(完整版)总复习(信号与线性系统必过知识点)

重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号,正弦信号组合后在任一对频率或周期的比值是有理分数时才是周期的;其周期为各个周期的最小公倍数;① 连续正弦信号一定是周期信号;② 两连续周期信号之和不一定是周期信号;周期信号是功率信号;除了具有无限能量及无限功率的信号外,时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号,当∞→t ,0)(≠t f 的非周期信号是功率信号;1. 典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =,a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =,s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()tSa t t= 奇异信号（1） 单位阶跃信号1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点;（2） 单位冲激信号单位冲激信号的性质：1取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞∞-∞-∞=-=⎰⎰()0t δ=当0t ≠时相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 2是偶函数 ()()t t δδ=- 3比例性 ()1()at t aδδ=4微积分性质 d ()()d u t t tδ= ； ()d ()t u t δττ-∞=⎰5冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ； ()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰ ()d ()tt t t δδ-∞'=⎰ ；带跳变点的分段信号的导数,必含有冲激函数,其跳变幅度就是冲激函数的强度;正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激;重难点2.信号的时域运算 ① 移位： 0()f t t +, 0t 为常数当0t >0时,0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上左移0t ；当0t <0时, 0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上右移0t ;② 反褶： ()f t - ()f t -的波形相当于将()f t 以t =0为轴反褶; ③ 尺度变换： ()f at ,a 为常数当a >1时,()f at 的波形时将()f t 的波形在时间轴上压缩为原来的1a； 当0<a <1时,()f at 的波形在时间轴上扩展为原来的1a; ④ 微分运算： ()df t dt信号经微分运算后会突出其变化部分; 2. 系统的分类根据其数学模型的差异,可将系统划分为不同的类型：连续时间系统与离散时间系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统； 重难点3.系统的特性（1） 线性性若同时满足叠加性与均匀性,则称满足线性性;当激励为1122()()C f t C f t +1C 、2C 分别为常数时,系统的响应为1122()()C y t C y t +;线性系统具有分解特性：)()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应是初始值的线性函数,零状态响应是输入信号的线性函数,但全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数;（2） 时不变性 :对于时不变系统,当激励为0()f t t -时,响应为0()f t t -; （3） 因果性线性非时变系统具有微分特性、积分特性; 重难点4.系统的全响应可按三种方式分解：各响应分量的关系：重难点5.系统的零输入响应就是解齐次方程,形式由特征根确定,待定系数由-0初始状态确定;零输入响应必然是自由响应的一部分;重难点6.任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和：那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分,即)()()(t h t f t y zs *=;零状态响应可分解为自由响应和强迫响应两部分;重难点7.单位冲激响应的求解;冲激响应)(t h 是冲激信号作用系统的零状态响应; 重难点8.卷积积分（1） 定义 ττττττd f t f d t f f t f t f )()()()()(*)(212121-=-=⎰⎰∞∞-∞∞-（2） 卷积代数① 交换律 )(*)()(*)((1221t f t f t f t f =② 分配率 )(*)()(*)()]()([*)(3121321t f t f t f t f t f t f t f +=+ ③ 结合律 )](*)([*)()(*)](*)([321321t f t f t f t f t f t f = 重难点9.卷积的图解法 求某一时刻卷积值 卷积过程可分解为四步：1换元： t 换为τ→得 f 1τ, f 2τ2反转平移：由f 2τ反转→ f 2–τ 右移t → f 2t-τ 3乘积： f 1τ f 2t-τ4积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分; 3性质1ft δt=δtft = ft )()(*)(00t t f t t t f -=-δ)()(*)(2121t t t f t t t t f --=--δ 210,,t t t 为常数2ft δ’t = f’t 3ftut ()()d ()d tf u t f τττττ∞-∞-∞=-=⎰⎰ut ut = tut4[]121221d ()d ()d ()*()*()()*d d d n n nn n nf t f t f t f t f t f t t t t ==5121212[()*()]d [()d ]*()()*[()d ]t t tf f f f t f t f τττττττ-∞-∞-∞==⎰⎰⎰6 f 1t –t 1 f 2t –t 2 = f 1t –t 1 –t 2 f 2t = f 1t f 2t –t 1 –t 2 = f t –t 1 –t 27 两个因果信号的卷积,其积分限是从0到t ; 8系统全响应的求解方法过程归纳如下：a.根据系统建立微分方程；b.由特征根求系统的零输入响应)(t y zi ；c.求冲激响应)(t h ；d.求系统的零状态响应)()()(t h t f t y zs *=；e.求系统的全响应)()()(t y t y t y zs zi +=;重难点10.周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t 1T 为其周期可展开为傅里叶级数; 1三角函数形式的傅里叶级数0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞==++∑ 式中112T πω=,n 为正整数;直流分量010011()t T t a f t dt T +=⎰ 余弦分量的幅度01112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰ 正弦分量的幅度01112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()n n n f t a A n t ωϕ∞==++∑2指数形式的傅里叶级数 1()jn tnn f t F eω∞=-∞=∑ 式中,n 为从-∞到+∞的整数;复数频谱011011()t T jn t n t F f t e dt T ω+-=⎰利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算;从而可知周期信号所包含的频率成分;有些周期信号的对称性是隐藏的,删除直流分量后就可以显示其对称性;①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项,只可能包含直流项和余弦项; ②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项,只可能包含正弦项;③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项,而不包含偶次谐波项;重难点11.从对周期矩形脉冲信号的分析可知：1 信号的持续时间与频带宽度成反比;2 周期T 越大,谱线越密,离散频谱将变成连续频谱；3 周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性;重难点12.傅里叶变换 傅里叶变换定义为正变换()[()]()j t F f f t f t e dt ωω∞--∞==⎰逆变换11()[()]()2j t f t f F F e d ωωωωπ∞--∞==⎰频谱密度函数()F ω一般是复函数,可以写作 ()()()j F F e ϕωωω=其中()F ω是()F ω的模,它代表信号中个频谱分量的相对大小,是ω的偶函数;()ϕω是()F ω的相位函数,它表示信号中各频率分量之间的相位关系,是ω的奇函数;常用函数 F 变换对：δtπδωut 1()j πδωω+e -t ut 1j ωα+ g τt2Sa ωττ⎛⎫⎪⎝⎭sgn t 2j ωe –|t |222ααω+ 重难点13.傅里叶变换的基本性质 1 线性特性1212()()()()af t bf t aF j bF j ωω+↔+2 对称特性 ()2()F jt f πω↔-3 展缩特性 1()()f at F j a aω←−→ 4 时移特性0-j t 0()()f t t F j e ωω-←→⋅5 频移特性 0j 0()[()]t f t e F j ωωω⋅←→- 6 时域卷积特性 1212()()()()f t f t F j F j ωω*←→⋅ 7 频域卷积特性 12121()()[()()]2f t f t F j F j ωωπ⋅←→*8 时域微分特性 ()()n n n d fj F j dtωω←→⋅9 积分特性1()()(0)()tf d F j F j ττωπδωω-∞←→+⎰10.频域微分特性 ()()n nnndF j t f t j d ωω←→⋅ 11奇偶虚实性若()()()F R jX ωωω=+,则①()f t 是实偶函数()()f R ωω=,即()f ω为ω的实偶函数; ②()f t 是实奇函数()()f jX ωω=,即()f ω为ω的虚奇函数; 重难点14.周期信号的傅里叶变换周期信号()f t 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的,这些冲激位于信号的谐频11(0,,2,)ωω±±处,每个冲激的强度等于()f t 的傅里叶级数的相应系数n F 的2π倍;即重难点15.冲激抽样信号的频谱冲激抽样信号()s f t 的频谱为1()()s sn sf F n T ωωω∞=-∞=-∑其中s T 为抽样周期,()f ω为被抽样信号()f t 的频谱;上式表明,信号在时域被冲激序列抽样后,它的频谱()s F ω是连续信号频谱()f ω以抽样频谱s ω为周期等幅地重复;重难点16．对于线性非时变系统,若输入为非周期信号,系统的零状态响可用傅里叶变换求得;其方法为：1 求激励ft 的傅里叶变换F j;2 求频域系统函数H j;3 求零状态响应y zs t 的傅里叶变换Y zs j,即Y zs j= H j F j;4 求零状态响应的时域解,即y zs t = F -1Y zs j重难点17．对于线性非时变稳定系统,若输入为正弦信号)cos()(0t A t f ω=,则稳态响应为其中,)()(00ϕωωj e j H j H =为频域系统函数;重难点18．对于线性非时变系统,若输入为非正弦的周期信号,则系统的稳态响应的频谱为其中,n F 是输入信号的频谱,即)(t f 的指数傅里叶级数的复系统;)(Ωjn H 是系统函数,为基波;n Y 是输出信号的频谱;时间响应为重难点19．在时域中,无失真传输的条件是 )()(0t t f K t y -=在频域中,无失真传输系统的特性为 0)(t j e K j H ωω-=20．理想滤波器是指可使通带之内的输入信号的所有频率分量以相同的增益和延时完全通过,且完全阻止通带之外的输入信号的所有频率分量的滤波器;理想滤波器是非因果性的,物理上不可实现的;重难点21．理想低通滤波器的阶跃响应的上升时间与系统的截止频率带宽成反比;重难点22．时域取样定理注意：为恢复原信号,必须满足两个条件：1f t 必须是带限信号；2取样频率不能太低,必须f s ≥2f m,或者说,取样间隔不能太大,必须T s ≤1/2f m ；否则将发生混叠; 通常把最低允许的取样频率f s=2f m 称为奈奎斯特Nyquist 频率； 把最大允许的取样间隔T s=1/2f m 称为奈奎斯特间隔;重难点23．单边拉氏变换的定义为积分下限定义为-=0t ;因此,单位冲激函数1)(⇔t δ,求解微分方程时,初始条件取为-=0t ;重难点24．拉普拉斯变换收敛域：使得拉氏变换存在的S 平面上σ的取值范围称为拉氏变换的收敛域;)(t f 是有限长时,收敛域整个S 平面；)(t f 是右边信号时,收敛域0σσ>的右边区域；)(t f 是左边信号时,收敛域0σσ<的左边区域；)(t f 是双边信号时,收敛域是S 平面上一条带状区域;要说明的是,我们讨论单边拉氏变换,只要σ取得足够大总是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域;单边拉氏变换,只要σ取得足够大总是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域;重难点25．拉普拉斯正变换求解：常用信号的单边拉氏变换 重难点26.拉普拉斯变换的性质6时域卷积定理 f 1t f 2t ←→ F 1s F 2s7周期信号,只要求出第一周期的拉氏变换1()F s ,1()()1sTF s F s e-=- 频域微分性： d ()()()d F s t f t s-←→频域积分性： ()()s f t F d tηη∞←→⎰初值定理：0(0)lim ()lim ()t s f f t sF s →+→∞+==终值定理若ft 当t →∞时存在,并且 ft ← → F s , Res>0, 0<0,则 0()lim ()s f sF s →∞=拉氏变换的性质及应用;一般规律：有t 相乘时,用频域微分性质; 有实指数t e α相乘时,用频移性质; 分段直线组成的波形,用时域微分性质;周期信号,只要求出第一周期的拉氏变换1()F s ,1()()1sTF s F s e-=- 由于拉氏变换均指单边拉氏变换,对于非因果信号,在求其拉氏变换时应当作因果信号处理;重难点27．拉普拉斯反变换求解：掌握部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换的方法1单实根时 )(t Ke a s Kt a ε-⇔+2二重根时2()()t KKte t s αεα-↔+ 重难点28．微分方程的拉普拉斯变换分析：当线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时,可对方程取拉氏变换,并代入初始条件,从而将时域方程转化为S 域代数方程,求出响应的象函数,再对其求反变换得到系统的响应;重难点29．动态电路的S 域模型：由时域电路模型能正确画出S 域电路模型,是用拉普拉斯变换分析电路的基础; 引入复频域阻抗后,电路定律的复频域形式与其相量形式相似;重难点30．系统的零状态响应为 )()()(s F s H s Y zs =其中,)()(s H t h ⇔,)(s H 是冲激响应的象函数,称为系统函数;系统函数定义为)()()(s F s Y s H zs =重难点31．系统函数的定义重难点32．系统函数的零、极点分布图重难点33．系统函数H ·与时域响应h · ：LTI 连续因果系统的h t 的函数形式由H s 的极点确定;① Hs 在左半平面的极点无论一阶极点或重极点,它们对应的时域函数都是按指数规律衰减的;结论：极点全部在左半开平面的系统因果是稳定的系统;② Hs 在虚轴上的一阶极点对应的时域函数是幅度不随时间变化的阶跃函数或正弦函数;Hs 在虚轴上的二阶极点或二阶以上极点对应的时域函数随时间的增长而增大;③ H s 在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点,其所对应的响应函数都是递增的;重难点34．系统的稳定性：稳定系统 Hs 的极点都在左半开平面,)θ+边界稳定系统 Hs 的极点都在虚轴上,且为一阶, 不稳定系统 Hs 的极点都在右半开平面或虚轴上二阶以上;H s=11101110()()m m m m n n n n b s b s b s b N s D s a s a s a s a ----++++=++++ 判断准则：1多项式的全部系数i a 符号相同为正数；2无缺项；3对三阶系统,323210()D s a s a s a s a =+++的各项系数全为正,且满足1203a a a a > 重难点35、常用的典型信号 1．单位抽样序列)(n δ)(n δ的延迟形式： 1,()0,n m n m n mδ=⎧-=⎨≠⎩推出一般式： ∑∞-∞=-=k k n k x n x )()()(δ2．单位阶跃序列()n ε✧ 与)(n δ的关系： ()()(1)n n n δεε=-- ✧ 延迟的表达式()n m ε-; 3． 矩形序列)(n R N -----有限长序列 4． 实指数序列----实指数序列)(n u a n 重难点36、离散系统的时域模拟它的基本单元是延时器,乘法器,相加器; 重难点37、系统的零输入响应若其特征根均为单根,则其零输入响应为：1()nkx xi i i y k c λ==∑C 由初始状态定相当于0-的条件 重难点38、卷积和的定义12()()()k f n f k f n k ∞=-∞=-∑=f 1n f 2n卷积和的性质1 交换律：()()()()1221f n f n f n f n *=*2 分配律：()()()()()()123123f n f n f n f n f n f n **=**⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3 结合律.：()()()()()()()1231213f n f n f n f n f n f n f n *+=*+*⎡⎤⎣⎦f n δn = f n , f n δn – n 0 = f n – n 0 f n εn =()nk f k =-∞∑f 1n – n 1 f 2n – n 2 = f 1n – n 1 – n 2 f 2n卷和的计算：不进位乘法求卷积、利用列表法计算、卷积的图解法 重难点39、离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和;即 重难点40．z 变换定义()()n n F z f n z ∞-=-∞=∑称为序列f k 的双边z 变换()()n n F z f n z ∞-==∑ 称为序列f k 的单边z 变换重难点41．收敛域因果序列的收敛域是半径为|a|的圆外部分; 重难点42．熟悉基本序列的Z 变换;k ←→ 1 , z>0 k ←→1zz -, z>1 重难点43．z 变换的性质 1移位特性双边z 变换的移位：()n z F z -↔f(k -n)单边z 变换的移位： f k-2 ←→ z -2F z + f -2 + f -1z -1 2序列乘a k z 域尺度变换 a k f k ←→ F z/a3卷积定理 f 1k f 2k ←→ F 1z F 2z 重难点44．掌握部分分式法求逆Z 变换; 重难点45．掌握离散系统Z 域的分析方法; 1差分方程的变换解 2系统的z 域框图 3稳定性Hz 按其极点在z 平面上的位置可分为：在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类;① 极点全部在单位圆内的系统因果是稳定系统;② Hz 在单位圆上是一阶极点,单位圆外无极点,系统是临界稳定系统;③ Hz 在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点,系统是不稳定系统;。

⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩函数描述波形确定信号、随机信号分类周期信号、非周期信号（周期计算）连续信号、离散信号平移自变量变换尺度变换（含反褶）一般情况（尺度变换+平移）信号运算微分、积分相加、相乘直流分量、交流分量偶分量、奇分量分解脉冲分量（卷积）实部分量、虚部分量正交函数分量（变换域）正弦信号常规信号复指数信号（自变量分别取实数、纯虚数、复常见典型信号⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩数）抽样信号斜变信号阶跃信号（因果信号、门信号、符号函数）矩形脉冲演变定义Dirac函数抽样性奇偶性（偶函数）冲激信号性质奇异信号尺度变换微积分应用（间断点处求导）抽样性冲激偶信号奇偶性（奇函数）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩LTI LTI ⎧⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩微分方程加法器基本运算单元数乘器描述（建模）方框图积分器系统模拟连续系统、离散系统即时系统（无记忆）、动态系统（有记忆）均匀性（判定方法）系统分类线性系统、非线性系统叠加性（判定方法）时变系统、时不变系统（判定方法）因果系统、非因果系统（判定方法）响应可分解性线性零输入线性零状态线性系统时不变性系统分析方法⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩微分特性经典法时域分析卷积法分析方法频域（傅氏变换）变换域分析s域（拉氏变换）KCL KVL 0000000t −++−−++⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎧⎨≤<+∞元件特性约束（伏安关系）建模（微分方程列写）系统结构约束（、）自由响应：齐次解（含待定系数）方法一强迫响应：特解由状态和激励求状态（冲激函数匹配法）完全响应=自由响应+强迫响应（含待定系数）由状态定待定系数求齐次解（含待定系数）零输入响应由状态定待定系数（此时状态与状态相同）时域分析求解（响应区间：）方法二()()0000000t m n t δδ−−++−++⎪⎪⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩求完全解（齐次解+特解）（含待定系数）经典法由状态（此时状态为0）和激励求状态（冲激函数匹配法）由状态定待定系数求齐次解（含待定系数）零状态响应由状态和激励（此时为）求状态（冲激函数匹配法）冲激响应卷积法由状态定待定系数根据和的关系加上及其各阶导数零状态响应=激励*冲激响应完全响应⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩=零输入响应+零状态响应()()()()()()00,'t u t t t t u t t δδδ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪−⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义两个因果信号的卷积仍为因果信号，卷积积分限为利用利用定义卷积结果时宽等于两个函数各自时宽之和卷积计算图解法利用性质交换律代数性质分配律（系统并联）结合律（系统级联）性质微积分性质（微分冲激法）：不变：平移与特殊信号卷积：积分：微分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一般形式三角函数形式余弦形式正弦形式定义指数函数形式（傅氏系数为复数）两种形式系数之间的关系傅氏级数幅度谱频谱（离散性、谐波性、收敛性）相位谱偶函数：只含余弦项性质（奇偶对称性）奇函数：只含正弦项奇谐函数：只含奇次谐波⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩定义（频谱密度函数）利用定义傅氏变换计算利用性质矩形脉冲单边指数信号虚指数信号余弦信号直流信号典型信号的傅氏变换冲激信号冲激串冲激偶阶跃信号符号函数性质⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎨⎩对偶性线性幅度为偶函数相位为奇函数实函数：频谱共轭对称实部为偶函数虚部为奇函数奇偶对称性实偶函数：频谱为实偶函数实奇函数：频谱为虚奇函数时域压缩，频域扩展尺度变换时域扩展，频域压缩时域反褶，频域反褶时移特性：时域平移，频域乘虚指数函数（相移）性质自变量变换平移频移特性：频域平移，时域乘虚指数函数（调制）一般情况（尺度变换+时移）⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩时域微分微分特性频域微分微积分积分特性（时域）微分冲激法时域卷积定理：时域卷积，频域相乘卷积特性频域卷积定理：频域卷积，时域相乘（调制）时域抽样：时域离散化（与时域冲激串相乘），频域周期化（与频域冲激串卷积）抽样特性频域抽样：频域离散化（与频域冲激串相乘），时域周期化（与时域冲激串卷积）能量守恒（Parseval定理）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩物理意义：时域周期化，频域离散化（频域抽样）关系1：周期信号的傅氏级数与傅氏变换的关系两个关系关系2：单个脉冲信号的傅氏变换与周期脉冲信号的傅氏级数的关系求单个脉冲信号的傅氏变换三个步骤求周期脉冲信号的傅氏级数系数（利用关系2）周期信号的傅氏变换求周期脉冲信号的傅氏变换（利用关系1）虚指数信号：单个冲激（位于指数信号频率处）正弦：两个冲激（奇对称）典型周期信号的傅氏变换余弦：两个冲⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩激（偶对称）周期冲激序列（冲激串）：时域与频域均为冲激串物理意义：时域离散化（时域抽样），频域周期化抽样信号（时域）的傅氏变换信号重建条件：抽样频率不小于两倍带宽（奈奎斯特频率）抽样定理信号重建方法：低通滤波器()00--,st st e e σ⎧⎪⎨∞⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎨⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩-0单边（0系统）定义收敛域：冲激信号典型信号的拉氏变换阶跃信号指数信号利用定义拉氏变换计算正变换利用性质分母因式分解（求极点）步骤部分分式展开查表求原函数逆变换（部分分式分解法）非真分式：化为真分式+多项式（长除法）特殊情况有理分式与相乘：项不参与部分分式分解，求解时利用时移性质()()()u t f t F s ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩线性时域压缩，s域扩展尺度变换（不能反褶）时域扩展，s域压缩时移（只能右移）：时域平移，s域乘复指数函数自变量变换平移s域平移：s域平移，时域乘复指数函数一般情况（尺度变换+时移）：与的自变量作相同变换性质时域微分（应用：s域元件模型）微分微积分s域微分时域积分初值（若不是真分式，应化为真分式）终值（应用条件：()sF s ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎩⎩在右半平面和虚轴（原点除外）上无极点）时域卷积（因果信号卷积）：时域卷积，s域相乘卷积s域卷积：s域卷积，时域相乘()()()()H s L h t H s H s ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧=⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪⎪⎩方法一：列时域微分方程，两边取拉氏变换列s域方程（代入初始状态）方法二：直接由电路的s域模型建立代数方程拉氏变换法分析电路求解s域方程得到s域响应由拉氏逆变换得到时域响应（全响应）定义（零状态）方法一：计算方法二：微分方程两端取拉氏变换（零状态下），解出方法三：利用s域模型直接列s域方程（零状态下），解出s域分析系统函数应用：求系统()()()()()()()()()()()1BIBO s j R s E s H s r t L R s H s H s h t H j H s H s ωω−=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎪⎪⎨⎨⎨=⎡⎤⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩⎩零状态响应并联复合系统的级联反馈的零极点（图）定义（）时域：绝对可积稳定系统（）系统稳定性判断s域（因果系统）：的极点位置不稳定系统临界稳定系统⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪。

