多项式的分裂域

代数基本定理的几种证明作者：李志国邵泽玲李志新来源：《科技风》2020年第13期摘;要：代数基本定理是数学中最重要最基本的定理之一，不仅仅在代数学中起着重要的基础作用，乃至整个数学研究都有着广泛的应用基础。

本文通过利用拓扑、不动点、代数等理论给出了代数学基本定理的五种不同的证明。

关键词：代数基本定理;不动点定理;同伦;分裂域代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。

最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。

据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。

迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。

大数学家J.P.塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。

美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。

复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。

代数基本定理，一般高等代数的教材中都没有给出证明，这是因为它的纯代数方法的种种证明都很复杂。

大多数参考文献中都是利用维尔定理和儒歇定理等复变函数理论来证明代数基本定理。

本文从拓扑学，不动点理论，代数理论等角度分别列举了五种不同的证明方法。

1 代数学基本定理任何一个n次多项式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在复数域C中至少有一个根。

证法一：（代数拓扑方法）视S2=C∪{SymboleB@}，f（z）可以延拓为一个连续映射：F：S2=C∪{SymboleB@}→S2=C∪{SymboleB@};F（z）=f（z），z∈C;F（SymboleB@）=SymboleB@。

由此可知，只要证明0∈ImF即可。

定义H：S2×I→S2如下：H（z，t）=anzn+（1-t）（f（z）-anzn），z∈C，SymboleB@，z=SymboleB@。

令F1（z）=anzn，z∈CSymboleB@，z=SymboleB@，则H（z，t）定义了一个F与F1之间的一个同伦。

Galois理论在高等代数中的若干应用谢启鸿【摘要】给出了Galois理论在高等代数若干问题中的应用.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2016(032)006【总页数】5页(P8-12)【关键词】分裂域;Galois扩张;特征多项式;特征值;特征向量;Jordan-Chevalley分解【作者】谢启鸿【作者单位】复旦大学数学科学学院,上海200433【正文语种】中文【中图分类】O151.21首先, 我们阐述域论中的一些概念和结论 (参考教材[1]).设f(x)是域上的多项式, f(x)在上的分裂域是的一个扩域, 使得f(x)在上可分解为一次多项式的乘积, 并且在同构意义下, 是满足上述性质的的最小扩域.具体的, 若取的一个代数闭包, 并设f(x)在中的全体根为λ1,λ2,…,λn, 则=(λ1,λ2,…,λn).类似地, 还可定义上一族多项式的分裂域, 这样的扩域称为上的正规扩张.对于正规扩张, 有如下的同构扩张定理.定理1 设是上的正规扩张, λ∈在上的极小多项式为m(x), 则对m(x)的任一根μ, 存在一个保持中元素不动的的自同构使得σ(λ)=μ.设是上的代数扩域, 若对任一λ∈, λ在上的极小多项式m(x)均无重根, 则称是上的可分扩张.可以证明: 若是特征为零的域 (比如数域), 或者是特征为素数p的域且满足p= (这种域称为完美域, 如有限域p), 则上的任一代数扩域都是可分扩张.若一个代数扩域/既是正规扩张, 又是可分扩张, 则称之为Galois扩张.对于有限Galois扩张, 可以建立起/的中间域与Galois群的子群之间的反序一一对应.定理2 设/是有限Galois扩张, M={|⊇⊇}为/的中间域全体, S={G|G≤Gal(/)}为的子群全体, 定义则φ,ψ给出了M,S之间的反序一一对应.特别地, 若λ∈满足σ(λ)=λ对任意的都成立, 则λ∈.为了利用Galois理论处理高等代数问题, 需要将Galois群对域的作用延拓到列向量、矩阵和多项式上.设/是一个有限Galois扩张则对任一列向量定义容易验证上述σ的作用是-线性的, 并且保持列向量的加法, 矩阵的加法和乘法, 多项式的加法和乘法.由定理2可知, 若σ(α)=α对任意的都成立, 则α∈n; 若σ(A)=A对任意的都成立, 则A∈Mn(); 若σ(f(x))=f(x)对任意的都成立, 则f(x)∈[x].设V是n的子空间, 定义容易验证Inv(V)是n的子空间.反之, 设U为n的子空间, {e1,e2,…,er}是U的一组基, 即U=e1⊕e2⊕…⊕er.由这组基的-线性无关性以及 [4] 的推论1可知, 它们也是-线性无关的, 定义由它们张成的-线性空间为U, 则{e1,e2,…,er}也是U的一组基, 即U=e1⊕e2⊕…⊕er(事实上, U=U⊗是线性空间的张量积).任取α∈U, 则其中c1,c2,…,cr∈, 从而若σ(α)=α对任意的都成立, 则所有的ci∈, 从而α∈U, 这就证明了Inv(U)=U.进一步, 设U1⊕U2⊕…⊕Uk为n的子空间, 则类似于上面的讨论可得对于n的子空间V, 一般来说只有Inv(V)K⊆V.在下面的讨论中, 总是假设是特征为零的域或特征为素数p的完美域.设A∈Mn(为A的特征多项式, 再设f(λ)在上的分裂域为, 则在上可以求出A的全体特征值λ1,λ2,…,λn以及对应的特征向量; 在上可将A上三角化 (参考 [3] 的例6.49); 在上可讨论A的对角化问题; 进一步, 在上还可以求出A的Jordan标准形 (参考 [2] 的推论7.6.5).为了讨论问题的方便, 也用A表示n上的线性变换, 它将上的n维列向量α映为Aα.另外, 上的矩阵A可自然地看成是上的矩阵, 故也用A表示n上相应的线性变换.先来看一道可对角化矩阵的典型例题.例1 设A∈Mn()的特征值λ1,λ2,…,λn都在中, 并且这n个特征值互不相同, 再设对应的特征向量为α1,α2,…,αn∈n, 证明: n的任一A-不变子空间U必为如下形式: 其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,n}的子集 (注: 空集∅对应于零子空间).证由假设可知A在上可对角化, α1,α2,…,αn是A的n个线性无关的特征向量, 并且不妨设U≠0, 容易验证A|U的特征多项式是f(λ)的因式, 故可设A|U的特征值为λi1,λi2,…,λir, 其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,n}的子集.由于A|U的特征值互不相同, 故A|U可对角化, 又所有的特征子空间都是形如αij的一维子空间, 所以通过例1的证明和结论我们知道, 若A的特征值互不相同, 则任一A-不变子空间U 由A|U的全体特征值唯一确定.下面的例题利用了例1的结论, 是Galois理论在高等代数中最典型的应用之一.例2 设A∈Mn()的特征多项式为f(λ), 证明： n只有平凡的A-不变子空间的充分必要条件是f(λ)是上的不可约多项式.证先证充分性.设f(λ)是上的不可约多项式, 从而f(λ)在其分裂域上无重根, 不妨设为λ1,λ2,…,λn.设U是n的非零A-不变子空间, 只要证明U=n即可.任取U的一组基{e1,e2,…,er}, 由Aei∈U(1≤i≤r)容易验证U是n的A-不变子空间.取A|U的任一特征值, 不妨设为λ1, 对应的特征向量为α1∈U, 即其中c1,c2,…,cr∈不全为零.由定理1可知, 存在自同构使得在等式Aα1=λ1α1两边同时作用σi可得Aσi(α1)=λiσi(α1).注意到仍为非零列向量, 故λi(1≤i≤n)都是A|U的特征值.由例1可知U=n, 特别地,再证必要性.设f(λ)在上可约, 即f(λ)=g(λ)h(λ), 其中g(λ),h(λ)的次数小于n, 则由Cayley-Hamilton定理可知因此g(A),h(A)中至少有一个是奇异阵, 不妨设为g(A), 于是存在非零列向量α∈n, 使得g(A)α=0.设degg(λ)=m, 令U=L(α,Aα,…,Am-1α), 则dimU≤m<n, 再由g(A)α=0容易验证U是n的A-不变子空间, 从而U是非平凡的A-不变子空间. 事实上, 例2也可以利用循环子空间理论来进行证明 (参考 [5] 的命题1).下面的例3是复旦大学数学科学学院2015-2016学年第一学期高等代数I期末考试的压轴题, 它的标准解答是利用循环子空间理论和中国剩余定理来进行证明的, 不过我们可以将例2的充分性证明进行推广, 并利用Galois理论给出新的证明.注意到例3也是例1的一个推广.例3 设A∈Mn()的特征多项式其中fi(λ) (1≤i≤k)是上互异的首一不可约多项式.设Vi=Kerfi(A) (1≤i≤k)为n的子空间, 证明: n的任一A-不变子空间U必为如下形式其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,k}的子集 (注: 空集∅对应于零子空间).证设f(λ)的分裂域为, 则容易验证f(λ)在中无重根.为方便起见, 记fi(λ)的根的集合为Ri (1≤i≤k),用α(λ)表示特征值λ∈Ri对应的特征向量.由[3]的例7.21可知,并且A|Vi的特征多项式为fi(λ).因为fi(λ)在上无重根, 故A|Vi在上可对角化, 并且Viα(λ).设U是n的非零A-不变子空间, 则U是n的非零A-不变子空间.若λ∈Ri 是A|U的一个特征值, 则由类似于例2充分性的证明可知, Ri中的任意元素都是A|U的特征值, 再由例1可知其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,k}的子集.因此U=Vi1⊕Vi2⊕…⊕Vir, 于是有为了得到下一个应用, 先来证明一个有趣的命题.例4 设A,B∈Mn(), A,B的特征值都在中, 并且r(AB-BA)≤1, 证明: 存在非异阵P∈Mn(), 使得P-1AP和P-1BP同时为上三角阵.证对阶数n进行归纳, 当n=1时, 结论显然成立.设阶数小于n时, 结论成立, 现证n阶的情形.若AB=BA, 则由 [3] 的例6.50可知结论成立; 若A=O, 则结论显然成立; 又若A非异, 则任取A的特征值λ1∈, 用A-λ1In代替A进行讨论.因此可设r(AB-BA)=1, 并且KerA和ImA都是n的非平凡子空间.我们先证明: A,B有公共的非平凡不变子空间.若B(KerA)⊆KerA, 则KerA就是A,B公共的非平凡不变子空间.下设B(KerA)⊄KerA, 即存在α∈KerA, 使得Bα∉KerA.注意到又r(AB-BA)=1, 故Im(AB-BA)=A(Bα)⊆ImA.对任一Aγ∈ImA, 有于是ImA也是B的不变子空间.设U是A,B公共的非平凡不变子空间, 选取U的一组基并扩张为n的一组基, 则A,B在这组基下的表示矩阵都是分块上三角阵, 即存在非异阵Q∈Mn(), 使得由r(AB-BA)=1可得r(AiBi-BiAi)≤1, 再分别对Ai,Bi (i=1,2)运用归纳假设即得结论.下面的例5可以利用线性方程组的求解理论和互素多项式的应用进行纯代数的证明; 也可以利用循环子空间的理论进行纯几何的证明 (参考 [5] 的例2), 在上述两种方法中, 特征多项式f(λ)在上的不可约性和tr(AB-BA)=0都是证明的关键点.接下来我们将利用Galois理论给出例5的第三种证明, 注意到其证明过程没有用到矩阵迹的技巧.例5 设A,B∈Mn(), 并且A的特征多项式f(λ)是上的不可约多项式, 证明: r(AB-BA)≠1.证用反证法证明结论, 设r(AB-BA)=1.取为A,B的特征多项式的分裂域, 则由例4 可知, 存在非异阵P∈Mn(), 使得P-1AP和P-1BP同时为上三角阵.设P的第一列为α1∈n, 则α1≠0是A,B公共的特征向量, 即有其中λ1,μ1分别为A,B的特征值.由于f(λ)在上不可约, 故A的n个特征值λ1,λ2,…,λn∈互不相同, 对应的特征向量必线性无关.由定理1可知, 存在使得σi(λ1)=λi(1≤i≤n).将σi作用在 (1) 式上可得由于σi(α1)≠0, 故它是矩阵A关于特征值λi的特征向量, 也是矩阵B关于特征值σi(μ1)的特征向量, 从而σ1(α1),σ2(α1),…,σn(α1)必线性无关.令则Q是非异阵, 使得于是AB=BA, 这与r(AB-BA)=1矛盾.作为Galois理论的应用, 最后我们将证明一般域上的Jordan-Chevalley分解定理. 例6 设A∈Mn(), 证明: 存在分解A=B+C, 其中B,C∈Mn()且满足(i) B在其特征多项式的分裂域上可对角化;(ii) C幂零, 即存在正整数m, 使得Cm=O;(iii) BC=CB;(iv) 存在多项式g(x)∈[x], 使得B=g(A),并且满足条件 (i)—(iii) 的上述分解必唯一. 证设为A的特征多项式的分裂域, 完全类似于复矩阵的Jordan-Chevalley分解定理的证明 (参考 [2] 的定理7.7.3), 可以得到A在上的Jordan-Chevalley分解, 即存在分解A=B+C, 其中B,C∈Mn()且满足:(i) B在上可对角化;(ii) C幂零;(iii) BC=CB;(iv) 存在多项式h(x)∈[x], 使得B=h(A),并且满足条件 (i)—(iii) 的上述分解必唯一.对任一可得A的另一分解其中σ(B)在上仍可对角化, σ(C)仍幂零, 并且由分解的唯一性可知, σ(B)=B, σ(C)=C对任意的都成立, 从而B,C∈Mn().若是特征为零的域或是特征为素数p的域, 但p不能整除的阶数, 令则σ(g(x))=g(x)对任意的都成立, 从而g(x)∈[x].由B=h(A)可得B=σ(h(A)), 从而B=g(A).当p整除的阶数时, 还可以如下讨论g(x)的存在性.设作为-线性空间的一组基为{k1=1,k2,…,kd}, 则可将h(x)按系数分解为其中hi(x)∈[x].再由B=h(A)可得B=h1(A), 取g(x)=h1(x)即得结论.一般来说, 大基域上的对象往往更容易被刻画或分类, 因此小基域上的对象可以提升到大基域上进行研究.Galois群关于基域的对称作用也传递给了研究对象及其性质, 因此可以将这些大基域上的性质下降到小基域上, 从而得到相应的刻画或分类.换言之, Galois理论提供了一种下降理论 (Descent Theory), 这种理论对于现代代数学、代数几何和代数数论等分支的研究起到了重要的作用.一般域上的高等代数问题, 可以利用线性变换理论和一般域上的相似标准形理论等加以研究; 也可以利用高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性把问题提升到大基域上进行研究 (参考 [4]); 而本文列举的四个例题则告诉我们, 还可以利用Galois 理论的下降功能来研究一般域上的高等代数问题.这些方法和技巧不仅将专业课近世代数和基础课高等代数紧密地联系在一起, 而且利用像Galois理论这样优美的理论工具来解决问题, 充分展现了代数学的神奇魅力.【相关文献】[1] 姚慕生.抽象代数学[M].2版.上海: 复旦大学出版社, 2005.[2] 姚慕生, 吴泉水, 谢启鸿.高等代数学[M].3版.上海: 复旦大学出版社, 2014.[3] 姚慕生, 谢启鸿.高等代数，大学数学学习方法指导丛书[M].3版.上海: 复旦大学出版社, 2015.[4] 谢启鸿.高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性[J].大学数学, 2015, 31(6): 50-55.[5] 谢启鸿.循环子空间的若干应用[J].大学数学, 2016, 32(1): 1-6.。

