实用数值计算方法-7-方程求根共40页

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二次函数方程求根公式

二次函数方程求根公式引言二次函数方程在高中数学中占据重要的地位，它的求解对于理解和应用数学概念有着重要的作用。

本文将介绍关于二次函数方程求根的公式，以及如何应用这些公式来解决实际问题。

二次函数方程二次函数方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中a,b,c是常数，x是变量。

a eq0，否则方程将变为一次函数方程。

求根公式对于二次函数方程ax2+bx+c=0，可以使用求根公式来找到它的根。

求根公式分为两种情况，一种是判别式b2−4ac大于等于零，另一种是判别式小于零。

判别式大于等于零的情况当判别式b2−4ac大于等于零时，二次函数方程有两个不同的实根。

求根公式如下：$$x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$$$x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$其中x1,x2分别是方程的两个根。

判别式小于零的情况当判别式b2−4ac小于零时，二次函数方程没有实根，只有两个共轭复根。

求根公式如下：$$x_1 = \\frac{-b + \\mathrm{i}\\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a}$$$$x_2 = \\frac{-b - \\mathrm{i}\\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a}$$其中 $\\mathrm{i} = \\sqrt{-1}$，x1,x2分别是方程的两个复根，实部为 $-\\frac{b}{2a}$，虚部为 $\\pm \\frac{\\sqrt{|b^2-4ac|}}{2a}$。

示例假设有二次函数方程x2−5x+6=0，我们可以根据求根公式来求解它的根。

首先计算判别式b2−4ac，代入a=1,b=−5,c=6：$$b^2-4ac = (-5)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 6 = 25 - 24 = 1$$由于判别式大于零，我们可以使用求根公式来求解。

根据公式：$$x_1 = \\frac{-(-5) + \\sqrt{1}}{2 \\cdot 1} = \\frac{5 + 1}{2} = 3$$$$x_2 = \\frac{-(-5) - \\sqrt{1}}{2 \\cdot 1} = \\frac{5 - 1}{2} = 2$$所以方程的两个实根分别为 3 和 2。

《数值分析》第六讲：方程求根36页PPT

老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
《数值分析》第六讲：方程求根
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只在愚人的字典中找得到。--拿破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突破，不要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。

方程求根的数值方法

1）逐步搜索法
适当取一个小正数 h ，逐步计算 f(a) 、 f(a+h) 、 f(a+2h) 、 f(a+3h)、 …… 的值，直到相邻两个值异号，则取这两点的中点为近似根。
2）图形放大法
y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
3）数值迭代逼近法
f ( xn ) xn1 xn f ( xn ) n 0,1,......
当初值x0和方程的根 x*接近时， f(x) 近似等于以此产生的序列 {Xn}得到 f(x)=0 的近似解，称为 f(x0)+f’(x0)(x-x0)， Newton法，又叫切线法。则
f(x)=0
与
f(x0)+f’(x0)(x-x0)＝0
变端点弦截法又称两点割线法
弦截法的几何解释
求解方程f(x)=0的快速弦截法
(1) (2) 输入 : x0 , x1 , , N ; L 0, f 0 f ( x0 ), f1 f ( x1 ); | f1 | 时做 x1 x0 f1 ; f 2 f ( x2 ); L L 1; f1 f 0
1.5 4 1.5 3 x1 1.5 1.2543 3 4 1.5 1 4 得到方程的一个 x1 x1 3 x2 x1 1.1723 3 近似根 1.1640 ， 4 x1 1
4 x2 x2 3 x3 x2 1.1641 3 4 x2 1 4 x3 x3 3 x4 x3 1.1640 3 4 x3 1 4 x4 x4 3 x5 x4 1.1640 4 x4 1
f (1.125) 0 f (1.1875 ) 0,

