数学 数列综合应用 分期付款中的有关计算

２．能力目标：培养学生搜集资料、分析资料的良好习惯；提出问题、解决问题并得出科学结论的研究能力、人际交往及协作能力，渗透研究性学习的思路。

３．情感目标：体验探索和创造的过程，获得成功的快乐；激发对数学的兴趣和树立自信心；培养科学探索的精神。

重点难点分析重点是弄清分期付款中的有关规定，特别是贷款会随着时间推移而增值；难点是建立数学模型，理解分期付款到期偿还贷款的意义。

课前准备师生搜集关于分期付款的相关材料，了解有关规定。

教学设计一引入新闻“负翁”增多----当前年轻一代消费观念发生巨大变化，一般的“工薪阶层”正兴起买车潮、买房潮，他们敢于用明天的钱享受今天的生活，过起名副其实的“负翁”生活，各商业银行、商家的分期付款业务大副增长。

专家指出，这将有利于促进消费，拉动内需。

二例题某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款均等额还本付息，如果贷款10000 元，两年还清，月利率0.4575%，那么每月应还多少钱呢？解：（学生发表看法，教师适当点拨，共同完成）设每月应还ｘ元一方面，向银行贷的10000 元，两年后相当于10000×1.00457524另一方面，第一个月还的ｘ元，两年后相当于1.00457523ｘ;第二个月还的ｘ元，两年后相当于1.00457522ｘ;第三个月还的ｘ元，两年后相当于1.00457521ｘ;………………………第十二个月即最后一个月还的ｘ元,两年后相当于ｘ所以10000×1.00457524 =1.00457523ｘ+1.00457522ｘ+…+1.004575ｘ+ｘ10000×1.00457524=ｘ( 1 1.0045751 1.00457524--)解得: ｘ约等于440.9 元三练习：国家鼓励职工购买住房，在一次性交付一定金额后，不足部分可向银行贷款。

按政策性贷款年息为9.6%，可以分期付款，某职工根据自己的实际情况，每年最多可偿还１万元，计划５年还清（银行贷款按复利计算），问该职工最多能贷多少万元？解：设最多能贷ｘ万元1+1.096+1.0962+1.0963+1.0964= 1.0965ｘ__________用计算器计算结果得: ｘ约等于3.83 万元四小结：分期付款中，贷款与每期付款在贷款全部付清之前，会随着时间的推移而不断的增值。

9.4 分期付款问题中的有关计算学案（含答案）9.4分期付款问题中的有关计算学习目标1.能够建立等差数列模型解决生活中有关零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存.复利及分期付款问题知识链接1与日常经济生活有关的基本概念1增长率.2优惠率.3存款利率.4利息本金存期利率2什么情况下需要建立数列模型答当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决例如存款.贷款.购物房.车分期付款.保险.资产折旧等问题都属于数列问题模型预习导引1单利和复利用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息的和简称本利和若按单利计算，到期的本利和SP1nr；若按复利计算，到期的本利和SP1rn.2零存整取模型若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx元，各月利息和为x元，全部取出的本利和为nxx元3定期自动转存模型如果储户存入定期为1年的P元存款，定期利率为r，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n年后，储户所得本利和为P1rn.4分期付款问题在分期付款问题中，贷款a元，分m个月付清，月利率为r，每月付x元，货款a元m个月后本息和为a1rm；从第一个月开始每次付款x元，m个月后本息和为期数123本息和x1rm1x1rm2x1rm3从而有x1rm11rm21rm31r1a1rm，x.题型一等差数列模型例1用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止商定年利率为10，则第5次该付多少元购房款全部付清后实际共付多少元解购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列an，则a12255104万元；a222552103.8万元；a3225522103.6万元；；an2255n12104万元n1,2，，10因而数列an是首项为4，公差为的等差数列a543.2万元S1010431万元31536万元，因此第5次该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元规律方法按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚1规定多少时间内付清全部款额；2在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；3规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式跟踪演练1一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间解设共有n个水龙头，每个水龙头放水的分钟数从小到大依次为x1，x2，，xn.由已知可知x2x1x3x2xnxn1，数列xn成等差数列，每个水龙头1min放水这里不妨设水池的容积为1，x1x2xn1，24n，x1xn48.又xn5x1，6x148，xn40，故最后关闭的水龙头放水40min.题型二等比数列模型例2借贷10000元，月利率为1，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元1.0161.061,1.0151.051解方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元1n6，则a010000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a011.01a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.因为1.0161.061，所以a1739.故每月应支付1739元方法二一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S110410.0161041.016元另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a10.015a10.014aa1.0161102元由S1S2，得a.得a1739.故每月应支付1739元规律方法解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP1rn，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和跟踪演练2陈老师购买工程集资房92m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款注，经过一年付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5，每年按复利计算注，那么每年应付款多少元注注分期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息必要时参考下列数据1.07591.917,1.075102.061，1.075112.216.解设每年应付款x元，那么到最后一次付款时即购房年后，第一年付款及所生利息之和为x1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x1.0758元，，第九年付款及其所生利息之和为x1.075元，第年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为10009228800144001.0751*******.07510元因此有x11.0751.07521.0759488001.07510元，所以x488001.0751*******.0617.0681027109元每年需付款7109元题型三等差.等比数列在经济生活中的综合应用例3某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4000元，工人每人投资1000元不记利息仅在每年年底利润中分红，尚缺少的资金，准备在今年年底向银行贷款，按年利率9的复利计算，若从明年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少万元精确到0.1万元解因为扩大生产急需的资金共有40100601540255万元；已经筹集到的资金为1250.4300.1180155万元；资金缺口为255155100万元设每次向银行还款x万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100195万元第一次还款到第五年的本利和为x194万元；第二次还款到第五年的本利和为x193万元；第三次还款到第五年的本利和为x192万元；第四次还款到第五年的本利和为x19万元；第五次还款无利息为x万元由题意得xx19x192x193x194100195，即1001.095，x25.7万元跟踪演练3据美国学者詹姆斯马丁的测算，在近年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2021年甚至会达到每73天翻一番的空前速度因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到xx 年底是每三年翻一番，从xx年底到xx年底是每一年翻一番，2021年是每73天翻一番试回答1xx年底人类知识总量是多少2xx 年底人类知识总量是多少32021年按365天计算，2021年底人类知识总量是多少解由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，，翻n番是在原来的基础上乘以2n.于是1从2000年底到xx年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，xx年底人类知识总量为23a8a.2从xx年底到xx年底是每一年翻一番，共翻番，所以xx年底人类知识总量为8a2108192a.32021年是每73天翻一番，而2021年按365天计算，共翻五番，所以2021年底人类知识总量为8192a25262144a.课堂达标1一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上摆放的铅笔的总数为A7260B8000C7200D6000答案A解析从下向上依次放了1,2,3，，120支铅笔，共放了铅笔1231207260支故选A.2某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是A.B.C.1D.1答案C解析设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设月增长率为x，则a1x11ma，x1.3据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,xx年产生的垃圾量为a吨由此预测，该区xx年的垃圾量为________吨答案a1b5解析由于xx年产生的垃圾量为a吨，由题意，得xx年的垃圾量为aaba1b，xx年产生的垃圾量为a1ba1bba1b2，由此得出该区xx年的垃圾量为a1b5.4银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________答案1r31解析设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为1r31；若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户三年定期存款，应使3q1r31.即q1r31课堂小结数列应用问题的常见模型1等差模型一般地，如果增加或减少的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，其一般形式是an1and常数例如银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和ya1xr2等比模型一般地，如果增加或减少的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，其一般形式是100q常数例如银行储蓄复利公式ya1rx.产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值yN1px.3混合模型在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型4生长模型如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加，同时又以一个固定的具体量增加或减少，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等。

