总复习(信号与线性系统)概论

信号与线性系统总复习信号分析一、 信号的时域分析1、 常见信号①单位冲激函数：)(t δ定义：抽样性：②单位阶跃函数：)(t ε定义：阶跃与冲激的关系：③斜变函数：)()(t t t R ε=斜变与阶跃的关系：④指数函数：)(t e t εα-⑤门函数：)(t G τ⑥余弦函数：t 0cos ω ⑦正弦函数：t 0sin ω⑧冲激序列：∑∞-∞=-=n T nT t t )()(δδ)(t f )(k f ⎩⎨⎧=01)(t ε00<>t t ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∞∞-0)(1)(t dt t δδ0≠t ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∞-t d t dt t d t ττδεεδ)()()()()()0()()(t f t t f δδ⋅=⋅)0()()0()0()()()(f dt t f dt f t dt t f t ==⋅=⋅⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-δδδ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∞-t d t R dt t dR t ττεε)()()()(2、 信号的运算：3、 信号的变换： 移位:反折:展缩:倍乘:4、 卷积：性质：延时特性：)()()(212211t t t f t t f t t f --=-*-微积分特性：二、 信号的频域分析（傅立叶变换分析法）1、 定义：2、 性质：设)()(11ωj F t f ↔；)()(22ωj F t f ↔；)()(ωj F t f ↔①线性：)()()()(22112211ωωj F a j F a t f a t f a +↔+ ②对称性：)(2)(ωπf jt F ↔ ③延时：0)()(0t j e j F t t f ωω±↔± ④移频：)()(00ωωωj j F e t f t j ↔±⑤尺度变换：)(1)(a j F a at f ω↔；)(1)(aj F e a b at f a bj ωω-↔-⑥奇偶特性：若)(t f 为实偶函数，则)(ωj F 也为实偶函数； 若)(t f 为实偶函数，则)(ωj F 也为实偶函数；⑦时域微分：)()()(ωωj F j dtt df ↔；)()()(ωωj F j dt t f d n nn ↔ )(0t t f ±)(t f -)(at f )(t af ∑∞-∞=-=*i i k fi f k f k f )()()()(2121⎰∞∞--=*τττd t f f t f t f )()()()(2121⎰∞∞--=dt e t f j F tj ωω)()(⎰∞∞-=ωωπωd e j F t f t j )(21)()()(21t f t f ±)()(21t f t f •⎰∞-*=td f dtt df ττ)()(21)(])([21t f d f t *=⎰∞-ττ)()(21t f t f *⑧时域积分：)(1)()0()(ωωωδπττj F j F d f t+↔⎰∞- ⑨频域微分：ωωd j dF t f jt )()()(↔-；n n nd j F d t f jt ωω)()()(↔-⑩频域积分：⎰∞-↔-ωΩΩδπd F t f jtt f )()(1)()0(⑾卷积定理：)()()()(2121ωωj F j F t f t f ↔*)()(21)()(2121ωωπj F j F t f t f *↔⋅3、 常见信号的傅立叶变换 1)(↔t δωωπδεj t 1)()(+↔ )]()([cos 000ωωδωωδπω++-↔t )]()([sin 000ωωδωωδπω--+↔j tωαεαj t e t +↔-1)(22sin )2()(τωτωττωττ=↔Sa t Gωj t 2)sgn(↔2222sin )2(01)(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔⎪⎩⎪⎨⎧><-=τωτωττωττττSa t t t t f Tn nT t t n n T πΩΩωδΩωδΩδδΩ2)()()()(=-=↔-=∑∑∞-∞=∞-∞= 4、 周期信号的频谱①性质：离散性，谐波性，收敛性②级数绽开：③频谱：n A •与)(Ωωn =之间的关系图称频谱图； n A 与)(Ωωn =之间的关系图称为振幅频谱图； n ϕ与)(Ωωn =之间的关系图称为相位频谱图；时域 频域周期 离散 离散 周期 时域有限 频域无限 时域无限 频域有限5、 帕色伐尔定理[]⎰⎰∞∞-∞∞-=ωωπd j F dt t f 22)(21)(6、 抽样定理①频带有限信号②满意关系：m s f f 2≥∑∞=++=1)sin cos (2n n n t n b t n a a ΩΩ)(t f ∑∞=-+=10)cos(2n n n t n A a ΦΩ∑∞-∞=•=n tjn n e A Ω21∑∞-∞==n tjn nec Ω⎰+=Tt t n tdt n t f T b 11sin )(2Ωtdt n t f Ta Tt t n Ωcos )(211⎰+=⎰+-•=Tt t tjn n dtet f TA 11)(2Ω⎰+-=Tt t t jn n dte tf Tc 11)(1Ωnj n n e A A φ-•=nn A c •=2122nn n b a A +=nn n a b arctg=φ三、 信号的复频域分析（拉普拉斯变换分析法）1、 定义：2、 性质：①线性: )()()()(22112211s F a s F a t f a t f a +↔+ ②时移:0)()()(00st e s F t t t t f -↔--ε ③频移:)()(00s s F e t f t s -↔ ④尺度变换:)(1)(as F a at f ↔⑤时域微分:)0()0()0()()()1(21--------'--↔n n n n nn f f s f s s F s dtt f d ⑥时域积分:)(1)(s F sd f t↔⎰∞-ττ ⑦复频域微积分: ds s dF t tf )()(-↔；⎰∞↔s ds s F t f t )()(1⑧初、终值定理：)(lim )0(s sF f s ∞→+=；（)(s F 为真分式）)(lim )(0s sF f s →=∞⑨卷积定理：)()()()(2121s F s F t f t f ↔* )()(21)()(2121s F s F jt f t f *↔⋅π 3、 常见信号的拉氏变换、收敛区 1)(↔t δ，st 1)(↔ε ，as t e t -↔1)(εα， 1!+↔n n s n t ， 22sin ωωω+↔s t ，⎰∞-=0)()(dte tf s F st ⎰∞+∞-=j j stds e s F jt f σσπ)(21)(22cos ωω+↔s st4、 反变换a.部分分式绽开法nn s s k s s ks s k s F -++-+-=2211)( )()()(2121t e k e k e k t f t s n t s t s n ε+++=b.