专题18基本不等式的应用课件课件

题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2






⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4


B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2

课堂互动探究
随堂达标自测Leabharlann 课后课时精练数学 ·必修5
探究2 利用基本不等式求条件最值问题 例 2 (1)若正实数 x，y 满足 2x＋y＋6＝xy，则 xy 的最 小值是____1_8___； (2)实数 x，y 满足 x2＋y2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值是
23 _____3___．
21
课前自主预习
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解析 (1)解法一：设 xy＝t(t＞0)， 由 xy＝2x＋y＋6≥2 2xy＋6， 即 t2≥2 2t＋6，(t－3 2)(t＋ 2)≥0， ∴t≥3 2，则 xy≥18. 当且仅当 2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即 x＝3，y＝6 时等号成 立，∴xy 的最小值为 18.
□ (2)如果 x，y>0，x＋y＝S(定值)，当 04 x＝y 时，
□ □ xy 有最
05 大 值
06 14S2 .(简记：和定积有最大
值)
3
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(3)利用基本不等式求最值，必须满足三条：
□07 一正、二定、三相等 ．
即①x，y 都是正数(x，y 为非正数，则结论不成立)； ②积 xy(或和 x＋y)为定值； ③x 与 y 必须能够相等． 利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最 值是最常见的方法之一，而求最值时又极易忽略上述条件， 这一点希望注意．
过点 A(11,12)，则函数 f(x)的最小值是____8____． (3)函数 f(x)＝1－x11－x(x>0)的最大值是____43____．
(4)若 a>0，b>0，且1a＋1b＝ ab，则 a3＋b3 的最小值为 ___4__2___．

5
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么 样的不等关系？
S≥S’ 8
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿＿ab,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
２、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业：
2020年10月2日
10
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2.4（1）基本不等式及其应用
要点：
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2

当且仅当a－1＝
4 a－1
(a>1)，即a＝3时，等号成立，此
时b＝3.所以ab的取值范围为[9，＋∞)．
[点评] 本例的求解建立在函数思想上，通过已知的 等式，将两个变元转化为一个变元．利用均值不等式，求 函数的值域，是解决这类问题常用的方法．
类型三 基本不等式的实际应用 [例 4] 桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生 产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目 准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块，中间挖成三个矩 形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分 所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 米，如图，设池 塘所占总面积为 S 平方米．
典例导悟
类型一 利用基本不等式求最值
[例1]
(1)若x>0，求函数y＝x＋
4 x
的最小值，并求此
时x的值；
(2)设0<x<32，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；
(3)已知x>2，求x＋x－4 2的最小值；
[分析] 利用基本不等式时，应按照“一正，二定， 三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基 本不等式解之．
[例2] 求f(x)＝ xx2＋2＋43＋1的最小值．
[分析]
如果把f(x)＝
x2＋4 x2＋3
＋1写成
x2＋3＋1 x2＋3
＋1＝
x2＋3 ＋
1 x2＋3
＋1≥2＋1＝3，求得f(x)的最小值为3，则
所得结果是错误的，原因是忽视了等号成立的条件，事实
上方程
x2＋3 ＝
1 x2＋3
无解，所以等号不成立．正确的处
(2)由S＝1 832－(10 x800＋136x)，
得S≤1 832－2

a b
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5

4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2

1
2
3

由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1



1

x＋ ·
2

m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1

练习2 做一个体积为32 m ，高为2m的长方体 纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？
解 设底面的长与宽分别为a m,b m. a0 ,b0 因为体积 2 3 等于32 m 高为c=2m所以底面积为16 m ， 即
3
ab 16
s 2 ab 2 bc 2 ac 32 4 ( a b )
情境三：销售
学 海 无 涯 苦 作 舟
现已知进货单价第一次为1.8元/千克，第 二次为2.2元/千克。若以2.4元/千克出售，则 每天可售出1000千克，而如果每千克提价0.01 元，每天将少售出10千克，如果每千克降价 0.01元，每天将多售出10千克。那么请考虑， 每千克售价应为多少元，才能使每天的利润 最大。
课堂小结
来 而 不 往 ， 非 礼 也
（1）应用基本不等式求最值。 （2）应用基本不等式解决实际应用题。
实际问题 回 归
提炼
数学模型
数学 知识
数学结论
分析 总结
模型的解
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]

【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.

a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.

解答：
AC=a，BC=b。过点 C作垂直于AB 的弦
可证△ACD∽△DCB，因而 CD= .由
DE，连接 AD，BD。你能利用这个图形，
于 CD 小于或等于圆的半径，用不等
得出基本不等式的几何解释吗?Leabharlann 式表示为+≤

显然，当且仅当点 C 与圆心重合，即
当a= 时，上述不等式的等号成立
2.2.4
分析：
(1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转
化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。
(2) 矩形莱园的周长是矩形两邻边之和的 2倍，于是问
题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积
最大。
解答：
应用
例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，
其容积为4 800 m³，深为3 m。如果池底每平
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+

只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
立
2.2.3
基本不等式的
几何解释
几何解释
如图：AB 是圆的直径，点C是AB 上一点
方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为
解答：
设水池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，
水池的总价为z元，根据题意，有
120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最
低总造价是多少?
由容积为4800m³，可得3xy=4 800，