欧拉公式和球

欧拉公式和球欧拉公式是数学中一条重要的公式，描述了数学中三个重要的数学常数间的关系。

这个公式的形式可以写作e^(iπ)+1=0，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，π是圆周率。

欧拉公式还在物理学中有着广泛的应用。

量子力学和电磁学等领域中，欧拉公式是不可或缺的工具。

它帮助我们描述波函数、电场和磁场等物理量，从而更好地理解它们的行为和相互作用。

除了欧拉公式，我还想谈一下关于球的话题。

球是一种几何体，它由所有到圆心距离不大于半径的点组成。

球是三维空间中的特殊形状，它具有许多独特的性质和应用。

球在数学中有着重要的地位。

它是几何学的基本对象之一，具有许多重要的性质和定理。

比如，球的体积和表面积可以用简单的公式表示，它们与球的半径之间呈特定的关系。

球还具有旋转对称性，这意味着无论从哪个角度观察，它的形状都是一样的。

球也在物理学中起着重要的作用。

它常常被用来描述物体的形状和运动。

例如，天体物理学中的恒星和行星都可以近似地看作是球体。

球体在力学、电磁学和流体力学等领域中也有着广泛的应用。

除此之外，球还在工程学和计算机图形学中被广泛应用。

例如，在计算机图形学中，球体是建模和渲染的基本几何形状之一、通过对球的运动和变形进行建模，我们可以创建出逼真的三维图像。

综上所述，欧拉公式和球都是数学中的重要概念。

欧拉公式揭示了数学中多个概念之间的关系，而球是几何学和物理学中的基本对象之一、它们在数学、物理、工程和计算机科学等领域中都有着广泛的应用和意义。

欧拉公式原理
复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。

拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes 首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。

欧拉公式的证明
由此：，，然后采用两式相加减的方法得到：
，
.这两个也叫做欧拉公式。

将
中的x取作π就得到：
这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。

空间中的欧拉公式V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

在多面体中的运用:简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。

公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

平面上的欧拉公式V+F-E=X(P),其中V是图形P的定点个数，F是图形P内的区域数，E是图形的边数。

在非简单多面体中，欧位公式的形式为：V-E+F-H=2(C-G)其中H指的是平面上不完整的个数，而C指的是独立的多面体的个数，G指的是多面体被贯穿的个数。

证明（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。

假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。

每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。

因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。

有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。

这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。

多面体的欧拉公式球(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--多面体的欧拉公式球多面体的欧拉公式：一．重点、难点提示1．多面体的概念若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．一个多面体至少有四个面．2．正多面体每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体．正多面体分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种，其中正四面体、正八面体和正二十面体的各个面都是全等的正三角形，正六面体又叫做正方体，其各个面都是全等的正方形而正十二面体的各面是全等的正五边形．3. 欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，那么V+F-E=2．二．考点指要理解多面体、凸多面体、简单多面体和正多面体的概念，能运用欧拉公式进行有关的判断和计算．球：一．重点、难点提示1．球面的概念半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，半圆的圆心叫做球心．连结球心和球面上任意一点的线段叫做球半径，连结球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径．球面也可以看作与定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合，如果一个球的球心为O，我们可以把这个球记作球O．2．球的概念球面所围成的几何体叫做球体，简称球．3．球的截面及其性质用一个平面截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质：(1)球心与截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径及及截面的半径r有下面的关系：。

4．球面上的大圆和小圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆，地球上的赤道就是一个大圆，北极圈就是一个小圆。

球面上两点距离的概念：在球面上，两点之间的最短连线的长度即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做两点的球面距离。