留数法∑==ni i s t f 1Re )(①单根i s 处的留数 Re [()()]i st i i s s s F s e s s ==-②p 重根i s 处的留数 111Re [()()](1)!i p st p i i s s p d s F s e s s p s-=-=-- 四、（离散）信号的Z 域分析1、 定义：∑∞-∞=-=K kzK F Z F )()(2、性质：① 线性线性：)()()()(22112211z F a z F a k f a k f a +↔+ ② 移序：单边z 变换∑-=--↔+1)()()(n k knnzk f zz F z n k f)()()(z F z n k n k f n -↔--ε双边z 变换)()(z F z n k f n ↔+ )()(z F z n k f n -↔-③ 尺度变换：)()(a zF k f a k ↔④ z 域微分特性：)()(z F dzdzk kf -↔⑤ 卷积定理：)()()()(2121z F z F k f k f ↔*)()(21)()(2121s F s F jt f t f *↔⋅π ⑥ 初、终值定理：)(lim )0(z F f z ∞→=)()1(lim )(1z F z f z -=∞→3、 常见序列的Z 变换 1)(↔k δ， 1)(-↔z zk ε ， γγ-↔z zk ， 2)1(-↔z zk4、 反Z 变换a. 长除法b. 部分分式法nn z B z B z B z B z z F γγγ-++-+-+= 22110)( nn z z B z zB z z B B z F γγγ-++-+-+= 22110)( )()()()(22110k B B B k B k f kn n k k εγγγδ++++=c. 留数法1()Re ni i f k s ==∑①单根i z 处的留数 1Re [()()]i k i i z z s F z z z z -==-②p 重根i z 处的留数 1111Re [()()](1)!i p k p i i z z p d s F z z z z p z--=-=--系统分析卷积+三大变换（时域、频域、复频域、Z 域）一、 系统的时域分析1、 描述：a. 连续系统--微分方程b. 离散系统—差分方程)()()()()()()()(0111101111t e b dt t de b dtt e d b dt t e d b t r a dt t dr a dt t r d a dt t r d m m m m m m n n n n n +++=++++------ )t )k e )()1()()()1()1()(01011k e b k e b m k e b k y a k y a n k y a n k y m n +++++=++++-+++-3、全响应的求解连续：离散：a. 零输入响应 )(t r zi 、)(k y zi 特征方程：特征根：零输入响应：代定常数C 由初始条件确定：)()()(t r t r t r zs zi +=)()()(k y k y k y zs zi +=00111=++++--a a c n n n λλλ 00111=++++--a a c n n n γγγ 0)())((21=---n λλλλλλ 0)())((21=---n γγγγγγ knn k k zi c c c k y γγγ+++= 221)(tn ttzi n ec ec ec t r λλλ+++= 2121)()1()1(),0(-n y y y )0()0(),0()1(-'n zi zi zi r r r nγγγ,,,21 n λλλ,,,21 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++='+++=----1122111)1(221121)0()0()0(n n n n n n n n nc c c rc c c r c c c r λλλλλλ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'----n n n n n n n c c c rr r211121121)1(111)0()0()0(λλλλλλ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----)0()0()0(111)1(1112112121n n n n n n n rr r c c cλλλλλλnn ij A AA )(11=-b. 零状态响应 )(t r zs 、)(k y zs4、解的分解零输入响应+零状态响应 自然响应+受迫响应 暂态响应+稳态响应二、系统的频域分析 1、频域系统函数2、系统特性幅频特性：相频特性：3、信号通过线性系统不产生失真的条件时域：频域：三、系统的复频域分析法1、微分方程的拉氏变换分析法 利用拉氏变换的微分特性：)0()0()0()()()1(21--------'--↔n n n n nn f f s f s s F s dtt f d 把微分方程：011101)(a p a p a p b p b p b p H n n nm m +++++++=-- )(t h 011101)(a S a S a S b S b S b S H n n nm m +++++++=-- )(k h )()()(k e k h k y zs *=)()()(t e t h t r zs *=)()()(ωϕωωj e j H j H =)()()(ωωωj E j R j H zs =)(ωj H )(ωφ)()(0t t Ke t r -=0)(t j Ke j H ωω-=)()()()()()()()(0111101111t e b dt t de b dtt e d b dt t e d b t r a dt t dr a dt t r d a dt t r d m m m m m m n n n n n +++=++++------变为代数方程，其过程为： ①)()()0()0()0()()()1(21s P s R s r r s r s s R s dtt r d k k k k k k k k -=--'--↔------ )0()0()0()()1(21------++'+=k k k k r r s r s s P 是与初始条件有关的关于s 的k 次多项式②)()()0()0()0()()()1(21s Q s E s e e s e s s E s dtt e d l l l l l l l l -=--'--↔------ 0)0()0()0()()1(21=++'+=------l l l l e e s e s s Q因为)(t e 是有始信号：0)0()0()0()1(==='=----l e e e 所以：)()(s E s dtt e d l l l ↔ ③把以上结果代入微分方程得：)()()()()()()(01111111s R a s P a s sR a s P a s R s a s P s R s n n n n n n +-++-+-----)()()(01s E b s sE b s E s b m m +++=)()()()()(010111s E b s b s b s M s R a s a s a s m m n n n +++=-++++--)()()()()(s E s N s M s R s D =-其中：0111)(a s a s a s s D n n n ++++=--01)(b s b s b s N m m +++=)()()()(1111s P a s P a s P s M n n n +++=--)()()()()()()()(s R s R s D s M s E s D s N s R zi zs +=+= 可求得全响应：)()()(t r t r t r zs zi +=2、电路S 域模型等效法……3、系统函数与系统的稳定性011101)(a s a s a s b s b s b s H n n n m m +++++++=-- )())((2101n m m s s s b s b s b λλλ---+++= 若极点n λλλ 21,均在s 平面的左半平面，则系统稳定。

