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（一） 知识内容1．均值定理：如果,a b +∈R （+R 表示正实数），那么2a bab +≥，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数,a b ，2a b+叫做,a b 的算术平均值，ab 叫做,a b 的几何平均值． 均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行 转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由 均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值． 运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． 2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数,a b ，作线段AB a b =+，使,AD a DB b ==；⑵以AB 为直径作半圆O ，并过D 点作CD AB ⊥于D ， 且交半圆于点C ；⑶连结,,AC BC OC ，则2a bOC +=，∵,AC BC CD AB ⊥⊥ ∴CD AD BD ab =⋅=， 当a b ≠时，在Rt COD ∆中，有2a bOC CD ab +=>=．当且仅当a b =时，,O D 两点重合，有2a bOC CD ab +===． 3．已知：a b +∈R 、（其中+R 表示正实数），有以下不等式：22221122a b a b a b ab a b ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭+≥≥≥≥ 其中222a b +称为平方平均数，2a b+称为算术平均数，ab 称为几何平均数，211a b+称为调和平均数．CO DBA均值不等式证明：()2221024a b a b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭≥∴222a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ ∵a b +∈R 、，2a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．221024a b +-=⎝⎭≥ ∴22a b +⎝⎭≥，当且仅当“a b =”时等号成立．∵22104⎝⎭≥ ∴2⎝⎭，当且仅当“a b =”时等号成立． 2211ab a ba b=++=211a b+，当且仅当“a b =”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．（三）典例分析：1.基础不等式【例1】 1．“0a b >，且a b ≠”是“222a b ab +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 0a ≥，0b ≥，且2a b +=，则（ ）A ．12ab ≤B ．12ab ≥ C ．222a b +≥ D ．223a b +≤【变式】 设a b c ，，是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥ 1【例2】 设a 、b 为非零实数，若a b <，则下列各式成立的是（ ）A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b aa b<【变式】 若110a b <<，则下列不等式①a b ab +<②||||a b >③a b <④2b aa b +>中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式】 设a 、b 、c 、d 、m 、n 均为正实数，P Q =，那么（ ）A ．P Q ≥B ．P Q ≤C ．P Q <D ．P 、Q 间大小关系不确定，而与m 、n 的大小有关【变式】 若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥【例3】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例4】 正实数a 、b 、c 满足a d b c +=+，a d b c -<-，则（ ）A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定【例5】 已知a b c >>2a c-的大小关系是________．【例6】 已知实数x 、y 、z 满足条件0x y z ++=，0xyz >，设111T x y z=++，则（ ） A ．0T >B ．0T =C ．0T <D ．以上都可能【例7】 若10a b >>>，以下不等式恒成立的是( )A ．12a b+> B ．12b a+> C ．1lg 2a b b + D ．1lg 2b a a +2.不等式最值问题【例8】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例9】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例10】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_________．【例11】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【例12】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例13】 正数a 、b 满足9a b=，则1a b +的最小值是______．【例14】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【变式】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则_________．【变式】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例15】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 .