方程求根的数值解法

( p) ( p) * *
17
牛顿法的收敛速度
迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 ( x )的选取。如果当 x [a , b]时 ' ( x ) 0, 则该迭代过程只可能是线性收敛。对牛顿公式其迭代函数为由于 xk 1 xk f ( xk ) f ' ( xk )
f ( x) ( x) x ' f ( x) f ( x ) f '' ( x )
xk 1 xk
只要
k
f ( xk ) （牛顿公式） f ( xk ) ，每一步迭代都有 f ( xk ) 0 ，而且，
lim x k x *
，则
的根。
5
牛顿法几何表示
从几何的角度来分析一下牛顿公式的直观结构，方程
f ( x) 0 的根就是曲线 y f ( x) 与轴的交点。设 xk 为 x* 的一个近似值，过曲线 y f ( x)上横坐标为 xk 的
22
弦截法
基本思想：利用一些函数值f ( xk ), f ( xk 1 ), 回避导数值f ' ( xk )的计算。设xk , xk 1 , , xk r是f ( x ) 0的一组近似根，利用 , f ( xk r ), 构造插值多项式函数值f ( xk ), f ( xk 1 ), 来
第六讲方程求根的数值解法
1
第六讲
主要知识点
1、牛顿法的思想、牛顿迭代公式；
2、牛顿法的收敛性；
3、牛顿法的收敛速度；
3、弦截法思想。
2
一般迭代法
对于一般形式的方程 f ( x ) 0 先将方程化为再从某一数 x0 出发，作序列x0 ， xn 1 g ( xn ) , n 0,1,2, 若序列有极限，即lim xn a

数学解方程求根

数学解方程求根解方程求根是数学中的重要内容之一，它在各个领域都有广泛的应用。

通过解方程，我们可以确定未知数的值，从而解决实际问题。

本文将介绍解一元方程、二元方程及高次方程求根的方法。

一、解一元方程一元方程是指只含有一个未知数的方程，如：2x + 3 = 9。

解一元方程的基本步骤如下：1. 整理方程：将方程的所有项移到等号的一侧，使等号左边的表达式为0。

对于示例方程，我们可以写作2x - 6 = 0。

2. 消去系数：将方程中的系数化简为整数。

对于示例方程，我们可以将方程化简为x - 3 = 0。

3. 移项求解：将移项后的方程通过加减法和乘除法等运算得到未知数的解。

对于示例方程，我们可以得到x = 3。

二、解二元方程二元方程是指含有两个未知数的方程，如：2x + 3y = 9。

解二元方程的方法有多种，以下介绍几种常用的方法：1. 代入法：选取其中一个方程，将另一个未知数用该方程中的未知数表示，然后代入另一个方程中求解。

这样可以将二元方程化简为一元方程。

例如，对于方程组2x + 3y = 9和x - y = 1，我们可以通过代入法将y表示为y = x - 1，然后代入第一个方程求解。

2. 消元法：通过加减法将两个方程相加或相减，从而消除一个未知数，得到一个一元方程。

例如，对于方程组2x + 3y = 9和x - y = 1，我们可以通过消元法得到5x = 10，然后解一元方程求解出x的值，再代入原方程求解出y的值。

3. 矩阵法：将方程组的系数矩阵与未知数矩阵相乘，得到与等号右侧常数矩阵相等的新矩阵。

然后通过矩阵运算得到未知数的值。

这种方法适用于较复杂的方程组。

三、解高次方程高次方程是指次数大于等于2的方程，如：x^2 - 4x + 3 = 0。

解高次方程的方法有多种，以下介绍两种常用的方法：1. 因式分解法：将方程化简为多个一次或二次因式相乘的形式，然后分别求解出每个因式等于0时的未知数的值。

例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，然后得到x = 1或x = 3。

数值分析-计算方法-方程求根a-文档资料

6.3 Fixed-Point Iteration
例用收敛定理考察例题6.1两种解法的收敛性。解考察等价方程：
3 x g ( x ) x 1 1
当x∈[1.4, 1.6]时g1(x)∈[1.4, 1.6], 并且有 1 g ( x ) 1 1 2 33 (x 1 ) 所以迭代方程 xk+1= g1(xk) 收敛。考察等价方程：
k k 1 0
( k = 1, 2, … )
且存在极限
1 L x * x k 1 x lim g * k x * x k

6.3 Fixed-Point Iteration
证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？
令 f a g ( x ) b ( x ) g ( x ) x
( b ) g ( b ) b 0 f ( a ) g ( a ) a 0 ,f
f (x) 有根

