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三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多引人注目的性质和特点。
其中，外接圆和内切圆是三角形中常见的两种圆，它们与三角形的关系引起了广泛的研究和应用。
一、外接圆外接圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意给定的三角形，它都存在一个唯一的外接圆。
外接圆有许多特点，其中一些被广泛应用于几何学和其它相关领域。
首先，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三条边分别延长，然后找到它们垂直平分线的交点，这个交点就是外接圆的圆心。
其次，外接圆的半径等于三角形的边长的一半除以正弦值的倒数。
这个性质被称为外接圆定理，可以用来计算外接圆的半径。
再次，外接圆的直径等于三角形的任一边的长度除以正弦值。
这个性质被称为外接圆直径定理，也是计算外接圆直径的一个重要公式。
此外，外接圆对于三角形的角度关系也有一定的影响。
例如，对于直角三角形来说，外接圆的直径等于斜边的长度，这个性质被广泛应用于解决直角三角形相关的问题。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
与外接圆类似，任意给定的三角形都存在一个唯一的内切圆。
内切圆同样具有一些重要的性质和应用。
首先，内切圆的圆心是三角形的内角平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三个内角的平分线延长，这三条延长线的交点就是内切圆的圆心。
其次，内切圆的半径可以通过三角形的面积和半周长来计算。
内切圆半径公式为：r = Δ / s，其中Δ 表示三角形的面积，s 表示三角形的半周长。
再次，内切圆与三角形的边长和内角关系也有重要的性质。
例如，内切圆的半径等于三角形任意一条边的长度乘以正切值的倒数。
最后，内切圆还有一个重要的性质，即它与三角形的三条边的交点构成三角形的角平分线。
这个性质有助于解决一些与角平分线相关的问题。
结论三角形的外接圆和内切圆是在几何学中经常遇到的两种圆形。
它们分别与三角形的三个顶点或三个内角相切，具有许多有趣的性质和应用。
三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°.∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，∴ACAE ADAB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。
求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE∴AE ＝AB/SinC∴2R ＝AB/SinC若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABCODE∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865. 例 2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。
三角形外接圆画法原理
三角形外接圆怎么画（三角形外接圆）
1、三角形内切圆的圆心是三个角角平分线的交点。
2、外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点。
3、具体做法：角分线：用圆规从一个角的顶点出发，在这个角的两边取相同长度的距离并做记号，然后分别以边上的两个记号为圆心，以等长的半径做圆（半径要保证两圆相交），过两圆的两个交点（或过其中一个交点和这个角的顶点）做一条直线。
4、这条直线即将这个角平分（即角的平分线）做出3个角的角分线，交点是唯一的即内切圆圆心(原理就是角平分线上一点到角的两边的距离相等）垂直平分线：（以线段为例，可以看作是三角形一边）分别以两个端点为圆心适当长度（相等）为半径做圆（只画出与线段相交的弧即可），再分别以两交点为圆心，等长为半径（保证两圆相交）做圆，过最后的两个圆的两个交点做直线，这条直线垂直且平分这条线段即线段的垂直平分线。
5、做3个边的垂直平分线，取交点为圆心以交点到三角形各顶点的距离为半径做圆，得三角形外接圆。
6、原理是在一个圆中，经过一条弦的中点的半径必垂直于这条弦。
7、每种三角形都适用。
三角形内切圆外接圆的关系一、内切圆和外接圆的定义1.内切圆：一个圆能够同时和三角形的三边相切，这个圆就被称为三角形的内切圆。
内切圆的圆心称为内切圆圆心。
2.外接圆：一个圆能够同时和三角形的三个顶点相切，这个圆就被称为三角形的外接圆。
外接圆的圆心称为外接圆圆心。
二、内切圆和外接圆的关系1.内切圆和外接圆的圆心是同一点。
即内切圆圆心就是外接圆圆心，这个点称为三角形的垂心。
2.内切圆和外接圆的半径之间存在一定的关系。
设三角形的边长分别为a、b、c，内切圆半径为r，外接圆半径为R，则有：R = (a + b + c) / (4 * r)同时，根据三角形的面积公式，有：S = (1/2) * a * r = (1/2) * R * (a + b + c)将R的表达式代入上式，可以得到：(1/2) * a * r = (1/2) * ((a + b + c) / (4 * r)) * (a + b + c)化简后可得：r^2 = (a + b + c) / (4 * a)三、内切圆和外接圆的性质1.三角形的内切圆圆心、外接圆圆心和垂心是同一点。
2.三角形的内切圆和外接圆的半径之间存在固定的比例关系，即R = (a + b + c) / (4 * r)。
3.三角形的面积可以用内切圆半径和外接圆半径表示，即S = (1/2) * a * r = (1/2) * R * (a + b + c)。
4.内切圆和外接圆的圆心到三角形各顶点的距离相等。
四、内切圆和外接圆的应用1.在解决三角形相关的问题时，可以利用内切圆和外接圆的关系来简化计算。
2.内切圆和外接圆的性质在证明几何问题时非常有用，可以帮助我们找到证明的线索。
3.在实际应用中，如建筑工程、土地测量等领域，内切圆和外接圆的关系可以帮助我们快速计算三角形的面积和其他相关参数。
习题及方法：1.习题：设三角形ABC的内切圆半径为r，外接圆半径为R，且AB=6,BC=8, AC=10。
