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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程2.3一元二次方程的应用（1）【知识重点】1. 利润问题：总利润=单位利润×销售量；利润=售价-进价；利润率=进价进价售价-×100%. 2. 增长率问题：基数×(1+增长率)2=增长两次后的数量.【经典例题】【例1】疫情期间“停课不停学”，因此王老师在线上开通公众号进行公益授课，4月份该公众号关注人数为6000，6月份该公众号关注人数达到7260，若从4月份到6月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．【例2】直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在APP 上对一款成本价为40/件的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每星期可卖出300件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降价0.5元，每星期可多卖出10件，在顾客得实惠的前提下，电商还想获得6080元利润，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？【例3】土豆（马铃薯）色泽光鲜，含淀粉高，不容易腐烂，具有比其它地方土豆多淀粉、蛋白质、维生素C 等营养成分．某合作社2020年到2022年每年种植土豆100亩，2020年土豆的平均亩产量为1000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术，2022年土豆的平均亩产量达到1440千克．（1）若2021年和2022年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？（2）2023年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2022年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？【基础训练】1．秦杨商场去年第一季度销售利润是100万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀升，第三季度销售利润是196万元．设第二季度和第三季度平均增长的百分率为x ，那么所列方程正确的是（） A ．100(1+x)2=196 B ．100(1+2x)=196C ．196(1−x)2=100D ．100+100(1+x)+100(1+x)2=196 2．华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的 1625 ，则每次降价的平均百分比是（） A ．10% B ．20% C ．15% D ．25%3．随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的 64 元，求年平均下降率.设年平均下降率为 x ，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（ ）A ．年平均下降率为80%，符合题意B ．年平均下降率为18%，符合题意C ．年平均下降率为1.8%，不符合题意D ．年平均下降率为180%，不符合题意4．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：P =100−2x ．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．(x −30)(100−2x)=200B ．x(100−2x)=200C ．(30−x)(100−2x)=200D ．(x −30)(2x −100)=2005．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低x 元，可列方程为（ ）A ．（45-30-x ）（300+50x ）=5500B ．（x-30）（300+50x ）=5500C ．（x-30）[300+50（x-45）]=5500D ．（45-x ）（300+50x ）=55006．陕西重型汽车有限公司（简称陕汽重卡）是由湘火炬汽车集团股份有限公司与陕西汽车集团有限责任公司合资组建的大型汽车公司企业，该企业随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元／辆下降到10月份的31.59万元／辆，若月平均降价的百分率保持不变，则月平均降价率是 %．7．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x 元，可列方程 ． 8．随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量2019年为10万只，预计2021年将达到12.1万只．求该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率．9．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？10．2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个的进价是30元．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量，商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？【培优训练】11．某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元.若增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1+x=4B．(1+x)2=4C．1+(1+x)2=4D．1+(1+x)+(1+x)2=412．某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8100元，且今年房价在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致，则4月份的房价单价为每平方米（）．A．7300元B．7290元C．7280元D．7270元13．某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A．50(1+x)2=175B．50+50(1+x)+50(1+x)2=175C．50(1+x)+50(1+x)2=175D．50+50(1+x)2=17514．"桃花流水窅然去，别有天地非人间."桃花园景点2017年三月共接待游客a万人，2018年三月比2017年三月旅游人数增加5%，已知2017年三月至2019年三月欣赏桃花的游客人数平均年增长率为8%，设2019年三月比2018年三月游客人数增加b% ，则可列方程为()A．a(1+5%)(1+b%)=a(1+8%×2)B．a(1+5%)(1+b%)=a(1+8%)2C．a(1+5%)(1+8%)=a(1+b%×2)D．a(1+5%)(1+8%)=2a(1+b%)215．某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市场调查发现售价每涨1元，销售量减少10件；售价每降1元，销售量增加10件。