多项式零点的分布及其应用李倩;谭力【摘要】文章主要研究一般复系数多项式零点的分布性质,讨论实系数多项式零点分布的某些性质.首先利用复变函数理论证明多项式零点存在定理；然后利用矩阵特征多项式、特征值的估计理论系统地讨论一般多项式零点的分布情况,并给出一些结果；最后给出多项式零点分布在线性控制系统中的应用,具体展示它的实用价值.【期刊名称】《重庆文理学院学报（社会科学版）》【年(卷),期】2013(032)003【总页数】5页(P16-20)【关键词】多项式;零点(根);零点分布【作者】李倩;谭力【作者单位】重庆工业职业技术学院,重庆渝北411120;重庆工业职业技术学院,重庆渝北411120【正文语种】中文【中图分类】O221.41.1 多项式的基本概念多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的域P作为基础，以下的讨论，在没有特别强调的情况下都是在复数域当中进行.定义1［1］设n是一非负整数.其中a0，a1，…，an全属于复数域C，Z是复数域C中的自变量.表达式(1)称为复数域C中的一元多项式(函数)，以下简称多项式.在多项式(1)中，aizi成为i次项，ai称为i次项的系数.如果an≠0，那么anzn称为多项式(1)的首项，an称为首项系数，n为(1)式的次数．定义2 设多项式若z0∈C使得p(z0)=0，则称z0为多项式的零点或根;若p(z0)=A，则称z0为A 的点．定理1［2］ z0是p(z) =anzn+an-1zn-1+…+a0的零点的充分必要条件是:z-z0是p(z)的因子，即存在多项式q(z)使得p(z)=q(z)(z-z0)．我们可以定义重根的概念:z0称为p(z)的k重根或k级(重)零点，如果(z-z0)k是p(z)的因子，但(z-z0)k-1不是p(z)的因子.k=1时，称z0为简单零点或根;k＞1时，z0称为重根.定理2［2］如果z0是p(z)的k重零点，那么z0是微商p'(z)的k-1重零点.定理3［2］ z0是p(z)的重根的充分必要条件是z0同时为p(z)和p'(z)的零点. 以上3个定理是一般域上多项式理论在复数域上的直接具体化.因为无穷域(复数域)上的多项式和多项式函数的区别不是本质的，所以一般域上的多项式形式的概念和定理都可以直接具体到复数域上的多项式函数上，与用函数观点所表达的形式是一致的，是不会有矛盾的.1.2 低次多项式的零点公式对于一般的低次(n＜5)多项式的零点，我们早就有了具体公式将其求解出.也就是通过低次方程的求根公式，我们完全能够在复平面将低次多项式的零点精确定位.所以，低次多项式零点分布问题是完全解决了的.如果方程是一次的，那么它的形状是a1z+ a0=0(a1≠0)，将a0移到右边反号，再在方程两边同时除以a1，由此即得:如果是二次方程a2z2+a1z1+a0=0，(a2≠0)，它的解法也很简单．根据求根公式即得求解一般三次方程(a3≠0，不妨设其值为1)的问题可以归结为求解缺二次项的三次方程．其实我们只需令，将此式代入方程(4)即可得方程(5)的形式.现在设给出的方程是w3+pw+q=0.令w=u+v，于是就有即得u3+v3+q+(3uv+p)(u+v)=0．无论两数和u+v是怎样的，我们总可以要求它们的积等于一个预先给定的值.因为如果给定u+v=A，而我们要求uv=B，那么由v(A-u)=B，而这只要u是二次方程u2-Au+B=0的根就行了.由上面的二次方程的求根公式知它是有根的.对于这样选择的u及v，就得到由z=w-即可得一般三次多项式零点的求解公式.一般四次多项式零点的确定，同样可以通过四次方程的求根公式解决.设给出的一般四次方程为:将它改写成z4+a3z3=-a2z2-a1z-a0的形式．并且在两边都加上，于是左边就是一个完全平方式，即:等式(8)的右边是以与w有关的式子作系数的z的二次三项式.我们要取适当的w使得这个三项式是二项式αz+β的平方.要使二次三项式Az2+Bz+C是二项式αz+β的平方，只要B2 -4AC=0就可以了.事实上，如果B2-4AC= 0，那么即就可以使方程(8)右边就是完全平方(αz+β)2.展开(9)式，得到w的一个三次方程.即由上面的三次方程求根公式可以求出它的根w0，然后再由w0又可以求出α和β，于是就有:再通过求解这两个二次方程，就可以求出四次方程的根.对于次数n＞4的一般多项式的零点，由现在的群论理论知道，它的零点是不能再像低次多项式一样用它的系数经过四则运算和开方表示出来的.只有比较特殊的高次多项式可以用特殊方法将其表示出来.这一理论的证明涉及比较深的代数知识.现将该结论用定理描述如下:方程的根可用根式解的判别准则:在特征0的域F上，多项式p(z)的零点可以用根式解充分必要条件是p(z)的分裂域E F的伽罗瓦群是可解的［3］.在矩阵理论中，我们了解到矩阵有特征多项式和特征值的概念，而且有很多关于特征值的估计理论，特征值又正是特征多项式的零点.所以我们可以根据矩阵特征值估计理论来讨论多项式零点的分布，这也是一个非常有效的方法.定义3［4］设n阶方阵i(j)，A=［aij］∈Cn×n，利用A的元素aij(i，j=1，2，…，n)引入下列记号:引理1 如果A为严格行(列)对角占优矩阵，则A必为非奇异矩阵.证明只就严格行对角占优矩阵加以证明，至于严格列对角占优矩阵的情况，只要把这里的证明对其转置矩阵重述一遍即可.反证法.设A为奇异矩阵，则由其构成的线性方程组AX=0有非零解x=(x1，x2，…，xn)T≠0．设由上面引理1很容易推出下面的定理:定理4［5］设A=［aij］∈Cn×n，则它的所有特征值都落在平面上的n个圆盘的并集上.证明对于A的任一特征值λi，有det［λiI -A］=0.根据引理1，矩阵λiI-A必非严格行对角占优(亦非严格列对角占优)矩阵，即至少存在一个i，使得成立，这表明定义4 由上面定理3的(11)式所表达的圆盘称为由A所确定的盖尔斯果林圆盘. 定理5 设A的n个圆盘中有s个圆盘构成了复平面上的一个连通域G，且G与A的其余ns个圆盘不相交，则G中有且仅有A的s个特征值.证明令A=D+C，其中作参数矩阵A(t)=D+tC，显然A(1)= D，A(1)=D+C=A，当t从0变到1时，A(t)由D变到A.另外，D的n个盖尔斯果林圆盘就是A的n个盖尔斯果林圆盘的圆心，即a11，a22，…，ann.对任意t(0＜t＜1)，A(t)的每个盖氏圆盘都落在A 的一个相应的圆盘之内，且各自始终以aii(1≤i≤n)为心.现在考虑矩阵A(t)的任一特征值λ(t)，它是t的连续函数，所以当t由0变到1时，A(t)的特征值λ(t)在复平面上将由各自的圆心aii(1≤i≤n)出发画出n条连续曲线，且曲线的终点为A的n个特征值.我们断言，这n条连续曲线的每一条要么全部落在G上，要么全部落在其余的n-s圆盘的并集上.因为否则的话，设这n条曲线中至少有一条既落在G 上又落在其余n-s个圆盘的并集上，那么由于连续曲线的性质及G与这n-s个圆盘的并集不相交，这条曲线λ(t)上必有一点.不妨设为λ(t0)(0＜t0＜1)，它落在A 的n个圆盘之外.但λ(t0)为A(t0)的特征值，由前面所述，它应落在A(t0)的n个圆盘的并集之上，从而落在A的n个圆盘的并集之上.这便产生了矛盾.因此，我们断言成立.由这一断言立即推出，由G的s个圆盘的圆心出发的连续曲线λ(t)，当t∈［0，1］时，应该全部在G上，以上分析表明G上至少有s个A的特征值.同理我们也可以证明A的其余n-s个圆盘至少含n-s个A的征值，从而又得G上至多有s个A的特征值.综合上述，即得G上恰有s个A的特征值.定理完毕.推论1 若方阵A∈Cn×n的n个盖尔斯果林圆盘两两互不相交，则A有n个互异的特征值.推论2 如果方阵A∈Rn×n的n个盖尔斯果林圆盘两两互不相交，则A的特征值为实数.证明因为A是实矩阵，所以A的特征多项式f(λ)应为实系数n次多项式，从而A 的特征值(即多项式f(λ)的零点)要么是实数，要么是成对出现的共轭复数.此外，没有其它的形式的根.因此，只要我们能证明在所给的条件下，成对出现的共轭复数根不存在则命题即获证明.我们采用反证法.设A有某一对共轭复数α和作为某特征根，并不妨设α为上半平面，则必位于下半平面，且α和关于实轴对称.另外，由定理3，α必然落在A的某个盖氏圆盘上.由于A为实矩阵，故其元素aioio必为实数，从而圆盘Dio(A)的圆心为实数，因此实轴为Dio(A)的对称轴，这说明也落在Dio(A)中.即Dio(A)中有A的两个特征值α和.这与A的n个盖尔斯果林圆盘两两互不相交的条件矛盾(这是因为由此条件及定理4可知:A的每个盖氏圆盘上只能有A的一个特征值).例如，求矩阵［6］即B的4个盖氏圆盘重合为一个.即在圆盘上有B的4个特征值．另外，B的特征多项式为det［λI4-B］=［(λ-1)2-1］2，所以B的特征值为λ1=λ2=0，λ3=λ4= 2.他们都落在B的4个盖氏圆盘的边界上.若从另一个角度来理解盖氏圆盘定理.首先，在复平面上画出各盖氏圆盘的中心点a11，a22，…，ann.于是盖氏圆盘定理(即定理3)表明: n阶矩阵A的任一特征值λj与离它最近的中心点ai0i0的距离还超过Pi0.上面注中的例子说明，这个最大距离有时可以达到.因而我们有理由认为，不改变圆盘中心点的取法(即仍取a11，a22，…，ann为圆盘的中心点)便不可能对定理3作出实质性的改进.现在我们可以利用上面的结论讨论多项式零点分布了.我们很容易验证矩阵A的特征多项式为:矩阵A的特征值就是多项式P(z)的零点.我们把A称为多项式P(z)的友阵.那么根据定理3，我们可以得到多项式P(z)的零点分布在以下两闭圆区域的并集上如果我们对上述零点存在闭区域放大一点，就可以得到一个表述更简单的零点分布区域.在控制理论中，我们可以看到自动控制系统最重要的特性莫过于它的稳定性.因为一个不稳定的系统无法完成预期控制任务.因此，如何判断一个系统是否稳定以及怎样改善其稳定性乃是系统分析与设计的一个首要问题.系统的稳定性，表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”.在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，应用Routh判据和Hurwitz判据等代数方法判定系统的稳定性，非常方便有效.至于频域中的H.Nyquist判据则是更为通用的方法，它不仅用于判定系统是否稳定，而且还能指明改善系统稳定性的方向.上述方法都是以线性定常分析系统(可用微(差)分方程或传递函数加以描述)的特征方程在复平面上根的分布为基础的.所以，我们可以用上面多项式零点分布的结果和研究方法对其进行讨论.下面举例说明.线性定常离散时间系统渐进稳定判据［7］:设线性定常离散时间系统的状态方程为: X(k+1)=GX(k)，则平衡状态Xe=0处渐进稳定的充要条件是矩阵G的特征值模小于1．例1 设离散时间系统的状态方程为求证系统是渐进稳定的.证明由题意可得特征多项式为:经判定特征多项式的零点在＜1内，即系统是渐进稳定的.判断上面一例特征多项式零点分布在要求范围内，显然还可以使用到前面章节得到的其他结论进行断言，当然更可以用前面的讨论方法进行判断.多项式零点分布还有其他许多方面的应用，举个应用的例子只是为了具体展示一下讨论多项式零点分布是很有意义的.【相关文献】［1］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［M］.北京:高等教育出版社，1999:35. ［2］钟玉泉.复变函数论［M］.北京:高等教育出版社，2010:171.［3］聂灵沼，丁石孙.代数学引论［M］.北京:高等教育出版社，2000:85.［4］陈祖明，周家胜.矩阵论引论［M］.北京:北京航空航天大学出版社，2008:136. ［5］杨乐.值分布论及其新研究［M］.北京:科学出版社，1982:123.［6］吉米多维奇.数学分析习题集题解［M］.济南:山东科学技术出版社，2005:62-63. ［7］夏德.自动控制理论［M］.北京:机械工业出版社，2009:78.。

