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高二数学 椭圆的定义及其标准方程.doc

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高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）学生姓名： 授课教师： 授课时间： 12.21椭圆及其标准方程第一部分：基础知识梳理 知识点一 椭圆的定义平面内到两个定点21F F ，的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫做椭圆。

两个定点21F F ，叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M 满足集合2a}MF MF {M 21=+=P ，c F F 221=，0,0>>c a 且c a 、都为常数。

当c a >即c a 22>时，集合P 为椭圆。

当c a =即c a 22=时，集合P 为线段21F F 。

当c a <即c a 22<时，集合P 为空集。

知识点二 椭圆的标准方程（1）)0(12222>>=+b a b y a x ，焦点在x 轴上时，焦点为)0,(c F ±，焦点c F F 221=。

（2）)0(12222>>=+b a bx a y ，焦点在y 轴上时，焦点为),0(c F ±，焦点c F F 221=。

知识点三 椭圆方程的一般式这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：C By Ax =+22（其中C B A 、、为同号且不为零的常数，B A ≠），它包含焦点在x 轴或y 轴上两种情形。

方程可变形为122=+BC y A C x 。

当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上。

一般式，通常也设为122=+By Ax ，应特别注意B A 、均大于0，标准方程为11122=+By A x 。

知识点四 椭圆标准方程的求法 1. 定义法椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。

例1、 在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为c b a 、、，且B （-1,0）C （1,0），求满足c a b >>，且c a b 、、成等差数列时，顶点A 的曲线方程。

变式练习 1.在△ABC 中，点B （-6,0）、C （0,8），且C A B sin sin sin 、、成等差数列。

（1）求证：顶点A 在一个椭圆上运动。

（2）指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。

2. 待定系数法首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数b a 、表示出来，然后结合问题的条件，建立参数b a 、满足的等式，求得b a 、的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。

例2、 已知椭圆的中心在原点，且经过点P （3,0），a =3b ，求椭圆的标准方程。

例3、 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3()1,6(21--P P 、，求椭圆方程。

变式练习 2.求适合下列条件的椭圆的方程; (1)两个焦点分别是（-3,0），（3,0）且经过点（5,0）.（2）两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.3.已知椭圆经过点），（336和点），（1322，求椭圆的标准方程。

4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点），（），，（21-03131Q P 的椭圆标准方程。

知识点五 共焦点的椭圆方程的求解一般地，与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 共焦点的椭圆可设其方程为)(122222b k k b y k a x ->=+++。

例4、 过点（-3,2）且与14922=+y x 有相同焦点的椭圆的方程为（ ） A.1101522=+y x B.110022522=+y x C.1151022=+y x D. 122510022=+y x变式练习 5.求经过点（2，-3）且椭圆364922=+y x 有共同焦点的椭圆方程。

知识点六 与椭圆有关的轨迹问题的求解方法与椭圆有关的轨迹方程的求解是一种很重要的题型，教材中的例题就是利用代入求球轨。

迹，其基本思路是设出轨迹上一点),(y x P 和已知曲线上一点),(00y x M ，建立其关系，再代入。

例5、已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段'PP ,点M 在'PP 上，并且→→='2MP PM ,求点M 的轨迹。

知识点七 与弦的中点有关问题的求解方法直线与椭圆相交于两点),(11y x A 、),(22y x B ,称线段AB 为椭圆的相交弦。

与这个弦中点有点的轨迹问题是一类综合性很强的题目，因此解此类问题必须选择一个合理的方法，如“设而不求”法，其主要特点是巧代线段AB 的斜率。

其方程具体是：设直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A 、两点，坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，线段AB 的中点为),(00y x M ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ①式-②式，得2222122221---b y y a x x =，即02020202212122212122y a x b y a x b y y x x a b x x y y ⋅⋅-=⋅⋅-=++⋅-=-- ∴022y a x b k AB⋅⋅-= 通常将此方程用于求弦中点的轨迹方程。

例6.已知：椭圆141622=+y x ，求： （1）以P （2，-1）为中点的弦所在直线的方程； （2）斜率为2的相交弦中点的轨迹方程；（3）过Q （8,2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。