一元二次方程一、一元二次方程的概念1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.2.一般形式：）（0a 0c bx ax 2≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法1.直接开平方法：如果方程能化成p x 2=或p n mx 2=+）（的形式，那么可得p x ±=或p n mx ±=+.2.配方法：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.3.因式分解法：通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.4.求根公式法：当0ac 4-b 2≥=△时，方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的实数根可写成a2ac 4-b b -x 2±=的形式，这个式子叫做一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的求根公式，把各系数直接代入公式，求出方程的根，这种解法叫做公式法.【用公式法解一元二次方程的步骤】把方程化为一般式→确定a ，b ，c 的值→计算ac 4-b 2的值→如果非负，则代入求解，如果为负数，则方程无实数根.三、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系1.根的判别式：一般地，式子ac 4-b 2叫做一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的判别式，通常用“△”表示，即ac 4-b 2=△.知识梳理⎪⎩⎪⎨⎧⇔⇔⇔=方程没有实数根△＜方程有两个相等实数根△＝根方程有两个不相等实数△＞△00 0ac 4-b 2【注】①使用时，要先将一元二次方程化为一般形式，才能确定a ，b ，c ，求出△；②当0ac 4-b 2≥=△时，方程有实数根.2.根与系数的关系（1）韦达定理：若一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++有实数根，设这两个实数根分别为1x 、2x ，可得a b -x x 21=+，ac x x 21=. （2）拓展①212212221x x 2-x x x x ）（+=+； ②212121x x x x x 1x 1+=+； ③2212121a x x a x x a x a x +++=++）（））（（. 四、一元二次方程的应用1.增长率问题（1）增长量=原产量×增长率；（2）增产后的产量=原产量×（1+增长率）.2.数字问题例：一个两位数等于其个位数字的平方，个位数字比十位数字大3，求这个两位数.3.利润问题题型：售价每上升/下降a 元，销量减少/增加b 件.问应把售价上升/下降多少元能使利润达到c 元？ 解决方法：此类题型一般设售价上升/下降x 元，利用单件利润×销量=总利润为等量关系列方程解决问题.4.面积问题5.动点问题（1）求动点运动时间转化为求动点运动路程，即线段长度；（2）利用图形面积或勾股定理构造方程.。
【八年级下册数学第二章《一元二次方程》讲解 】【书本相关知识点:】1、一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2、 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥. （注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：① 将方程的右边化为 ；② 将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③ 令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程 的解. （注意：方程要先化成一般形式.） 3、一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
【相关练习题讲解：】 知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
2、已知关于x 的方程(m+3)x 2－mx+1=0，当m 时，原方程为一元二次方程，若原方程是一元一次方程， 则 m 的取值范围是 。
2.1 一元二次方程教学内容一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程的概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目.4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、情景导入学生活动：列方程．问题(1)古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足.借问竿长多少数，谁人算出我佩服.如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，长为_______尺.根据题意，得________．整理、化简，得__________．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．(1)上面方程整理后含有几个未知数？(2)按照整式中的多项式的规定，它的最高次数是几次？(3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？老师点评：(1)只含一个未知数x；(2)它的最高次数是2；(3)有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a ≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx +c =0(a ≠0)后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)9x 2=5-4x ； (2)(2-x )(3x +4)=3.例2 已知一元二次方程220x bx c ++=的两个根分别为x 1=52和x 2=3-，求这个方程. 三、巩固练习判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x +2=5y -3； (2) x 2=4； (3)3x 2-5x=0； (4) x 2-4=(x +2)2 ； (5)ax 2+bx +c =0. 四、应用拓展求证：关于x 的方程(m 2-8m +17)x 2+2mx +1=0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程． 分析：要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2-8m +17≠0即可． 证明：m 2-8m +17=(m -4)2+1. ∵(m -4)2≥0,∴(m -4)2+1>0，即(m -4)2+1≠0,∴不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．练习:1.