信号与系统_复习知识总结信号与系统是电子信息类专业中的一门重要课程，主要介绍信号与系统的基本概念、性质、表示方法、处理方法、分析方法等。

在学习信号与系统的过程中，我们需要掌握的知识非常多，下面是我对信号与系统的复习知识的总结。

一、信号的基本概念1.信号的定义：信号是随时间或空间变化的物理量。

2.基本分类：(1)连续时间信号：在整个时间区间内有无穷多个取值的信号。

(2)离散时间信号：只在一些特定时刻上有取值的信号。

(3)连续振幅信号：信号的幅度在一定范围内连续变化。

(4)离散振幅信号：信号的幅度只能取离散值。

二、信号的表示方法1.连续时间信号的表示方法：(1)方程式表示法：用数学表达式表示信号。

(2)波形表示法：用图形表示信号。

2.离散时间信号的表示方法：(1)序列表示法：用数学序列表示信号。

(2)图形表示法：用折线图表示离散时间信号。

三、连续时间系统的性质1.线性性质：(1)加性：输入信号之和对应于输出信号之和。

(2)齐次性：输入信号的倍数与输出信号的倍数相同。

2.时不变性：系统的输出不随输入信号在时间上的变化而变化。

3.扩展性：输入信号的时延会导致输出信号的时延。

4.稳定性：系统的输出有界，当输入信号有界时。

5.因果性：系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号值。

6.可逆性：系统的输出可以唯一地反映输入信号的信息。

四、离散时间系统的性质1.线性性质：具有加性和齐次性。

2.时不变性：输入信号的时移会导致输出信号的相应时移。

3.稳定性：系统的输出有界，当输入信号有界时。

4.因果性：系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号值。

五、连续时间系统的分类1.时不变系统：输入信号的时移会导致输出信号的相应时移。

2.线性时不变系统：具有加性和齐次性。

3.时变系统：输入信号的时移会导致输出信号的相应时移，并且系统的系数是时间的函数。

4.非线性系统：不具有加性和齐次性。

六、离散时间线性时不变系统的分类1.线性时变系统：输入信号的时移会导致输出信号的相应时移。

信号与系统知识点详细总结1. 信号与系统概念信号是指一种可以传递信息的载体，它可以是电气信号、光信号、声音等形式，常见的信号有连续信号和离散信号两种。

连续信号是定义在连续的时间域上的信号，例如声音信号；离散信号是定义在离散的时间域上的信号，例如数字信号。

系统是对输入信号进行加工处理的装置，它可以是线性系统或非线性系统、时变系统或时不变系统。

线性系统具有叠加性质，即输入信号的线性组合对应于输出信号的线性组合；非线性系统不满足叠加性质。

时变系统的特性随着时间的变化而改变，时不变系统的特性与时间无关。

2. 信号的分类信号可以按多种属性进行分类，例如按时间属性分类可分为连续信号和离散信号；按能量和功率分类可分为能量信号和功率信号，能量信号在有限时间内的总能量是有限值，功率信号在无穷时间内的平均功率是有限值；按周期性分类可分为周期信号和非周期信号，周期信号在一定时间间隔内具有重复的规律性。

