第九章立体几何练习题

中职数学（基础模块）下册第九章立体几何单元测试卷含答案一、、选择题1．下列条件不能确定一个平面的是（）A．两条平行线B．两条相交线C．一条直线和该直线外一点 D.三个点2．平行于同一条直线的所有直线( )。

A.都相交B.互相平行C．既不相交也不平行 D.都在一个平面内3．直线l在平面α内用集合符号可表示为( )．A．l∈α B. l∩α C. α⊆l D. l⊆α4．下面说法正确的是( )．A.平面α是一个平行四边形B.平面β的长为3m，宽为2mC. 一个平面可以将空间分成两部分D. 一条线段在一个平面内，但其延长线可以不在这个平面内5.下面可以确定一个平面的条件是（）A. 经过两点B．经过三个不同的点C．经过两条直线D．经过不在一条直线上的三点6. 以下四个命题中，正确的是( )A.不重合的两条直线确定一个平面B．两两相交的三条直线确定一个平面C．若线段AB在平面α内，则直线AB也在平面α内D.若线段AB在平面α内，则直线AB与平面α没有公共点7．若点M在直线l上，直线l在平面α内，则M，l，α之间的关系用符号可表示为( )A．M∈l，l∈αB．M∈l，l⊆αC. M⊆l，l⊆αD. M⊆l，l∈α8. 下列说法正确的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；⑧垂直于同一直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行.A.①④B. ①②④C. ①②③D. ②③9.在空间中，直线与直线的位置关系( )A.相交B．平行C．异面 D.相交、平行或异面10．异面直线是指( )A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线和平面外的一条直线D．不在同一平面内的两条直线11．给出下列四个命题：①若直线a不平行于b，则a与b一定相交；②若直线a与b不相交，则a∥b;③若a，b为异面直线，则a不平行于b;④若a ，b 为异面直线，则a 与b 一定不相交．其中，正确命题的个数为( )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12.如图所示， 正方体ABCD-A'B'C'D'的对角线AC'与棱BC 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．共面 D.异面13．下面说法正确的是( )．A.过直线外一点与这条直线平行的直线有无数条B.如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行C ．空间四边形的四个顶点一定不共面D.四条线段首尾顺次连接而成的四边形一定是平面图形14. 垂直于同一条直线的两条直线（ ）A.相交B.平行C.异面D.相交、平行或异面15. 在长方体1111D C B A ABCD 中， 直线AC 与11B C 的关系为( )A.平行 B ．垂直 C ．异面 D.在同一个平面内16．已知直线a ∥平面α，直线b 在平面α内，则( )A. a//bB.a 和b 相交C.a 和b 异面D. a 和b 平行或异面17．以下条件中，能判定直线l ⊥平面α的是( )A.直线l 与平面α内一个三角形的两边垂直B ．直线l 与平面α内的一条直线垂直C.直线l 与平面α内的两条直线垂直D.直线l 与平面α内的无数条直线垂直18.若直线l在平面α外，则( )．A. l//αB.l和α至少有一个公共点C. l和α相交D. l和α至多有一个公共点19．两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )．A.异面 B.相交C．平行 D.可能共面，也可能异面20．若a,b为直线，α为平面，则下列命题中，错误的是( )．A. 若a∥b，a⊥α，则b⊥αB. 若a⊥α，b⊥α，则a∥bC. 若a⊥α，b⊆α，则a⊥bD. 若a⊥b，a⊥α，则b⊥α21．在一个平面内，与这个平面的斜线垂直的直线( )．A.只有一条B.有无数条C．有相交的两条D．一条都没有22．空间中过直线外一点与该直线平行的平面有（）A.1个B.2个C．3个 D.无数个23．下列条件中能判断两个平面平行的是( )A. 两个平面与同一条直线平行B. 两个平面与同一个平面垂直C.一个平面内的两条直线平行于另一个平面D. 一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面24．若平面α∥平面β，α⊆β，b⊆β，直线a，b的位置关系是( ) A.异面 B.不相交 C.平行 D.垂直25．都与第三个平面垂直的两个平面( )．A.互相垂直B.相交C.互相平行D.如果相交，那么它们的交线垂直第三个平面26．下列命题中，错误的是( )A. 平行于同一个平面的两个平面平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，则交线平行D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个也相交27. 已知平面α与β，γ都相交，则这三个平面可能有( )．A. 1条或2条交线B. 2条或3条交线C．仅2条交线 D. 1条或2条或3条交线28．下面四种说法中，正确的个数为（）①如果两个平面不相交，那么它们就没有公共点；②如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则在另一个平面内有且只有一条直线与己知直线平行A.1个B.2个C．3个D．4个29．过平面外的两个点并且与这个平面垂直的平面（）A. 有两个B.有无数个C. 有唯一的一个D.个数与两个点的位置有关30．如果一条直线上的两点到同一平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（）A. 直线在平面内B.直线与平面平行C．直线和平面相交 D.以上情况都有可能参考答案1—5 DBDCD6—10 CBADD11—15 BDCDC16—20 DADDD21—25 BDDBD26—30 BDADD。

