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《信号与线性系统分析》重要公式信号与线性系统分析是电子信息专业重要的基础课程之一，具有重要的理论和实际应用价值。
随着信息技术的快速发展，信号与线性系统的研究在通信、图像处理、音频处理、控制系统等各个领域都扮演着重要的角色。
本文将介绍信号与线性系统分析中的一些重要公式，帮助读者更好地理解和应用信号与线性系统分析。
1.线性系统的定义：-叠加定理：线性系统对两个输入信号的线性组合作用后的响应等于对每个输入信号分别进行线性系统的响应再进行线性组合，即y(t)=a1*x1(t)+a2*x2(t)=>H[a1*x1(t)+a2*x2(t)]=a1*H[x1(t)]+a2*H[x2 (t)]-时间因果性：线性系统的输出，必须要随着输入的改变而改变，即输出仅依赖于当前和过去的输入值，而与未来的输入无关。
-线性系统的时不变性：线性系统的性质和特性在不同时刻都是不变的，即系统的输出只依赖于当前的输入和系统的当前状态。
-线性系统的稳定性：当输入系统后，输出会逐渐趋于有限值的性质。
2.常见信号的基本性质：-单位冲激函数δ(t)：在t=0时刻取值为无穷大，其他时刻取值为0，可以表示信号的零值以外的非零值。
-单位阶跃函数u(t)：在t=0时刻取值为0，t>0取值为1，可以表示信号的跃迁性质。
-正弦信号：具有周期性的函数，可表示信号的频率和相位。
-矩形信号：具有有限宽度和平坦的值，可表示信号的持续时间。
3.傅里叶级数与傅里叶变换：-傅里叶级数：将周期性信号分解为一系列正弦和余弦函数，以求得信号频谱的方法。
-傅里叶变换：将非周期性信号分解为连续频谱的方法，常用于信号的频谱分析和滤波等应用。
-时域与频域的转换关系：傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，反之，傅里叶逆变换可以将信号从频域转换到时域。
4.系统的频率响应：- 时域脉冲响应h(t)与频域频率响应H(f)的关系：频域频率响应等于时域脉冲响应与复指数e^(-j2πft)的卷积。
信号与线性系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解并掌握信号与线性系统的基本概念，包括信号的分类、线性时不变系统的定义及其性质；2. 学生能够运用数学工具描述信号的特性，分析线性时不变系统的响应，并解决实际问题；3. 学生能够掌握傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本原理及其在信号处理中的应用。
技能目标：1. 学生能够运用所学知识对实际信号进行处理，如信号的采样、滤波和调制；2. 学生能够运用数学软件（如MATLAB）进行信号与系统的仿真实验，提高实际操作能力；3. 学生能够通过小组合作，共同分析并解决信号与线性系统领域的问题，提高团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习信号与线性系统，培养对通信工程和电子信息工程的兴趣和热情；2. 学生在学习过程中，养成严谨、求实的科学态度，培养独立思考和创新能力；3. 学生通过小组合作，学会尊重他人意见，提高沟通与交流能力，形成良好的团队合作精神。
本课程针对高中年级学生，结合学科特点和教学要求，注重理论与实践相结合，旨在培养学生具备信号与线性系统领域的基本知识和技能，同时提高学生的情感态度价值观。
课程目标具体、可衡量，为后续教学设计和评估提供明确依据。
二、教学内容1. 信号与系统基本概念：信号分类、连续与离散时间信号、线性时不变系统定义及性质。
教材章节：第一章 信号与系统基本概念2. 数学工具描述信号与系统：差分方程、微分方程、卷积积分。
教材章节：第二章 数学工具描述信号与系统3. 傅里叶级数与傅里叶变换：周期信号的傅里叶级数展开、非周期信号的傅里叶变换。
教材章节：第三章 傅里叶级数与傅里叶变换4. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换的定义、性质、逆变换及应用。
教材章节：第四章 拉普拉斯变换5. 信号处理应用：信号的采样、滤波、调制原理及其实现方法。
教材章节：第五章 信号处理应用6. 线性系统分析：稳定性分析、频率响应特性、零状态与零输入响应。
第1章基本概念K第1章习题k1.1解：（1）x(t)为周期信号，周期为T=10。