3. 时域分析时域分析是指对信号在时间域上的特性进行分析，主要包括信号的幅度、相位、频率等方面。

信号的幅度是指信号的大小，可以用振幅来表示；相位是指信号在时间轴上的偏移量；频率是指信号的周期性特征。

时域分析的工具主要包括冲激响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应等。

冲激响应是指系统对单位冲激信号的响应，它可以用来描述系统的线性性、时不变性等性质；单位阶跃响应是指系统对单位阶跃信号的响应，可以用来求系统的单位脉冲响应；单位斜坡响应是指系统对单位斜坡信号的响应，可以用来在频域中求系统的频率响应。

4. 频域分析频域分析是指对信号在频域上的特性进行分析，主要包括信号的频谱分布、频率成分等方面。

频域分析的工具主要包括傅里叶变换、傅里叶级数、拉普拉斯变换等。

傅里叶变换是将信号在时间域和频域之间进行转换的一种数学工具，可以将时域信号转换成频域信号，也可以将频域信号转换成时域信号。

傅里叶级数是对周期信号进行频域分析的工具，可以将周期信号展开成一组正弦和余弦函数的线性组合；拉普拉斯变换是对信号在复频域上的分析工具，用于分析线性时不变系统的频域特性。

信号与线性系统总复习信号分析一、 信号的时域分析 1、 常见信号①单位冲激函数：)(t δ 定义：抽样性：②单位阶跃函数：)(t ε 定义：阶跃与冲激的关系：③斜变函数：)()(t t t R ε=斜变与阶跃的关系：④指数函数：)(t e tεα-)(t f )(k f ⎩⎨⎧=01)(t ε0<>t t ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∞∞-0)(1)(t dt t δδ0≠t ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∞-t d t dt t d t ττδεεδ)()()()()()0()()(t f t t f δδ⋅=⋅)0()()0()0()()()(f dt t f dt f t dt t f t ==⋅=⋅⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-δδδ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∞-t d t R dt t dR t ττεε)()()()(⑤门函数：)(t G τ ⑥余弦函数：t 0cos ω ⑦正弦函数：t 0sin ω ⑧冲激序列：∑∞-∞=-=n T nT t t )()(δδ2、 信号的运算：3、 信号的变换： 移位:反折: 展缩: 倍乘:4、 卷积： 连续：离散：性质：(1)延时特性：连续：)()()(212211t t t f t t f t t f --=-*- 离散：112212()()()f k k f k k f k k k -*-=--(2)微积分特性：)(0t t f ±)(t f -)(at f )(t af ∑∞-∞=-=*i i k f i f k f k f )()()()(2121⎰∞∞--=*τττd t f f t f t f )()()()(2121)()(21t f t f ±)()(21t f t f •t t df )(121()[()]tdf t f d dt ττ-∞=*⎰)()(21t f t f *二、 信号的频域分析（傅立叶变换分析法） 1、 定义：2、 性质：设)()(11ωj F t f ↔；)()(22ωj F t f ↔；)()(ωj F t f ↔①线性：)()()()(22112211ωωj F a j F a t f a t f a +↔+ ②对称性：)(2)(ωπf jt F ↔③延时：0)()(0tj e j F t t f ωω±↔±④移频：)()(00ωωωj j F e t f t j ↔±⑤尺度变换：)(1)(a j F a at f ω↔；)(1)(aj F e a b at f a bj ωω-↔-⑥奇偶特性：若)(t f 为实偶函数，则)(ωj F 也为实偶函数；若)(t f 为实偶函数，则)(ωj F 也为实偶函数；⑦时域微分：)()()(ωωj F j dtt df ↔； )()()(ωωj F j dtt f d nnn ↔ ⑧时域积分：)(1)()0()(ωωωδπττj F j F d f t+↔⎰∞- ⎰∞∞--=dte tf j F t j ωω)()(⎰∞∞-=ωωπωd e j F t f t j )(21)(⑨频域微分：ωωd j dF t f jt )()()(↔-；nn nd j F d t f jt ωω)()()(↔-⑩频域积分：⎰∞-↔-ωΩΩδπd F t f jtt f )()(1)()0(⑾卷积定理：)()()()(2121ωωj F j F t f t f ↔* )()(21)()(2121ωωπj F j F t f t f *↔⋅3、 常见信号的傅立叶变换 1)(↔t δωωπδεj t 1)()(+↔)]()([cos 000ωωδωωδπω++-↔t)]()([sin 000ωωδωωδπω--+↔j tωαεαj t e t +↔-1)(22sin )2()(τωτωττωττ=↔Sa t Gωj t 2)sgn(↔2222sin )2(01)(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔⎪⎩⎪⎨⎧><-=τωτωττωττττSa t t t t fTn nT t t n n T πΩΩωδΩωδΩδδΩ2)()()()(=-=↔-=∑∑∞-∞=∞-∞=4、 周期信号的频谱①性质：离散性，谐波性，收敛性 ②级数展开：∑∞=++=1)sin cos (2n n n t n b t n a a ΩΩ)(t f ∑∞=-+=10)cos(2n n n t n A a ΦΩ∑∞-∞=•=n tjn n e A Ω21∑∞-∞==n t jn n e c Ω⎰+=Tt t n tdt n t f T b 11sin )(2Ωtdt n t f T a Tt t n Ωcos )(211⎰+=⎰+-•=Tt t tjn n dtet f TA 11)(2Ω⎰+-=Tt t t jn n dte tf Tc 11)(1Ωnj n n e A A φ-•=nn A c •=2122nn n b a A +=nn n a b arctg=φ③频谱：n A •与)(Ωωn =之间的关系图称频谱图； n A 与)(Ωωn =之间的关系图称为振幅频谱图； n ϕ与)(Ωωn =之间的关系图称为相位频谱图；信号时域特性和频域特性关系：时域 频域 周期 离散 离散 周期 时域有限 频域无限 时域无限 频域有限5、 帕色伐尔定理[]⎰⎰∞∞-∞∞-=ωωπd j F dt t f 22)(21)(6、 取样定理 ①频带有限信号 ②满足关系：m s f f 2≥三、 信号的复频域分析（拉普拉斯变换分析法） 1、 定义：⎰∞-=)()(dte tf s F st⎰∞+∞-=j j st dse s F jt f σσπ)(21)(2、 性质：①线性: )()()()(22112211s F a s F a t f a t f a +↔+②时移:0)()()(00st e s F t t t t f -↔--ε ③频移:)()(00s s F et f ts -↔④尺度变换:)(1)(asF a at f ↔⑤时域微分:)0()0()0()()()1(21--------'--↔n n n n nn f f s f s s F s dtt f d ⑥时域积分:)(1)(s F sd f t↔⎰∞-ττ ⑦复频域微积分: ds s dF t tf )()(-↔；⎰∞↔s ds s F t f t)()(1⑧初、终值定理：)(lim )0(s sF f s ∞→+=；（)(s F 为真分式）)(lim )(0s sF f s →=∞⑨卷积定理：)()()()(2121s F s F t f t f ↔* )()(21)()(2121s F s F jt f t f *↔⋅π3、 常见信号的拉氏变换1)(↔t δ，st 1)(↔ε，a s t e t-↔1)(εα，1!+↔n nsn t ，22sin ωωω+↔s t ，22cos ωω+↔s st4、 反变换(1).部分分式展开法n n s s k s s k s s k s F -++-+-= 2211)()()()(2121t e k e k e k t f t s n t s t s n ε+++=(2).留数法∑==ni i s t f 1Re )(①单根is 处的留数 Re [()()]i stii s s s F s e s s ==- ②p 重根i s 处的留数111Re [()()](1)!i p st pi i s s p d s F s e s s p s-=-=--四、（离散）信号的Z 域分析1、 定义：∑∞-∞=-=K kz K F Z F )()( 2、 性质：① 线性线性：)()()()(22112211z F a z F a k f a k f a +↔+ ② 移序： 单边z 变换∑-=--↔+1)()()(n k k nn z k f zz F z n k f)()()(z F z n k n k f n-↔--ε双边z 变换)()(z F z n k f n ↔+ )()(z F z n k f n-↔-③ 尺度变换：)()(az F k f a k ↔ ④z 域微分特性：)()(z F dzdz k kf -↔ ⑤ 卷积定理：)()()()(2121z F z F k f k f ↔*)()(21)()(2121s F s F jt f t f *↔⋅π⑥ 初、终值定理：)(lim )0(z F f z ∞→= 3、 常见序列的Z 变换1)(↔k δ ，1)(-↔z zk ε ，γγ-↔z zk，2)1(-↔z zk4、 反Z 变换 (1) 长除法 (2) 部分分式法nn z B z B z B z B z z F γγγ-++-+-+= 22110)( nn z z B z zB z z B B z F γγγ-++-+-+= 22110)()()()()(22110k B B B k B k f kn n k k εγγγδ++++= (3) 留数法1()Re nii f k s ==∑①单根iz 处的留数 1Re [()()]i k ii z z s F z z z z -==- ②p 重根i z 处的留数 1111Re [()()](1)!i p k p i i z z p d s F z z z z p z--=-=--系统分析卷积+三大变换（时域、频域、复频域、Z 域）一、 系统的时域分析 1、 描述：(1) 连续系统--微分方程(2) 离散系统—差分方程)()()()()()()()(0111101111t e b dt t de b dtt e d b dt t e d b t r a dt t dr a dt t r d a dt t r d m m m m m m n n n nn +++=++++------ )t )k e )()1()()()1()1()(01011k e b k e b m k e b k y a k y a n k y a n k y m n +++++=++++-+++-3、全响应的求解连续： 离散：(1) 零输入响应 )(t r zi 、)(k y zi 特征方程：特征根：零输入响应：代定常数C 由初始条件决定：)()()(t r t r t r zs zi +=)()()(k y k y k y zs zi +=00111=++++--a a c n n n λλλ 00111=++++--a a c n n n γγγ 0)())((21=---n λλλλλλ 0)())((21=---n γγγγγγ knn k k zi c c c k y γγγ+++= 221)(tn ttzi n ec ec e c t r λλλ+++= 2121)()1()1(),0(-n y y y )0()0(),0()1(-'n zi zi zi r r r nγγγ,,,21 nλλλ,,,21 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++='+++=----1122111)1(221121)0()0()0(n n n n n n n n n c c c r c c c r c c c r λλλλλλ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'----n n n n n n n c c c rr r211121121)1(111)0()0()0(λλλλλλ(2) 零状态响应 )(t r zs 、)(k y zs4、解的分解零输入响应+零状态响应 自然响应+受迫响应 暂态响应+稳态响应二、系统的频域分析1、频域系统函数2、系统特性011101)(a p a p a p b p b p b p H n n nm m +++++++=-- )(t h 011101)(a S a S a S b S b S b S H n n nm m +++++++=-- )(k h )()()(k e k h k y zs *=)()()(t e t h t r zs *=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----)0()0()0(111)1(1112112121n n n n n n n rr r c c cλλλλλλnnij A AA)(11=-)()()(ωϕωωj e j H j H =)()()(ωωωj E j R j H zs =幅频特性： 相频特性：3、信号通过线性系统不产生失真的条件时域：频域：三、系统的复频域分析法1、微分方程的拉氏变换分析法 利用拉氏变换的微分特性：)0()0()0()()()1(21--------'--↔n n n n nn f f s f s s F s dtt f d 把微分方程：变为代数方程，其过程为：①)()()0()0()0()()()1(21s P s R s r r s r s s R s dtt r d k kk k k k kk -=--'--↔------)0()0()0()()1(21------++'+=k k k k r r s r s s P是与初始条件有关的关于s 的k 次多项式②)(ωj H )(ωφ)()(0t t Ke t r -=0)(t j Ke j H ωω-=)()()()()()()()(0111101111t e b dt t de b dtt e d b dt t e d b t r a dt t dr a dt t r d a dt t r d m m m m m m n n n n n +++=++++------)()()0()0()0()()()1(21s Q s E s e e s e s s E s dtt e d l ll l l l ll -=--'--↔------0)0()0()0()()1(21=++'+=------l l l l e e s e s s Q因为)(t e 是有始信号：0)0()0()0()1(==='=----l e e e 所以：)()(s E s dtt e d l l l ↔③把以上结果代入微分方程得：)()()()()()()(01111111s R a s P a s sR a s P a s R s a s P s R s n n n n n n +-++-+----- )()()(01s E b s sE b s E s b m m +++=)()()()()(010111s E b s b s b s M s R a s a s a s m m n n n +++=-++++-- )()()()()(s E s N s M s R s D =-其中：0111)(a s a s a s s D n n n ++++=-- 01)(b s b s b s N m m +++=)()()()(1111s P a s P a s P s M n n n +++=-- )()()()()()()()(s R s R s D s M s E s D s N s R zi zs +=+=可求得全响应：2、电路S 域模型等效法3、系统函数与系统的稳定性011101)(a s a s a s b s b s b s H n n n m m +++++++=-- )())((2101n m m s s s b s b s b λλλ---+++= 若极点n λλλ 21,均在s 平面的左半平面，则系统稳定。