1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：2V F E+-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E=+-，()f p叫欧拉示性数（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p=．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p=（3）多面体所有面的内角总和公式：①()360E F-︒或②0(2)360V-5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面表示它的球心的字母表示，例如球O．6．球的截面：用一平面α去截一个球O，设OO'是平面α的垂线段，O'为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆7．经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离9．两点的球面距离公式： AB Rθ=（其中R为球半径，θ为A,B所对应的球心角的弧度数）10 半球的底面：已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得半球的底面11．球的体积公式：43V Rπ=12 球的表面积：24S Rπ=1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．练习参考答案：1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，即5n =．2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵8V =，83122E ⨯==，∴26F E V =+-=，即6n =． 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 证明：∵23F E ＝，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E ＝7，∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则 E n n n F 221=+++ ，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．答案：①一个或无数个 ②249m ③3 ④43π ⑤ 3π7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ； 答案：3R π8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；答案：3cm9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．分析：求A 、B 两点间的球面距离，就是求过球心和点A 、B 的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB 的长，所以要先求出A 、B 两点所在纬度圈的半径．解：连结AB ．设地球球心为O ，北纬45°圈中心为O 1，则 O 1O ⊥O 1A ，O 1O ⊥O 1B ．∴4511=∠=∠=∠AOC BO O AO O ．∴ O 1A ＝O 1B ＝O 1O ＝45cos ⋅OA ＝R 22． ∴ 两点间的纬线的长为：R R 42222=⋅π． ∵ A 、B 两点的经度相差90°， ∴ 901=∠B AO ．在B AO Rt 1△中，R AO AB ==12，∴ OB AB OA ==，3π=∠AOB ．∴ 两点间的球面距离是：R 3π．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；答案： 811．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 答案： 312.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 答案： 713.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 答案： 614.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．答案： ，43π 15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可． 解：设正方体棱长为a ，则三个球的半径依次为2a 、a 22，a 23 ∴ 三个球的表面积之比是3:2:1::321=S S S ．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．解：如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H ． 由题设 a GE AE AG 3622=-=． ∵ △AOF ∽△AEG ∴a Ra a R 233663-=，得a R 126=．∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ R r R a rR a =---36236，得a r 246=． ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球．另法：以O 为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到1144R OG AG h ===，3h a =，111()428r h h ===。

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P 同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

n是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子：如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。

高二数学欧拉公式的发现、球人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：欧拉公式的发现、球二. 重点、难点1. 简单多面概念：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。

像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。

简单多面体分类（如下图）2. 欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V ，面数为F ，棱数为E ，那么V ＋F －E ＝2 设各面的边数为n 1,n 2，…，n F ，则n 1＋n 2＋…＋n F ＝2E设各顶点出发的棱分别为n 1,n 2，…，n V 则n 1＋n 2＋…＋n V ＝2E 3. 球定义：半圆以它的直径为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体。

（简称球） 性质：（1）球心与截面圆心的连线垂直于截面。

（2）设球心到截面的距离为d ，截面圆的半径为r ，球的半径为R ，则：r ＝22d R 。

球面距离：在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫两点间球面距离。

P 点的经度——经过P 点的经线NB 与地轴NO 确定的半平面NBO 与本初子午线NA 与地轴NO 确定的半平面NAO 所成二面角的度数，即角AOB 的度数。

P 点的纬度——经过P 点的球半径PO 与赤道面所成角的度数，即角POB 的度数。

北极 赤道同纬度两点的球面距离的求法（如图）（1）作出以球心O 为顶点的三棱锥O －O ′MN. （2）计算球心角∠MON 的大小（弧度数） （3）求出大圆上M 、N 两点间的劣弧长。

MN2. 面积和体积的计算公式球表面积：S 球 ＝ 4πR 2 球体积：V 球 ＝34πR 3 ＝ 61πd 3【典型例题】例1. 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，以每个顶点有一端都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目。

人类最美的54个公式作为一种方式来描述和解释自然现象和数学常识的工具，公式在人类的历史中起着重要的作用。

在众多公式中，有一些被视为人类创造的最美之作。

以下是人类认为最美的54个公式。

1. 欧拉公式：e^(iπ) + 1 = 0。

这个公式将数学中的五个最基本的数——0、1、e、i和π联系在了一起。

2. 直线方程：y = mx + b。

这个简单而经典的公式描述了直线的关系，具有重要的几何和物理意义。

3. 平方差公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。

它展示了两个数的平方和与其各自平方之和的关系。

4. 费马小定理：对于素数p和整数a，a^p ≡ a (mod p)。

这个公式是数论中的基石之一，深刻揭示了整数的特性。

5. 波尔-爱因斯坦关系：E = mc^2。

它描述了质量与能量之间的等价关系，是相对论中最著名的公式之一。

6. 黎曼猜想：ζ(s) = 0。

这是数论中的一个重要猜想，关于复数域上的黎曼ζ函数零点的分布。

7. 斯特恩-盖恩斯公式：2^n = nC0 + nC1 + ... + nCn。

它表示一个集合中所有子集的总数等于2的n次方。

8. 高斯公式：∑n = (n(n+1))/2。

这个公式描述了整数从1累加到n的和，被高斯称为等差数列的和公式。

9. 球体表面积公式：4πr^2。

这个公式表示球体表面的面积与半径的平方成正比，是几何学中的重要公式之一。

10. 波长和频率公式：v = λf。

这个公式描述了波长、频率和波速之间的关系，为声波、光波等的研究提供了基础。

11. 黄金分割公式：φ = (1+√5)/2。

这个公式描述了一种美学比例，被广泛应用于艺术和设计领域。

12. 傅里叶级数：f(x) = a0 + ∑(an*cos(nx) + bn*sin(nx))。

它将一个函数展开为一组三角函数的线性组合，具有极大的实用价值。

13. 熵公式：S = -k∑(p*log(p))。

这个公式描述了热力学中的熵，用于衡量系统的无序程度。

定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。

欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n 且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。