（2）x(t)为非周期信号。
（3）x[n]为非周期信号。
（4）x[n]为周期信号，周期为N=2。
（5）x(t)为非周期信号。
（6）x[n]为周期信号，周期为N=2。
1.2解：（1）x(t)为功率信号。
（2）x(t)既不是能量信号也不是功率信号。
（3）x[n]为能量信号。
（4）x(t)为能量信号。
（5）x(t)为能量信号。
（6）x[n]为能量信号。
1.3略。
1.4略。
1.5（原题有误）一个离散时间系统的激励与响应的关系为y[n]=M∑i=0b i x[n−i]。
用算符S−k代表将信号x[n]平移k个单位时间得到输出信号x[n−k]的系统，即x[n−k]=S−k(x[n])。
写出联系y[n]与x[n]的系统算符T及其可逆系统的算符T inv。
解：提示：可逆系统为y[n]−M∑i=1b i x[n−i]=b0x[n]。
1.6解：（1）因果、无记忆、非线性、时不变、BIBO稳定系统。
（2）因果、无记忆、线性、时变和BIBO稳定系统。
（3）因果、无记忆、线性、时变和非稳定系统。
（4）因果、记忆、线性、时不变和BIBO稳定系统。
（5）因果、无记忆、线性、时变和BIBO稳定系统。
（6）因果、记忆、时不变、非稳定系统。
–2/48–第1章基本概念（7）因果、无记忆、线性、时不变和BIBO稳定系统。
（8）非因果系统、无记忆、线性、时不变、BIBO稳定系统。
1.7证明略。
1.8解：（1）x[n]的响应为{1,1,−1,2,n=0,1,2,3}。
（2）x[n]的响应为{1,1,−3,1,3,−5,2,n=−3∼3}。
（3）x[n]的响应为{1,0,−1,4,−3,2,n=−2∼3}。
1.9证明提示：根据微积分的极限定义证明。
1.10解：（1）x(t)的响应为4(1−e−t)u(t)−6(1−e−t+1)u(t−1)。
（2）x(t)的响应为[2(t+e−t)−2]u(t)。
1 / 257信号与线性系统课后答案第一章 信号与系统（一）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fε=t(t(sin)（5）)tf=(sinr(t)2 / 257（7）)tf kε(k=(2)（10）)f kεk-=(k+]()1()1[3 / 2574 / 2571-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf（5）)2()2()(ttrtf-=ε5 / 2576 / 257（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε7 / 2571-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
8 / 2571-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
信号与线性系统介绍信号与线性系统是信号处理的基础知识之一。
信号是对时间、空间或其他独立变量的信息，可以是任何形式的数据。
而线性系统则是对信号进行处理或转换的一种方式。
本文将介绍信号的概念、信号的分类以及线性系统的基本概念和性质。
信号的概念信号是对某一独立变量的信息的表示。
常见的信号包括连续信号和离散信号。
连续信号是在时间或空间上连续变化的信号。
它可以通过一个连续函数来进行表示，通常用x(t)表示，其中t为时间或空间上的独立变量。
连续信号可以有无穷多个取值，可以是有限区间内的实数，也可以是整个实数轴上的实数。
离散信号是在时间或空间上离散变化的信号。
它可以通过一个序列来进行表示，通常用x(n)表示，其中n为离散时间或空间上的独立变量。
离散信号只有有限个取值，通常为整数。
信号的分类根据信号的特性和表示方式，信号可以分为多种类型，如以下几种：1.按时间的性质分类：–瞬时信号：只在某一个时刻有非零取值。
–连续信号：在整个时间范围内有非零取值。
2.按幅度的性质分类：–有限信号：幅度在某一时间范围内有限。
–无限信号：幅度在整个时间范围内都不为零。
3.按周期性分类：–周期信号：信号在一定时间间隔内重复。
–非周期信号：信号没有重复出现的特点。
信号还可以根据其功率和能量来进行分类。
如果一个信号的能量是有限的，那么它的功率就是零。
反之，如果一个信号的能量是无穷大，那么它的功率就是非零。