一.专题内容：等比数列综合，数列在分期付款中的应用。

二. 重点与难点：教材中分期付款问题的具体要求：（1）在分期付款中，每月的利息均按复利计算；（2）分期付款中规定每期所付款额相同；（3）分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随着时间推移而不断增值；（4）各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。

例题选讲：例1. 家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，以后每月付款一次，共付12次，即购买一年后付清，如果按月利率8‰，每月复利一次计算，那么每期应付款多少？解法一：设每期应付款x元，则：第一次付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1+0.008)11元。

第二次付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1+0.008)10元。

……第十一次付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1+0.008)元。

第十二次付款已没有利息问题，即为x元。

所以各期付款连同利息之和为又所购电器的现价及其利息之和为即每期应付款175.46元。

解法二：设每期付款x元，第k月后欠商店货款为a k元(k=1，2， (12)……即每期应付款约为175.46元。

小结：两种解法从不同角度解决了分期付款问题，相比较而言解法一（即教材所提供的解法）简便易行，通过两种方法的比较，也可进一步加深对分期付款问题的理解。

例2. 某商店为了促进商品销售，特定优惠方式，即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择，家用电器价格2150元。

第一种付款方式：购买当天先付150元，以后每月这一天都交付200元，并加付欠款利息。

每月利息按复利计算，月利率1%。

第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%。

试比较两种付款方式，计算每月所付金额及购买这件家电总共所付金额。

解：第一种付款方式：购买时付出150元，则欠款2000元，按要求知10次付清，则以后：第一次应付a1=200+2000×0.01=220（元）第二次应付a2=200+(2000-200)×0.01=200+1800×0.01=218（元）第三次应付a3=200+(2000-2×200)×0.01=200+1600×0.01=216（元）…每次所付的款额顺次构成数列{a n}，{a n}是以220为首项，-2为公差的等差数列。

研究课题名称：数列在分期付款中的应用设计者单位：怀集一中设计日期：2019年3月26所属年级：高中三年级指导教师：张翼帆课题组成员（有哪些人参与本课题的研究）：高三F13班全体学生一、研究性学习开展的背景背景说明（怎么会想到本课题的）：随着社会经济的发展，超前消费这一名词越来越多的充斥在我们的生活中。

所谓超前消费是指超过暂时的收入能力将今后的收入提前到现在支出,通俗的说就是花明天的钱圆今天的梦。

超前消费要面对的一个重要问题就是还款方式。

而数列在还款方式中占有者重要的地位！课题的意义与价值（为什么要进行本课题的研究）：通过本次实践活动为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解，主要是为了培养学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，体会到数学在实际生活的价值，享受到数学的乐趣，增强学好数学的兴趣。