② 不动点唯一？
~ ~ g ( x ) 反证：若不然，设还有 x ，则 ~ ~ ~ ~ 在 x* 和x 之间。 g ( x *) g ( x ) g ( ξ ) ( x * x ), x* x
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
b a b a k k |x x*| k k 2 2
b a ln b a ln ε ε k k 2 ln 2
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢请同学们自行设计计算程序。
xk
k xk
1
6 1.32470
1.25992
7 1.32471

方程求根-资料

数 p 1和非零常数C，使得
lim
n
en1 enp
C
其中，en xn x*，则称该序列是p 阶收敛的， C 称为渐进误差常数。
迭代法收敛的阶
当p=1时，称为线性收敛；当p>1时，称为超线性收敛；当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。
定理 2.3 设(x) 在 x (x) 的根 x* 附近具有连
给出根的某个猜测值
x
，
0
代入 x(x)中
的右端得到 x1 (x0)，再以 x 1 为一个猜
测值，代入 x(x)的右端得 x2 (x1)
反复迭代得 xk1 (xk) k 0,1,......
逐次逼近法
将f (x) 0变为另一种等价形式 x (x)。
选取x 的某一近似值 x0 [a,b]，则按递推
x*x61.3242Hale Waihona Puke 2.2迭代法---逐次逼近法
迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x(x)形式
如： x3 x1 0 x 3 x1 x 1 x3
x cx o 0 s x cx os
迭代法---逐次逼近法
f (x) 0x(x)
逐次逼近法及收敛性
考察方程 x(x)。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果
勒展式
f(x)f(x0)(xx0)f(x0)1 2(xx0)2f() 其在中 x和 x0之间
令 x x* ，则
0 f( x * ) f( x 0 ) ( x * x 0 )f( x 0 ) 1 2 ( x * x 0 ) 2 f ()
Newton迭代法
去掉 x* x0 的二次项，有：
续 P 阶导数，且
'(x*) ''(x*) (P1) (x*) 0, (P) (x*) 0

《数值分析》第六讲：方程求根

6
第六章：第六章：方程求根
天才的伽罗华
1829年伽罗华中学毕业前， 1829年，伽罗华中学毕业前，把关于群论的初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出国科学院，的数学家柯西审核论文。的数学家柯西审核论文。在1830年1月18日柯西计划对伽罗华 1830年 18日柯西计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他在一封信中写道：见听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告……但因病在家，我很但因病在家，罗华的工作报告但因病在家遗憾未能出席今天的会议，遗憾未能出席今天的会议，希望安排我参加下次会议，讨论已指明的议题。” 参加下次会议，讨论已指明的议题。
7
第六章：第六章：方程求根第二周，柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，第二周，柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，忘记了原来的议题。来的议题。 1830年 1830年2月，伽罗华将论文寄给当时的科学院终身秘书傅立叶，傅立叶于当年5月去世，在他的遗物中未发现伽罗华的手稿。傅立叶于当年5月去世，在他的遗物中未发现伽罗华的手稿。伽罗华递交的两次数学论文均被遗失。伽罗华递交的两次数学论文均被遗失。 1831年1月，伽罗华将包含新成果的论文提交给法国科学院， 1831年伽罗华将包含新成果的论文提交给法国科学院，负责审查的数学家泊松（Possion),四个月后，负责审查的数学家泊松（Possion),四个月后，以“完全不能理四个月后解”，建议科学院退稿。建议科学院退稿。 1831年 1831年1月8日，因伽罗华揭发校长的政治两面派行为，被皇因伽罗华揭发校长的政治两面派行为，家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学；家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学；