【变式】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 .【例16】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【变式】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例17】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．【例18】 ⑴已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x =______，y =_____时，xy 有最大值为_______．⑵若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是_______，此时____,_____.a b ==3.均值与函数最值【例19】 求函数2y =的最小值．【例20】 求函数y =.【例21】 求函数2211()1f x x x x x =++++的最小值．【例22】 已知3x ≥，求4y x x=+的最小值.【变式】 求函数2y =【点评】 当a 、b 为常数，且ab 为定值，a b ≠时，2a b+>般方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形a b +求出a b -之差的最内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用．【变式】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例23】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【变式】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．【点评】 第⑴题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷入困境：由21yx y ax x +=++得：2(1)10ax y x y +-+-=，2(42)140y a y a ∆=+-+-≥，且要满足有大于1-的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适．【例24】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．⑵求2y =的最小值．⑶求函数2y =的最值．【例25】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x =-+-的最小值．⑵求函数312y x x=--的取值范围．⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【变式】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【变式】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例26】 ⑴求函数422331x x y x ++=+的最小值． ⑵解不等式：21log (6)2x x x --->．【例27】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12C D ．1【例28】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【变式】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为_________．【例29】 设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14【例30】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是( ) A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12【点评】 排序不等式知识：定义：设a a a ≤≤≤，b b b ≤≤≤为两组实数，c c c ，，为b b b ，，的任一称1211n n n a b a b a b -++为两个实数组的反序积之和（简称反序和）。
基本不等式专题分类解析1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112+2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题型二：利用不等式求函数最值、值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y方法一、凑项1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；方法二、凑系数1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
均值不等式 【2 】一、 根本常识梳理1.算术平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的几何平均值3.主要不等式：假如a ﹑b ∈R,那么a 2+b 2≥(当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理：假如a ﹑b ∈R +,那么2a b+≥(当且仅当a=b 时,取“=”)均值定理可论述为：4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；5.应用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.留意三个前提：“一正,二定,三相等”即：（1）各项或各因式非负;（2）和或积为定值;（3）各项或各因式都能取得相等的值.6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性.有时为了达到应用均值不等式的前提,须要经由配凑﹑裂项﹑转化﹑分别常数等变形手腕,创设一个应用均值不等式的情景.二、 常见题型：1.