信号与系统知识要点第一章信号与系统, t 01,t 0(t )0, t 0单位阶跃信号(t) u(t )0 单位冲激信号0,t(t ) 1d (t ) (t )dtt( )d (t )(t ) 的性质：f (t ) (t ) f (0) (t )f (t ) (t t 0 )f (t 0 ) (t t 0 )f (t ) (t)dtf (0)f (t ) (t t 0 )dt f (t 0 )(t ) ( t )(tt 0 ) [ (t t 0 )]1 (t)(at )a(at t 0 )1 (t t)aa 单位冲激偶信号(t)(t )d (t )dt(t ) ( t)(t t 0 )[ (t t 0 )](t )dt 0t( )d (t )f (t ) (t)f (0) (t) f (0) (t)f (t ) (t t 0 )f (t 0 ) (t t 0 ) f (t 0 ) (t t 0 )f (t ) (t) dt f (0)f (t ) (t t 0 ) dtf (t 0 )符号函数 sgn(t )1,tsgn(t )0, t 0 或 sgn(t ) u(t ) u( t ) 2u(t ) 11,t单位斜坡信号r (t)0, t 0 tdr (t) r (t ) tu(t)r (t )u( )du(t)t,tdt门函数 g (t )g (t)1, t2 0, 其他取样函数 Sa(t ) sin ttsin t lim Sa(t)Sa(0) lim 1tt 0t 0当 t k(k1, 2,ggg)时， Sa(t ) 0Sa(t)dtsin t dt lim sin t 0ttt第二章连续时间信号与系统的时域分析1 、基本信号的时域描述（ 1 ）普通信号普通信号可以用一个复指数信号统一概括，即f (t ) Ke st ，t 式中 sj ， K 一般为实数，也可以为复数。