数论中的伽罗瓦域的应用数论中的伽罗瓦域的应用伽罗瓦理论是数论中的重要分支，它以法国数学家伽罗瓦的名字命名。

伽罗瓦域是伽罗瓦理论中的关键概念之一，它在数论中有着广泛的应用。

本文将介绍伽罗瓦域及其应用，并探讨其在数论中的重要性。

一、伽罗瓦域的概念伽罗瓦域是一个含有无穷个元素的域，它是一个代数闭域，同时也是一个代数扩域。

伽罗瓦理论中的主要研究对象是有限域，而伽罗瓦域是有限域的代数闭包。

伽罗瓦域的一个重要性质是它是一个分裂域，即拆解为不可约多项式的根的集合。

二、伽罗瓦域的应用1. 密码学伽罗瓦域在密码学领域中有着广泛的应用。

通过伽罗瓦域的理论，可以构建强大的密码算法，保障数据的安全性。

伽罗瓦域的性质使得它具有很好的随机性和离散性，这些性质使得伽罗瓦域在密码学中成为一个重要的工具。

2. 编码理论伽罗瓦域在编码理论中也有着重要的应用。

通过伽罗瓦域的理论，可以设计出高效的纠错编码和解码算法，有效地提高数据传输的可靠性。

伽罗瓦域的特性使得它能够正确地检测和修复数据传输过程中的错误。

3. 数论伽罗瓦域在数论中起到了至关重要的作用。

通过伽罗瓦域的理论，可以研究数的性质、素数、整数解等问题。

伽罗瓦域的工具和方法在解决数论问题中具有独特的优势，它有效地提高了数论研究的效率。

4. 代数几何伽罗瓦域在代数几何中也有着广泛的应用。

它可以用来研究代数曲线和代数簇等几何对象的性质。

通过伽罗瓦域的理论，可以得到更多关于曲线和簇的信息，从而推动了代数几何的发展。

5. 数量关系伽罗瓦域在数量关系中也有着重要的应用。

通过伽罗瓦域的理论，可以研究数的各种关系和运算。

伽罗瓦域的性质使得它能够描述数的结构和相互关系，从而在数量关系的研究中发挥着重要的作用。

三、伽罗瓦域的重要性伽罗瓦域作为伽罗瓦理论的核心概念，对于数论的研究具有重要的意义。

它不仅扩展了数论的应用领域，而且为解决复杂的数论问题提供了有力的工具和方法。

伽罗瓦域的理论为数学家们在数论研究中开辟了新的道路，推动了数学领域的发展。

阿贝尔-鲁菲尼定理-详解阿贝尔-鲁菲尼定理(Abel - Ruffini theorem)目录• 1 什么是阿贝尔-鲁菲尼定理• 2 阿贝尔-鲁菲尼定理的内容• 3 阿贝尔-鲁菲尼定理的历史• 4 阿贝尔-鲁菲尼定理的现代证明什么是阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。

它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。

这个定理以保罗•鲁菲尼和尼尔斯•阿贝尔命名。

前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。

埃瓦里斯特•伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表阿贝尔-鲁菲尼定理的内容阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。

事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根。

然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。

通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。

例如，任意给定二次方程，它的两个解可以用方程的系数来表示：这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解。

三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。

阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式（求根公式），使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。