高三数学一轮复习 第九章《立体几何》97精品练习一、选择题1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心．若AE →＝zAA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．1 B.32 C ．2D.34[答案] C[解析] ∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AA 1→＋12AD →.2．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32B ．2 C.10－24D.94[答案] D[解析] 由题意，翻折后AC ＝AB ＝BC ， ∴∠ABC ＝60°，∴|BP →|2＝|12BA →－12BC →＋BD →|2＝14|BA →|2＋14|BC →|2＋|BD →|2－12BA →·BC →－BC →·BD →＋BA →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×cos60°－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝94.3．(2010·广西南宁二中模考)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为( )A.22B.155 C.64D.63[答案] C[解析] 解法一：取BC 的中点D ，在正三角形ABC 中，AD ⊥BC ，在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AD ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∴∠AC 1D 为AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，设AB ＝AA 1＝1，则AD ＝32，AC 1＝2，∴sin ∠AC 1D ＝AD AC 1＝64，故选C. 解法二：以线段BC 的中点D 为原点，直线BC 、AD 分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，如图．设AB ＝1，则A (0，32，0)，C 1(12，0,1)， 设AC 1与平面BB 1C 1C 所成角为θ，易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为DA →＝(0，32，0)，又AC 1→＝(12，－32，1)，∴sin θ＝|cos 〈AC 1→，DA →〉|＝|AC 1→·DA →||AC 1→|·|DA →|＝64，故选C.4．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为AA 1的中点，则直线BD 与平面GB 1D 1的距离为( )A.33B.263 C.63D.233[答案] B[分析] 求直线与平面的距离，应有直线与平面平行，故可转化为点面距，为此找出平面的一个法向量和该点与平面内一点连线的方向向量，即可通过向量的数量积来求．一般地，平面α的法向量为n ，平面内一点P 和平面外一点Q ，则Q 到α的距离d ＝|n ·PQ →||n |.[解析] 如图建立空间直角坐标系，则B (2,2,0)，G (2,0,1)，B 1(2,2,2)，D 1(0,0,2)，D 1B 1→＝(2,2,0)，D 1G →＝(2,0，－1)，BB 1→＝(0,0,2)．设平面GB 1D 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·D 1B 1→＝0，n ·D 1G →＝0，∴2x ＋2y ＝0,2x －z ＝0， 即y ＝－x ，z ＝2x .令x ＝1，则n ＝(1，－1,2)． ∵BD ∥B 1D 1，∴BD ∥平面GB 1D 1. ∴BD 与平面GB 1D 1的距离为 d ＝|BB 1→·n ||n |＝263.故选B.5．已知二面角α－l －β的大小为120°，点B 、C 在棱l 上，A ∈α，D ∈β，AB ⊥l ，CD ⊥l ，AB ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则AD 的长为( )A.14B.13 C ．2 2D ．2 5[答案] D[解析] 由条件知|AB →|＝2，|BC →|＝1，|CD →|＝3，AB →⊥BC →，BC →⊥CD →，〈AB →，CD →〉＝60°，AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＋2AB →·CD → ＝4＋1＋9＋2×2×3×cos60° ＝20，∴|AD →|＝2 5.6．正四棱锥P －ABCD 的底面边长为2，高为3，E 、F 分别为PC ，PD 的中点，则异面直线AC 与EF 的距离为( )A.12B.32C.233D.23[答案] B[分析] 若能找到n ，n ·AC →＝0，n ·EF →＝0，则d ＝|CF →·n ||n |.[解析] 以正方形ABCD 的中心为原点，与边BC 、CD 垂直的直线分别为x 轴、y 轴，OP为z 轴建立空间直角坐标系，则由条件知：C (1,1,0)，D (－1,1,0)，P (0,0,3)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32，∴OC →＝(1,1,0)，EF →＝(－1,0,0)，设n ＝(x ，y ，z )，则n ·OC →＝0，n ·EF →＝0，∴x ＋y ＝0，－x ＝0，∴x ＝y ＝0，取n ＝(0,0,1)，又CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，32，∴d ＝|n ·CF →||n |＝32，故选B.[点评] 只要向量n 与两条异面直线的方向向量垂直，不论两点M 、N 分别是两异面直线上的哪一点，都有d ＝|n ·MN →||n |.7．