根据与 的不同情况， f (t ) 可表示下列几种常见的普通信号。

重难点1.信号的概念与分类按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号;正弦信号组合后在任一对频率或周期的比值是有理分数时才是周期的..其周期为各个周期的最小公倍数..① 连续正弦信号一定是周期信号..② 两连续周期信号之和不一定是周期信号..周期信号是功率信号..除了具有无限能量及无限功率的信号外;时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号;当∞→t ;0)(≠t f 的非周期信号是功率信号..1. 典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =;a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =;s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()tSa t t= 奇异信号（1） 单位阶跃信号1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点..（2） 单位冲激信号单位冲激信号的性质：1取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞∞-∞-∞=-=⎰⎰()0t δ=当0t ≠时相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 2是偶函数 ()()t t δδ=- 3比例性 ()1()at t aδδ=4微积分性质 d ()()d u t t tδ= ； ()d ()t u t δττ-∞=⎰5冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ； ()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰ ()d ()tt t t δδ-∞'=⎰ ；带跳变点的分段信号的导数;必含有冲激函数;其跳变幅度就是冲激函数的强度..正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激..重难点2.信号的时域运算 ① 移位： 0()f t t +; 0t 为常数当0t >0时;0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上左移0t ；当0t <0时; 0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上右移0t ..② 反褶： ()f t - ()f t -的波形相当于将()f t 以t =0为轴反褶.. ③ 尺度变换： ()f at ;a 为常数当a >1时;()f at 的波形时将()f t 的波形在时间轴上压缩为原来的1a； 当0<a <1时;()f at 的波形在时间轴上扩展为原来的1a.. ④ 微分运算： ()df t dt信号经微分运算后会突出其变化部分.. 2. 系统的分类根据其数学模型的差异;可将系统划分为不同的类型：连续时间系统与离散时间系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统； 重难点3.系统的特性（1） 线性性若同时满足叠加性与均匀性;则称满足线性性..当激励为1122()()C f t C f t +1C 、2C 分别为常数时;系统的响应为1122()()C y t C y t +..线性系统具有分解特性： )()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应是初始值的线性函数;零状态响应是输入信号的线性函数;但全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数..（2） 时不变性 :对于时不变系统;当激励为0()f t t -时;响应为0()f t t -.. （3） 因果性线性非时变系统具有微分特性、积分特性.. 重难点4.系统的全响应可按三种方式分解：各响应分量的关系：重难点5.系统的零输入响应就是解齐次方程;形式由特征根确定;待定系数由-0初始状态确定..零输入响应必然是自由响应的一部分.. 重难点6.任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和：那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分;即)()()(t h t f t y zs *=..零状态响应可分解为自由响应和强迫响应两部分..重难点7.单位冲激响应的求解..冲激响应)(t h 是冲激信号作用系统的零状态响应.. 重难点8.卷积积分（1） 定义 ττττττd f t f d t f f t f t f )()()()()(*)(212121-=-=⎰⎰∞∞-∞∞-（2） 卷积代数① 交换律 )(*)()(*)((1221t f t f t f t f =② 分配率 )(*)()(*)()]()([*)(3121321t f t f t f t f t f t f t f +=+ ③ 结合律 )](*)([*)()(*)](*)([321321t f t f t f t f t f t f = 重难点9.卷积的图解法 求某一时刻卷积值 卷积过程可分解为四步：1换元： t 换为τ→得 f 1τ; f 2τ2反转平移：由f 2τ反转→ f 2–τ 右移t → f 2t-τ 3乘积： f 1τ f 2t-τ4积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分.. 3性质1ft δt=δtft = ft )()(*)(00t t f t t t f -=-δ)()(*)(2121t t t f t t t t f --=--δ 210,,t t t 为常数2ft δ’t = f’t3ftut ()()d ()d tf u t f τττττ∞-∞-∞=-=⎰⎰ut ut = tut4[]121221d ()d ()d ()*()*()()*d d d n n nn nnf t f t f t f t f t f t t t t == 5121212[()*()]d [()d ]*()()*[()d ]t t tf f f f t f t f τττττττ-∞-∞-∞==⎰⎰⎰6 f 1t –t 1 f 2t –t 2 = f 1t –t 1 –t 2 f 2t = f 1t f 2t –t 1 –t 2 = f t –t 1 –t 27 两个因果信号的卷积;其积分限是从0到t .. 8系统全响应的求解方法过程归纳如下：a.根据系统建立微分方程；b.由特征根求系统的零输入响应)(t y zi ；c.求冲激响应)(t h ；d.求系统的零状态响应)()()(t h t f t y zs *=；e.求系统的全响应)()()(t y t y t y zs zi +=.. 重难点10.周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t 1T 为其周期可展开为傅里叶级数.. 1三角函数形式的傅里叶级数0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞==++∑ 式中112T πω=;n 为正整数.. 直流分量01011()t T t a f t dt T +=⎰ 余弦分量的幅度01112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰正弦分量的幅度010112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰ 三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()n n n f t a A n t ωϕ∞==++∑2指数形式的傅里叶级数 1()jn t n n f t F e ω∞=-∞=∑式中;n 为从-∞到+∞的整数.. 复数频谱011011()t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算..从而可知周期信号所包含的频率成分..有些周期信号的对称性是隐藏的;删除直流分量后就可以显示其对称性..①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项;只可能包含直流项和余弦项.. ②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项;只可能包含正弦项..③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项;而不包含偶次谐波项..重难点11.从对周期矩形脉冲信号的分析可知：1 信号的持续时间与频带宽度成反比;2 周期T 越大;谱线越密;离散频谱将变成连续频谱；3 周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性..重难点12.傅里叶变换傅里叶变换定义为正变换()[()]()j t F f f t f t e dt ωω∞--∞==⎰ 逆变换11()[()]()2j t f t f F F e d ωωωωπ∞--∞==⎰频谱密度函数()F ω一般是复函数;可以写作 ()()()j F F e ϕωωω=其中()F ω是()F ω的模;它代表信号中个频谱分量的相对大小;是ω的偶函数..()ϕω是()F ω的相位函数;它表示信号中各频率分量之间的相位关系;是ω的奇函数..常用函数 F 变换对：δtπδωut 1()j πδωω+e -tut 1j ωα+ g τt2Sa ωττ⎛⎫⎪⎝⎭sgn t 2j ωe –|t |222ααω+ 重难点13.傅里叶变换的基本性质 1 线性特性1212()()()()af t bf t aF j bF j ωω+↔+2 对称特性 ()2()F jt f πω↔-3 展缩特性 1()()f at F j a aω←−→ 4 时移特性0-j t 0()()f t t F j e ωω-←→⋅5 频移特性 0j 0()[()]t f t e F j ωωω⋅←→-6 时域卷积特性 1212()()()()f t f t F j F j ωω*←→⋅7 频域卷积特性 12121()()[()()]2f t f t F j F j ωωπ⋅←→* 8 时域微分特性 ()()n n n d fj F j dtωω←→⋅9 积分特性1()()(0)()tf d F j F j ττωπδωω-∞←→+⎰10.频域微分特性 ()()n nnndF j t f t j d ωω←→⋅11奇偶虚实性若()()()F R jX ωωω=+;则①()f t 是实偶函数()()f R ωω=;即()f ω为ω的实偶函数.. ②()f t 是实奇函数()()f jX ωω=;即()f ω为ω的虚奇函数.. 重难点14.周期信号的傅里叶变换周期信号()f t 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的;这些冲激位于信号的谐频11(0,,2,)ωω±±处;每个冲激的强度等于()f t 的傅里叶级数的相应系数n F 的2π倍..即重难点15.冲激抽样信号的频谱冲激抽样信号()s f t 的频谱为1()()s sn sf F n T ωωω∞=-∞=-∑其中s T 为抽样周期;()f ω为被抽样信号()f t 的频谱..上式表明;信号在时域被冲激序列抽样后;它的频谱()s F ω是连续信号频谱()f ω以抽样频谱s ω为周期等幅地重复..重难点16．对于线性非时变系统;若输入为非周期信号;系统的零状态响可用傅里叶变换求得..其方法为：1 求激励ft 的傅里叶变换F j..2 求频域系统函数H j..3 求零状态响应y zs t 的傅里叶变换Y zs j;即Y zs j= H j F j..4 求零状态响应的时域解;即y zs t = F -1Y zs j重难点17．对于线性非时变稳定系统;若输入为正弦信号)cos()(0t A t f ω=;则稳态响应为 其中;)()(00ϕωωj e j H j H =为频域系统函数..重难点18．对于线性非时变系统;若输入为非正弦的周期信号;则系统的稳态响应的频谱为其中;n F是输入信号的频谱;即)(t f 的指数傅里叶级数的复系统..)(Ωjn H 是系统函数;为基波..n Y是输出信号的频谱..时间响应为重难点19．在时域中;无失真传输的条件是 )()(0t t f K t y -= 在频域中;无失真传输系统的特性为 0)(t j eK j H ωω-=20．理想滤波器是指可使通带之内的输入信号的所有频率分量以相同的增益和延时完全通过;且完全阻止通带之外的输入信号的所有频率分量的滤波器..理想滤波器是非因果性的;物理上不可实现的..重难点21．理想低通滤波器的阶跃响应的上升时间与系统的截止频率带宽成反比.. 重难点22．时域取样定理注意：为恢复原信号;必须满足两个条件：1f t 必须是带限信号；2取样频率不能太低;必须f s ≥2f m;或者说;取样间隔不能太大;必须T s ≤1/2f m ；否则将发生混叠.. 通常把最低允许的取样频率f s=2f m 称为奈奎斯特Nyquist 频率； 把最大允许的取样间隔T s=1/2f m 称为奈奎斯特间隔.. 重难点23．单边拉氏变换的定义为积分下限定义为-=0t ..因此;单位冲激函数1)(⇔t δ;求解微分方程时;初始条件取为-=0t ..重难点24．拉普拉斯变换收敛域：使得拉氏变换存在的S 平面上σ的取值范围称为拉氏变换的收敛域..)(t f 是有限长时;收敛域整个S 平面；)(t f 是右边信号时;收敛域0σσ>的右边区域；)(t f 是左边信号时;收敛域0σσ<的左边区域；)(t f 是双边信号时;收敛域是S 平面上一条带状区域..要说明的是;我们讨论单边拉氏变换;只要σ取得足够大总是满足绝对可积条件;因此一般不写收敛域..单边拉氏变换;只要σ取得足够大总是满足绝对可积条件;因此一般不写收敛域..重难点25．拉普拉斯正变换求解： 常用信号的单边拉氏变换 重难点26.拉普拉斯变换的性质6时域卷积定理 f 1t f 2t ←→ F 1s F 2s 7周期信号;只要求出第一周期的拉氏变换1()F s ;1()()1sTF s F s e-=- 频域微分性： d ()()()d F s t f t s-←→ 频域积分性：()()s f t F d tηη∞←→⎰初值定理：0(0)lim ()lim ()t s f f t sF s →+→∞+==终值定理若ft 当t →∞时存在;并且 ft ← → F s ; Res>0; 0<0;则 0()lim ()s f sF s →∞=拉氏变换的性质及应用..一般规律：有t 相乘时;用频域微分性质.. 有实指数te α相乘时;用频移性质.. 分段直线组成的波形;用时域微分性质..周期信号;只要求出第一周期的拉氏变换1()F s ;1()()1sTF s F s e-=- 由于拉氏变换均指单边拉氏变换;对于非因果信号;在求其拉氏变换时应当作因果信号处理..重难点27．拉普拉斯反变换求解：掌握部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换的方法1单实根时 )(t Ke a s Kt a ε-⇔+2二重根时2()()t KKte t s αεα-↔+ 重难点28．微分方程的拉普拉斯变换分析：当线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时;可对方程取拉氏变换;并代入初始条件;从而将时域方程转化为S 域代数方程;求出响应的象函数;再对其求反变换得到系统的响应.. 重难点29．动态电路的S 域模型：由时域电路模型能正确画出S 域电路模型;是用拉普拉斯变换分析电路的基础..引入复频域阻抗后;电路定律的复频域形式与其相量形式相似.. 重难点30．系统的零状态响应为 )()()(s F s H s Y zs =其中;)()(s H t h ⇔;)(s H 是冲激响应的象函数;称为系统函数..系统函数定义为)()()(s F s Y s H zs =重难点31．系统函数的定义重难点32．系统函数的零、极点分布图重难点33．系统函数H ·与时域响应h · ：LTI 连续因果系统的h t 的函数形式由H s 的极点确定..① Hs 在左半平面的极点无论一阶极点或重极点;它们对应的时域函数都是按指数规律衰减的..结论：极点全部在左半开平面的系统因果是稳定的系统..② Hs 在虚轴上的一阶极点对应的时域函数是幅度不随时间变化的阶跃函数或正弦函数..Hs 在虚轴上的二阶极点或二阶以上极点对应的时域函数随时间的增长而增大..③ H s 在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点;其所对应的响应函数都是递增的..重难点34．系统的稳定性：稳定系统 Hs 的极点都在左半开平面;边界稳定系统 Hs 的极点都在虚轴上;且为一阶; 不稳定系统 Hs 的极点都在右半开平面或虚轴上二阶以上..H s=11101110()()m m m m n n n n b s b s b s b N s D s a s a s a s a ----++++=++++ 判断准则：1多项式的全部系数i a 符号相同为正数；2无缺项；3对三阶系统;323210()D s a s a s a s a =+++的各项系数全为正;且满足1203a a a a > 重难点35、常用的典型信号 1．单位抽样序列)(n δ)(n δ的延迟形式： 1,()0,n m n m n mδ=⎧-=⎨≠⎩推出一般式： ∑∞-∞=-=k k n k x n x )()()(δ)θ+2．单位阶跃序列()n ε与)(n δ的关系： ()()(1)n n n δεε=-- 延迟的表达式()n m ε-.. 3． 矩形序列)(n R N -----有限长序列 4． 实指数序列----实指数序列)(n u a n 重难点36、离散系统的时域模拟它的基本单元是延时器;乘法器;相加器.. 重难点37、系统的零输入响应若其特征根均为单根;则其零输入响应为：1()nkx xi i i y k c λ==∑C 由初始状态定相当于0-的条件 重难点38、卷积和的定义12()()()k f n f k f n k ∞=-∞=-∑=f 1n f 2n卷积和的性质1 交换律：()()()()1221f n f n f n f n *=*2 分配律：()()()()()()123123f n f n f n f n f n f n **=**⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3 结合律.：()()()()()()()1231213f n f n f n f n f n f n f n *+=*+*⎡⎤⎣⎦f n δn = f n ; f n δn – n 0 = f n – n 0 f n εn =()nk f k =-∞∑f 1n – n 1 f 2n – n 2 = f 1n – n 1 – n 2 f 2n卷和的计算：不进位乘法求卷积、利用列表法计算、卷积的图解法 重难点39、离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和..即重难点40．z 变换定义()()n n F z f n z ∞-=-∞=∑称为序列f k 的双边z 变换()()n n F z f n z ∞-==∑ 称为序列f k 的单边z 变换重难点41．收敛域因果序列的收敛域是半径为|a|的圆外部分.. 重难点42．熟悉基本序列的Z 变换..k ←→ 1 ; z>0 k ←→1zz -; z>1 重难点43．z 变换的性质 1移位特性双边z 变换的移位：()n z F z -↔f(k -n)单边z 变换的移位： f k-2 ←→ z -2F z + f -2 + f -1z -1 2序列乘a k z 域尺度变换 a k f k ←→ F z/a3卷积定理 f 1k f 2k ←→ F 1z F 2z 重难点44．掌握部分分式法求逆Z 变换.. 重难点45．掌握离散系统Z 域的分析方法.. 1差分方程的变换解 2系统的z 域框图 3稳定性Hz 按其极点在z 平面上的位置可分为：在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类..①极点全部在单位圆内的系统因果是稳定系统..② Hz在单位圆上是一阶极点;单位圆外无极点;系统是临界稳定系统..③ Hz在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点;系统是不稳定系统..。