线性系统的概念和性质线性系统是对信号进行处理或转换的一种方式。
线性系统的基本性质包括线性性和时不变性。
线性性质表示系统对输入信号的加权和具有可加性。
对于一个线性系统，如果输入信号x1(t)产生的响应为y1(t)，输入信号x2(t)产生的响应为y2(t)，那么对于任意的常数a和b，输入信号ax1(t) + bx2(t)产生的响应为ay1(t) + by2(t)。
这意味着线性系统的输出与输入信号之间存在线性关系。
时不变性表示系统对时间平移具有不变性。
信号与线性系统分析目录1. 信号的基本性质 (2)1.1 信号的分类 (3)1.2 周期性和周期信号 (4)2. 线性系统的概念 (5)2.1 线性系统的定义 (6)2.2 线性系统的性质 (7)2.3 时不变性 (9)2.4 因果性和非因果性 (10)2.5 稳态响应和瞬态响应 (11)3. 系统的数学描述 (13)3.1 微分方程描述 (14)3.2 差分方程描述 (15)3.3 传递函数描述 (17)3.4 状态空间描述 (17)3.5 反变换方法 (18)4. 系统的分析 (20)4.1 稳态分析 (21)4.2 瞬态分析 (23)4.3 频率响应 (24)4.4 相频特性 (25)4.5 系统稳定性 (26)5. 线性时不变系统的卷积 (27)6. 系统的滤波和变换 (29)6.1 理想滤波器 (30)6.2 巴特沃斯滤波器 (31)6.3 切比雪夫滤波器 (33)6.4 系统调制和解调 (34)7. 数字信号处理 (35)1. 信号的基本性质信号是系统分析和处理的核心对象，在信号与线性系统分析中，我们需要对信号进行深入地理解，并掌握其基本性质。
信号可以被描述为时间函数，我们称之为时间域表示。
信号也可以用其频域特性来描述，即信号在不同频率成分的幅度和相位。
这两种表示形式互补，揭示了信号的不同方面。
根据信号的取样方式，信号可以分为离散信号和连续信号。
离散信号在时间上仅取固定的离散值，而连续信号在任何时刻都可取到一个确定的数值。
根据信号在定义域内的能量特性，信号可以分类为能量信号和功率信号。
能量信号在有限时间内积累能量，而功率信号在无限时间内拥有一定功率。
信号也可以是周期信号，即信号在特定时间间隔内重复相同的波形。
根据信号与其时间轴对称性，信号可分为奇信号和偶信号。
奇信号对称轴为原点，偶信号对称轴为时间中心。
因果性是指信号在时间轴上发生前先拥有一个前提条件，即该信号在任何时刻t之前均不会产生作用。
湖北省高等教育自学考试大纲课程名称：信号与线性系统课程代号：2610第一部分课程性质与目标一、课程的性质与特点《信号与线性系统》课程是高等教育自学考试中电子工程及其通讯工程等专业的一门重要专业技术基础课，主要研究信号与线性系统分析的基本概念、原理、方法与工程应用。
它一方面以工程数学和电路分析理论为基础，另一方面它本身又是后续的技术基础课与专业课的基础，也是学生将来从事专业技术工作的重要理论基础，它将为学生的素质培养起到重要作用。
本课程的特点：一是要理解和掌握的公式、定理和性质多，需要灵活理解；二是所涉及的数学知识应用多。
因此，在学习中要注意数学与物理概念的紧密结合，深刻理解公式、定理和性质等的数学和物理含义。
课程内容从时域和频域两个方面围绕着信号分析和信号如何通过系统进行讨论，在学习过程中一定要抓住这个中心。
二、课程的目标与基本要求通过本课程的学习，应理解和掌握信号分析和系统分析的基本方法、理论及应用，主要包括以下一些方面的内容：1、掌握信号的基本描述方法、分类及其基本运算；系统的基本概念和描述方法，掌握线性时不变系统的概念；冲激信号和阶跃信号的物理意义以及性质。
2、掌握常系数线性微分方程的经典解法，掌握自由响应与强迫响应等概念；掌握系统的冲激响应概念；掌握卷积极分的概念和性质；掌握连续时间系统零输入响应和零状态响应的概念及其求解方法。
3、掌握离散时间系统的差分方程描述；掌握系统的单位样值响应；掌握卷积和的概念及计算；掌握离散时间系统零输入响应和零状态响应的求解方程。
4、掌握周期信号的傅里叶级数展开；掌握信号频谱的概念及其特性；掌握傅里叶变换及其基本性质；掌握系统对信号响应的频域分析方法；掌握系统的频域传输函数的概念；掌握理想低通滤波器特性；掌握线性系统不失真传输条件；掌握连续信号的理想趋向模型和取样定理；了解离散傅里叶级数（DFS）；掌握离散时间信号傅里叶变换（DTFT）。
5、掌握单边拉普拉斯变换的定义和性质；拉普拉斯逆变换的计算方法；系统的拉普拉斯变换分析方法；掌握系统函数和频率响应的概念以及系统的框图描述。
6、掌握z变换的定义、收敛域及基本性质；掌握反z变换的计算方法；了解z变换与拉普拉斯变换的关系；掌握离散时间系统响应的z变换分析方法；掌握离散系统的系统函数和频率响应的概念和系统的框图描述。
7、掌握系统状态方程的建立；了解状态方程的求解。
三、本课程与相关其他课程的关系1．本课程中要用到的高等数学和电路分析方面的知识可在先修高等数学、电工原理中获得。
2．本课程的后续课程是电子技术基础等。
第二部分课程内容与考核目标第一章信号与系统一、学习的目的与要求通过学习本章内容要求，掌握信号的基本描述方法、分类及其基本运算；系统的基本概念和描述方法；冲激信号和阶跃信号的物理意义以及性质；重点掌握确定信号及线性时不变系统的特性。
本章的重点是：信号的基本运算；系统的基本概念和描述方法。
二、考核知识点与考核目标（一）信号（次重点）理解：连续信号和离散信号、周期信号和非周期信号理解：实信号和复信号、能量信号和功率信号（二）信号的基本运算（重点）应用：信号的加法和乘法、反转和平移、尺度变换（横坐标展缩）（三）阶跃函数和冲激函数（次重点）识记：阶跃函数和冲激函数理解：冲激函数的导数和积分应用：冲激函数的性质，利用冲激函数的取样性质计算某些积分（四）系统的描述（重点）理解：系统的框图表示应用：系统的数学模型（五）系统的性质（重点）识记：线性、时不变性、因果性、稳定性的基本概念第二章连续系统的时域分析一、学习的目的与要求通过本章学习，要求熟悉描述线性时不变系统的数学模型（线性常系数微分方程）并掌握其求解方法；重点掌握零输入响应、零状态响应和全响应的概念；理解阶跃函数和冲激函数，会计算冲激响应和阶跃响应；深入理解利用卷积积分计算零状态响应并学会二个简单函数的卷积积分。
本章的难点是卷积积分。
二、考核知识点与考核目标（一）LTI连续系统的响应（重点）理解：关于0-与0+初始值应用：微分方程的经典解；零输入响应和零状态响应（二）冲激响应和阶跃响应（重点）应用：连续信号的冲激响应和阶跃响应（三）卷积积分（次重点）理解：卷积积分和卷积的图示求解法（四）卷积积分的性质（重点）应用：卷积的代数运算、函数与冲激函数的卷积、卷积的微分和积分第三章离散系统的时域分析一、学习的目的与要求通过本章学习，要求熟悉离散时间系统的差分方程描述；熟悉系统的单位样值响应；重点掌握系统零输入响应、零状态响应、冲激响应与阶跃响应的求解方法；深入理解卷积和的性质及其计算技巧(方法)。
本章的难点是：系统零输入响应与零状态响应、冲激响应与阶跃响应的求解和卷积和的性质及其计算技巧(方法)。
二、考核知识点与考核目标（一）LTI离散系统的响应（重点）理解：差分与差分方程、差分方程的经典解应用：零输入响应和零状态响应（二）单位序列和单位序列响应（次重点）理解：单位序列和单位阶跃序列、单位序列响应和阶跃响应（三）卷积和（重点）理解：卷积和、卷积和的性质应用：卷积和的计算第四章傅里叶变换和系统的频域分析一、学习的目的与要求本章要求掌握如何将任意信号分解为不同频率的正弦信号之和，并在频域研究任意信号激励下，如何求系统的响应。
掌握利用傅里叶级数（或变换）将任意信号表示为一系列不同频率的正弦信号之和。
深刻理解信号频谱的概念，熟练掌握傅里叶变换的性质达到应用的标准，掌握连续信号的理想取样模型及取样定理。
本章的重点是掌握周期信号频谱的特点和傅里叶变换的性质。
难点是激励为任意信号时，求系统响应。
二、考核知识点与考核目标（一）信号分解为正交函数（一般）识记：正交函数集、信号分解为正交函数（二）傅里叶级数（次重点）理解：周期信号的分解和奇、偶函数的傅里叶级数理解：傅里叶级数的指数形式（三）周期信号的频谱（重点）应用：周期信号的频谱、周期信号的功率、周期矩形脉冲的频谱（四）非周期信号的频谱（重点）应用：非周期信号傅里叶变换、奇异函数的傅里叶变换（五）傅里叶变换的性质（重点）应用：线性、奇偶性、对称性、尺度变换、时移特性、频移特性应用：卷积定理、时域微分和积分、频域微分和积分、能量谱和功率谱（六）周期信号的傅里叶变换（次重点）理解：正、余弦函数的傅里叶变换性质应用：一般周期函数的傅里叶变换、傅里叶系统与傅里叶变换（七）LTI系统的频域分析（次重点）应用：频域响应识记：无失真传输（八）取样定理（重点）理解：信号的取样应用：时域取样定理、频域取样定理第五章连续系统的s域分析一、学习的目的与要求利用拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可以把线性常系数微分方程变换成S域的代数方程，从而把求解微分方程的问题变换为求解S域代数方程的问题，这使得利用拉氏变换分析线性时不变系统变得十分方便和有效。
通过学习，要求掌握单边拉普拉斯变换的定义和性质；掌握拉普拉斯逆变换的计算方法（部分分式分解法）；掌握系统的拉普拉斯变换分析方法；掌握系统函数和频率响应的概念；掌握系统的框图描述。
二、考核知识点与考核目标（一）拉普拉斯变换（次重点）理解：从傅里叶变换到拉普拉斯变换、收敛域、（单边）拉普拉斯变换（二）拉普拉斯变换的性质（重点）应用：拉氏变换的线性、尺度变换、时移（延时）特性拉氏变换的复频域（s域平移）特性时域微分特性（定理）、时域积分特性（定理）拉氏变换的卷积定理连续系统的s域微分和积分理解：初值定理和终值定理（三）拉普拉斯逆变换（重点）应用：部分分式展开法（四）复频域分析（重点）应用：微分方程的变换解、系统函数、系统的s域框图理解：拉普拉斯变换与傅里叶变换第六章离散系统的z域分析一、学习的目的与要求通过学习，理解z变换及z变换的性质；了解z变换与拉氏变换的关系；初步学会离散系统的z变换域分析方法，深刻理解系统函数H（Z）和频率响应。
本章的重点是：常用函数的Z变换、Z变换的基本性质以及Z反变换的计算方法和线性系统的Z域分析法二、考核知识点与考核目标（一）z变换（次重点）理解：从拉普拉斯变换到z变换理解：z变换、收敛域（二）z变换的性质（重点）应用：线性、移位（移序）特性、序列乘k a（z域尺度变换）应用：卷积定理应用：序列乘k（z域微分）、序列除（k+m）（z域积分）、k域反转应用：部分和、初值定理和终值定理（三）逆z变换（重点）识记：幂级数展开法应用：部分分式展开法（四）z域分析（重点）理解：s域与z域的关系应用：差分方程的变换解、系统函数应用：系统的频域响应、系统的z域框图第七章系统函数一、学习的目的与要求通过学习，掌握系统的零极点的概念和应用；掌握系统因果性和稳定性概念；掌握系统的信号流图描述。
二、考核知识点与考核目标（一）系统函数与系统特性（次重点）理解：系统函数的零点和极点、系统函数与时域响应理解：系统函数与频域响应（二）系统的稳定性（一般）识记：系统的因果性、系统的稳定性识记：连续系统的稳定性准则、离散系统的稳定性准则（三）信号流图（一般）识记：信号流图（四）系统模拟（一般）识记：直接实现、级联和并联实现第八章系统的状态变量分析一、学习的目的与要求通过学习，了解状态和状态变量的基本概念，掌握连续和离散系统状态方程和输出方程的建立和求解方法二、考核知识点与考核目标（一）状态方程（次重点）理解：状态变量和状态方程、动态方程的一般形似（二）状态方程的建立（重点）应用：电路状态方程的列写应用：连续系统状态方程的建立应用：离散系统状态方程的建立（三）连续系统状态方程的解（重点）应用：状态方程的时域解应用：状态方程的变换解第三部分有关说明和实施要求一、考核的能力层次表述本大纲在考核目标中，按照“识记”、“理解”、“应用”三个能力层次规定其应达到的能力层次要求。
各能力层次为递进等级关系，后者必须建立在前者的基础上，其含义是：识记：能知道有关的名词、概念、知识的含义，并能正确认识和表述，是低层次的要求。
理解：在识记的基础上，能全面把握基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有关概念、原理、方法的区别与联系，是较高层次的要求。
应用：在理解的基础上，能运用基本概念、基本原理、基本方法联系学过的多个知识点分析和解决有关的理论问题和实际问题，是最高层次的要求。
二、教材信号与线性系统分析（第四版）（2005年），吴大正主编，高等教育出版社三、自学方法指导1、在开始阅读指定教材某一章之前，先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点及对知识点的能力层次要求和考核目标，以便在阅读教材时做到心中有数，有的放矢。
2、阅读教材时，要逐段细读，逐句推敲，集中精力，吃透每一个知识点，对基本概念必须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握。
3、在自学过程中，既要思考问题，也要做好阅读笔记，包教材中的基本概念、原理、方法等加以整理，这可从中加深对问题的认识、理解和记忆，以利于突出重点，并涵盖整个内容，可以不断提高自学能力。