第二部分：巩固练习1. 设21F F ，为椭圆11622=+y x 的焦点，P 为椭圆上一点，则21F PF ∆的周长是（ ） A. 16 B. 8 C. 8152+ D. 无法确定 2. 椭圆124322=+y x 的两个焦点之间的距离为（ ） A. 12 B. 4 C. 3 D. 2 3. 椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0,2），那么k 等于（ ） A. -1 B. 1 C. 5 D. -54. 已知椭圆的焦点是21F F ，，P 是椭圆上的一个动点，如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线5. 已知椭圆19222=+m y x 的焦点在x 轴上，则m 的取值范围是__________. 6. 椭圆192222=-+a y a x 的焦点坐标是___________. 7. 椭圆14222=+y a x 的焦距为2，则正数a 的值____________.赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。

科学研究证实,虽然大脑的重量只占人体重量的2%-3%,但大脑消耗的能量却占食物所产生的总能量的20%,它的能量来源靠葡萄糖氧化过程产生。

据医学文献记载,一个健康的青少年学生30分钟用脑,血糖浓度在120毫克/100毫升,大脑反应快,记忆力强；90分钟用脑，血糖浓度降至80毫克/100毫升，大脑功能尚正常；连续120分钟用脑，血糖浓度降至60毫克/100毫升，大脑反应迟钝，思维能力较差。

我们中考、高考每一科考试时间都在2小时或2小时以上且用脑强度大，这样可引起低血糖并造成大脑疲劳，从而影响大脑的正常发挥，对考试成绩产生重大影响。

因此建议考生，在用脑60分钟时，开始补饮25%浓度的葡萄糖水100毫升左右，为一个高效果的考试加油。

二、考场记忆“短路”怎么办呢？对于考生来说，掌握有效的应试技巧比再做题突击更为有效。

1.草稿纸也要逐题顺序写草稿要整洁，草稿纸使用要便于检查。

不要在一大张纸上乱写乱画，东写一些，西写一些。

打草稿也要像解题一样，一题一题顺着序号往下写。

最好在草稿纸题号前注上符号，以确定检查侧重点。

为了便于做完试卷后的复查，草稿纸一般可以折成4-8块的小方格，标注题号以便核查，保留清晰的分析和计算过程。

2.答题要按先易后难顺序不要考虑考试难度与结果，可以先用5分钟熟悉试卷，合理安排考试进度，先易后难，先熟后生，排除干扰。

考试中很可能遇到一些没有见过或复习过的难题，不要蒙了。

一般中考试卷的题型难度分布基本上是从易到难排列的，或者交替排列。

3.遇到容易试题不能浮躁遇到容易题，审题要细致。

圈点关键字词，边审题边画草图，明确解题思路。

有些考生一旦遇到容易的题目，便觉得心应手、兴奋异常，往往情绪激动，甚至得意忘形。

要避免急于求成、粗枝大叶，防止受熟题答案与解题过程的定式思维影响，避免漏题，错题，丢掉不该丢的分。

4. 答题不要犹豫不决选择题做出选择时要慎重，要关注题干中的否定用词，对比筛选四个选项的差异和联系，特别注意保留计算型选择题的解答过程。

当试题出现几种疑惑不决的答案时，考生一定要有主见，有自信心，即使不能确定答案，也不能长时间犹豫，浪费时间，最终也应把认为正确程度最高的答案写到试卷上，不要在答案处留白或开天窗。