分式函数求最值,假如)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++=)()(的情势,且)(x g 在界说域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可应用均值不等式来求最值. 例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211)1(=-+≥-++++=a a a x a x a 当1)1(+=+x a x a 即x=0时等号成立,1min =∴y2.题在给出和为定值,乞降的最值时,一般情形都要对所求式子进行变形,用已知前提进行代换,变形之后再应用均值不等式进行求最值. 例：已知191,0,0=+>>b a b a 且,求b a +的最小值. 解法一：169210991=+≥+++=+b a a b b a 思绪二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 然后将b a +变形.解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证：两种解法的等号成立的前提均为12,4==b a .此类题型可扩大为：设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求321111a a a S ++=的最小值.)111)((1321321a a a a a a m S ++++=)]()()(3[1322331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=m m 9)2223(1=+++≥,等号成立的前提是321a a a ==.3.题中所求的式子中带有根式,并且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情形都给出来x 的取值规模,依据取值规模来进行逆向转换. 例：求函数]3,21[,37∈-=x x x y 的最小值.思绪：因为所给函数的情势为无理式,直接求解较艰苦,从所给区间]3,21[∈x 入手,可得一个不等式0)3)(21(≤--x x （当且仅当21<x 或3=x 时取等号）,睁开此式评论辩论即可. 解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x x x -≤∴> 得2m in =y4.不等式的变形在证实进程中或求最值时,有普遍应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或b a ab -≥-11. 例：已知a,b,c 均为,求证：c b a a c c b b a ++≥++222.证实：c b a ,, 均为正数,a c a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222,c b a a c c b b a a c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(222总之,均值不等式是高中数学的主要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用办法.在应用均值不等式时,不论如何变形,均需知足“一正二定三相等”的前提.【巩固演习】1.若,0,0>>b a 求函数b ax x y +=2最值. 答案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-=2.求函数)0(132<++=x x x x y 的值域. 答案：[-3,0]3.已知正数y x ,知足,12=+y x 求y x 11+的最小值.答案：223+4.已知z y x ,,为正数,且2=++z y x ,求2111++=y x S 的最小值.答案：295.若)0](,1[>∈a b a x ,求x b x ab y -+=)1(的最小值.答案：a6.设c b a ,,为整数,求证：2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++.三.应用不等式解题的典范例题解析：题型一：应用均值不等式求最值（值域）例1.（1）已知0>x ,求x x x f 312)(+=的最小值（2）已知3<x ,求x x x f +-=34)(的最大值 变式1： 1.若R x ∈,求x x x f +-=34)(的值域2.函数()022>-=x x x y 的最大值为 变式2：1.已知0,0>>y x 且191=+y x ,求y x +的最小值2.R x ∈,求1sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值3.当b a x ,,10<<为正常数时,求x b x a y -+=122的最小值 变式3：1.函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点,若点A 在直线01=++ny mx 上,个中0>mn ,则n m 21+的最小值为2.求2)3(222++=x x y 的最小值为3.已知x x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π的最小值为变式4：1.已知y x ,都是正实数,且053=+-+xy y x（1）求xy 的最小值（2）求y x +的最小值题型二：应用均值不等式证实不等式例2.已知R c b a ∈,,,求证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222（2）()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222 （3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444 变式5：1.已知,,,+∈R c b a 且,,,c b a 不全相等,求证：c b a c ab b ac a bc ++>++2.已知R c b a ∈,,,且1=++c b a ,求证：31222≥++c b a3.已知1,0,0=+>>b a b a ,求证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。
高一均值不等式知识点总结高一数学学习中，均值不等式是一个非常重要的知识点，它在不同的问题中有广泛的应用。
均值不等式主要包括算术平均数与几何平均数、平均数不等式以及柯西-施瓦兹不等式等内容。
下面我们就来总结一下相关的知识点。
1. 算术平均数与几何平均数算术平均数是我们最常见的概念，指一组数的和除以数的个数。
几何平均数是一组数的乘积的n次方根，其中n为这组数的个数。
算术平均数与几何平均数之间存在一个重要的不等式关系，即算术平均数大于等于几何平均数。
这个不等式可以用于证明其他不等式。
2. 平均数不等式平均数不等式是均值不等式中比较常见的一种形式。
对于一组非负实数a1、a2、...、an，它们的算术平均数与几何平均数的大小关系可以表示为：（a1 + a2 + ... + an）/ n ≥ (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)这个不等式可以用于讨论多个变量之间的关系或者证明其他不等式。
3. 柯西-施瓦兹不等式柯西-施瓦兹不等式是高中数学中的一种重要不等式，它描述了内积与范数之间的关系。
对于实数空间或者复数空间中的向量a 和b，柯西-施瓦兹不等式可以表示为：|a · b| ≤ |a| * |b|其中|a|和|b|分别表示a和b的范数。
这个不等式在几何学中有很多应用，也可以用来证明其他不等式。
4. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种描述随机变量与其期望之间关系的不等式。
对于一个随机变量X和一个实数a，切比雪夫不等式可以表示为：P(|X - E(X)| ≥ a) ≤ Var(X) / a^2其中P表示概率，E(X)表示X的期望，Var(X)表示X的方差。
这个不等式可以用于分析随机变量的离散程度，也可以应用于概率论和统计学中。
以上是高一均值不等式的相关知识点总结。
通过对这些知识点的学习，我们可以更好地理解和应用不等式，解决实际问题。
在后续的学习中，我们还可以拓展和应用这些知识，进一步提高数学的应用能力。
高中数学均值不等式几千年来，中国文化一直强调“熟能生巧”，熟练掌握技能是中国人赢得胜利的基础。
数学在我们的学习中扮演着特殊的角色，它的历史已经有几千年的历史，在不同的文化中都有着不同的含义。
在高中时期，学习数学是每个学生的必修课程，也是未来发展的重要基础。
其中的均值不等式研究是一个重要的部分，起源于古希腊时期，最早被引入在高中数学中时，人们才开始关心它。
首先要知道什么是均值不等式。
根据数学定义，均值不等式是一个比较相对数值的方法，它表明一组数据的极值之间的关系。
事实上，它也可以用来描述任何一组数据的总和与这些数据的均值之间的关系。
均值不等式的实际应用范围很广，它不仅仅是一个数学研究，也可以用于经济活动、社会研究、政治学和企业管理等方面。
对于经济活动，均值不等式可以用来衡量收入和支出之间的关系，以及收入最大效率的计算方法。
在社会研究中，人们研究不同社会阶层的收入差距，以及这种差距如何影响社会的整体状况。
在政治学中，均值不等式也可以影响国家之间的贸易，以及各个国家对财政政策的认识。
在企业管理中，会计师可以使用均值不等式来预测企业未来的发展趋势。
另外，在高中数学中，学习均值不等式是一个重要的步骤，它可以帮助学生了解数值之间的关系，并在做出决策的过程中分析和比较这些数据。
学生还可以应用均值不等式来求解统计问题，例如求解某些事件发生的概率。
最后，均值不等式的学习可以帮助学生更好地理解数学的基本原理，有助于更好地发展学生的数学能力。
总之，均值不等式在高中数学中具有重要的意义，帮助学生理解数学基本原理，提高数学能力，以及在实际应用中发挥重要作用，从而使学生受益终身。
对于学生来说，要充分利用丰富的数学知识，掌握均值不等式，以便更好地适应未来发展。
均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。
高中数学：均值定理、均值不等式的证明及应用知识梳理1. 基本不等式，若a>b>0，m>0，则；若a，b同号且a>b，则。
2. 均值不等式：两个正数的均值不等式：，变形式：，等。
3. 最值定理：设（1）如果x，y是正数，且积，则x＝y 时，（2）如果x，y是正数，且和，则x＝y时，运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等。
典型例题知识点一：利用均值不等式求最值例1：已知且满足，求的最小值。
分析：利用，构造均值不等式。
利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1）要求各数均为正数；（2）要求“和”或“积”为定值；（3）要注意是否具备等号成立的条件。
解析：∵，，∴，，当且仅当时等号成立，即，∴，又，∴∴当时，有最小值18。
例2：（1）已知0＜x＜，求函数y＝x（1－3x）的最大值；（2）求函数y＝x+的值域。
分析：（1）由极值定理，可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0两种情况讨论。
利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备。
解析：（1）解法一：∵0＜x＜，∴1－3x＞0。
∴y＝x（1－3x）＝·3x（1－3x）≤［］2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立。
∴x＝时，函数取得最大值，解法二：∵0＜x＜，∴－x＞0。
∴y＝x（1－3x）＝3x（－x）≤3（）2＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立。
∴x＝时，函数取得最大值。
（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y＝x+≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立。
当x＜0时，y＝x+＝－［（－x）+］。
∵－x＞0，∴（－x）+≥2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立。
∴y＝x+≤－2。
综上，可知函数y＝x+的值域为（－∞，－2］∪［2，+∞）。