(2010·河南新乡市模考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.12 B.24 C.22D.32[答案] B[解析] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，设平面ABCD 的法向量n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0n ·AD 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0－x ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴n ＝(1,0,1)，又OD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，∴O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|n ·OD 1→||n |＝122＝24. [点评] 1.建立坐标系可以有不同的方案，如以A 为原点，直线AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 建立空间直角坐标系，则O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D 1(0,1,1)，设平面ABC 1D 1的法向量n ＝(x ，y,1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0n ·AD 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，∴n ＝(0，－1,1)，∴O 到平面ABC 1D 1的距离h ＝|AO →·n ||n |＝24.2．也可以不用空间向量求解．取B 1C 1的中点M ，连结B 1C 交BC 1于O ′，取O ′C 1的中点N ，连结MN ，则MN ⊥BC 1，又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，OM 平行于平面ABC 1D 1，则O 到平面ABC 1D 1的距离转化为M 到平面ABC 1D 1的距离，即MN ＝24，故选B. 8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是( )A ．－34B ．－34C.34D.34[答案] D[解析] 设正方形的边长为1，AC 与BD 交于点O ，当折成120°的二面角时，AC 12＝⎝⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2·22·22·cos120°＝32. 又AC 1→＝AD →＋DB →＋BC 1→，∴|AC 1→|2＝|AD →|2＋|DB →|2＋|BC 1→|2＋2AD →·DB →＋2AD →·BC 1→＋2DB →·BC 1→＝1＋2＋1＋2×1×2cos135°＋2×2×1×cos135°＋2AD →·BC 1→＝2AD →·BC 1→＝2|AD →|·|BC 1→|cos 〈AD →，BC 1→〉＝2cos 〈AD →，BC 1→〉．∴cos 〈AD →，BC 1→〉＝34.9．(2010·陕西宝鸡)已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，则( )A ．α>β>γB ．α>γ>βC ．β>α>γD ．γ>β>α[答案] B[解析] 如图，取底面BCD 的中心为点O ，连接AO ，BO ，易知∠ABO ＝β，取BC 的中点E ，连接AE 、OE ，易知∠AEO ＝γ，∵OB >OE ，∴0<β<γ<π2，延长BO 交CD 于F ，则BF ⊥CD ，又AO ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AB ，即α＝π2，∴α>γ>β，故选B. 10．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋ BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝116＋96cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2， ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，∴〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°. 二、填空题11．(2010·上海奉贤区调研)在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成的角是________．(用反三角函数值表示)[答案] arccos 23[解析] 设正四面体的棱长为1，AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AE →＝12(a ＋b )，CF →＝12c －b ，|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12，∴AE →·CF →＝12(a ＋b )·(12c －b )＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12， |AE →|2＝14(|a |2＋|b |2＋2a ·b )＝34，|CF →|2＝14|c |2＋|b |2－b ·c ＝34，∴|AE →|＝32，|CF →|＝32，cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →|·|CF →|＝－23，因异面直线所成角是锐角或直角， ∴AE 与CF 成角为arccos 23.12．(2010·江西九江一中)空间一条直线l 1与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线l 2与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则sin 2α＋sin 2β＝________.