《信号与系统》总复习要点一、复习内容：第一章信号与系统分析导论1．信号的定义与描述。

2. 信号的分类：模拟信号，数字信号，离散信号，抽样信号，能量信号3．线性系统的定义：齐次性、叠加性4．描述连续时间系统的数字模型：微分方程描述离散时间系统的数字模型：差分方程5．连续系统的基本运算单元：加法器，乘法器，积分器离散系统的基本运算单元：加法器，乘法器，延时器6．连续系统的分析方法：时域分析方法，频域分析法(FT)，复频域分析法（LT）离散系统的分析方法：时域分析方法，Z域分析方法7．系统模拟图的画法8．系统线性、时不变性、因果性的判定第二章信号的时域分析1. 连续时间信号及典型普通信号Sa(t),sinc(t)2. 奇异信号u(t), δ(t)（δ(t)的性质）3．连续信号的运算：移位、反褶、尺度、微分、积分、加法和乘法 (p35)4. 离散时间信号的表示和典型离散序列u[k] δ[k]5. 序列周期的判定2π/w0，分三种情况讨论6．离散信号的运算：移位、反褶、尺度、差分和求和7. 信号的分解：连续信号分解为冲激信号的线性组合离散信号分解为单位脉冲序列的线性组合第三章 连续时间系统的时域分析连续系统1．微分方程的齐次解+特解的求法自由响应+强迫响应2．系统的零输入响应+零状态响应求法3．系统的暂态响应+稳态响应求法5．单位冲激响应h(t), 单位阶跃响应g(t), 与求法h(t)=g'(t), g(t)=h (-1)(t)类似δ(t)与u(t)的关系6．卷积的计算公式，零状态响应y zs (t)=e(t)*h(t)=∫∞-∞e(τ)h(t-τ)d τ=h(t)*e(t)7．卷积的性质f(t)*δ(t)= f(t)f(t)*δ(t-3)= f(t-3)串连系统，并联系统的单位冲激响应8．连续系统的因果性，稳定性时域：因果性 t<0 ,h(t)=0稳定性 h(t)绝对可积 离散系统1．离散系统的阶次确定2．离散时间系统的差分方程3．u[k], δ[k], g[k], h[k]的关系δ[k]= u[k]- u[k-1] h[k]= g[k]- g[k-1]()h t dt ∞-∞<∞⎰4．离散时间系统的时域求解法（迭代、齐次解＋特解、零输入＋零状态）5．离散系统的单位冲激响应h[k]及其求法6．卷积和7．系统的零状态响应y zs [k]＝x[k]*h[k]8．有限长两序列求卷积：x 1[k]：长N x 2[k]：长M见书106， 对位相乘求和法， 长度：N+M-19．卷积性质10．离散系统的因果性，稳定性时域：因果性 n<0 ,h[k]=0稳定性 h[k]绝对可和 第四章 信号的频域分析 t →w1．周期信号FS ，公式，频谱：离散谱，幅度谱2．非周期信号FT ，公式，频谱：连续谱，密度谱3． FTFT -14．吉布斯现象 P134---P1355．典型非周期信号的FT （单矩形脉冲）6．FT 的性质①对称性②信号时域压缩，频域展宽 ③尺度和时移性质④频移性质：频谱搬移 cos(w 0t)的FT()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛=a F a at f F ω1()()j t X j x t e dt ωω∞--∞=⎰()j 1e ba f atb F a a ωω⎛⎫+↔⋅ ⎪⎝⎭0001[()cos()][()()]2F f t t F F ωωωωω=++-[][][][]m x k h k x m h k m ∞=-∞*=-∑[]k h k ∞=-∞<∞∑⑤时域微积分特性，频域微分特性⑥卷积定理（时域卷积定理、频域卷积定理）7．周期信号的FT ：冲激8．抽样信号f s (t)的FT 及频谱F s (ω)9．抽样定理①条件 f s >=2f m w s >=2w m②奈奎斯特频率 f s =2f m③奈奎斯特间隔 T s =1/f s10.关于频谱混叠的概念第五章 系统的频域分析1．连续时间信号的频率响应H(jw) 2. h(t) H(jw) 构成傅式变换对3．无失真传输概念4．实现无失真传输的系统要满足的时域条件、频域条件5．理想低通滤波器的频响特性，及其单位冲激响应6．信号调制、解调的原理第六章 连续时间系统的s 域分析 t →s1． LT LT -1 2．典型信号的LT3．LT 性质：时移，频移，尺度，卷积4．LT 的逆变换①查表法②部分分式展开法（系数求法）5．LT 分析法求H(s)（定义）,H(jw),h(t),y zi (t), y zs (t),y(t)()()⎰∞∞--=t t f s F t s d e ()()⎰∞+∞-=j j d e j π21 σσs s F t f t s6．系统函数H(s) h(t) 一对拉氏变换对H(s)的极点决定h(t)的形式H(s)的零点影响h(t)的幅度和相位7．H(s)的零极点稳定性： ① ②极点全在S 面左半面8．连续系统的频响特性 H(jw)=H(s)│s=jw9.连续时间系统的模拟 第七章 Z 变换、离散时间系统的Z 域分析1． ZTZT -1 2．典型序列的Z 变换3．Z 变换的收敛域： 有限长序列 有无0，∞右边序列 圆外左边序列 圆内双边序列 圆环4．逆Z 变换 ①查表法②部分分式展开法5．ZT 的性质时移性质 (1)双边序列移位(2)单边序列移位 ①左移 ②右移序列的线性加权性质序列的指数加权性质卷积定理()||h t dt M∞-∞≤⎰[]()kk X z x k z ∞-=-∞=∑6．Z 域分析法解差分方程：求H(z), h[k], y zs [k], y zi [k], y[k], H(e jw)7．系统函数H(z) h(n) H(z) Z 变换对 8．离散系统的稳定性，因果性稳定性 因果性时域n<0, h(n)=0 频域 H(z)所有极点在单位圆内 收敛域（圆外）含单位圆9．离散系统的频响特性H(e jw )=H(z)│z=ejw =│H(e jw )│e j ψ(w)幅度谱：描点作图，2π为周期相位谱10. 离散系统的模拟二、考试题型：（一）单项选择题（每小题2分，共20分）如：信号的脉冲宽变与它的频谱带宽的关系/判断系统是因果稳定的系统/给定信号(37)x t -利用性质求傅里叶变换/给定系统函数H(s)，判断该系统是否稳定系统/判断系统的阶数/冲激信号的性质、卷积性质的应用/无失真传输的条件等等。