知识图谱-不等关系与不等式-不等式的性质-均值不等式作差法比较两数（式）大小其他法比较两数（式）大小应用不等式表示不等关系不等式的性质利用性质证明不等式利用性质求取值范围常用特殊不等式均值不等式用均值不等式解决实际问题第01讲_均值不等式错题回顾不等关系与不等式知识精讲一．不等关系1．不等号在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的．我们用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有不等号的式子，叫做不等式．不等式应读作小于等于，其含义是指或者等价于不大于，即若或之中有一个正确，则正确．同理类似定义．2．实数比较大小的依据和方法（1）任何实数的平方不小于零，即（2）比较两数（式）大小第一步：作差（或作商）第二步：变形（常采用配方、因式分解等变形手段，将“差”化为“积”）第三步：定号，确定大小关系三点剖析一．方法点拨1．等价符合的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序，合起来就是实数的运算性质与大小顺序之间的关系．这是不等式这一章内容的理论基础．2．在比较大小时，强调三种变形方法：平方作差法，因式分解法和配方法．（1）平方作差法：如果直接比较两个代数式或数（均大于零）的大小，不如比较这两个数或式的平方容易，可变通改为比较两个平方的大小，平方的大小比较出来了，原来两个数或式的大小也就确定了．（2）因式分解法：将两个代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，然后判断符号；（3）配方法：将两个代数式的差进行配方转化为几个非负实数之代数和，然后判断正负．3．作商法：主要用于那些能够判断出恒正的数，作商后主要与1比较，所以，作商后必须易于变成能与1比较大小的式子，此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较．例如，比较与大小就可以使用作商法．题模精讲题模一作差法比较两数（式）大小例1.1、设则与的大小关系为（）B、A、D、与有关C、例1.2、若试比较与的大小．例1.3、设比较与的大小．题模二其他法比较两数（式）大小例2.1、设且试比较与的大小．例2.2、设则与的大小关系是__________________．题模三应用不等式表示不等关系例3.1、某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0．1元，销售量就会相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为元，怎么用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？例3.2、求证：当一个圆与一个正方形的面积相等时，这个圆的周长比正方形的周长小．随堂练习随练1.1、设t=a+2b，S=a+b2+1，则S与t的大小关系是（）A、t＞SB、t≥SC、t＜SD、t≤S随练1.2、设实数满足则的大小关系是___________．随练1.3、设a=-，b=-，c=-，则a、b、c的大小顺序是____．随练1.4、已知为正实数，试比较与的大小．随练1.5、证明：①②不等式的性质知识精讲一．不等式的性质1．对称性：2．传递性：若且则3．加法法则：若，则4．移项法则：5．同向相加性：若，则6．乘法法则：若则若则7．正值同向可乘性：若则8．乘方法则：若则9．开方法则：若则二．同向不等式与异向不等式1．按不等号开口方向分：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．2．如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，这类不等号方向不同的不等式，叫做异向不等式．三点剖析一．方法点拨1．只有同向不等式才能相加，如遇到的形式，要把不等式转化为这种相加问题．但是这种变形不是等价变形，在解题过程中多次使用这种转化时，有可能扩大了真实的取值范围，解题时要小心，先建立待求范围整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过等价变形转换，求得待求范围．2．对于含不等式的命题判断为假时，举出一反例即可，也可以从条件入手推出与结论相反的判断．题模精讲题模一不等式的性质例1.1、对于实数，下列命题中是真命题的是（）A、若则B、若则C、若则D、若则例1.2、设a，b是两个实数，给出下列条件：①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2．其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（）A、①②B、②③C、③④D、③例1.3、已知求各自的取值范围．题模二利用性质证明不等式例2.1、已知求证：例2.2、设a，b为互不相等的正实数，求证：4（a3+b3）＞（a+b）3．例2.3、已知，求证：．题模三利用性质求取值范围例3.1、已知，且，则的范围是（）A、(-，)B、(-，)C、(-，)D、(-，)例3.2、若二次函数的图像过原点，且求的取值范围．随堂练习随练2.1、若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A、＞B、＜C、＞D、＜随练2.2、如果则把变量___的值增加1会使的值增加最大．随练2.3、若x＞1，-1＜y＜0，则x、y、-y、-xy由小到大的顺序是____（用“＜”连接）．随练2.4、对于实数，下列命题正确的是（）A、若，则B、若，则C、若，则D、若，则随练2.5、f（x）=x3+x，a，b，c∈R，且a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0，则f（a）+f（b）+f（c）的值一定（）A、大于零B、等于零C、小于零D、正负都有可能随练2.6、已知且，．求证：．均值不等式知识精讲一．常用特殊不等式1．设，则（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）．2．设，，（当且仅当时取等号）．3．设，，（当且仅当时取等号）．二．均值不等式：设，则（当且仅当时取等号）．1．基本变形：（1）；（2）．2．基本应用：（1）放缩，变形；（2）求函数最值：①当（常数），当且仅当时，；②当（常数），当且仅当时，．3．基本推广：（1）设，则（当且仅当时取等号），，．（2）设则，其中，为调和平均数；为平方平均数；为几何平均数；为算术平均数．（3），，．