[答案] 1[解析] 由正四棱柱的对称性知，若直线l 1与各面成角都相等，则该直线一定经过或平行于四棱柱的一条体对角线，l 2也一样，于是取对角线BD 1研究，则α＝∠BD 1B 1，β＝∠BD 1D ，∴sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1.13．(2010·山东聊城联考)如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD →·AC →≠0； ②∠BAC ＝60°；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确的是________(填序号)． [答案] ②③[解析] BD ⊥平面ADC ⇒BD ⊥AC ，①错；AB ＝AC ＝BC ，②对；由⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DB ＝DCAB ＝AC ＝BC知，③对④错．14．给出下列命题：①直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，直线m 的方向向量为b ＝(2,1，－12)，则l 与m垂直．②直线l 的方向向量为a ＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥α.③平面α、β的法向量分别为n 1＝(0,1,3)，n 2＝(1,0,2)，则α∥β.④平面α经过三点A (1,0，－1)，B (0,1,0)，C (－1,2,0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中真命题的序号是________． [答案] ①④[解析] ①∵a ·b ＝(1，－1,2)·(2,1，－12)＝0，∴a ⊥b ，∴l ⊥m ，故①真；②∵a ·n ＝(0,1，－1)·(1，－1，－1)＝0， ∴a ⊥n ，∴l ∥α或l ⊂α，故②假；③∵n 1与n 2不平行，∴α与β不平行，∴③假； ④AB →＝(－1,1,1)，AC →＝(－2,2,1)， 由条件n ⊥AB →，n ⊥AC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋u ＋t ＝0－2＋2u ＋t ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧u ＝1t ＝0，∴u ＋t ＝1.三、解答题15．(2010·温州中学模拟)如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点．(1)求证：平面PDC ⊥平面PAD ； (2)求点B 到平面PCD 的距离；(2)方法1：过A 作AF ⊥PD ，垂足为F .在Rt PAD 中，PA ＝2，AD ＝BC ＝4，PD ＝42＋22＝25，AF ·PD ＝PA ·AD ，∴AF ＝2×425＝455，即点B 到平面PCD 的距离为455.方法2：如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则依题意可知A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)， PD →＝(4,0，－2)，CD →＝(0，－2,0)，BC →＝(4,0,0)，设面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0n ·PD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＝04x －2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝12，所以面PCD 的一个单位法向量为n |n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255，所以|BC →·n|n ||＝|(4,0,0)·(55，0，255)|＝455，则点B 到面PCD 的距离为455.(3)方法1：过C 作CH ⊥AE ，垂足为H ，连接DH ，由(1)可知CD ⊥面PAD ，⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥CDAE ⊥CH CD ∩CH ＝C ⇒AE ⊥面CDHDH ⊂面CDH⇒AE ⊥DH ，⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥DH AE ⊥CH ⇒∠CHD 为二面角C －AE －D 的平面角． 在Rt △ADH 中，DH ＝AD ·sin∠DAH ＝4×55＝455， 在Rt △CDH 中，CH 2＝CD 2＋DH 2⇒CH ＝655.所以cos ∠CHD ＝DH CH ＝455655＝23.方法2：建立空间直角坐标系同(2)的方法2，则依题意可知A (0,0,0)，C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)，E (2,0,1)，易知面ADE 的一个法向量为n 1＝(0,1,0)，设面ACE 的一个法向量为n 2＝(x ，y,1)，又AE →＝(2,0,1)，AC →＝(4,2,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AE →＝0n 2·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝04x ＋2y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12y ＝1，所以平面ACE 的一个法向量为n 2＝(－12，1,1)． 设二面角C －AE －D 的平面角为θ，则cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－12×0＋1×1＋1×0－122＋12＋12×02＋12＋02＝23. 