信号与线性系统知识点总复习1.信号的基本概念信号是电子信息工程中的重要概念，简单来说就是随时间（或空间）变化的物理现象。

信号可以分为连续信号和离散信号两种。

连续信号可以用函数表示，离散信号可以用数列表示。

2.常见信号的分类常见的信号类型包括连续时间信号、离散时间信号、周期信号、非周期信号、奇函数信号、偶函数信号等。

不同类型的信号在数学表示和性质上有所差异。

3.连续时间信号的基本性质连续时间信号可以通过振幅、频率、相位等参数来描述。

它们具有线性性质、时移性、尺度变换性质和时间反转性质。

这些性质对于信号的分析和处理都是重要的基础。

4.离散时间信号的基本性质离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用数列表示。

离散时间信号具有线性性质、时移性、尺度变换性质和时间反转性质。

此外，离散时间信号还有抽样定理、离散时间傅立叶变换等重要概念。

5.线性系统的基本概念线性系统是输入和输出之间存在线性关系的系统，可以用线性常微分方程或差分方程表示。

线性系统具有叠加原理、时不变性、因果性等基本特性。

线性系统的频率响应是分析系统特性的重要工具。

6.线性时不变系统的冲激响应冲激响应是线性时不变系统的重要性质，它描述了系统对单位冲激输入的响应。

从冲激响应可以得到系统的频率响应、相位响应等信息。

7.线性时不变系统的频率响应频率响应描述了线性时不变系统对不同频率的输入信号的响应特性。

它可以通过线性时不变系统的冲激响应来计算，常用的方法有离散时间傅立叶变换、连续时间傅立叶变换、z变换等。

8.线性系统的稳定性分析稳定性是线性系统分析中的重要性质。

对于连续时间系统，稳定性可以通过系统的传递函数的极点位置来判断。

对于离散时间系统，稳定性可以通过系统的差分方程的极点位置来判断。

9.线性系统的频域分析频域分析是信号与系统分析中的重要方法，可以通过傅立叶变换、拉普拉斯变换和z变换等来将信号从时域转换到频域。

频域分析可以得到信号的频谱特性、频率响应等信息。

信号与线性系统总复习信号分析一、 信号的时域分析 1、 常见信号①单位冲激函数：)(t δ 定义：抽样性：②单位阶跃函数：)(t ε 定义：阶跃与冲激的关系：③斜变函数：)()(t t t R ε=斜变与阶跃的关系：④指数函数：)(t e tεα-)(t f )(k f ⎩⎨⎧=01)(t ε0<>t t ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∞∞-0)(1)(t dt t δδ0≠t ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∞-t d t dt t d t ττδεεδ)()()()()()0()()(t f t t f δδ⋅=⋅)0()()0()0()()()(f dt t f dt f t dt t f t ==⋅=⋅⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-δδδ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∞-t d t R dt t dR t ττεε)()()()(⑤门函数：)(t G τ ⑥余弦函数：t 0cos ω ⑦正弦函数：t 0sin ω ⑧冲激序列：∑∞-∞=-=n T nT t t )()(δδ2、 信号的运算：3、 信号的变换： 移位:反折: 展缩: 倍乘:4、 卷积： 连续：离散：性质：(1)延时特性：连续：)()()(212211t t t f t t f t t f --=-*- 离散：112212()()()f k k f k k f k k k -*-=--(2)微积分特性：)(0t t f ±)(t f -)(at f )(t af ∑∞-∞=-=*i i k f i f k f k f )()()()(2121⎰∞∞--=*τττd t f f t f t f )()()()(2121)()(21t f t f ±)()(21t f t f •t t df )(121()[()]tdf t f d dt ττ-∞=*⎰)()(21t f t f *二、 信号的频域分析（傅立叶变换分析法） 1、 定义：2、 性质：设)()(11ωj F t f ↔；)()(22ωj F t f ↔；)()(ωj F t f ↔①线性：)()()()(22112211ωωj F a j F a t f a t f a +↔+ ②对称性：)(2)(ωπf jt F ↔③延时：0)()(0tj e j F t t f ωω±↔±④移频：)()(00ωωωj j F e t f t j ↔±⑤尺度变换：)(1)(a j F a at f ω↔；)(1)(aj F e a b at f a bj ωω-↔-⑥奇偶特性：若)(t f 为实偶函数，则)(ωj F 也为实偶函数；若)(t f 为实偶函数，则)(ωj F 也为实偶函数；⑦时域微分：)()()(ωωj F j dtt df ↔； )()()(ωωj F j dtt f d nnn ↔ ⑧时域积分：)(1)()0()(ωωωδπττj F j F d f t+↔⎰∞- ⎰∞∞--=dte tf j F t j ωω)()(⎰∞∞-=ωωπωd e j F t f t j )(21)(⑨频域微分：ωωd j dF t f jt )()()(↔-；nn nd j F d t f jt ωω)()()(↔-⑩频域积分：⎰∞-↔-ωΩΩδπd F t f jtt f )()(1)()0(⑾卷积定理：)()()()(2121ωωj F j F t f t f ↔* )()(21)()(2121ωωπj F j F t f t f *↔⋅3、 常见信号的傅立叶变换 1)(↔t