或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到。

换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。

这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解。

比如X5− 2 = 0的解就是。

学校代码：10200 学号：1212408014本科毕业论文代数基本定理学生姓名：龚 鹏 指导教师：陈良云 教授 所在学院：数学与统计学院 所学专业：数学与应用数学中国·长春2012年5月摘要本论文主要讲解代数基本定理的复分析证明方法和群论证明方法，主要分为两大部分.部分一主要介绍复分析和复函数的一些基础理论知识，为后面代数基本定理的复分析证明方法奠定基础.部分一分为三节：第一节是复函数和复分析；第二节是柯西-黎曼方程；第三节是保角映射和解析性.部分二主要介绍了运用伽罗瓦理论的知识来证明代数基本定理,使得代数基本定理更简单而且容易理解.部分二主要分为三节：第一节是伽罗瓦理论概述；第二节是有限群理论的一些结论；第三节是伽罗瓦扩张.关键词：柯西-黎曼方程，保角映射，代数基本定理，置换群，伽罗瓦扩张AbstractThis thesis explains the method of the fundamental of algebra,complex analysis to prove that the methods and group theory, divided into two major contents. The content one introduces complex analysis and complex function of the basic theoretical knowledge, to lay the foundation behind the complex analysis of the fundamental theorem of algebra to prove. The content one is divided in three: Section one is the complex functions and analysis; Section two is the Cauchy-Riemann equations; Section three is the conformal mapping and analytic nature. The contents of two main use of the knowledge of the Galois theory to prove the fundamental theorem of algebra, fundamental theorem of algebra is simple and easy to understand. The content two is mainly divided into three: Section one is an overview of the Galois theory; Section two is some of the conclusion of the Galois expansion.Keywords:Cauchy-Riemann equations, Conformal mapping, Fundamental Theory of Algebra, Permutation group,Galois expansion目录摘要1Abstract2目录31 复分析和复函数41.1复函数和分析性41.2柯西-黎曼方程61.3 保角映射和解析性102伽罗瓦定理112.1伽罗瓦理论概述112.2有限群理论的一些结论122.3伽罗瓦扩张15参考文献17致谢171复分析和复函数1.1复函数和分析性本章的最后部分给出代数基本定理的证明仅运用了两个变量的实值函数微积分.然而，证明表明了一个更为普遍的结论，叫做刘维尔定理.从这个结论出发，代数基本定理将是一个很简单的结论.为了解释这种方法，我们必须先介绍复分析，复变函数的基本概念.复函数w=f(z)，函数f: C →C.w ，z ∈C.那么为复变函数的复平面的几何解释，一个复函数是从一个复平面的映射(或变换)到复平面上.若z=x+iy=(x ，y)，w=u+iv ，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)是二元实值函数.所以任何复函数是由两个实质函数构成.w=f(z)=u(z)+v(z)函数u(z)称为f(z)的实部，记为Ref(z);v(z)称为f(z)的虚部，记为Imf(z).f(z)的分析问题很多情况都回归到分析u(x ，y)与v(x ，y).例1.1.1考虑复函数zz f 2)(=，决定于它的实部和虚部.假设z=x+iy ，那么)2()()(2222xy iyx iy x z+-==+.因此Ref(z)=yx 22-，Imf(z)=2xy.若C z∈且0z 的一个开领域记为N ε(0z ) N ε(0z )={}0,||z C z z ε∈-<.一个区域是任意复数集合.区域U C ⊂是开的当且仅当对任意的,0()U z U N z εε∈∃>⊂满足.区域C C ⊂是闭的当且仅当它的补集1c 是开集.等价的说，C 是闭集当且仅当所有的收敛序列}{nCz ⊂都有nz C z→∈.区域U 是有界的当}{;||,U z z r r R ⊂≤∃∈.复数域上一个闭集且有界的区域称为紧凑区域.从高深的微积分中可知，一个实值函数在一个紧凑区域D 上是有界的，且能够取到最大值和最小值.一个开区域U 是连通的当U 中任意的两点能够被有限序列的连结，且这些线段在包含在U 内.现在我们在本质上以单变量实值函数同样的方式定义复函数的极限. 定义1.1.10lim (),z z f z w →=0,ε∀>对0,δ∃>0<当0||z z-,δ<时都有0|()|f z w ε-<.其中0|()|f z w -0||z z -与表示复平面上的距离.所有的对初等微积分，求和，常数适用的极限定理都适用于复函数.实际上，计算极限通常转化为求函数的实部和虚部.引理1.1.1 若f(x)=u(z)+iv(z)则0lim ()lim ()lim ()z z z f z u z i v z z z z →→→=+.例1.1.222()()(2)f z i xy y x =++，求1lim()z if z →+.由引理1.1.1ia +=20.运用极限，我们可以研究连续和可微.定义1.1.2 w=f(z)在z=z是连续的当0lim ()()z f z f z z →=.f(z)在区域U 上是连续的，当f(z)在U上的所有点是连续的.所有关于单变量的实值函数连续性的结论都适用于复函数.更进一步的说，连续性的问题归结于函数的实部和虚部的连续性.引理 1.1.2 f(z)=u(z)+iv(z)在000(,)y x z=是连续的当且仅当实函数u(x ，y)，v(x ，y)在点(,)y x 是连续的.复多项式是通过代数运算建立的，可以看做是f:C C →.且复多项式在C 上是处处连续.因为|nz|→∞当|z|→∞;|f(z)|→∞当|z|→∞.对任意的非常数多项式f(z)[]C z ∈，|f(z)|是连续的实函数且在任意紧凑的区域上有界.现在开始，我们将复多项式看成一个在复数域C 上的多项式函数. 引理1.1.3 f(z)[]C z ∈，则有: (1) f(z)在C 上是连续的.(2) lim |()|z f z →∞=∞当f(z)是非常值函数.(3)|f(z)|在C 中所有紧凑型区域上是有界的.现在我们以定义实函数导数的方式来定义复函数的导数. 定义1.1.3 若f(z)是复函数，那么在C z∈的导数'()f z 是'0000()()()limz f z f zz z fz ∆→+∆-=∆，当极限存在.若'()f z 存在，则f(z)在0z是可微的.若f(z)在区域上的每一个点都可微，则f(z)在区域上是可微的.引理 1.1.4 若01()....nn f z a a a z z =+++[]C z ∈，则在每一个zC ∈存在，且'100012()...2n nfa a n a z z z-=+++.若f(z)[]C z ∈且degf(z)1≥，则'()z f[]C z ∈且deg'()z f=degf(z)-1.若f(z)=0a 是常值函数，则'()z f=0.若y=f(x)是单变量实函数，则0()f x 是表示在0x点的切线的斜率.复导数也能够有几何解释，我们将在1.3进行说明.首先，我们介绍大致思路. 定义1.1.4 w=f(z)在z点是解析的当f(z)在区域()N z ε上是可微的.f(z)在区域U 上是解析的当f(z)在U 中每一个点都是解析的.若f(z)在C 上是解析的，则称f(z)是整函数.从引理1.1.4可知，每一个复多项式都是整函数. 我们以一个函数为例，此函数在0z点复导数存在，但在z处不解析.为了理解这个例子，我们需要先介绍下面的结论.若()()()f z u z iv z =+，则定义f u v i x x x ∂∂∂=+∂∂∂，f u v i y y y∂∂∂=+∂∂∂. 引理1.1.5 若w=f(z)是实值函数，则当'0()fz 存在，有'000()()()f fx yfz z z ∂∂==∂∂. 