结合图形可知二面角C －AE －D 的余弦值为23.16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1)求直线AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥平面PAC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离． [解析] (1)分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标为A (0,0,0)，B (3，0,0)，C (3，1,0)，D (0,1,0)，P (0,0,2)，E (0，12，1)，从而AC →＝(3，1,0)，PB →＝(3，0，－2)．设AC →与PB →的夹角为θ， 则cos θ＝AC →·PB→|AC →|·|PB →|＝32×7＝3714，∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(x,0，z )，则NE →＝(－x ，12，1－z )，由NE⊥平面PAC 可得，⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0NE →·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ，12，1－z ·0，0，2＝0－x ，12，1－z ·3，1，0＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0－3x ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36z ＝1，即N 点的坐标为(36，0,1)，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为1，36. 17．直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 中点．(1)求证EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若BB 1＝22，求A 1F 与平面DEF 所成角的大小． [解析] (1)证明：连结AD 1，在△ABD 1中 ∵E 是BD 1的中点，F 是BA 中点， ∴EF 綊12AD 1又EF ⊄平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1 ∴EF ∥平面ADD 1A 1.(2)解法1：延长D 1A 1至H ，使A 1H ＝D 1A 1，延长DA 至G ，使AG ＝DA ，并连结HG 和A 1G ，则A 1G ∥D 1A ∥EF∴A 1G ∥平面DEF ，∴A 1到平面DEF 的距离等于G 到平面DEF 的距离，设为x 由题意可得，DF ＝BC ＝AD ＝1，连DB ，在Rt △D 1DB 中，DE ＝12D 1B又DB ＝3，且DD 1＝22， ∴DE ＝12×12＋3＝144，又EF ＝12AD 1＝121＋12＝64， 在△DEF 中，由余弦定理得：cos∠EDF ＝78＋1－382×144×1＝314∴sin ∠EDF ＝1－914＝514 ∴S △DEF ＝12×144×1×514＝58， 又点E 到平面DGF 的距离d ＝12DD 1＝24不难证明∠DFG 是Rt △(∵FA ＝12DG )∴S △DFG ＝12×DF ×FG ＝12×1×3＝32由V E －DGF ＝V G －DEF 得，x ·S △DEF ＝d ·S △DFG ， ∴x ·58＝24×32， ∴x ＝305，即A 1到平面DEF 的距离为305， 设A 1F 与平面DEF 成α角，则 sin α＝x A 1F ＝305×11＋12＝255，∴α＝arcsin 255，即A 1F 与平面DEF 所成角的大小为arcsin 255.解法2：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz (DG 为AB 边上的高)则有A 1(32，－12，22)，F (32，12，0)，D 1(0,0，22)，B (32，32，0)，∴E (34，34，24)， 设平面DEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝34x ＋34y ＋24z ＝0n ·DF →＝32x ＋12y ＝0，取x ＝1解得y ＝－3，z ＝ 6 ∴法向量n ＝(1，－3，6)， ∵A 1F →＝(0,1，－22)，设A 1F 与平面DEF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈A 1F →，n 〉|＝|A 1F →·n ||A 1F →|·|n |＝|0×1＋1×－3＋－22×6|32·10＝255，∴A 1F 与平面DEF 所成角的大小为arcsin 255.。

高三数学一轮复习第九章《立体几何》94精品练习一、选择题1．(文)(09·福建)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2[答案] B[解析] 如图(1)，α∩β＝l，m∥l，l1∥l，满足m∥β且l1∥α，故排除A；如图(2)，α∩β＝l，m∥n∥l，满足m∥β，n∥β，故排除C.在图(2)中，m∥n∥l∥l2满足m∥β，n∥l2，故排除D，故选B.[点评] ∵l1与l2相交，m∥l1，n∥l2，∴m与n相交，由面面平行的判定定理可知α∥β；但当m、n⊂α，l1，l2⊂β，l1与l2相交，α∥β时，如图(3)，得不出m∥l1且n∥l2.(理)设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β[答案] C[解析] 对于A，如图正方体α、β分别为平面ABCD与平面ADD1A1，a、b分别为直线B1B和C1C.a与b也可能平行，对于B，∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，又b⊥β，∴a∥b，对于D，a与b也可能平行，故选C.2．