δωωπδεj t 1)()(+↔)]()([cos 000ωωδωωδπω++-↔t)]()([sin 000ωωδωωδπω--+↔j tωαεαj t e t +↔-1)(22sin )2()(τωτωττωττ=↔Sa t Gωj t 2)sgn(↔2222sin )2(01)(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔⎪⎩⎪⎨⎧><-=τωτωττωττττSa t t t t fTn nT t t n n T πΩΩωδΩωδΩδδΩ2)()()()(=-=↔-=∑∑∞-∞=∞-∞=4、 周期信号的频谱①性质：离散性，谐波性，收敛性 ②级数展开：∑∞=++=1)sin cos (2n n n t n b t n a a ΩΩ)(t f ∑∞=-+=10)cos(2n n n t n A a ΦΩ∑∞-∞=•=n tjn n e A Ω21∑∞-∞==n t jn n e c Ω⎰+=Tt t n tdt n t f T b 11sin )(2Ωtdt n t f T a Tt t n Ωcos )(211⎰+=⎰+-•=Tt t tjn n dtet f TA 11)(2Ω⎰+-=Tt t t jn n dte tf Tc 11)(1Ωnj n n e A A φ-•=nn A c •=2122nn n b a A +=nn n a b arctg=φ③频谱：n A •与)(Ωωn =之间的关系图称频谱图； n A 与)(Ωωn =之间的关系图称为振幅频谱图； n ϕ与)(Ωωn =之间的关系图称为相位频谱图；信号时域特性和频域特性关系：时域 频域 周期 离散 离散 周期 时域有限 频域无限 时域无限 频域有限5、 帕色伐尔定理[]⎰⎰∞∞-∞∞-=ωωπd j F dt t f 22)(21)(6、 取样定理 ①频带有限信号 ②满足关系：m s f f 2≥三、 信号的复频域分析（拉普拉斯变换分析法） 1、 定义：⎰∞-=)()(dte tf s F st⎰∞+∞-=j j st dse s F jt f σσπ)(21)(2、 性质：①线性: )()()()(22112211s F a s F a t f a t f a +↔+②时移:0)()()(00st e s F t t t t f -↔--ε ③频移:)()(00s s F et f ts -↔④尺度变换:)(1)(asF a at f ↔⑤时域微分:)0()0()0()()()1(21--------'--↔n n n n nn f f s f s s F s dtt f d ⑥时域积分:)(1)(s F sd f t↔⎰∞-ττ ⑦复频域微积分: ds s dF t tf )()(-↔；⎰∞↔s ds s F t f t)()(1⑧初、终值定理：)(lim )0(s sF f s ∞→+=；（)(s F 为真分式）)(lim )(0s sF f s →=∞⑨卷积定理：)()()()(2121s F s F t f t f ↔* )()(21)()(2121s F s F jt f t f *↔⋅π3、 常见信号的拉氏变换1)(↔t δ，st 1)(↔ε，a s t e t-↔1)(εα，1!+↔n nsn t ，22sin ωωω+↔s t ，22cos ωω+↔s st4、 反变换(1).部分分式展开法n n s s k s s k s s k s F -++-+-= 2211)()()()(2121t e k e k e k t f t s n t s t s n ε+++=(2).留数法∑==ni i s t f 1Re )(①单根is 处的留数 Re [()()]i stii s s s F s e s s ==- ②p 重根i s 处的留数111Re [()()](1)!i p st pi i s s p d s F s e s s p s-=-=--四、（离散）信号的Z 域分析1、 定义：∑∞-∞=-=K kz K F Z F )()( 2、 性质：① 线性线性：)()()()(22112211z F a z F a k f a k f a +↔+ ② 移序： 单边z 变换∑-=--↔+1)()()(n k k nn z k f zz F z n k f)()()(z F z n k n k f n-↔--ε双边z 变换)()(z F z n k f n ↔+ )()(z F z n k f n-↔-③ 尺度变换：)()(az F k f a k ↔ ④z 域微分特性：)()(z F dzdz k kf -↔ ⑤ 卷积定理：)()()()(2121z F z F k f k f ↔*)()(21)()(2121s F s F jt f t f *↔⋅π⑥ 初、终值定理：)(lim )0(z F f z ∞→= 3、 常见序列的Z 变换1)(↔k δ ，1)(-↔z zk ε ，γγ-↔z zk，2)1(-↔z zk4、 反Z 变换 (1) 长除法 (2) 部分分式法nn z B z B z B z B z z F γγγ-++-+-+= 22110)( nn z z B z zB z z B B z F γγγ-++-+-+= 22110)()()()()(22110k B B B k B k f kn n k k εγγγδ++++= (3) 留数法1()Re nii f k s ==∑①单根iz 处的留数 1Re [()()]i k ii z z s F z z z z -==- ②p 重根i z 处的留数 1111Re [()()](1)!i p k p i i z z p d s F z z z z p z--=-=--系统分析卷积+三大变换（时域、频域、复频域、Z 域）一、 系统的时域分析 1、 描述：(1) 连续系统--微分方程(2) 离散系统—差分方程)()()()()()()()(0111101111t