信号与系统知识点总结1. 信号的分类信号可以分为连续信号和离散信号。

连续信号是在连续的时间范围内变化的信号，如声音信号、光信号等。

离散信号则是在离散的时间点上取值的信号，如数字信号、样本信号等。

信号还可以根据其能量或功率的性质来分类，能量信号是能量有限，而功率信号是功率有限。

对于周期信号和非周期信号，周期信号必须满足在某个周期内的所有时间点上的信号值是相同的。

2. 时域分析时域分析是研究信号在时间域上的特性，主要包括信号的幅度、相位、频率等。

时域分析有利于了解信号在时间上的变化规律，对于非周期信号可通过傅里叶变换将其分解为频谱成分，而对于周期信号可以利用傅里叶级数展开。

此外，还有拉普拉斯变换、Z变换等方法用于时域分析。

3. 频域分析频域分析是研究信号的频率特性，对于周期信号可以采用傅里叶级数展开进行频域分析，而对于非周期信号可以采用傅里叶变换进行频域分析。

频域分析有助于了解信号的频率分布情况，诸如频率分量的大小、相位、频率响应等。

4. 系统特性系统特性包括线性性、时不变性、因果性等。

线性时不变系统是信号与系统理论中最基本的概念之一，它是指系统对输入信号的线性组合具有线性响应，且系统的特性参数不随时间变化。

除了这些基本的特性外，系统还有稳定性、因果性、可逆性等特性。

稳定系统是指对于有限输入产生有限输出，因果系统则是指系统的输出只能由当前和过去的输入决定等。

5. 离散系统离散系统是指在离散的时间点上产生输出的系统，如数字滤波器、数字控制系统等。

离散系统与连续系统相比，具有离散时间的性质，其特性和分析方法也有所不同。

在离散系统中，常见的方法有差分方程描述、Z变换分析等。

而离散系统的特性与分析方法与连续系统有很大的差异，需要通过一定的数学工具进行分析与设计。

以上就是信号与系统的主要知识点总结，通过对这些知识的掌握，可以更好地理解信号的特性与系统的特性，从而应用于实际工程问题的处理与解决。

希望以上内容能对你的学习有所帮助。

重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。

其周期为各个周期的最小公倍数。

① 连续正弦信号一定是周期信号。

② 两连续周期信号之和不一定是周期信号。

周期信号是功率信号。

除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号，当∞→t ，0)(≠t f 的非周期信号是功率信号。

1. 典型信号① 指数信号： ()atf t Ke =，a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =，s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()tSa t t= 奇异信号（1） 单位阶跃信号1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点。

（2） 单位冲激信号单位冲激信号的性质：（1）取样性11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞∞-∞-∞=-=⎰⎰相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=- （2）是偶函数 ()()t t δδ=- （3）比例性 ()1()at t aδδ=（4）微积分性质 d ()()d u t t tδ= ； ()d ()t u t δττ-∞=⎰（5）冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ；(0)t <(0)t >()1t dt δ∞-∞=⎰()0t δ=（当0t ≠时）()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰()d ()tt t t δδ-∞'=⎰ ；()()t t δδ''-=-()d 0t t δ∞-∞'=⎰带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。