证明:从定义知'0000()()()limx f z f zz z fz ∆→+∆-=∆，因为f(z)是实值函数，必须有相同的实部，所以f(z)=u(z) 所以'00(,)(,)()limx u x x y u x y u fx x xfz ∆→+∆-∂∂===∆∂∂因为'()f z 存在，所以极限是独立的.沿着一条平行线接近实轴,0z x y ∆=∆∆=，综上所述可知:'00(,)(,)()limx u x x y u x y u fx x xfz ∆→+∆-∂∂===∆∂∂.类似的，沿着一条平行线接近虚轴，可得到'0()f yfz ∂=∂. 例1.1.3 若f(z)=2||z ，'(0)f存在.但是f(z)是在z=0处不解析. 若00z =，f(z)=2||z ，2000()()limlim0||z z f z f zzz z z ∆→∆→+∆-==∆∆∆.因此，'(0)f存在，且'(0)f=0.但是f(z)在z=0处不解析.若z=x+iy ，222||yz x=+.若'()f z 存在，则由引理4.1.5可知:'00()()()22ffx y f yxz z z ∂∂====∂∂这导数存在仅仅在y=x 这条线上，所以不存在(0)N ε满足f(z)在(0)N ε上可微.所以f(z)=2||z 在z=0处不解析.在下一部分，我们将给出f(z)=2||z 仅在z=0处是连续的.1.2柯西-黎曼方程若f(z)=u(z)+iv(z)在z处可微，则'000000()()(()())()limz u z iv z u iv zz z z z fz ∆→+∆++∆-+=∆由于极限存在，让z ∆以平行于实轴方向靠近0，这种情况下，'00000(,)(,)((,)(,))()limx ou x iv x u iv xy y y y x x x x f z ∆→+∆++∆-+=∆=000(,)(,)limx ou x u xy y x x ∆→+∆-∆+000(,)(,)limx ov x v i xy y x x ∆→+∆-∆=00()()u vi x yz z ∂∂+∂∂ 让z ∆以平行于虚轴方向去靠近0，在这种情况下，'00000(,)(,)((,)(,))()limy ou y iv y u iv i yy y y y x x x x f z ∆→+∆++∆-+=∆=000(,)(,)limy ou y u i yy y x x ∆→+∆-∆+000(,)(,)limy ov y v i i yy y x x ∆→+∆-∆=00()()v ui y yz z ∂∂-∂∂ 因为导数存在，这两个表达式必须相等，因此在z点我们有:u v x y ∂∂=∂∂，v u xy ∂∂=-∂∂这些关系我们称为柯西-黎曼方程.定义1.2.1 u(x ，y) v(x ，y)满足柯西-黎曼方程如果u v x y ∂∂=∂∂，v uxy ∂∂=-∂∂.定理1.2.1 若f(z)=u(z)+iv(z)在z可微，则u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂在0z 处存在且满足柯西-黎曼方程，即'000()()()u v i x x fz z z ∂∂=+∂∂=00()()v ui y yz z ∂∂-∂∂ 更一般地，若f(z)在区域U 上是解析的，则它的实部和虚部在U 上必须满足柯西-黎曼方程.若f(z)=u(z)+iv(z)，且u(z)，v(z)在Ｕ上连续且满足柯西-黎曼方程，则f(z)在U 上是解析的.下面将给出证明.0U z ∈，我们必须证明()f z ＇存在.考虑:00000()()(()())limz u z iv z u iv zz z z z ∆→+∆++∆-+∆=000limlim lim z z z u i v u vi zz z ∆→∆→∆→∆+∆∆∆=+∆∆∆因为u(x ，y)，v(x ，y)在(00,y x )偏导连续，有12u uu x y x y x yεε∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂和34v vv x y x y x yεε∂∂∆=∆+∆+∆+∆∂∂.所以，运用柯西-黎曼方程有:12001limlim (()())z z u i v u vx i y i x i y x y z z x xδδ∆→∆→∆+∆∂∂=∆+∆+∆+∆+∆+∆∆∆∂∂ 现在z x i y∆=∆+∆则上式成为120lim ()z u v x yi x x z zδδ∆→∂∂∆∆+++∂∂∆∆其中有12,00z δδ→∆→当.||||x z ∆≤∆，||||y z ∆≤∆||1xz∆∴≤∆||1y z ∆≤∆.因此'()()()u vi x x f z z z ∂∂=+∂∂，故f(z)在,u v v ux y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂处可微. 定理1.2.2 (1)若f(z)=u(z)+iv(z)，若'()f z 在000(,)y x z =处存在，则u(x ，y) v(x ，y)在00(,)y x 必须满足柯西-黎曼方程.(2)若f(z)=u(z)+iv(z)，若u(x ，y) v(x ，y) 在000(,)y x z =连续，且满足柯西-黎曼方程，则'()f z 存在，即f(z)在z处可微.推论1.2.1 假若f(z)=u(z)+iv(z)，u(x ，y) v(x ，y)在U ⊂C 上连续，则f(z)在U 上是解析的当且仅当u ，v 满足柯西-黎曼方程.例 1.2.1()cos sin x x f z e y ie y =+，则f(z)在C 处是解析的且有'()()z f z f=.u(x ，y)=cos x e y v(x ，y)=sin x e y 是连续可微的双变量实函数.因此，为了表明f(z)是解析的，我们必须验证它们满足柯西-黎曼方程.cos x u e y x ∂=∂，sin x u e y y ∂=-∂，sin x v e y x ∂=-∂，cos x ve y y∂=∂. 故,u v v u x y x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂对所有C 中的点均满足此等式.所以f(z)在C 上是解析的，即'()u v z i x xf∂∂=+=∂∂cos sin ()x xe y ie yf z += 以上例子中的函数是复指数函数()z f z e =.若z=x+iy ，则z x iye e+=所以(cos sin )z x iy x e e e e y i y ==+=cos sin x x e y e i y +.由欧拉方程和以上的例子可知:若f(z)=ze ，则'()z x e f=满足指数函数的结论.例1.2.2 运用柯西-黎曼方程证明f(z)=2z在C 上解析且'()2z z f=.若z=x+iy ，则f(z)=222()y x z=-+i(2xy).u(x ，y)=22y x-，v(x ，y)=2xy 计算偏导数得:2,2,2,2u u v v x y y x x y x y∂∂∂∂==-==∂∂∂∂ 很显然，u(x ，y) v(x ，y)在C 上是连续的且满足柯西-黎曼方程，所以'()2(2)2()2u vz i x i y x iy z x xf∂∂=+=+=+=∂∂. 推论1.2.2 (1)唯一的实值解析函数是常值函数. (2)若'f=0在区域U 上均满足，则f(z)是常值函数.证明:(1)f(z)是实值函数，则f(z)=u(z)且v(z)=0.若f(z)是解析的，则满足柯西-黎曼方程，所以0,0u v v u x y x y ∂∂∂∂===-=∂∂∂∂.因此，0u ux y∂∂==∂∂，故f(z)是常值函数. (2)若'0f=，则'0u v v ui i x x y yf∂∂∂∂=+=-=∂∂∂∂.意味着0u v v u x x y y ∂∂∂∂====∂∂∂∂.因此u(x ，y)，v(x ，y)是常值函数.例1.1.2中2()||f z z =在z=0处可导但不解析.从这个结果可以看出它不能在任一处解析，因为它是实值函数且不是常值函数.定义 1.2.2 实值函数u(x ，y)是调和函数当存在二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程22220u vx y∂∂+=∂∂. 引理1.2.1 若f(z)=u(z)+iv(z)是解析函数，则u(x ，y)，v(x ，y)是调和函数. 证明:若f(z)是解析的，则它必须满足柯西-黎曼方程:u v x y ∂∂=∂∂，v uxy ∂∂=-∂∂.又因为二阶偏导连续，偏微分可交换，故222222u v v u x x y y x y ∂∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂，因此2'223()33v x x y g y x ∂=-+=-+∂2222u u x y∂∂=-∂∂，22220u ux y∂∂+=∂∂.所以u(x ，y)是调和函数.同理可证v(x ，y)是调和函数.由引理的上下文，u ，v 被称为共轭调和函数.例1.1.3u(x ，y)=323y y x -是共轭调和函数，找到它的共轭调和函数v(x ，y)满足f(z)=u+iv 是解析的.226,33u u xy x yy x ∂∂=-=-∂∂，所以22226,6u u y y x y ∂∂=-=∂∂ 故22220u u x y ∂∂+=∂∂.u(x ，y)是调和的，假设v(x ，y)是共轭调和函数，由柯西-黎曼方程u v x y ∂∂=∂∂，v u x y ∂∂=-∂∂.