e b dt t de b dtt e d b dt t e d b t r a dt t dr a dt t r d a dt t r d m m m m m m n n n nn +++=++++------ )t )k e )()1()()()1()1()(01011k e b k e b m k e b k y a k y a n k y a n k y m n +++++=++++-+++-3、全响应的求解连续： 离散：(1) 零输入响应 )(t r zi 、)(k y zi 特征方程：特征根：零输入响应：代定常数C 由初始条件决定：)()()(t r t r t r zs zi +=)()()(k y k y k y zs zi +=00111=++++--a a c n n n λλλ 00111=++++--a a c n n n γγγ 0)())((21=---n λλλλλλ 0)())((21=---n γγγγγγ knn k k zi c c c k y γγγ+++= 221)(tn ttzi n ec ec e c t r λλλ+++= 2121)()1()1(),0(-n y y y )0()0(),0()1(-'n zi zi zi r r r nγγγ,,,21 nλλλ,,,21 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++='+++=----1122111)1(221121)0()0()0(n n n n n n n n n c c c r c c c r c c c r λλλλλλ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'----n n n n n n n c c c rr r211121121)1(111)0()0()0(λλλλλλ(2) 零状态响应 )(t r zs 、)(k y zs4、解的分解零输入响应+零状态响应 自然响应+受迫响应 暂态响应+稳态响应二、系统的频域分析1、频域系统函数2、系统特性011101)(a p a p a p b p b p b p H n n nm m +++++++=-- )(t h 011101)(a S a S a S b S b S b S H n n nm m +++++++=-- )(k h )()()(k e k h k y zs *=)()()(t e t h t r zs *=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----)0()0()0(111)1(1112112121n n n n n n n rr r c c cλλλλλλnnij A AA)(11=-)()()(ωϕωωj e j H j H =)()()(ωωωj E j R j H zs =幅频特性： 相频特性：3、信号通过线性系统不产生失真的条件时域：频域：三、系统的复频域分析法1、微分方程的拉氏变换分析法 利用拉氏变换的微分特性：)0()0()0()()()1(21--------'--↔n n n n nn f f s f s s F s dtt f d 把微分方程：变为代数方程，其过程为：①)()()0()0()0()()()1(21s P s R s r r s r s s R s dtt r d k kk k k k kk -=--'--↔------)0()0()0()()1(21------++'+=k k k k r r s r s s P是与初始条件有关的关于s 的k 次多项式②)(ωj H )(ωφ)()(0t t Ke t r -=0)(t j Ke j H ωω-=)()()()()()()()(0111101111t e b dt t de b dtt e d b dt t e d b t r a dt t dr a dt t r d a dt t r d m m m m m m n n n n n +++=++++------)()()0()0()0()()()1(21s Q s E s e e s e s s E s dtt e d l ll l l l ll -=--'--↔------0)0()0()0()()1(21=++'+=------l l l l e e s e s s Q因为)(t e 是有始信号：0)0()0()0()1(==='=----l e e e 所以：)()(s E s dtt e d l l l ↔③把以上结果代入微分方程得：)()()()()()()(01111111s R a s P a s sR a s P a s R s a s P s R s n n n n n n +-++-+----- )()()(01s E b s sE b s E s b m m +++=)()()()()(010111s E b s b s b s M s R a s a s a s m m n n n +++=-++++-- )()()()()(s E s N s M s R s D =-其中：0111)(a s a s a s s D n n n ++++=-- 01)(b s b s b s N m m +++=)()()()(1111s P a s P a s P s M n n n +++=-- )()()()()()()()(s R s R s D s M s E s D s N s R zi zs +=+=可求得全响应：2、电路S 域模型等效法3、系统函数与系统的稳定性011101)(a s a s a s b s b s b s H n n n m m +++++++=-- )())((2101n m m s s s b s b s b λλλ---+++= 若极点n λλλ 21,均在s 平面的左半平面，则系统稳定。