方程求根计算方法课件及实验教学

实践是关键
通过实际动手操作，学生能更好地理解方程求根的概念和方法，提高问题解决能力。
拓展思考
鼓励学生思考方程求根方法的适用性和限制性，帮助他们在实际问题中做出明智的选择。
迭代改进
教师应根据学生的实际情况和反馈，不断改进教学方法和实验设计，以提高教学效果。
方程求根计算方法课件及实验教学
欢迎来到我们的课件，探索方程求根的计算方法和实验教学。方程求根在数学中的重要性不可忽视，让我们一起开始这次精彩的探索之旅吧！
方程求根的重要性
方程求根是解决实际问题的关键步骤。它们在物理、工程学和经济学等领域中起着重要作用，帮助我们找到未知数的值，并解决复杂的数学问题。
方程求根的一般方法
1 代入法
将可能的解代入方程，验证是否满足等式。这是一种常用的解方程方法。
2 消元法
通过逐步消除未知数的系数，将方程转化为更简单的形式，以便求解。
3 图像法
将方程的图像与坐标轴交点作为解。这种方法通常用于一次和二次方程。
二分法求实根
二分法是一种迭代方法，通过不断缩小搜索范围，找到实根的近似值。它基于连续函数的介值定理，是问题转化为一系列有根的逼近问题，通过多次逼近来找到实根。这种方法适用于未知数只存在于特定区间的情况。
牛顿迭代法求实根
牛顿迭代法使用泰勒级数的概念，通过迭代逼近不断靠近方程的根。它是一种快速收敛的方法，特别适用于函数具有光滑性的情况。
割线法求实根
割线法与牛顿迭代法类似，但它使用两个近似值来逼近根，从而更具稳定性。割线法是一种可靠的求解非线性方程的方法。
方程求根的程序实现
选择合适的编程语言
根据问题的复杂性和计算要求，选择适用于方程求根的编程语言，如Python或MATLAB。

数值分析-求根方程

2
∴ 取φ ( x ) =
令x0 = 4, 于是得到如下迭代序列：
2
( x − 3),即迭代格式xk +1
2
1 2 = ( xk − 3)。 2
1 2 x1 = ( x0 − 3) = 6.5 2 1 2 x2 = ( x1 − 3) = 19.625 2 1 2 x3 = ( x2 − 3) = 191.0703125 2 1 2 x4 = ( x3 − 3) = 18252.432159423828125 2 1 2 x5 = ( x4 − 3) = 166575638.36718459473922848701477 2 M
§1 §2 §3 §4
§5
引言二分法迭代法牛顿法劈因子法
引言 /* Introduction */
求 f (x) = 0 的根 1. 基本概念
方程f (x)=0,如果存在某个，使得 (x*)=0。则称为如果存在某个x*，使得f 方程如果存在某个。则称x*为方程f 的根或者称为函数f 的零点的零点。方程 (x) = 0 的根或者称为函数 (x)的零点。
为迭代格式(迭代公式称xn+1 =φ(xn)为迭代格式迭代公式；φ(x)为迭代为迭代格式迭代公式)；为迭代函数；为迭代序列；函数；求得序列 x ∞ 为迭代序列；上述求根方法称为迭代法。法称为迭代法。 k k=0
{ }
例：给定方程 f (x)=x2-2x-3=0，显然它在区间，显然它在区间[2,4] 内有唯一实根x*=3。按不同迭代格式来求此解。内有唯一实根。按不同迭代格式来求此解。解：1) f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 2 x + 3