所以，很明显，S=Zn既然这样，那么（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)费马定理:a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

几何体欧拉定理
几何体欧拉定理指的是在多面体中，顶点数（V）、棱边数（E）和面数（F）之间存在一定的数学关系。

具体来说，对于简单多面体（即表面经过连续变形可以变为球面的多面体），其顶点数、棱边数、面数之间的关系可以表示为：V - E + F = 2。

这个公式也被称为欧拉公式。

在三维空间中，多面体欧拉定理可以进一步表示为：顶点数（V）减去棱长数（E）再加上表面数（F）等于2，即V - E + F = 2。

这个公式不仅适用于三维空间中的多面体，还可以推广到更高维度的空间。

在n维空间中，对于n维简单多面体，其各维对象数（顶点数、边数、面数等）之间也存在类似的数学关系，可以表示为V - E + F - S + ... + (-1)^(n-1) * D_n = 1，其中V、E、F、S等分别表示不同维度的对象数，D_n表示n维对象数，符号为负正号交替出现。

此外，欧拉定理在平面图中也有应用。

在平面图中，欧拉定理可以表示为：设G为任意的连通的平面图，则v - e + f = 2，其中v表示顶点数，e表示边数，f表示面数。

这个公式在平面图的各种问题中有广泛的应用，例如在求解平面图的面数时，可以通过已知的顶点数和边数来计算。

总之，几何体欧拉定理是几何学中的一个重要定理，它描述了多面体和其他几何对象中不同维度对象数之间的数学关系，对于理解几何对象的性质和研究几何问题具有重要的意义。

球体 bi数计算
【实用版】
目录
1.球体和欧拉公式
2.球体的 bi 数计算方法
3.实例分析
正文
1.球体和欧拉公式
球体是一种几何图形，其表面由无数个点组成，这些点到球心的距离都相等。

在数学领域，球体有着广泛的应用，而欧拉公式则是描述球体表面性质的一个重要公式。

欧拉公式表明，一个凸多面体的顶点数（V）、面数（F）和边数（E）之间存在这样的关系：V - E + F = 2。

对于球体来说，它的顶点数为 0，面数为 1，边数为 0，所以根据欧拉公式，球体的性质可以得到描述。

2.球体的 bi 数计算方法
在计算机图形学中，bi 数是一种用于描述球体表面的参数。

为了计
算球体的 bi 数，我们需要引入一个新的变量，即球体的细分程度。

细分程度可以理解为将球体切割成多少个部分，然后对这些部分进行重新组合，以得到一个近似球体的多面体。

bi 数等于多面体的顶点数除以面数。

通
过改变细分程度，我们可以得到不同 bi 数的球体。

3.实例分析
假设我们现在有一个细分程度为 4 的球体，我们可以将其切割成 24 个部分，然后重新组合成一个近似球体的多面体。

这个多面体有 24 个顶点和 24 个面，所以它的 bi 数为 1。

如果我们将细分程度增加到 8，那么球体将被切割成 64 个部分。

重
新组合后，我们得到一个有 64 个顶点和 64 个面的多面体。

这个多面体的 bi 数为 1。

通过以上实例，我们可以看到，随着细分程度的增加，计算得到的 bi 数会逐渐接近 1。

四个欧拉公式
欧拉公式是数学家埃及里奥·欧拉发明的公式，它通常用于处理特别是圆形物体的问题。

它可以计算出圆形物体的表面积和体积。

在三维数学中，四个欧拉公式提供了一种快速的
方法来计算物体的表面积和体积。

这四个公式分别如下：
1. V = 4πr^3/3：这个公式表示圆柱体的体积，其中r表示圆柱体的半径。

2. S = 4πr^2：这个公式表示圆柱体的表面积，其中r表示圆柱体的半径。

3. V = (4πr^2)/3：这个公式表示球体的体积，其中r表示球体的半径。

4. S = 4πr^2：这个公式表示球体的表面积，其中r表示球体的半径。

这四个公式在三维数学中发挥着重要的作用。

它们可以用来计算一个物体的表面积和体积，而不用写出较长的数学表达式。

它们也可以用来解决更复杂的几何问题。

它们可以用来解释多种物理现象，比如液体压力，力学方程等。

从数学上讲，它们提供了一种可行的办法来解决类似问题，而不用考虑复杂的代数关系或者思维过程。

总之，欧拉公式给了我们一种有效的计算三维物体体积和表面积的方法。

它们在科学、工程、计算机科学以及数学等领域都有着广泛的应用。

通过它们，我们能更好地了解我们周围的物理世界，并能更好地控制它们。