得u vx y∂∂=∂∂=-6xy ，2(,)3()v x y x g x y ∴=-+，其中g(x)是关于x 的函数.2'223()33v x xy g y x ∂=-+=-+∂. 表明2π'2()3x g x=3()g x xc ∴=+任意常数均满足，不妨取c=023(,)3v x y yx x∴=-是u(x ，y)的共轭调和函数.3223()()()33f z i y yy x x x ∴=-+-是解析的.1.3 保角映射和解析性从初等微积分可知导数'()g x 是单变量可微实值函数y=g(x)曲线在点(00,()g x x )切线的斜率.因此给出了几何意义:首先它表明了曲线移动的方向，角度.第二，它的大小是曲线改变的瞬时速率.复导数和解析性也有几何解释，我们现在来讨论.定义1.3.1 曲线γ是连续函数:[,]a b C γ→，()()()t x t iy t γ=+其中x(t) 和y(t)是实函数，定义域是区间[a ，b].若x(t)，y(t)在t可微，则γ在0t是可微曲线，且'''000()()()y t x t i t γ=+.曲线是可微的当对所有的t [,]a b ∈，()t γ可微.一条曲线连续可微当它是可微的并且导数在[a ，b]上连续.曲线()t γ在0t 处是正则的当'0()0t γ≠.()t γ在正则点0t 的方向是Arg '0()t γ.一般的，一条正则曲线是指它所有的点都是正则的.例1.3.1 曲线()cos sin it t r t ir t re γ=+=02t π≤≤表示一个以半径为r 圆心在原点的圆.导数'()sin cos t r t ir t γ=-+从不为零，所以()t γ是正则曲线.在t=0，'(0)ir γ=是纯虚数，角度是2π. 更一般地，以0z为心r 为半径的圆表示为:0()it t re zγ=+02t π≤≤.若12γγ和是C 中两条曲线t 1212()()t t γγ=且12γγ和在12t t分别是正则的，则角从12γγ到是''2121A ()A ()rgrg t t γγ-．若γ是曲线u C ⊂ F:u C →则Fγ仍是一条曲线.若F 有一个复导数且γ是可微的，则'()()Ft γ=''(())()t t F γγ.若γ在t处是正则的，且'(())tF γ0≠，则F γ在0t处是正则的.定义 1.3.2 若u C ⊂且F:u C →，则F 是保形的，Uz∈若对任意曲线γ在0t 处正则0()t γ=0z ，'0()f z F γ在0t 是正则的且F 在0z 处保留角度.保留角度意味着若1()t γ，2()t γ是两个曲线，11()t γ=22()t γ=0z，则角度从12γγ到在z处是等于角度1Fγ到2Fγ在0()F z 处.若F 在u 上是保角的，则称为保角映射.定理1.3.1 (1)一个连续复函数f(z)在0U C z∈⊂有两个非零复导数，则f(z)在0z 是保角的.(2)f(z)是连续的，在z处是保角的且偏导存在并在0z 处连续，则'()f z 存在且不为零.证明:我们证明第一部分，第二部分留作联系. 若f(z)是连续复函数且在z处导数不为零，则f 在z处是保角的.若12γγ和是两个正则曲线，11()t γ=22()t γ=0z，'0()0f z ≠1f γ和2fγ在1t 和2t是正则的，角度从1fγ到2fγ在0()f z 是Arg('2()2()ft γ)'1(())2()Arg ft γ-＝''2222((())())Arg ft t γγ''1111((())())Arg f t t γγ-z.w C∈有Arg(zw)=Argz+Argw 故原式=''2222((()))(())Arg Arg ft t γγ+''1111((()))(())Arg Arg f t t γγ--然而22()t γ=11()t γ，''2121(())(())Arg Arg t t γγ∴=-原式角度从12γγ到.因此，f(z)在z处是保角变换.推论1.3.3 一个连续复函数f(z)，所有导数存在且连续，则f(z)在U 上是保形映射当且仅当f(z)在U 上是解析的，且f(z)≠0，z U ∈. 定义1.3.3 若f:U C →0U z ∈ M 0≥，若000|()()|limz f z f zz z ∆→+∆-∆=M ，则称f(z)在0z 处的倍率是M.定理1.3.2 (1)f(z)在z处可微，则f(z)在z处的倍率是|'()f z |.(2)U C ⊂，f(z)是连续函数.若0,0U M z ∈≥，f(z)在0z 的倍率为M ，若在0z 处所有偏导数存在且连续，f γ是在0t 可微，对任意γ在0t 可微，0()t zγ=，则要么f(z)在0z 处可微，要么_()f z 在z处可微.例1.3.2 f(z)=ze 证明它是C 上的保形变换. f(z)=ze ='()0z f≠cos sin x x e y ie y +在C 上是不为零，由前面的例子可知'()z z e f=.故'()0z f≠.因此由定理1.3.2知f(z)是保形的.2伽罗瓦定理2.1伽罗瓦理论概述在最后一章我们给出代数基本定理的代数证明.这依靠于我们总能够为给定的多项式构造出分裂域，奇次实多项式有实根且复数总有平方根，这表明了任意二次多项式在C 上是可解的.在本章我们给的最后的证明涉和到更一般的伽罗瓦理论的观点.伽罗瓦理论是解决关系代数理论领域，理论方程和有限群理论的数学分支.大部分伽罗瓦理论的创立涉和到域的代数扩张也将在最后一章中介绍.这一理论被伽罗瓦于1830年在他的研究关于五次多项式自由基可解变形中介绍.结果被鲁非尼和阿贝尔分别独立的证实了.伽罗瓦是第一个看到域的扩张和置换群之间的密切联系.在这种情况下，他开创了有限群的研究.他是第一个用群作为抽象概念的人.尽管他的解释仅仅是对一个置换群形成的封闭集合.伽罗瓦发展的这个方法不仅仅促进了五次多项式求根的证明和更高阶的，而且导致其它方面的运用，也形成了一个更大的理论.在本章，我们仅仅解释与代数基本定理有关的部分理论.伽罗瓦理论的主要想法是与某一代数域的延伸我们称为伽罗瓦扩张，群称为伽罗瓦群之间有联系.域的扩张的性质将延伸到群的性质，这些很容易验证.因此，例如通过自由基的可解性能够被转化到群上的性质被称之为群的可解性，这表明了每一个五次或者更高的存在一个域扩张，它的伽罗瓦群没有这个性质表明了在可解性上不存在一般的公式.关于方程的理论如下:若f(x)=0是在域F 上的多项式方程，我们能够形成一个分裂域K.这也是一个伽罗瓦扩张，因此形成一个伽罗瓦群.同理，群的性质将反映了方程的性质.伽罗瓦理论在部分上决定于有限群的理论，且在下一章我们将从这一章复习一些基本结论.在2.3节，我们介绍伽罗瓦扩张的正规分离性质.在后面的章节中介绍伽罗瓦群和它的结构.我们将在伽罗瓦基本定理中总结所有的结论.伽罗瓦基本定理描述了伽罗瓦群和伽罗瓦扩张二者之间的相互作用影响.在2.6节中，我们将给出第四种代数基本定理的证明方法.最后，我们通过给出两种伽罗瓦理论的运用来结束本章.第一个是描述五次多项式不存在根公式.另一个是讨论了几何法则，指南针结构和它们的代数解释.因为我们主要的目的是迅速得到伽罗瓦理论的主要结果且给出代数基本定理的第四种证明，很多复杂的证明将被省略.2.2有限群理论的一些结论本章我们复习了一些有限群理论的基本结论.群G 是拥有如下二元运算的一个集合: (1)运算是相关联的.(2)对二元运算存在一个单位元. (3)每一个g 对于二元运算都存在逆元.若运算是可交换的，则称群G 是交换群.G 中元素的个数称为G 的阶，记做/G/.若/G/<∞，则称G 为有限群.,H H G ⊂≠∅若且同G 一样满足运算，则称H 为G 的子群.等价地，H 是一个子群当H ≠∅且 H 在运算下封闭且存在逆.我们在6.4节中表明群常出现在可逆的集合到其自身的映射中.这种映射我们称之为置换.n 个元素的集合的全体置换群称为n 元对称群，记做nS .由一个群置换的变化我们得到同构群.若R 和S 是代数结构(群，环，域，向量空间等等)，则映射:F R S →是一个同态当F 保留了代数运算.即:(1)1212()()()f f f r r r r =当R ，S 是群. (2)1212()()()f f f r r r r =++且1212()()()f f f r r r r =当R ，S 是环或域.(3)1212()()()f f f r r r r =++且11()()f c cf r r =其中c 是域中的元素，R 是向量空间. 一个同态:F R S →是双射，则F 称为同构映射.定义2.2.1 若R 是一个代数结构，则R 的自同构是:R R σ→.我们用Aut(R)表示R 上的自同构映射的集合，称为自同构群.例2.2.1 G 是循环群，|G|=n.若g 是生成元，则G=21{1,,.....,}n g g g - 若(k ，n)=1则kg 也是一个生成元.映射:kg gσ→将定义一个G 的自同构通过构造一个同态.更进一步地说，对任意自同构映射1:g gσ→，其中1g是生成元.因此Aut(G)={;:(,)1}kg k n gσσ→=.|Aut(G)|=()n φ且()n φ<n 并取决于n.例2.2.2考虑复数C.σ是C 的一个自同构，对这样的自同构必须满足σ(0)=0 σ(1)=1σ(-1)=-1 因此p x z ∈2()i σ21(())i σ==-所以σ(i)=±i.因为1，i 是C 的基本部分，所以1，i 的象决定了一个自同构.