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0
x * x2 x1
x0
x
0
x * x0 x1 x2
x
3 迭代法
迭代法的收敛速度（收敛阶）
定义记 ek xk x* ，若
lim k
ek 1 ekp
c
0
（其中 p 为一正数）
称序列{xk }p 阶收敛。显然，p 越大收敛越快。
p=1，且0<|c|<1，称为线性收敛 p=2，称为平方收敛
定理1
方程求根
1 问题的提出 2 二分法 3 迭代法 4 牛顿法及割线法
预备知识
1. Taylor公式
f(x)f(x0)f(x0)(x-x0)1 2f(x0)(x-x0)2...f(kk)(!x0)(x-x0)k...
i k0f(i)i(!x0)(x-x0)i rk(x)
拉格朗日余项： rk(x)f(k (k 1)1 ()!)(x-x0)k 1, (ksi) [x,x0]
y2 (x)
y1 x
0
x * x2 x1
x0
x
0
x * x0 x1 x2
x
定理1
假设迭代函数 φ(x) 在[a, b]上具有一阶连续的导数，且满足
当 x[a, b] 时，φ(x)[a, b]；
存在正常数 L < 1，使得 |φ’(x) | L ;
则
方程在[a, b]上有唯一根 x*
对任意x0 [a, b]，迭代格式xk+1 = φ(xk)都收敛到 x*
2 二分法
二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。
设函数f(x)在[a, b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)<0，则在[a, b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。
2 二分法误差估计
xkx*1 2(bkak)21 k 1(ba) 对于所给定的精度 ε，则可得
序列有极限：迭代公式收敛序列无极限：迭代公式发散
3 迭代法用迭代法求下列方程在区间[2, 4]的根。
收敛
f(x)x22x30
x2 x 3 x k 12 x k 3
取x0 =4，则 x12x03113.317 x22 x 1 39 .6 3 4 3 .1 0 4 x 32 x 2 39 .2 0 8 3 .0 3 4 x42 x3 39 .0 6 83 .0 1 1 x 52 x4 39 .0 2 23 .0 0 4
S = {x | x [x* - δ, x* + δ]} 内存在一阶连续导数，则当|φ’(x*) |<1时，迭代格式xk+1 =φ(xk)局部收敛当|φ’(x*) |>1时，迭代格式xk+1 =φ(xk)发散
y
y1 x
y
y2 (x)
(x0,(x0))
p
(x1,(x1))
y2 (x)
y1 x
1 问题的提出方程求根步骤：
求根的隔离区间，即确定根所在区间
根的精确化。粗糙的近似值--->满足精度的近似值
1 问题的提出求根的隔离区间
设函数f(x)在[a, b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)<0，则在[a, b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。
函数y=f(x)与横轴(y=0)交点 f(x)=0 → f1(x)=f2(x)，函数f1(x)与f2(x)的交点区间[a, b]内选择x1, x2, x3, x4 ……，根据f(x)在这些点上值的符号确定
2 1 k 1(b a ) k ln (b ln a ) 2 ln 1
2 二分法例3 用二分法求下列方程在区间[0, 1]内的实根，要求有3位有效数字。
f(x)x3x22x 10
1 .f( 0 ) 1 0 ,f( 1 ) 1 0 2.f(x)3(x1)270,x [0,1 ]
23 3.f(0.1)0 x*[0.1,1]
x ( a ,b ) ,f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 )
1 问题的提出方程的一般形式：f(x)=0 ，满足方程的x值通常叫做方程的根或解，也叫函数f(x)的零点。
实际问题代数方程5次以上的方程无求根公式超越方程：包含超越函数，如 sinx, lnx, ex
近似求解
x*x21 k 1(ba)1 2 10 3
3 迭代法基本ห้องสมุดไป่ตู้想：逐次逼近
粗糙的初值
迭代公式不满足精度
校正后的近似值
满足精度
END
3 迭代法
f(x)0 x(x)
取 x 0 [a ,b ],用递推公式
xk1 (xk) → 迭代公式
可得序列 {xk}: x0, x1, x2, x3, …… 如果当k→∞时，序列{xk}有极限x*，则x*是方程 f(x)=0的根。
假设迭代函数 φ(x)在[a, b]上具有一阶连续的导数，且满足
当 x[a, b] 时， φ(x)[a, b]；
xkx* 1 LLxkxk1
xk
x*
Lk 1L
x1
x0
limxk1 x* (x*)
k xk x*
f(x)x22x30
x 2x3(x)
x1(x2 3)(x)
2
(x) 1
2x 3
(x) x
x [2, 4] ( x) (2) 1 1
7
x[2,4] (x) (2) 2
3 迭代法
预备知识
2. 拉格朗日中值定理若f(x)在[a, b]上连续，且f(x)在(a, b)内可导，则存在 ξ∈[a, b]，使：
f() f(b)f(a)
ba 或
f ( b ) f ( a ) f () ( b a ) , [ a , b ]
预备知识 3. 函数的单调性设函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则 f(x)在[a, b]上单调递增(递减)的充要条件是
定义1 ：局部收敛性对于方程 x= φ(x)，若在 x* 的某个领域
S = {x | x [x* - δ, x* + δ]} 内，对任意初值x0S，迭代格式xk+1 = φ(xk) 都收敛，则称该迭代格式在 x* 的附近是局部收敛的。
定理3 设方程 x= φ(x)有根x*，且在 x* 的某个领域
3 迭代法
x1 2(x23 ) xk 11 2(xk23 )
取x0 =4，则 x1 6.5
发散
x2 19.625
x3 191.070
3 迭代法几何意义
f(x)0 x(x)
c
y
2
y1
f
2
f1 ( (x
x )
)
x (
x
)
y
y1 x
y
y2 (x)
(x0,(x0))
p
(x1,(x1))