5.试卷检查要细心有序应答要准确。

一般答题时，语言表达要尽量简明扼要，填涂答题纸绝不能错位。

答完试题，如果时间允许，一般都要进行试卷答题的复查。

复查要谨慎，可以利用逆向思维，反向推理论证，联系生活实际，评估结果的合理性，选择特殊取值，多次归纳总结。

另外，对不同题型可采用不同的检查方法。

选择题可采用例证法，举出一两例来能分别证明其他选项不对便可安心。

对填空题，则一要检查审题;二要检查思路是否完整;三要检查数据代入是否正确;四要检查计算过程;五要看答案是否合题意;六要检查步骤是否齐全，符号是否规范。

还要复查一些客观题的答案有无遗漏，答案错位填涂，并复核你心存疑虑的项目。

若没有充分的理由，一般不要改变你依据第一感觉做出的选择。

6、万一记忆短路可慢呼吸考试中，有些考生因为怯场，导致无法集中精神，甚至大脑忽然一片空白，发生记忆堵塞。

此时不要紧张，不妨尝试如下方式：首先是稳定心态，保持镇静，并注意调节自己的呼吸率。

先慢吸气，当对自己说放松时缓慢呼气，再考虑你正在努力回忆的问题，如果你仍不能回想起来，就暂时搁下这道题，开始选做其他会的试题，过段时间再回过头来做这道题。

第二，积极联想。

你不妨回忆老师在讲课时的情景或自己的复习笔记，并努力回忆与发生记忆堵塞问题有关的论据和概念，把回忆起的内容迅速记下来，然后，看能否从中挑出一些有用的材料或线索。

第三，进行一分钟自我暗示。

即根据自己的实际，选择能激励自己，使自己能心情平静和增强信心的话，在心中默念3至5遍。

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椭圆的标准方程(第二课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆的标准方程(第二课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

变 式 ： 等 腰 三 角 形 的 顶 点 A的 坐 标 是 4, 2 ， 底 边 一 个 端 点 B的 坐 标 是 3，
5
，求另一个端点的轨迹方程.
解：依题意得，AC AB
3 4
2
5 2 10
2
故C点的轨迹为以A 4, 2 为圆心，以 10为半径的圆，

P
M
O
D
相关点法：
因为点P（x0，y0）在圆x2+y2=4上，所以
x02+y02=4
2
即
4
+ 2 = 1
①
所以点M的轨迹是椭圆.
利用已知方程上的点来表
示所求点，结合已知方程整
理化简得所求轨迹方程，这
种方法叫做相关点法.
x
题型讲解——轨迹方程
1.△ABC的顶点B,C的坐标分别为(0,0),(4,0), AB边上的中
2.动点M x , y 与定点F 4, 0 的距离和M到定直线l：x 的距离是常数 ，求动点
4
5
M的轨迹
解：设d是点M到直线l：x
就是集合

MF
4


P M |

d
5



x 4 y2
2
由此得
25
的距离，根据题意，动点M的轨迹
4
25
x
4

4
，化简得9 x 2 25 y 2 225
5
x2 y2
即

1
25 9
题型讲解——轨迹方程
例4：动圆M与圆C1 : x 1 y 36相内切，与圆C 2 :: x 1 y 2 4相外切，
2.2.2椭圆的几何性质1(高二数学精品课件)

2.2.2椭圆的几何性质1(高二数学精品课件)

（心3对）称把。x换成-x，同时把y换成-yy方程不变，图象关于原点成中
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
结论 ：通过上面的分析,我们得到判断曲线 是否对称的方法：
以－x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称；若以
-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;
同时以－ x代换x,以－ y代换y,方程不变,则方 程关于坐标原点对称.
二、椭圆
简单的几何性质
1 b2

1得：
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2

y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
(1) x2 y2 1
32
(2)
x2 y2 1 36 100
(3) 16x2+25y2=400
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件3.1.1椭圆的标准方程

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件3.1.1椭圆的标准方程


又由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4.
在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,
即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即4=16-3|PF1|·|PF2|.
1
= ,
4
1
= 2.
2
故椭圆的标准方程为 4
+
2
=1.
2
+
2
=1.
4
角度2定义法
【例2】一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求
这个动圆圆心的轨迹方程.
分析 设出动圆的圆心及半径,利用两圆相切的几何条件列式求解.
解 两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
2 2
+
4
3
=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且
∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是
√3
.
分析结合∠F1PF2=60°,借助椭圆的定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|后,利用
三角形的面积公式求解.
解析 由椭圆的标准方程知 a=2,b=√3,
∴c= 2 - 2 =1,∴|F1F2|=2.
圆的条件是 m>n>0,其表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 n>m>0.
(2)若给出椭圆方程 Ax2+By2=C,则应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形
式
2


+
高二椭圆知识点总结

高二椭圆知识点总结

高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。

1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。

（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。

（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。

1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。

这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。

二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。

2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。

椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。

在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。

2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。

三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。

3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。

3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。