因此恰恰有两个C 的自同构:1:11,i iσ→→2:11,i i σ→→-例2.2.3 考虑有限群pz，p 是一个素数，则pz={0，1，….，p －1}用模p 的算术运算.σ是一个自同构(1)1,()n n σσ==.故()x x σ=对所有px z∈，因此在pz上唯一的自同构是其本身，所以它的自同构群是平凡的.定理2.2.1 对任意代数结构R ，自同构Aut(R)形成了一个群，称为R 的自同构群.若S R ⊂ 且自同构映射()Aut R σ∈满足S ，即(),s s s S σ=∀∈形成一个子群. 例2.2.4p 是一个素数，G 是p 阶循环群，则Aut(G)是p －1阶的循环群. 由上一个例子知pZ是一个有限域，|pZ |=p.它的加法群是循环的，阶为p 且在同构映射1g →下同构于G ，其中g 是G 的生成元.因为pZ是一个域，它的非零元素构成了一个乘法群，我们称此群为U.从例2.2.1知任意G 的自同构取决于生成元的象:kg g σ→其中(k ，p)=1 :1k σ→其中0k ≠.现在我们解释U 是循环的.|U|=p －1，所以1p y-=1对任意的y 属于U.假设m 是U 中所有元素的最大阶，所以有1m p ≤-.若y U ∈阶为p ，则q/m.所以若m 1,1q y y ==则.对,1my U y ∀∈=.故每一个y U ∈是多项式P(x)=1m x -的根.这个多项式在一个域上，因此它至多有m 个根，然而它至少有p －1个根，所以1m p ≥-且U 有一个阶为p －1的元素并且U 是循环群.现在我们将讨论有限群的子群结构.若G 是一个，H 是G 的一个子群，若gH={gh;h ∈H}，称gH 为H 的一个左陪集.同理，Hg={hg;h H ∈}.Hg 称为H 的一个右陪集.在群G 中子群H 的所有左陪集(右陪集)组成的集合是G 的一个划分.群G 关于子群H 的左右陪集数相同.群G 关于子群H 的左陪集数称为H 在G 中的指数，记为/G:H/.运用这个想法于有限群中，我们能得到拉格朗日定理.定理2.2.2 (拉格朗日定理)在有限群G 的任一个子群H 的阶必为群G 的阶的因子.更精确的说，我们有|G|=|G||G:H|.例2.2.1 每一个有限的素数阶群一定是循环群.证明:设群G 的阶位素数p.于是G 中有非单位元a.由于|a|/p.因此|a|=p ，于是G=a .定义2.2.2 群H G ⊂是子群，g G ∈，则1H g g -形成的一个子群称为H 的共轭子群.若g 使H 正规化即1H g g -=H.所有能使H 正规化的元素的集合记为()G H N .若g G ∀∈都能使H 正规化，则H是一个正规子群，用H G ∆表示.注明:若H G ∆，则1H g g -=H ，表明Hg=gH.换言之，左陪集等同于右陪集.我们用下面两个引理概括一些关于共轭，正规化和正规子群的性质. 引理2.2.1 以下几个命题等价: (1)H G ∆(2)H 的所有共轭子群等于H.(3)G 中关于H 的每一个左陪集也是一个右陪集. (4)()GH N =H引理2.2.2 H G ⊂是一个子群，则 (1) H 的任何共轭子群都同构于H.(2)()GH N是G 的子群，且H ∆()GH N.例2.2.6 在交换群G 中，每一个子群H 都是正规子群，因为11()H H H g g g g --==例2.2.7 若|G:H|=2，则有H G ∆.设g ∉H ，则有两个左陪集H ， gH.所以G=H gH ⋃，且H gH ⋂=∅.同理有两个左陪集G=H Hg ⋃且H Hg ⋂=∅，故Hg=gH 或1H H g g -=，所以H G ∆.引理2.2.3 若H G ∆，则G/H 形成一个群称之为群G 模正规子群H 的商群. 正规子群和商群之间被同态映射紧密联系起来.定义 2.2.3 若f:G H →是同态，则f 的核记为kerf={g G ∈;f(g)=1}.f 的象集记为Imf={/(),}h H f g h ∈=∀∈对g G .定理2.2.3 (群同态基本定理)(1)设'G G σ→是的一个同态，则同态象同构于商群G /ker σ，即G /ker Im σσ≅.(2)若H G ∆，则存在一个同态:/f G G H →满足kerf=H 且Imf=G/H.最后为了证明代数基本定理，我们需要了解一些关于p-群和p-子群的理论，其中p 为素数. 定义2.2.4 若p 为素数，群G 中每一个元素的阶为p ，则称为p-群.若G 是有限的，表明|G|=np对某一n.引理2.2.4 若G 是有限阶为np的p-群，则G 有一个子群阶为1n p-且指数为p.定义2.2.5 若G 是有限群，|G|=mp α.其中p 为素数且(p ，α)=1.则p-Sylow 子群是阶为mp子群.定理2.2.4 G 是有限群，阶为mp α，其中p 是素数且(p ，α)=1，则:(1) G 有一个p-Sylow 子群.(2) 所有p-Sylow 子群在G 中共轭.(3) 任意G 的p-子群包含于一个p-Sylow 子群中. (4) p-Sylow 子群数r 模p 同余于1，并且r 是α的因子.2.3伽罗瓦扩张伽罗瓦定理解决了某些特殊类型的有限代数扩张.特别地，我们需要两个性质正规性和分离性.正规性是较简单的，所以我们首先讨论它.本章剩余的部分将讨论有限扩张. 定义2.3.1 K 是域F 上的正规扩张，当K 是在域F 上的分裂域. 有一些关于扩张的事实对我们是至关重要的，将在下面的定理中给出.定理2.3.1 若K 是F 的正规扩张且F E K F -⊂⊂⊂，其中F -是域F 的闭包，则： （1）F[x]中每一个不可约多项式在Ｋ上有根.（2）K 是E 的正规扩张.另一个重要性质是可分性，这关系到根的重数.定义2.3.2 若α是f(x)的根,且α的重数m ≥1.当()()()m f x x gx α=-，其中0()g α≠.若m=1,则α是单根,否则α是重根.现在假设K 是F 的有限扩张，且K α∈，则α是在F 上可分的当α是Irr(α,F)的单根.Ｋ是可分扩张若每一个K α∈在F 上是可分的.在F 的可分扩张中，若F α∉，则α不是不可约多项式的重根.尽管可分性是伽罗瓦扩张的本质性质，但是它在代数基本定理中并不占据着主要地位，因为我们研究的领域是有理数，实数和复数的扩张，所有的域特征为零，使得任何扩张都是可分的. 定义2.3.3 域F 上的特征为n 若在F 上n 是最小正整数使得(n)(1)=0,我们用charF=n 表示.若不存在n 满足(n)(1)=0,则F 的特征为0，我们用charF=0表示.例2.3.1charQ=charR=charC=0且它们的任何扩张特征均为零.另一方面,char pZ =p,则任何pZ 的扩张特征为p.下面我们给出简单的关于特征的事实.引理2.3.1 任何一个域的特征要么是零要么是素数.证明：设0charF n =≠.假设n 是可约的,则n=mk,m<n 且k<n,那么(n)(1)=(mk)(1)=((m)(1))((k)(1))=0.所以(m)(1)=0或(k)(1)=0与char=n,n 是最小正整数使(n)(1)=0矛盾.所以假设不成立.故n 是素数. 引理2.3.2 若charF=0则F 包含一个子域同构于Q.若charF=p,则F 包含一个子域同构于pZ .特别的，特征为零的域必是无限的.定理2.3.2 任何特征为零的域扩张必是可分扩张.事实上，任何一个有限域扩张是可分的，所以唯一不理想的情形是特征为p 的无限域扩张.更重要的是Q ，R 和C 的扩张是可分的.定理2.3.3 若K 是F 的有限可分扩张，则K 限制在F 上的自同构数是有限的且等于 |K:F|.定理2.3.4 若K 是F 的一个有限可分扩张，则K 是单扩张.即K=F （α），对某一αK ∈. 证明:因为K 是有限扩张,K=121(,,....,),...nnF K ααααα∈.若K=F （,αβ），则K=F （γ）K γ∃∈.n=|K:F|.由定理 2.3.3有n 个自同构12,,....,n σσσ,K/F形成多项式P(x)=(()()()())iijj i jx x αβαβπσσσσ≠+--这是非零多项式,且存在c K ∈,P(c)0≠.则元素()ic αβσ+是清楚的，则(,)F αβ是在F 上是n 次.因此F （,αβ）=()F c αβ+.若K=F （α），则α称为K 在F 上的本原元素.定义2.3.4 F 上的伽罗瓦扩张是一个有限可分的正规扩张，即为一个F 上的有限可分的分裂域.注意到若charF=0，则伽罗瓦是一个在F 上有限扩张分裂域.参考文献[1] 丘维声.抽象代数基础,高等教育出版社,2003[2] 钟玉泉.复变函数论,高等教育出版社,2004[3] 本杰明,杰哈德.代数基本定理,清华大学出版社,2009[4] 聂灵沼,丁石孙.代数学引论.北京:高等教育出版社,2000[5] 赵春来,徐明耀.抽象代数.北京大学出版社,2004[6] Hungerford T.W.代数学.冯克勤译,聂灵沼校.长沙:湖南教育出版社,1985致谢这次论文能够顺利完工，首先要感谢指导老师的在百忙之中对我的悉心指导，耐心讲解知识点，也指明了适合自己的论文方向.在论文的修改上老师尽职尽责，提出了很多宝贵的修改意见.其次，我要感谢和我一起做论文的同学们，因为跟他们一起讨论，对论文也有了自己的想法.最后，我感谢在论文期间一直都支持的我的朋友们！东北师范大学本科生毕业论文评语学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：龚鹏学号： 1212408014 毕业论文题目：代数基本定理。