方程(2a —4)x 2—2bx +a =0， 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？2.当m 为何值时，方程(m +1)x|4m |-4+27mx +5=0是关于x 的一元二次方程.五、归纳小结(学生总结，教师点评) 本节课要掌握：(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其运用．2.2 一元二次方程的解法教学目标会利用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；能利用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况．重难点重点：四种一元二次方程的解法和一元二次方程根的判别式的意义. 难点：用因式分解法和配方法解一元二次方程．教学过程 一、探究新知上节课我们学习了一元二次方程的有关概念，同学们还记得吗？谁能说一说？ 教师：我们知道“能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）”，那么我们怎么求一元二次方程的解呢？学生思考，教师引入新课. 二、例题导学 1.因式分解法 例1 解下列方程:(1)x 2-3x =0. (2)25x 2=16.解：（1）将原方程的左边分解因式，得x （x -3）=0，则x=0，或x -3=0，解得x 1=0，x 2=3. （2）移项，得25x 2-16=0.将方程的左边分解因式，得（5x -4）（5x +4）=0，则5x -4=0， 或5x +4=0，解得x 1=54，x 2=54-. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.例2 解下列一元二次方程： (1)(x -5)(3x -2)=10. (2)(3x -4)2=(4x -3)2.学生独立完成，教师巡视、指导. 2.开平方法一般地，对于形如x 2=a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可得x 1，x 2.这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.例3 用开平方法解下列方程： (1)3x 2-48=0. (2)(2x -3)2=7.解：（1）移项，得3x 2=48.方程的两边同除以3，得x 2=16.解得x 1=4，x 2=-4. （2）由原方程，得2x -3=7，或2x -3=-7，解得x 1=273+，x 2=273-. 3.配方法将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例4 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2+6x =1. (2)x 2+5x -6=0.解：（1）方程的两边同加上9，得x 2+6x +9=1+9，即（x +3）2=10.则x +3=10，或x +3=-10，解得x 1=-3+10，x 2=-3-10.（2）移项，得x 2+5x =6.方程的两边同加上2)25(，得x 2+5x +2)25(=6+2)25(，即449)25(2=+x . 则2725=+x ，或2725-=+x ，解得x 1=1，x 2=-6. 4.公式法(1)ax 2－7x +3 =0. (2)ax 2+bx +3=0.(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知a x 2+bx +c =0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1=2b a-，x 2=2b a-(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)解：移项，得ax 2+bx =-c . 二次项系数化为1，得x 2+b a x =-c a. 配方，得x 2+ba x +(2b a )2=-c a +(2b a)2，即(x +2b a )2=2244b aca -.∵4a 2>0，当b 2-4ac ≥0时，2244b ac a -≥0,∴(x +2b a )2=(2a)2，直接开平方，得x +2b a =±2a ，即x =2b a-±，∴x 1=2b a -，x 2=2b a--.由上可知，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0，当b 2-4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x (公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性)(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.例5 用公式法解下列一元二次方程： (1)2x 2-5x +3=0； (2)4x 2+1=-4x ； (3）34x 2-2x -12=0. 解：（1）对方程2x 2-5x +3=0，a =2,b =-5,c =3,b 2-4ac =（-5）2-4×2×3=1，∴x =415221)5(±=⨯±--，∴x 1=23415=+，x 2=1415=-. （2）移项，得4x 2+4x +1=0，则a =4,b =4,c =1,b 2-4ac =42-4×4×1=0，∴214204-=⨯±-=x ，∴2121-==x x . （3）方程的两边同乘4，得3x 2-8x -2=0.则a =3,b =-8,c =-2,b 2-4ac =（-8）2-4×3×（-2）=88，∴322432888±=⨯±=x ，∴32241+=x ，32242-=x . 从一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式b 2-4ac 的值来决定.因此b 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是：b 2-4ac ＞0则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根； b 2-4ac =0则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个相等的实数根； b 2-4ac ＜0则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根.2.3 一元二次方程的应用教学目标1.让学生在经历运用一元二次方程解决实际问题的过程中体会一元二次方程的应用价值.2.在运用一元二次方程解决实际问题的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力. 重难点重点：建立一元二次方程模型解决实际问题. 难点：将实际问题转化成一元二次方程模型. 教学过程一、复习引入1、回顾：不解一元二次方程，你如何判断根的情况？2、复习列方程解应用题的一般步骤：(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)设未知数：用字母(如x )表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x ； (3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解方程：求出所给方程的解；(5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；(6)作答：根据题意，选择合理的答案.