(2010·郑州检测)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] C[解析] 依题意得，命题“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a∥β，且a⊥c⇒β⊥c”是假命题(直线c 可能位于平面β内，此时结论不成立)；命题“α∥b ，且α⊥c ⇒b ⊥c ”是真命题(因为α∥b ，因此在平面α内必存在直线b 1∥b ；又α⊥c ，因此c ∥b 1，c ⊥b )．综上所述，其中真命题共有2个，选C.3．(2010·东北三校模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为A 1B 1，CD ，B 1C 1的中点，则下列命题正确的是( )A ．AM 与PC 是异面直线B ．AM ⊥PC C ．AM ∥平面BC 1ND ．四边形AMC 1N 为正方形 [答案] C[解析] 连接MP ，AC ，A 1C 1，AM ，C 1N ，由题易知MP ∥A 1C 1∥AC ，且MP ＝12AC ，所以AM 与PC 是相交直线，假设AM ⊥PC ，∵BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥AM ，∴AM ⊥平面BCC 1B 1，又AB ⊥平面BCC 1B 1矛盾，∴AM 与PC 不垂直．因为AM ∥C 1N ，C 1N ⊂平面BC 1N ，所以AM ∥平面BC 1N .又易得四边形AMC 1N 为菱形而不是正方形，故选C.4．(文)对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a ⊂α，b ⊂α B ．a ⊂α，b ∥α C ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊂α，b ⊥α[答案] B[解析] a 、b 异面时，A 错，C 错；若D 正确，则必有a ⊥b ，故排除A 、C 、D ，选B. (理)设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a 、b 与α所成的角相等，则a ∥b B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b C ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b [答案] D[解析] 若直线a 、b 与α成等角，则a 、b 平行、相交或异面；对选项B ，如a ∥α，b ∥β，α∥β，则a 、b 平行、相交或异面；对选项C ，若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α、β平行或相交；对选项D ，由⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αβ⊥α⇒a ∥β或a ⊂β，无论哪种情形，由b ⊥β都有b ⊥a .，故选D.5．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ②AB 与CM 成60°③EF 与MN 是异面直线④MN ∥CD 其中正确的是( )A．①②B．③④C．②③D．①③[答案] D[解析] 本题考查学生的空间想象能力，将其还原成正方体如图所示，AB⊥EF，EF与MN 是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD.只有①③正确，故选D.6．(文)(2010·山东潍坊)已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β[答案] D[解析] 对于选项A，两平面β、γ同垂直于平面α，平面β与平面γ可能平行，也可能相交；对于选项B，平面α、β可能平行，也可能相交；对于选项C，直线n可能与平面α平行，也可能在平面α内；对于选项D，∵m∥n，m⊥α，∴n⊥α，又n⊥β，∴α∥β，故选D.(理)(2010·曲师大附中)已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题中为真命题的是( )A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥βC．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．若α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则a∥β[答案] D[解析] 选项A中，直线a可能在平面α内；选项B中，直线a可能在平面β内；选项C中，直线a，b为相交直线时命题才成立．7．(2010·江苏南通)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面是( )A．邻边不等的平行四边形B．菱形但不是正方形C．邻边不等的矩形D．正方形[答案] B[解析] 设正方体棱长为1，连结D1P，D1Q，则易得PB＝PQ＝D1P＝D1Q＝52，取D1D的中点M，则D1P綊AM綊BQ，故截面为四边形PBQD1，它是一个菱形，又PQ＝AC＝2，∴∠PBQ 不是直角，故选B.8．(文)(2010·山东日照、聊城模考)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β；其中真命题是( )A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] C[解析][点评] 如图，α∩β＝m，则l⊥m，故(2)假；在上述图形中，当α⊥β时，知③假．(理)(2010·福建福州市)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是( ) A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n[答案] D[解析] 正三棱锥P－ABC的侧棱PA、PB与底面成角相等，但PA与PB相交应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C.