三点剖析一．注意事项1．应用均值不等式时，要注意各项大于0．当各项小于0时，不等式可变形为．2．等号并不是所有时候都能取到．二．方法点拨1．函数的图像性质及其应用：函数定义域为．当时，当且仅当时取等号；当时，当且仅当时取等号．特别的，当时，的图像为“对勾函数”．2．遇到已知，求的最值时，通常．3．应用均值不等式解决实际问题的步骤：（1）理解题意，设变量．设变量时，一般把要求最值的变量定为函数．（2）建立函数模型，把实际问题抽象为函数最值问题．（3）在定义域内，求出函数的最值．（4）转化为实际问题作答．题模精讲题模一常用特殊不等式例1.1、若为实数，且，则的最小值为_________．题模二均值不等式例2.1、给出下面四个推导过程①②③④其中正确的是（）A、①②B、②③C、③④D、①④例2.2、求下列函数的最值：（1）已知求的最大值．（2）已知求的最小值．（3）已知求的最大值．例2.3、知求的最小值．例2.4、已知求证：．例2.5、求函数的最小值．题模三用均值不等式解决实际问题例3.1、某种汽车，购车费用是万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费第一年是万元，以后逐年递增万元.问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？随堂练习随练3.1、求证：．随练3.2、平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A、B、C、D、1随练3.3、已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A、2B、4C、6D、8随练3.4、（1）求函数的最小值，并求出取得最小值时的值．（2）求的最大值．随练3.5、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为平方米的三级污水处理池，平面图如图所示，池外圈建造单价为每米元，中间两条隔墙建造单价每米元，池底建造单价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）①设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价；②受场地限制，长和宽都不能超过米，则污水池的最低造价为多少？自我总结课后作业作业1、已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是（）A、M＜NB、M＞NC、M=ND、不确定作业2、已知+， 2+，，则的大小关系为（）A、B、C、D、作业3、若，则+与的大小关系为（）A、B、C、D、作业4、若a∈R，则下列不等式恒成立的是（）A、a2 +1＞aB、＜1C、a2 +9＞6aD、lg(a2 +1)＞lg|2a|作业5、某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是______．作业6、设，且，则（）A 、B、C 、D 、作业7、设，且，则（ ）A 、B 、C 、D 、作业8、若则下列结论中正确的命题是（ ）A 、和均不能成立B 、和均不能成立C 、 不等式和均不能成立D 、 不等式和均不能成立作业9、已知a 1＞a 2＞a 3＞0，则使得（1-a i x ）2＜1（i=1，2，3）都成立的x 取值范围是（ ）A 、(0，)B 、(0，)C 、(0，)D 、(0，)作业10、设实数满足，4≤≤9，则的最大值是____．作业11、已知函数满足，，求的取值范围．作业12、已知且，求的最大值．作业13、已知求的最小值．作业14、数的最小值.作业15、如果正数满足那么（）A、且等号成立时的取值唯一B、且等号成立时的取值唯一C、且等号成立时的取值不唯一D、且等号成立时的取值不唯一作业16、某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为元，（1）若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？（2）若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？。
均值不等式归纳总结1.(1)若R b a ∈,，则abb a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2.(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则abb a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤−(当且仅当1x =−时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x2＋12x2≥23x2·12x2＝6∴值域为[6，+∞）(2)当x＞0时，y＝x＋1x≥2x·1x＝2；当x＜0时，y＝x＋1x =－（－x－1x ）≤－2x·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。
解：因450x −<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x −−i不是常数，所以对42x −要进行拆、凑项，5,5404x x <∴−>∵，11425434554y x x x x ⎛⎞∴=−+=−−++⎜⎟−−⎝⎠231≤−+=当且仅当15454x x−=−，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2aba b a b b ab a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a ba +≤+（当且仅当b a =时取“=”）应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
例：求函数2y =的值域。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y=.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x,y 的值技巧六：整体代换2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