2012《信号与系统》期末复习要点：第一章 信号与系统的基本概念一、信号1、分类：确定信号与随机信号；连续信号与离散信号；周期信号与非周期信号（判断及确定周期）能量信号与功率信号（定义及判断）见教材P32、典型信号（连续与离散）奇异信号单位阶跃信号；单位冲击（脉冲）信号()()t k δδ或（性质应用重点掌握！）；符号函数；单位斜坡信号；单位冲激偶；。

（他们的基本性质；用奇异信号来表示其它信号。

） 常见信号：正弦信号、指数信号（实指数、虚指数、复指数）3、信号的运算及变换（1）信号相加、相减、信号相乘；信号的导数（高阶）（差分——前向与后向、高阶差分）、信号的积分（求和）（2）、信号的变换：翻转；平移；尺度变换——组合——一般变换f(g(t))P11例题1-2-4二、系统的数学模型1、系统的性质及分类（1）线性系统与非线性系统——齐次性与叠加性 判断：（1）可分解性；()()()()()()zi zs zi zs y t y t y t y k y k y k =+=+或零输入线性；零状态线性；（2）从系统的微分方程或差分方程来判断系统线性（2）时不变系统与时变系统定义；判定。

（3）、因果系统与非因果系统（4）、稳定系统与非稳定系统（5）、记忆系统与非记忆系统2、系统的数学模型：微分方程与差分方程——根据电路建立微分方程（时域）3、系统的模拟：时域模拟连续系统：积分器、比例运算器、加法器来模拟 离散系统：延迟期、比例运算器和加法器来模拟复频域模拟：只需把时域模拟图作拉氏变换或Z 变换即可。

第二章、第五章 信号与系统的时域分析1、信号的分解：（1）分解为：奇分量与偶分量（2）分解为：冲击信号()t δ或()k δ2、系统的冲激响应()h t 或系统的单位函数响应()h k（1）、直接求解法与间接求解法——基本思想：齐次方程的解—待定系数法：注意初始条件的确定见教材P40和P264（2）可以利用付里叶变换求()h t 或()h k1()(())h t F H ω-=或1()[()]j h k F H e -Ω=（3）利用拉氏变换或Z 变换求解——简单方便3、卷积（1）定义计算卷积：（关键是积分限或求和范围的确定）（2）卷积性质：交换律、结合律、分配律；卷积的微分与积分性质！！！（3）()t δ或()k δ的卷积性质！！！（4）两个有限长信号或序列的卷积计算（不进位乘法）4、组合系统的冲激响应()h t 的计算。