∵m、n共面，设经过m、n的平面为β，∵m⊂α，∴α∩β＝m，∵n∥α，∴n∥m，故D正确．9．(文)(2010·北京顺义一中月考)已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β[答案] C[解析] 如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取平面ABD1A1为α，平面ABCD为β，B1C1为l，则排除A、B；又取平面ADD1A1为α，平面BCC1B1为β，B1C1为l，排除D.(理)(2010·广东罗湖区调研)已知相异直线a，b和不重合平面α，β，则a∥b的一个充分条件是( )A．a∥α，b∥αB．a∥α，b∥β，α∥βC．a⊥α，b⊥β，α∥βD．α⊥β，a⊥α，b∥β[答案] C[解析] a∥α，b∥α时，a与b可相交可异面也可平行，故A错；a∥α，b∥β，α∥β时，a与b可异面，故B错；由α⊥β，a⊥α得，a∥β或a⊂β，又b∥β，此时a与b 可平行也可异面，排除D.10．(2010·日照实验高中)如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，且始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )[答案] C[解析] 过M 作ME ⊥AD 于E ，连接EN ，则平面MEN ∥平面DCC 1D 1，所以BN ＝AE ＝x (0≤x <1)，ME ＝2x ，MN 2＝ME 2＋EN 2，则y 2＝4x 2＋1，y 2－4x 2＝1(0≤x <1，y >0)，图象应是焦点在y 轴上的双曲线的一部分．故选C.二、填空题11．(文)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.[答案] M ∈线段FH[解析] 因为HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所以平面NHF ∥平面B 1BDD 1，又平面NHF ∩平面EFGH ＝FH .故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面B 1BDD 1，故填M ∈线段FH .(理)(2010·南充市模拟)已知两异面直线a ，b 所成的角为π3，直线l 分别与a ，b 所成的角都是θ，则θ的取值范围是________．[答案] [π6，π2]12．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．[答案] 面ABC 和面ABD[解析] 连结AM 并延长交CD 于点E ，∵M 为△ACD 的重心，∴E 为CD 的中点， 又N 为△BCD 的重心，∴B 、N 、E 三点共线， 由EM MA ＝EN NB ＝12得MN ∥AB ， 因此MN ∥平面ABC ，MN ∥平面ABD .13．如图是一正方体的表面展开图，B 、N 、Q 都是所在棱的中点，则在原正方体中， ①AB 与CD 相交；②MN ∥PQ ；③AB ∥PE ；④MN 与CD 异面；⑤MN ∥平面PQC . 其中真命题的序号是________．[答案] ①②④⑤[解析] 将正方体还原后如图，则N 与B 重合，A 与C 重合，E 与D 重合，∴①、②、④、⑤为真命题．14．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1，D 1，P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________.[答案]223a [解析] ∵B 1D 1∥平面ABCD ，平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，∴B 1D 1∥PQ ， 又B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ，设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ，∴△APM ∽△DPQ ，∴PQ PM ＝PDAP＝2，即PQ ＝2PM ， 又△APM ∽△ADP ，∴PM BD ＝AP AD ＝13，∴PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a .三、解答题15．(文)(2010·南京调研)如图，在四棱锥E －ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BE ＝EC ，AE ⊥BE ，M 为CE 上一点，且BM ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BC ；(2)如果点N 为线段AB 的中点，求证：MN ∥平面ADE . [解析] (1)因为BM ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以BM ⊥AE . 因为AE ⊥BE ，且BE ∩BM ＝B ，BE 、BM ⊂平面EBC ，所以AE ⊥平面EBC . 因为BC ⊂平面EBC ，所以AE ⊥BC . (2)解法1：取DE 中点H ，连接MH 、AH .因为BM ⊥平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，所以BM ⊥EC . 因为BE ＝BC ，所以M 为CE 的中点． 所以MH 为△EDC 的中位线，所以MH 綊12DC .因为四边形ABCD 为平行四边形，所以DC 綊AB . 故MH 綊12AB .因为N 为AB 的中点，所以MH 綊AN .所以四边形ANMH 为平行四边形，所以MN ∥AH . 因为MN ⊄平面ADE ，AH ⊂平面ADE ， 所以MN ∥平面ADE .解法2：取EB 的中点F ，连接MF 、NF .因为BM ⊥平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，所以BM ