0A h A h11令2f(x)x，则2 3322h h A h A11从而解得4A h31A h131A h13令3f(x)x，则h h3f(x)dx x dx0 hhA1f(h)A0f(0)A1f(h)0 h故h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)成立。

101令4f(x)x，则h h452f(x)dx x dx h hh52A f(h)A f(0)A f(h)h10135故此时，hh f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101h故h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101具有3次代数精度。

2h （2）若2h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101令f(x)1，则4h A A A101令f(x)x，则0A h A h11令2f(x)x，则16 3322h h A h A11从而解得4A h38A h138A h13令3f(x)x，则2h2h3f(x)dx x dx0 2h2hA1f(h)A0f(0)A1f(h)0 2h故2h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)成立。

数值分析_清华李庆杨第五版第四章_数值积分

梯形公式和中矩形公式具有1次代数精度，辛卜生公
式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证

b
a
ba f (a) f (b) f ( x) dx 2
b
取f(x)=1时， a 1dx b a, 取f(x)=x时,
1 2 2 a xdx 2 (b a ),
b
ba (1 1) b a 2
两端相等
ba 1 2 2 (a b) (b a ) 2 2
两端相等
取f(x)=x2 时,

b
a
1 3 ba 2 1 2 3 2 x dx (b a ), (a b ) (a b 2 )( b a) 3 2 2
2
两端不相等
所以梯形公式只有1次代数精度。
例4.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
y y=f(x)
在这三个公式中, 梯形公式 把f(a), f(b)的加权平均值
1 f (a) f (b) 作为平均高度 2
a a
(a+b)/2 (a+b)/2
b b
f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把[a,b] 的中点处函数值
f (
a b ) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积 分方法。
n j k
x xj
这里
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
多项式P(x)易于求积,所以可取

b
a
f ( x)dx 的近似值，即

b
a
P( x)dx 作为

b
a
f ( x)dx
n

数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=-9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)


根是ｘ，，２…，ｘ－，且Ｖ。ｘ，ｘ…·，ｘ）＝Ｖ，Ｃｘ６，ｘ…·）（ｘ－ｘ）…（ｘ－ｘ）。
Ｖ，（ｘｏ，ｘ，…ｘ－ｘ）＝１１】 －ｘ，）用ａ－ｘ，）
［证明］由
可得求证。
＝Ｖ，（Ｃｘ８，ｘ，…，ｘＸ））１１（ｘ－ｘ）
２、当ｘ＝１－１，２时，ｆ（ｘ）＝０，－３．４，求ｆ（ｘ）的二次插值多项式。
Ｌ，（ｘ）＝ｙ％（（ｘｘ６－－ｘｘ，）（（ｘｘ－２ｘ－ｘ２２））
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｆ０．５）＝－０．６９３１４７，ｙ２＝ｆ（ｘ）＝ｆ（０．６）＝－０．５１０８２６，则
Ｌ２（ｘ）＝ｙ。 （ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ６－ｘ）ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ－ｘｏ）（ｘ－ｘ） （ｘ２－ｘｏ）（ｘ２－ｘ）
＝－０．９１６２９１×．（０（．ｘ４－０－．０５．）５（）ｘ（－００．．６４）－０．６－．
３０—＋２—９．ｘ９５８３ｘ３１￣０２＇＝０．８３３６×１０４
１４、试用消元法解方程ｘ组１＋１０＂ｘ＝１００
ｘ＋ｘ２＝２
，假定只有三位数计算，问结果是否
可靠？
［解］精确解为ｘ１＝０１００－＊１ １０＂－２ ，当使用三位数运 算时，得到
ｘ ＝１，ｘ２＝１，结果可靠。
１５、已知三角形面积ｓ＝ｓ去＝ ａｂｓｉｎｃ，其中ｃ为弧度，０＜ｃ＜ 且测量ａ，ｂ，ｃ
位有效数字；ｘ＝５６．４３０有５位有效数字；ｘ＝７×１０有２位有效数字。 ４、利用公式（３．３）求下列各近似值的误差限，其中ｘ，ｘ；，ｘ，ｘ；均为第３题所给
的数。
（１）ｘ＋ｘ２＋ｘ：
ｅ（ｘ＋ｘ写＋ｘ）＝＞
［解］
Ｅ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ；）
３＋ｔｘ１０＝１．０５×１０３
（２）ｘｘｘ；
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n 8 ,所以 xk
有
2）

2h
2 h
f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
由于需要确定 3 个 未知量，因此，需要给定 3 个方程。 设 f ( x) 1, x, x ，有
2
4h A1 A0 A1 0 hA1 hA1 16 h3 h 2 A1 h 2 A1 3
令 f ( x) x ，
4
h 8h 4h 8h 16 1 2h 64 5 (h) 4 04 h 4 h5 0 x 4 dx x5 h h 3 3 3 3 5 2 h 5 因此，具有 3 次代数精度。
有
3）
1
1
f ( x)dx [ f (1) 2 f ( x1 ) 3 f ( x2 )] / 3
解出 a
1 ，h 为任意常数 12
3
令 f ( x ) x ，有
h h h4 1 1 x3dx f ( x)dx h4 / 2 h4 h4 0 0 4 4 4
令 f ( x ) x ，有
4
h h h5 1 1 x 4 dx f ( x)dx h5 / 2 h5 h5 0 0 5 3 6
令 f ( x) x ，
3
1 1 1 4 x x3dx f ( x)dx 1 1 4 有 [ f (1) 2 f (-0.6899) 3 f (0.2899)] / 3
0
[1 2 -0.68993 3 0.28993 ] / 3 2788
4h A1 A0 A1 A1 8 h 3 解出 4 A0 3 h A 8 h 1 3
令 f ( x) x ，
3
有
h 8h 4h 8h 8 8 (h)3 03 h3 h 4 h 4 0 x3dx 0 h 3 3 3 3 3
Tn
n 1 h n 1 h f ( x ) f ( x ) [ f (a) f ( xk ) f (b)] k k 1 2 k 0 2 k 1 2
bah Rn ( f ) I Tn f ( ), [a, b] 3 2
7、给出复合辛普森公式及其余项表达式。如何估计它的截断误差？ 复合辛普森公式为
n 1 n 1 h Sn [ f (a) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f (b)] 6 k 0 k 1
b a h (4) Rn ( f ) I S n f ( ), [a, b] 180 2
8、什么是龙贝格求积？它有什么优点？ 龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。 它是在梯形公式、 辛普森公式和柯特斯公式之间的 关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。使用理查森外推算法, 它在不增加计算量 的前提下提高了误差的精度. 在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样， 前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。 龙贝格算法公式
k 0
n
具有 2n-1（n 为秋季节点数）次代数精度，则称其节点 xk 为高斯点，求积公式为高斯型求 积公式。 可以使用证明的方法求证，插值公式的代数精度不超过 2n-1。即回到了最后一个问题。 根据老师的讲课，给出证明的方法。 10、牛顿-柯特斯求积和高斯求积的节点分布有什么不同？对同样数目的节点，两种求积方 法哪个更精确？为什么？ 牛顿-柯特斯求积节点等距分布 高斯求积的节点分布是插值型多项式的零件。 对同样数目的节点，高斯求积更精确。 11、描述自动求积的一般步骤。怎样得到所需的误差估计？ 答：如果求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值变化剧烈，需要使用小不长，另一 部分函数值变化平缓， 可以使用大步长， 针对被积函数在区间上的不同情形采用不同的步长，
第4章
复习与思考题 习题 1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。 答：用两端点的算术平均值作为 f ( ) 的近似值，这样导出的求积公式
f ( x) d x
a
a
ba [ f (a) f (b)] ，就是梯形求积公式。 2
ba 近似取代 f ( ) ，则导出中矩形公式 2
使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小， 针对这类问题的算法技巧是在不同区间上 预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长。就是自动求积的一般步骤。 12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分 基本原则：累次积分。 多重积分的辛普森公式：

a
b
d
c
f ( x, y )dydx
M 1 b M 1 b b k b [ f ( x, y0 )dx 4 f ( x, yi 1/2 )dx 2 f ( x, yi )dx f ( x, yM )dx] a a a 6 a i 0 i 1
而如果改用区间中点 c
f ( x) d x (b a) f (
a
a
ab ) 2
几何意义的图形，略。 2、什么是求积公式的代数精确度？梯形公式及中矩形公式的代数精确度是多少？ 答：如果某个求积公式对次数不超过 m 的多项式均能准确成立，但对于 m+1 次多项式就不 准确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度 梯形公式和中矩形公式的代数精度为 1. 3、对给定求积公式的节点，给出两种计算求积系数的方法。 由于是给定求积公式的节点，因此，不能使用高斯型求积公式 由于未说明是等距节点，因此不能用牛顿-科特斯求积公式。 未找到明确的资料. 答：插值型求积公式和….. 4、什么是牛顿-柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数精确度是多少？ 答：设积分区间[a,b]划分为 n 等份，步长 h=（b-a）/n,选取等距节点 xk a kh 构造出的 插值型求积公式
R( f )
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
其，代数精度为 3. 6、什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式。 答：为了提高计算精度，通常把积分区间分成若干子区间（通常是等分） ，再在每个子区间 上使用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。
复合梯形公式为
2
2h A1 A0 A1 0 hA1 hA1 2 h3 h 2 A1 h 2 A1 3
2h A1 A0 A1 A1 1 h 3 解出 4 A0 3 h A 1 h 1 3
令 f ( x) x ，
需要确定 2 个待定参数，因此，令
设 f ( x) 1, x, x ，有
2
2 [1 2 3] / 3 0 [1 2 x1 3x2 ] / 3 2 [1 2 x12 3x2 2 ] / 3 3
x1 0.6899 x 2 0.2899 解出 x1 0.6899 x 2 0.5266
(k ) Tm
4
4m 1 ( k 1) (k ) Tm Tm 1 m 1 , k 1, 2,3... m 4 1 4 1
9、什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精确度是多少？为何称 它是具有最高代数精确度的求积公式？ 答： 如果求积公式
an

a
f ( x) ( x) d x Ak f ( xk )
1） f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) ；
h
h
2）
2h
2 h 1
f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) ；
3） f ( x)dx [ f (1) 2 f ( x1 ) 3 f ( x 2 )] / 3 ；
所以代数精度为 3.
2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： (1) (2) (3) (1)

x dx, n 8 0 4 x2
1


9
1
xdx, n 4 4 sin 2 d , n 6

/6
0
1
0
x dx, n 8 4 x2
梯形公式
n 1 h Tn [ f (a) 2 f ( xk ) f (b)] 2 k 1
1 h
4） f ( x)dx h[ f (0) f (h)] / 2 ah 2 [ f (0) f (h)] 。
0
1）

h
h
f ( x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
由于需要确定 3 个 未知量，因此，需要给定 3 个方程。 设 f ( x) 1, x, x ，有
因此，具有 2 次代数精度。
4)

h
0
f ( x)dx h[ f (0) f (h)] / 2 ah 2 [ f (0) f (h)]
需要确定 2 个待定参数，因此，令
设 f ( x) 1, x, x ，有
2
h h 0 2 h2 h 0 2 2 3 h 3 3 h / 2 2ah 3
对每一个积分再次利用辛普森公式

b
a
n 1 n 1 h f ( x)dx [ f (a) 4 f ( xk 1/2 ) 2 f ( xk ) f (b)] 6 k 0 k 1
13、对给定函数，给出两种近似求导的方法。若给定函数值有扰动，在你的方法中怎样处理 这个问题？ 14、判断如下命题是否正确： （1）如果被积函数在区间[a , b ]上连续，则它的黎曼（Riemann）积分一定存在。 （2）数值求积公式计算总是稳定的。 （3）代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。 （4）n + 1 个点的插值型求积公式的代数精确度至少是 n 次，最多可达到 2n + 1 次。 （5）高斯求积公式只能计算区间[-1, 1]上的积分。 （6）求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数一样。 （7）梯形公式与两点高斯公式精度一样。 （8）高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的。 （9）由于龙贝格求积节点与牛顿-柯特斯求积节点相同，因此它们的精度相同。 （10）阶数不同的高斯求积公式没有公共节点。 1） 正确 2） 错误 3） 错误，是衡量计算准确度的一个指标 4） 正确 5） 错误，可以通过变化使得计算时区间在[-1,1]上。 6） 错误，典型的例子是，当 n 为偶数时，牛顿-柯斯特公式至少为 n+1 阶代数精度。 7） 错误。梯形公式，代数精度为 1，两点高斯公式代数精度为 3 8） 正确 9） 错误。龙贝格精度为 2n，牛顿-柯特斯精度最大为 n+1 10） 错误。 习题 1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度。