931信号与线性系统复习提纲一、课程考试内容（一）信号与系统的基本概念1. 内容提要:信号的分类和运算，奇异函数性质。

系统的分类和描述，线性时不变系统的性质。

2．基本要求（1）了解信号的分类，熟悉连续信号与离散信号、功率信号与能量信号、周期信号的概念。

（2）掌握信号的反转、时移、尺度变换，掌握冲激函数和阶跃函数、单位样值序列和阶跃序列的性质。

（3）掌握线性系统和时不变系统的判断方法。

（二）连续系统的时域分析1. 内容提要零输入响应和零状态响应、阶跃响应和冲激响应。

卷积积分及其性质；响应的时域求解。

相关函数与卷积的联系与区别。

系统响应的固有分量与强迫分量、稳态分量与暂态分量的概念。

2．基本要求（1）熟悉零输入响应与零状态响应、固有响应与强迫响应、稳态响应与暂态响应的概念，掌握冲激响应的求解方法。

（2）掌握卷积积分及其性质，掌握系统响应的时域求解方法。

（3）了解相关函数与卷积的联系与区别。

（三）离散系统的时域分析1. 内容提要:差分与差分方程；系统的单位序列响应与响应阶跃响应；卷积和及其性质。

系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

反卷积的概念。

2．基本要求（1）熟悉差分和差分方程的概念。

了解差分方程的经典解法。

（2）掌握单位序列响应与阶跃响应的求解方法。

（3）掌握卷积和及其性质；掌握系统响应的时域求解方法。

（4）了解反卷积。

（四）系统的频域分析1. 内容提要信号的正交分解。

周期信号分解为傅里叶级数，周期信号的频谱及其特点，周期信号的功率。

傅里叶变换与逆变换，奇异函数和周期函数的傅里叶变换，傅里叶变换的性质。

信号的能量和频带宽度的概念。

响应的频域分析方法。

频率响应与正弦稳态响应。

线性系统无失真传输的条件。

取样定理，奈奎斯特取样频率和取样间隔。

吉布斯现象。

离散信号DFS、DTFT、DFS的定义和特点。

圆周反转、时移、卷积的概念。

2．基本要求（1）了解信号正交分解的过程。

熟悉周期信号的傅里叶级数展开。

掌握周期信号的频谱及其特点、周期信号的功率。

信号与线性系统复习提纲第一章 信号与系统1．信号、系统的基本概念2．信号的分类，表示方法（表达式或波形）连续与离散；周期与非周期；实与复信号；能量信号与功率信号 3．信号的基本运算：加、乘、反转和平移、尺度变换。

图解时应注意仅对变量t 作变换，且结果可由值域的非零区间验证。

4．阶跃函数和冲激函数极限形式的定义；关系；冲激的Dirac 定义 阶跃函数和冲激函数的微积分关系 冲激函数的取样性质（注意积分区间）)()0()()(t f t t f δδ⋅=⋅；⎰∞∞-=⋅)0()()(f dt t t f δ)()()()(111t t t f t t t f -⋅=-⋅δδ；⎰∞∞-=-⋅)()()(11t f dt t t t f δ5．系统的描述方法数学模型的建立：微分或差分方程系统的时域框图，基本单元：乘法器，加法器，积分器（连），延时单元（离） 由时域框图列方程的步骤。

6．系统的性质线性：齐次性和可加性；分解特性、零状态线性、零输入线性。

时不变性：常参量LTI 系统的数学模型：线性常系数微分（差分）方程（以后都针对LTI 系统） LTI 系统零状态响应的微积分特性因果性、稳定性（可结合第7章极点分布判定）第二章 连续系统的时域分析1． 微分方程的经典解法：齐次解+特解（代入初始条件求系数） 自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念0—～0+初值（由初始状态求初始条件）：目的，方法（冲激函数系数平衡法）全响应=零输入响应+零状态响应；注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性 特别说明：特解由激励在t>0时或t>=0+的形式确定2． 冲激响应)(t h定义，求解（经典法），注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性阶跃响应)(t g 与)(t h 的关系3． 卷积积分定义及物理意义激励)(t f 、零状态响应)(t y f 、冲激响应)(t h 之间关系)()()(t h t f t y f *= 卷积的图示解法（了解）函数与冲激函数的卷积（与乘积不同）)()()(t f t t f =*δ；)()()(11t t f t t t f -=-*δ 卷积的微分与积分复合系统冲激响应的求解（了解）第三章 离散系统的时域分析1．离散系统的响应差分方程的迭代法求解差分方程的经典法求解：齐次解+特解（代入初始条件求系数）全响应=零输入响应+ 零状态响应初始状态（是)()2(),1(N y y y ---Λ），而初始条件（指的是)1()1(),0(-N y y y Λ） 2．单位序列响应)(k h)(k δ的定义，)(k h 的定义，求解（经典法）； 若方程右侧是激励及其移位序列时，注意应用线性时不变性质求解 阶跃响应)(k g 与)(k h 的关系 3． 卷积和定义及物理意义激励)(k f 、零状态响应)(k y f 、冲激响应)(k h 之间关系)()()(k h k f k y f *=卷积和的作图解 )(k f 与)(k δ的卷积和)()()(k f k k f =*δ；)()()(11k k f k k k f -=-*δ结合前面卷积积分和卷积和，知道零状态响应除经典解法外的另一方法。