下载文档原格式
有限域多项式乘法
在有限域上进行多项式乘法涉及到两个主要问题：多项式系数在有限域上的取值和多项式乘法的实现。
首先，对于一个有限域$GF(q)$，多项式系数的取值范围仅为$0,1,\ldots,q-1$，因此在进行多项式乘法时，需要将每个系数限制在这个范围内。
同时，由于有限域上的加法和乘法运算具有特殊性质，因此需要使用相应的算法来实现多项式乘法。
一个简单的多项式乘法算法是“朴素算法”，即按照多项式乘法的定义进行乘法，然后将同次幂的项相加。
但这种算法的时间复杂度为$O(n^2)$，在多项式次数很高时效率较低。
更高效的多项式乘法算法包括FFT算法和NTT算法，它们的时间复杂度为$O(n\log_2 n)$，其中$n$为多项式次数。
这些算法利用了有限域上的特殊性质，通过将多项式转换为点值形式来加速多项式乘法。
因此，在进行有限域多项式乘法时，需要注意多项式系数的取值范围，并选择适当的算法以提高计算效率。
实验二：有限域GF28上的加减乘除运算实现
2、任选两个多项式进行四则运算：
代码如下：
/*本实验需要解决的几个问题：
1、用什么方法存储多项式最好
我用的是向量来储存多项式，比如：
ployn temp ;
temp.push_back(make_pair(1,0));
说明多项式temp 中只有一项，为x^0，
如果再执行temp.push_back(make_pair(1,4));
则多项式temp 变为x^0+x^4
make_pair中第一个元素是系数，第二个是次数
2、怎么生生成域
用递归生成，我们知道成域GFpn会有2的n 次方个元素，只要能求出2的n-1个，就可以求出2的n个
因为当为n 时，n-1中的每一个多项式添加一个x^n次方就可以了。
3、实现四则运算，尤其是在乘法和除法时，还有一个模运算的
因为是在二维的情形下啊的，所以实验中的加法减法的答案是同一个，
至于乘法，乘出来的多项式的次数每循环一次都会减小至少1，所以最终会小于8的。
有限域上的多项式理论有限域上的多项式理论在代数学中，有限域是一种特殊的数学结构，它具有有限个元素的特性。
有限域的研究在代数理论和密码学等领域起到了重要的作用。
本文将探讨有限域上的多项式理论。
一、有限域的定义有限域是一个由有限个元素构成的域。
域是一个满足一定性质的数学结构，具有加法和乘法两种运算，并满足一系列的公理。
有限域在代数学中具有重要的地位，它的性质与无限域有很大的差别。
二、有限域上的多项式运算在有限域上，多项式的定义和运算也有所不同。
在有限域上，多项式的系数和指数都必须来自有限域中的元素。
多项式的加法和乘法运算也需要根据有限域的特性进行定义。
有限域上的多项式运算是有限域理论中的重要内容。
三、有限域上的多项式方程在有限域上，多项式方程的性质与实数域或复数域上的多项式方程有所不同。
有限域上的多项式方程通常具有非常特殊的性质，这也是有限域理论的研究重点之一。
通过研究有限域上的多项式方程，人们可以得到一些关于有限域性质的重要结论。
四、有限域在密码学中的应用有限域在密码学中有广泛的应用。
在密码学中，有限域上的多项式理论可以用来设计和分析密码算法。
例如，有限域上的多项式运算可用于实现循环冗余校验（CRC）码，这是一种常用的差错检测技术。
此外，有限域上的多项式方程还可用于设计与解密很难破解的密码系统。
五、有限域的应用领域除了密码学，有限域在其他领域也有广泛的应用。
例如，在编码理论中，有限域上的多项式运算可以用于设计纠错码和编码方案。
在代数几何中，有限域上的多项式方程被广泛用于研究曲线和曲面的性质。
六、有限域上的多项式理论的发展历程有限域上的多项式理论的研究可以追溯到19世纪末，当时数学家对有限域的性质进行了初步的研究。
随着代数学的发展和计算机技术的进步，有限域上的多项式理论得到了更深入的研究和应用。
七、有限域上的多项式理论的未来发展有限域上的多项式理论在代数学和相关领域中扮演着重要的角色，其未来发展仍有很大的潜力。
有限域多项式除法
有限域上的多项式除法是指在有限域上的两个多项式的相除运算，其计算过程与实数域上的多项式除法类似，但存在一些特殊情况。
在有限域上进行多项式除法时，必须先确定一个有限域的特定特性，例如模运算的特殊规则。
具体的操作步骤如下：
1. 对被除式和除式进行归纳整理，使其次数以及所有项的指数都符合有限域的规定。
2. 确定一个有限域的特定特性（例如模运算的规则），以此作为除法运算的规则。
3. 将被除式和除式中的项依据特定特性进行运算，得到商式的每一项系数。
4. 将商式的每一项系数依次带入被除式中，计算得到一个中间结果。
5. 通过重复步骤4，将中间结果减去当前项的积，并将结果作为下一次计算的被减数。
6. 重复步骤4和5，直到所有项都被计算完毕。
7. 将每一次计算得到的中间结果放在一起，得到最终的商式。
