3-有限域-代数基础-域上多项式环

有限域上多项式及其简单应用作者：李一帆来源：《科教导刊·电子版》2017年第19期摘要本文介绍了近世代数中的域及有限域的基本概念与性质，并探究了有限域中的几种重要的多项式及其在密码学领域的简单应用。

关键词域有限域多项式简单应用中图分类号：O157.4 文献标识码：A0引言域是许多数学分支（如代数、代数数论、代数几何等）研究的基础，而其中有限域对于探究代数结构及其运用是非常重要的。

有限域上多项式在、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等许多领域有广泛应用。

1域和有限域的基本概念1.1相关定义定义1 设R是一个环，如果，又有单位元且每个非零元素都有逆元，则称R是一个除环。

可换除环称为域。

定义2域中元素的个数为有限时，则称域为有限域或galois域，记为GF。

并把元素个数称为有限域的阶，记为GF（n）。

1.2域的基本性质（1）数域都是域；（2）域没有零因子；（3）域的特征只能是素数或无限；（4）有限除环必为域。

2有限域上的几种常用多项式2.1有限域上的一元多项式设n是一非负整数，表达式？（1）其中a0，a1，…，an属于有限域GF，称（1）为系数在有限域GF中的一元多项式。

2.2有限域上的不可约多项式设，非常数。

若有，使得，则或为常数（0次多项式），则称为多项式环中的不可约多项式或中的素元。

2.3有限域上的本原多项式设是上的n次不可约多项式。

若满足的最小正整数为，则称为上的本原多项式。

3有限域上多项式在密码学中的简单应用3.1与的乘法比较设是域上的一个n次不可约多项式，则例设为3次不可约多项式，则。

解若为的一个本原元，则。

记0=000=0，1=001=1，x=010=2，x+1=011=3，x2=100=4，x2+1=101=5，x2+x=110=6，x2+x+1=111=7；则乘法表如表1，乘法表如表2，由上述表格得出，在中，所有非零元素都有乘法逆元；在中，非零元素2，4和6无乘法逆元。

【⾼等代数】04-多项式环1. 多项式环1.1 基本定义和性质 多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有⼴泛的应⽤，线性变换也⾮常依赖多项式的理论。

虽然在不同场景下多项式描述的对象有较⼤差异，但它们却有着类似的代数结构，这⾥就从纯代数的⾓度讨论多项式的结构和性质。

以下我会花较多⼝⾆定义什么是多项式，这种看似“学究”的做法其实正是数学的抽象性和严密性所在。

先来看多项式的组成元素“（⼀元）项”，它具有形式ax^n，其中n是⼀个⾮负整数，它表⽰项的次数，a是某个环R或域F的元素，被称为系数，x是不定元。

要特别强调的是，这⾥并没有定义项的实际意义，不定元可能是任何满⾜条件的数学概念。

a和x^n之间也不能看成是某个具体的乘法，这⾥只是⼀个书写格式，项永远是作为⼀个整体看待的。

系数为0的项被定义为互相相等的，⽽其它项相等的充要条件是系数和次数都相等。

另外，在项之间还定义有如式（1）的加法和乘法，且乘法对加法满⾜分配率。

有了这些准备就可以定义多项式了，⼀个环R上的（⼀元）多项式是有限个⾮零项之和，它的最终形式是式（2）。

为了叙述⽅便，0次项被直接写做a_0，但不要忘了其实际意义a_0x^0。

系数⾮零的最⾼次项也称多项式的⾸项，⽽n也叫f(x)的次数，记作\deg f(x)。

由项的定义不难断定：多项式由它的系数序列(a_0,a_1,\cdots,a_n)唯⼀确定。

环R上的所有⼀元多项式集合记做R[x]，不难证明在乘法和加法的定义下，R[x]构成⼀个环（0系数的项为零元，当R有单位元时x^0也为单位元），它叫多项式环。

ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2} 其实在《抽象代数》中，我们已经专门讨论过多项式的性质，故对那些已经论述过的结论，这⾥就不重复证明过程了。