《信号与系统》知识点⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩函数描述波形确定信号、随机信号分类周期信号、非周期信号(周期计算连续信号、离散信号平移自变量变换尺度变换(含反褶一般情况(尺度变换+平移信号运算微分、积分相加、相乘直流分量、交流分量偶分量、奇分量分解脉冲分量(卷积实部分量、虚部分量正交函数分量(变换域正弦信号常规信号复指数信号(自变量分别取实数、纯虚数、复常见典型信号⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩数抽样信号斜变信号阶跃信号(因果信号、门信号、符号函数矩形脉冲演变定义 Dirac函数抽样性奇偶性(偶函数冲激信号性质奇异信号尺度变换微积分应用(间断点处求导抽样性冲激偶信号奇偶性(奇函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩LTI LTI⎧⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩微分方程加法器基本运算单元数乘器描述(建模方框图积分器系统模拟连续系统、离散系统即时系统(无记忆、动态系统(有记忆均匀性(判定方法系统分类线性系统、非线性系统叠加性(判定方法时变系统、时不变系统(判定方法因果系统、非因果系统(判定方法响应可分解性线性零输入线性零状态线性系统时不变性系统分析方法⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩微分特性经典法时域分析卷积法分析方法频域(傅氏变换变换域分析 s域(拉氏变换KCL KVL 0000000t −++−−++⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎧⎨≤<+∞元件特性约束(伏安关系建模(微分方程列写系统结构约束(、自由响应:齐次解(含待定系数方法一强迫响应:特解由状态和激励求状态(冲激函数匹配法完全响应=自由响应+强迫响应(含待定系数由状态定待定系数求齐次解(含待定系数零输入响应由状态定待定系数(此时状态与状态相同时域分析求解(响应区间: 方法二((0000000t m n tδδ−−++−++⎪⎪⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩⎩求完全解(齐次解+特解(含待定系数经典法由状态(此时状态为0和激励求状态(冲激函数匹配法由状态定待定系数求齐次解(含待定系数零状态响应由状态和激励(此时为求状态(冲激函数匹配法冲激响应卷积法由状态定待定系数根据和的关系加上及其各阶导数零状态响应=激励*冲激响应完全响应⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩=零输入响应+零状态响应((((((00, ' t u t t t t u t tδδδ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪−⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义两个因果信号的卷积仍为因果信号,卷积积分限为利用利用定义卷积结果时宽等于两个函数各自时宽之和卷积计算图解法利用性质交换律代数性质分配律(系统并联结合律(系统级联性质微积分性质(微分冲激法 :不变 :平移与特殊信号卷积 :积分 :微分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一般形式三角函数形式余弦形式正弦形式定义指数函数形式(傅氏系数为复数两种形式系数之间的关系傅氏级数幅度谱频谱(离散性、谐波性、收敛性相位谱偶函数:只含余弦项性质(奇偶对称性奇函数:只含正弦项奇谐函数:只含奇次谐波⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩定义(频谱密度函数利用定义傅氏变换计算利用性质矩形脉冲单边指数信号虚指数信号余弦信号直流信号典型信号的傅氏变换冲激信号冲激串冲激偶阶跃信号符号函数性质《信号与系统》知识点⎧对偶性⎪⎪线性⎪⎧⎧幅度为偶函数⎪⎪⎪⎪⎪实函数：频谱共轭对称⎪相位为奇函数⎪⎨⎪⎪⎪实部为偶函数⎪⎪⎪虚部为奇函数⎪⎩⎪⎪⎪奇偶对称性⎨实偶函数：频谱为实偶函数⎪⎪实奇函数：频谱为虚奇函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎧时域压缩，频域扩展⎪⎪⎪⎪尺度变换⎨时域扩展，频域压缩⎪⎪⎪时域反褶，频域反褶⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧时移特性：时域平移，频域乘虚指数函数（相移）性质⎨⎪⎪自变量变换⎨平移⎨频移特性：频域平移，时域乘虚指数函数（调制）⎩⎪⎪⎪一般情况（尺度变换+时移）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎧时域微分⎪⎪微分特性⎨⎪⎩频域微分⎪⎪⎪微积分⎨积分特性（时域）⎪⎪⎪微分冲激法⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧时域卷积定理：时域卷积，频域相乘⎪卷积特性⎨⎪⎩频域卷积定理：频域卷积，时域相乘（调制）⎪⎧⎪时域抽样：时域离散化（与时域冲激串相乘），频域周期化（与频域冲激串卷积）⎪⎪抽样特性⎨频域抽样：频域离散化（与频域冲激串相乘），时域周期化（与时域冲激串卷积）⎪⎩⎪⎪能量守恒（Parseval定理）⎩⎧⎧物理意义：时域周期化，频域离散化（频域抽样）⎪⎪⎪⎪两个关系⎧关系1：周期信号的傅氏级数与傅氏变换的关系⎨⎪⎪⎩关系2：单个脉冲信号的傅氏变换与周期脉冲信号的傅氏级数的关系⎪⎪⎪⎪⎧求单个脉冲信号的傅氏变换⎪⎪⎪⎪⎪三个步骤⎨求周期脉冲信号的傅氏级数系数（利用关系2）周期信号的傅氏变换⎨⎪⎪求周期脉冲信号的傅氏变换（利用关系1）⎩⎪⎪⎪⎪⎧虚指数信号：单个冲激（位于指数信号频率处）⎨⎪⎪⎪⎪⎪正弦：两个冲激（奇对称）⎪⎪典型周期信号的傅氏变换⎨⎪⎪⎪余弦：两个冲激（偶对称）⎪⎪⎪周期冲激序列（冲激串）：时域与频域均为冲激串⎪⎩⎩⎪⎧物理意义：时域离散化（时域抽样），频域周期化⎪⎪抽样信号（时域）的傅氏变换⎪⎧信号重建条件：抽样频率不小于两倍带宽（奈奎斯特频率）⎨⎪⎪抽样定理⎨信号重建方法：低通滤波器⎪⎩⎩⎩宜宾学院物理与电子工程学院邓凯《信号与系统》知识点⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧单边（0- 系统）⎪⎪⎪定义⎨ (σ ⎪收敛域：0 , ∞ ⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧冲激信号⎪⎪⎪典型信号的拉氏变换⎪阶跃信号⎨⎪⎪⎪指数信号⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧利用定义⎪⎪拉氏变换⎨计算⎨正变换⎨⎩利用性质⎪⎪⎪⎪⎧⎧分母因式分解（求极点）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪步骤⎨部分分式展开⎪⎪⎪查表求原函数⎪⎪⎪⎩⎪逆变换（部分分式分解法）⎪⎪⎨⎧非真分式：化为真分式+多项式（长除法）⎪⎪⎪⎪⎪⎪特殊情况⎪有理分式与e- st0 相乘：⎨⎪⎪⎪⎪ - st0 ⎪⎪⎪⎩e 项不参与部分分式分解，求解时利用时移性质⎩⎩⎪⎪⎧线性⎪⎪⎧⎧时域压缩，s域扩展⎪⎪⎪尺度变换（不能反褶）⎨⎪⎪⎩时域扩展，s域压缩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧时移（只能右移）：时域平移，s域乘复指数函数⎪⎪⎪自变量变换⎨平移⎨⎪⎪⎩s域平移：s域平移，时域乘复指数函数⎪⎪⎪⎪一般情况（尺度变换+时移）：u ( t 与f ( t 的自变量作相同变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪性质⎪⎨⎪⎧⎧时域微分（应用：s域元件模型）⎪⎪⎪微积分⎪微分⎨s域微分⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩时域积分⎪⎪⎪初值（若F ( s 不是真分式，应化为真分式）⎪⎪⎪⎪终值（应用条件：sF ( s 在右半平面和虚轴（原点除外）上无极点）⎪⎪⎪时域卷积（因果信号卷积）：时域卷积，s域相乘⎪卷积⎧⎪⎨⎪⎩s域卷积：s域卷积，时域相乘⎪⎩⎩宜宾学院物理与电子工程学院邓凯《信号与系统》知识点⎧⎪⎧⎧方法一：列时域微分方程，两边取拉氏变换⎪⎪列s域方程（代入初始状态）⎨⎪⎩方法二：直接由电路的s域模型建立代数方程⎪⎪⎪⎪拉氏变换法分析电路⎨求解s域方程得到s域响应⎪由拉氏逆变换得到时域响应（全响应）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧定义（零状态）⎪⎪⎪⎧方法一：H ( s = L ⎡ h ( t ⎤⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎪⎪计算⎨方法二：微分方程两端取拉氏变换（零状态下），解出H ( s ⎪⎪⎪⎪⎪⎪方法三：利用s域模型直接列s域方程（零状态下），解出H ( s ⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪R ( s = E ( s H ( s s域分析⎨系统函数⎨应用：求系统零状态响应⎨ −1 ⎪r ( t = L ⎡ R ( s ⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎪⎪⎧并联⎪⎪⎪⎪复合系统的H ( s ⎪级联⎨⎪⎪⎪反馈⎪⎪⎩⎪⎪ H ( s 的零极点（图）⎪⎪⎩⎪⎪⎧定义（BIBO）⎪⎪⎧时域：h ( t 绝对可积⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧稳定系统（H ( jω = H ( s ）⎪⎪系统稳定性⎨s = jω ⎪⎪⎪⎪判断⎨s域（因果系统）：H s 的极点位置⎪不稳定系统 ( ⎪⎨⎪⎪⎪⎪临界稳定系统⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩⎩宜宾学院物理与电子工程学院邓凯。