二、研究性学习的教学目的按照新课程标准的三纬目标阐述进行研究性学习的教学目的。

知识与技能：了解数列学的相关知识了解还款方式的相关知识过程与方法：1、学会采用多种方式途径收集资料（上网下载、上图书馆查阅、调查访问等）。

2、，能对各种资源进行筛选、整理、分析。

3、经历小组合作学习，访问调查，初步学会如何与人交际、与人协作。

情感态度与价值观：使学生清楚的看到课本中数学知识（数列）在金融和社会生各个领域中应用的鲜明的背景。

学生通过自主参与类似于科学研究的学习活动，获得亲身体验、体会学习数学的一个重要功能，适应社会发展的需要，激发他们对学习数学的兴趣和动力，产生积极情感，激发他们探索、创新的欲望。

同时也让学生懂得数学来源于社会实践，也为社会服务。

三、学习者特征分析重点分析学生有哪些共性、有哪些差异，尤其对开展研究性学习有影响的因素。

智力因素方面：知识基础、认知能力、认知结构变量。

非智力因素：动机水平、归因类型、焦虑水平、学习风格。

1、学生是高三年级的学生；2、学生已经有800到1200字的作文能力；3、学生的数学基础知识比较好；4、学生对问卷调查、采访等活动非常熟悉；5、学生思维活跃，善于和同学交流，乐于表达自己，渴望达到同学和教师的赞许；6、学生对研究问题有着浓厚的兴趣。

数学研究结题报告:数列在分期付款中的应用研究单位:鸡西市实验中学高一十九班研究背景:随着科学文化知识的进步,数学学科在我们的生活中扮演着一个不可忽视的重要角色,作为跨世纪的中学生,我们不仅要学会数学知识,而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题.这样才能更好地适应社会的发展和需要。

随着经济的不断发展,中国人的消费意识不断在更新,改变。

“分期付款”就是最具代表性的体现。

分期付款在今天的消费活动中应用日益广泛,为越来越多的人所接受,一方面是因为很多人一次性支付较高的款额有一定的困难,另一方面也是不少的商家和机构不断改进营销策略,方便人民付款和消费,促进市场发展。

所以“分期付款”与每个家庭和每个人的日常生活密切相关,于是,如何利用数学知识来解决“分期付款”的问题有着非常现实和有意义的研究价值。

让数学在我们的生活中给予我们更多、更广、更全面的帮助。

研究方法:1.在分期付款中,每月的利息均按复利计算;(月利率是0.4575%)2.分期付款中规定每期所付款额相同;这些规定简单记为月均等额还本付息;3.在分期付款中,一般一个月为一期。

4. 分期付款时,每一期所还的款相当于存在银行里,所以每期还给银行的款额如同本金也会随着时间推移而不断增值;5. 从贷款之日起,到最后一期还款付清时,贷款总额本息与每期所还款本息和是相等的。

我们先理解一下这些规定:(1)什么叫利息?向银行贷款20万元,一个月后就还给银行20万元,银行乐意吗?当然还的钱比20万要多,这里的20万元叫本金,多出来的部分,就叫利息,如果月利率按0.4575%计算,一个月后利息是多少?(2)什么叫复利?复利是个和单利相对应的经济概念,单利的计算不用把利息计入本金计算;而复利恰恰相反,它的利息要并入本金中重复计息。

比如你现在往银行存入100元钱,年利率是10%,那么一年后无论您用单利还是复利计算利息,本息合计是一样的,全是110元;但到了第二年差别就出来了,如果用单利计算利息,第二年的计息基础仍是100元,利息也仍是10元,本息合计就是120元。

数列的应用--分期付款
河北 张星雨
一、解题方法指导
采用分期付款的方法，购买售价为a 元的商品（或贷款a 元），每期付款数相同，购买后1个月（或1年）付款1次，过1个月（或1年）再付1次，如此下去，到第n 次付款后全部付清．
如果月利率（或年利率）为b ，那么每期付款x 元满足下列关系：
不按复利计息时为{}(1)1(1)(12)[1(1)]a nb x b b n b +=+++++++-L ，
按复利计息时为21(1)[1(1)(1)(1)]n n a b x b b b -+=+++++++L ，
化简，得[(1)1](1)n n x b ab b +-=+．
二、分期付款的有关计算
例 用分期付款的方式购买家电一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%．若从交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？
解析：购买时交付150元后，还欠款1000元，按题意应分20次付清．由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺次构成一数列． 设每次交付欠款的数额依次为1220a a a L ，，，，则1501000160a =+⨯=%（元）， 250(100050)159.5a =+-⨯=%，
L ，
1050(1000950)155.5a =+-⨯⨯=%（元）
， 即第10个月应付款55.5元．
由于{}n a 是以60为首项，以0.5-为公差的等差数列， 所以有2060(60190.5)2011052
S +-⨯=⨯=（元）． 即全部付清后实际共付款11051501255+=（元）．。