数学中的抽象代数与有限域一、抽象代数基础1.1 集合论基础：集合、元素、集合运算（并集、交集、补集）、集合的性质（互异性、无序性、确定性）。

1.2 代数结构：群、环、域、域扩张。

1.3 群论：群的定义、性质、生成群、群同态、群同构、循环群、交换群、拉格朗日定理、西罗定理。

1.4 环论：环的定义、性质、交换环、整环、域、域的扩张。

1.5 域论：域的定义、性质、域的扩张、伽罗瓦理论、有限域、多项式环。

二、有限域及其应用2.1 有限域的定义：有限域是一种具有加法和乘法运算的代数结构，其元素个数为有限个，且满足交换律、结合律、分配律。

2.2 有限域的性质：有限域的元素个数为素数的幂，有限域的子域为有限个，有限域的乘法群为循环群。

2.3 有限域的表示：多项式表示、二进制表示。

2.4 有限域的扩张：有限域的扩张是通过添加元素来实现的，扩张过程中保持原有运算规律。

2.5 伽罗瓦理论：伽罗瓦理论是研究域扩张性质的理论，核心概念是域的自同构和域的子域。

2.6 有限域的应用：密码学、编码理论、计算机科学、信息安全。

三、抽象代数在中小学数学中的应用3.1 整数：整数是加法和减法的代数结构，满足群性质。

3.2 分数：分数是整数的扩张，通过域的扩张实现。

3.3 多项式：多项式是代数表达式，可以通过域的扩张来定义。

3.4 方程：方程是通过代数结构来描述的数学问题，解方程的过程涉及到群、环、域等概念。

3.5 线性代数：线性代数中的向量空间、线性映射与抽象代数中的域、群、环等概念密切相关。

四、抽象代数与实际生活的联系4.1 密码学：抽象代数中的群、环、域等概念在密码学中具有重要意义，如哈希函数、公钥加密等。

4.2 计算机科学：抽象代数在计算机科学中有着广泛应用，如数据结构、算法、编程语言等。

4.3 信息安全：抽象代数在信息安全领域中发挥着重要作用，如数字签名、身份认证等。

4.4 编码理论：抽象代数中的有限域在编码理论中具有重要意义，如错误检测、纠正码等。

多项式环的定义设0R 是一个含有单位元01R 的可变换环。

又设R 是0R 的子环且R R ∈01，现考察0R 中含R 及 任取定元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα显然每个()0100R a a a a f n n ni ii ∈+++==∑=αααα .定义 1. 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个子环) ()()∑∑====∀nj jjm i i ib g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当n m )()()()∑=+=+nj j j jb ag f 0ααα, 必定假设 021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中 ∑=+=kj i jik ba C又 ()()∑∑==-=-=-mi i i mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,, ∴ []α∙R 确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环) 定义2. 如果上方得到的环[]αR 叫做R 上的α的多项式环.显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么 []2Z 中的零元()()2222200+-=+=α. ∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:()02210=++++=n n a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论. 定义3. 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni ii ,022100αααα( 即002100=====⇔=∑=n ni ii a a a a a α) .否则称α为R 上的代数元. 习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的问题.定义4. 设()()0210≠++++=n nn a x a x a x a a f α为环R 上的一元多项式.那么 非负整数n 叫做多项式()a f 的次数.若()0=x f ,记为没有()αf 没有次数。