二、讲解例题例1 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.当每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为10元，则每盆应植多少株？分析：本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利，主要数量关系有：平均单株盈利×株数=每盆盈利；平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数.解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（3+x）株，平均单株盈利为（3-0.5x）元.由题意，得（x+3）（3-0.5x）=10.化简、整理，得x2-3x+2=0.解这个方程，得x1=1，x2=2.经检验，x1=1，x2=2都是方程的解，且符合题意.答：要使每盆的盈利为10元，则每盆应植入4株或5株.教师：想一想，列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？学生：列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同.列一元二次方程解应用题时，应该注意求出来的根是否满足题意.教师引导做教材P40例2和教材P41例3.三、课堂小结：列一元二次方程解决实际问题的步骤，审、设、找、列、解、检、答，注意一定要检验求出的根是否满足题意.2.4 一元二次方程根与系数的关系教学目标1、了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用.2、能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．教学重难点1.了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用．2.能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．教学设计探索发现观察下表，你能发现下列一元二次方程根与系数有什么关系吗？你能解释刚才的发现吗？一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，如果b 2－4ac ≥0，它的两个根分别是x 1，x 2． 总结发现一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，如果b 2－4ac ≥0，它的两个根分别是x 1，x 2． 那么12b x x a +=-，12c x x a⋅=． 例题精讲例1设x 1，x 2是一元二次方程25-7-30x x =的两个根，求x 12+x 22和1211x x +的值.例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是13，1.写出这个方程. 尝试与交流小明在一本课外读物中读到如下一段文字：“一元二次方程x 2－x 0的两个根分别是2+和2”， 你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？ 达标练习教材P46课内练习第1，2题． 课堂小结1．一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，那么x 1+x 2=ab -；x 1x 2=ac .2．运用一元二次方程根与系数的关系时，先要把方程化成一般形式.3．运用一元二次方程根与系数的关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b 2－4ac ≥0时，才能运用一元二次方程根与系数的关系．课后作业适当补充针对性练习．。
教材分析一、教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。
本节课是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型。
从近几年的中考题来看，增长率问题多次出现，是考查的一个重点知识点。
（一）教学目标根据《数学课程标准》中对学生的总体目标与学段目标的要求，结合我对本节课的理解和分析，制定如下教学目标：a、知识与技能目标1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
b、过程与方法目标通过自主探索、合作交流等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识，激发学生学习热情。
C、情感态度与价值观目标使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中培养合作协助精神,增强国情教育，从而使学生获得成功的体验，建立自信心，更加热爱数学、热爱生活。
（二）重点与难点根据本节课的教学内容和教学目标，结合新课标，我认为本节课的教学1、重点：学会用列方程的方法解决有关利用问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想；2、难点：将同类题对比探究，培养学生分析、鉴别的能力。
二、教法与学法：1、学情与学法：初二学生，他们具有一定的认知能力，但搜集处理信息的能力有限，鉴于此，本案例从具体的问题情境中抽象出数学问题，建立数学关系式，获得合理的解答，通过自主探索和合作交流这样有意义的探索过程，理解并掌握相应的数学知识与技能，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题。
它具有明显的问题性、实践性、开放性和创造性等特点，能有效地发展学生的思维能力。
学生参与到整个教学活动中来，加强引导他们自主学习和自主探究的意识。
同时为学生进行探究学习与合作交流的提供充分的思维活动和空间，使他们在参与的过程中得到充足的体验和发展。
新浙教版初二下数学第二章《一元二次方程》各节知识点及典型例题第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。
2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中ax2是，a是，bx是，b是，c 是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1 B．0 C．-1 D．-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b的值（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. x2= -1B. 2x（x-1）+1=2x2C. x2+3x=2xD. ax2+bx+c-02、已知关于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2-x，当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b --的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。