根式解代数方程问题与Gal ois 理论定义1：设F 是特征0域，()[]f x F x ∈是一个n 次多项式，设E 是F 上()f x 的分裂域，若存在F 上的扩域链()()()1112223s s F F F F F F F K θθθ=⊆=⊆=⊆⊆=其中i n i i i d F θ=∈，i n 是自然数，1i s ≤≤，且E K ⊆，则称()f x 可用根式解。

并称K 为F 的根式扩域。

注1：F 的根式扩域K 一般不是F 的正规扩域，然而可以证明， F 的含K 的最小正规扩域K 也是F 的根式扩域。

这样，不失一般性，可以假定定义1中的根式扩域K 是F 的正规扩域。

注2：对于定义1中的每一个单根式扩张()1i i i F F θ+=，i n i i i d F θ=∈，若次数i n 是一个合数,1,1i n rs r s =>>，则在i F 和1i F +之间插入中间域()r i i L F θ=，使得1i i F L F +⊆⊆为一个根式扩张链，且[]:i L F s =，[]1:i F L r +=。

因此可以假定，定义1中的i n 均为素数。

定义2：设F 是特征0域，域F 上的n 次一般方程是指下列方程12120n n n n x t x t x t --++++=其中1,,n t t 是F 上的独立未定元，即代数无关元。

实际上，()11n n n f x x t x t -=+++ 并不是F 上的多项式，而是n 元多项式环[]1,,n R F t t = 上的多项式。

域F 上的n 次一般方程是否有公式解的问题，就转化为要确定()f x 在R 的有理分式域()1,,n F t t 上的分裂域E 是否能包含在一个()1,,n F t t 的根式扩域中。

可以证明，()()1,,n n Gal E F t t S ≅ 。

下面讨论3次和4次一般方程的根式解。

假设基域为特征0域。

例1：()32123f x x t x t x t =+++解：令13tx y =-，()13t f y g y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3y py q ++，其中2123t p t =-+，()311231292727q t t t t =-+，p 与q 在F 上代数无关。

一、整除理论 1．证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

2．设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

证明：设不然，n 1 = n 2n 3，n 2 p ，n 3 p ，于是n = pn 2n 3 p 3， 即p3n ，矛盾。

3．设3a 2b 2，证明：3a 且3b 。

写a = 3q 1 r 1，b = 3q 2r 2，r 1, r 2 = 0, 1或2，由3a 2b 2= 3Q r 12r 22知r 1 = r 2 = 0，即 3a 且3b4．证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

设给定的n 个整数为a 1, a 2, L, a n ，作 s 1 = a 1，s 2 = a 1 a 2，L ，s n = a 1 a 2 L a n ，如果s i 中有一个被n 整除，则结论已真，否则存在s i ，s j ，i < j ， 使得s i 与s j 被n 除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1 L a j5．设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a因为，故只须证明(a , b , c )(ab , bc , ca ) = (a , b )(b , c ) (c ,a )，此式用类似于例3的方法即可得证。

6．设k 是正奇数，证明：1 2 …… 91k 2k …… 9k。

设s = 1k2kL 9k，则由2s = (1k9k) (2k8k) L (9k1k) = 10q 1及2s = (0k9k) (1k8k) L (9k0k) = 9q 2得102s 和92s ，于是有902s ，从而1 2 L 9 =45s7．设a ，b 是正整数，证明：(ab )[a , b ] = a [b , ab ]。