需要注意的是，在有限域上进行多项式除法时，模数必须是一个不可约多项式（即不能再进行因式分解的多项式）。
如果模数不是不可约多项式，则运算结果可能不准确。
有限域GF（2n）运算在研究的数字电路系统中，如加解密算法、信道编码和数字信号处理等领域会涉及近似代数的相关理论，如群伦、Galois域等基础知识。
同时我们引入概念，域。
一个域是一组元素的集合，它可以在集合中完成加减乘除等四则运算。
加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。
给定一个集合G，在其上定于了一个二元运算*。
交换：对于G中任意的元素a和b，满足a*b=b*a，则G称为交换群（Abel群）结合：二元运算*具有结合性，即对任何a,b,c属于G，a*(b*c)=(a*b)*c.分配：对于F域中任意三个元素a,b,c，有a*(b+c)=a*b+a*c;域中元素的个数称为域的阶（order），此时该域的阶为3.有限域多项式：GF(2)=x^6+x^4+x^2+x+1等价于比特串01010111，即16进制表示的57。
1、有限域加法多项式之和等于先对具有相同x次幂的系数求和，然后各项再相加。
而各系数求和是在域F中进行的；c(x)=a(x)+b(x) 等价于ci=ai+bi2、有限域乘法多项式乘法关于多项式加法满足结合律、交换律和分配律。
单元元素为x0项的系数等于1和0次多项式。
为使乘法运算在F域上具有封闭性，选取一个1次多项式m(x),当多项式a （x）和b(x)的乘积定义为模多项式m(x)下的多项式乘积：C(x)=a(x).b(x)等价于c(x)恒=a(x)*b(x) (mod m(x))二进制域GF（2）在编码理论扮演重要的角色，而在数字计算机和数据传输或是存储系统中同样得到了普遍的运用。
在多项式表达中，有限域2^8内的乘法就是乘法所得到的结果经一个不可约简的8次二进制多项式取模后的结果。
不可约简的多项式是指多项式除了它本身和1以外没有其他的因式。
Rijndael中这个多项式被命名为m（x），定义如下：m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '01' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' = （b6b5b4b3b2b1b00）+(000b7b70b7b7)(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '03' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）* '01'+ (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02'记为xtime（）。
有限域上因式分解及应用有限域是一个包含有限个元素的数学结构。
它是一种重要的代数结构，在密码学、编码理论、数字信号处理等领域有广泛应用。
在有限域上，整除关系和因式分解与我们熟知的自然数域上的情况有很多不同。
本文将介绍有限域上的因式分解及其应用。
一、有限域上的整除关系在自然数域上，可以使用除法算法判断整除关系。
但是，有限域Q(p)上，除法算法并不存在。
为了描述有限域上的整除关系，我们需要定义模运算。
有限域Q(p) 上，模运算记作a \pmod p。
定义如下：对于任意整数a，比p 小的最大非负整数n，我们可以写成a-qp，其中q 是整数。
则a \pmod p 的意思是它的值和0 至p-1 中的一个一样。
即a \pmod p = \{ a - qp q \in \mathbb{Z}, 0 \leq a -qp < p \}例如，若p=5，且a=17，则17 \pmod 5 = \{12\}而在有限域Q(p) 上，一个元素a 模p 的值必然是一个Q(p) 上的元素。
这个元素是唯一的。
因此，在有限域Q(p) 上，我们可以定义整除关系。
定义：如果a 和b 能够产生整数k使得a = bk 且k \neq 0，则我们说a整除b，记作a b。
例如，在有限域Q(11) 上，4 12 是成立的，因为12=4\times 3。
但3 7 是不成立的，因为没有整数k使得7=3k。
与自然数域的情况不同的是，有限域上不是每个元素都能够产生因子。
例如，在有限域Q(11) 上，元素3 就无法产生因子，也就是k 不存在使得3=4k。
二、有限域上的因式分解在有限域上，因式分解的一般过程就是将多项式分解为一些不可再分解的因子的积的形式。
每一个不可再分解的因子称作一次不可约多项式，又称为素多项式。
定理：多项式f(x) 在有限域Q(p) 上是可约的，当且仅当存在一个次数小于f(x) 的多项式且它不是0 或\pm1，能整除f(x)，并且次数大于或等于二。