代数学基础与有限域代数学(Algebra)是一门涉及集合、体系和操作的数学课程。

与其他数学学科相似，视图变量或变量作为未知数，以及描述它们之间的关系。

代数学的目的可以简单地说是为了提供根据数学原理做推理和解决问题的工具，以便相关的数据和信息可以高效地组织和整合。

与其他数学学科不同，代数学的重点在于讨论关系和函数，而不是只研究各种概念和公理。

代数伴随着一个叫做"有限"的结构。

有限是指一个体系的元素数量有限。

一般来说，它要么包含一些数学元素，要么含有某种元素数量有限的体系，比如有理函数群或多项式族等。

通过定义有限体系，代数学可以证明一些经典的定理，并可以应用于实际问题中。

有限域是有限体系里最常见的物理结构。

它被定义为有限维度、任意数量介元(即满足某种运算规律的元素)的集合。

有限域上的运算也称为介元运算，它包括加法、减法、乘法和除法四种常见运算。

它的运算性质很类似于整数环，并且拥有许多整数环的公理，例如乘法可逆性与整数环上一样成立。

此外，有限域可以用多项式和二元中介操作完成，这使得它具有许多整数环中不具备的特性。

有限域能够解释许多实际应用中的现象，比如网络加密、数据传输等，因此有限域的研究和应用在数学、工程和计算机领域有着重要意义。

有限域思想和方法被广泛应用了许多的研究领域中，如加密计算机科学、计算机系统虚拟化和信息安全等，其中它作为基础的代数学也脱颖而出。

有限域作为一种基本数据结构，被在许多广泛领域广泛应用，常常可以得到统一的理论框架或算法抽象。

有限域能够帮助我们构建体系中数学概念，以找出这些概念之间的关系和联系，这对于其他数学理论的进一步发展也有重要意义。

有限域上的多项式理论Polynomial Theory of Finite Fields摘要域的概念的提出为代数学中的讨论的方便提供了条件，而作为在域中占有重要地位的有限域而言，更是在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等领域发挥着自己的作用。

多项式理论又是代数学中的基础，它的应用在其它领域也是常见的，本文的主要思想就是将高等代数中建立在数域中的多项式理论进行推广，将有关的性质、定理在有限域上进行验证，进而形成一套建立在有限域上的多项式理论。

当下，通信技术已经飞速发展，而保证信息在传输过程中的准确性是通信安全的一个重要前提。

本文在第三章给出了有限域上的多项式在该领域的一个具体应用——利用本原多项式来进行纠错码的操作。

正文部分的结构组成包括：有限域的基本知识、一元多项式、多项式的整除和带余除法、最大公因式、因式分解定理、重因式、多元多项式及本原多项式在纠错码中的应用。

本文通过大量理论证明，验证了关于多项式的定理，性质，将数域上的多项式理论建立在有限域上。

从结果中可以看出，对于建立在一般数域的多项式理论，大部分的结果在有限域上也是普遍成立的，但是不排除一些特殊的情况。

同时，在部分章节的最后也给出了一些只有在有限域中成立，在普通数域中不成立的结论。

关键词：有限域；多项式；带余除法；纠错码AbstractWith the concept of the field being raised, it has provided the conditions for the convenience of the discussion in Algebra. Meanwhile, the finite field also plays an important role in combination of design, coding theory, cryptography, commuter and communications systems. Polynomial theory is the basis of Algebra. The main idea is to put the polynomial theory to the finite field and check the related properties and theorems.Nowadays, the communicational technology has developed rapidly. Keeping accuracy is an important prerequisite for communication security. In the third chapter, this paper introduces the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code.The text contains: The basis knowledge of finite field, polynomial, divisibility of polynomials, greatest common factor, factorization theorem, repeated divisors, multivariate polynomial and the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code.In this paper, a number of properties and theorems are checked by theoretical proof. We will establish the polynomial theory of finite field. According to it, we can see that the most parts of the polynomial theory of number field are established in finite field except in some special situations. At the same time, some conclusions which only established in finite field are given in some chapters.Keywords: finite fields; polynomial; divisibility of polynomials; Error-correcting code目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (1)1.1有限域的发展 (1)1.2 有限域的基础理论 (2)第2章有限域上的多项式 (5)2.1 一元多项式 (5)2.2 多项式的整除和带余除法 (9)2.4 最大公因式 (14)2.5 因式分解定理 (18)2.6 重因式 (21)2.7 多元多项式 (23)第3章有限域上的多项式的应用 (28)第4章结论 (34)参考文献 (35)致谢.................................................................................................. 错误！未定义书签。

第三章环与域与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。

但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。

在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。

§1 加群、环的定义一、加群在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。

因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。

由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。

如：（1）加群G的单位元用0表示，叫做零元。

即a G∀∈，有+=+=。

00a a a（2）加群G的元素a的逆元用a-表示，叫做a的负元。

即有-+=+-=。

()0a a a a利用负元可定义加群的减法运算：()a b a b-+-。

（3）()a a--=。

（4）a c b c b a+=⇔=-。

（5）(),()a b a b a b a b-+=----=-+（6）(00()()a a a n a nna nn a n+++⎧⎪==⎨⎪--⎩个相加）为正整数为负整数，且有(),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。

加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S⇔∀∈，有,a b a S+-∈,a b S⇔∀∈，有a b S-∈。

加群G的子群H的陪集表示为：a H H a+=+。

二、环的定义设R是一个非空集合，“+”与“。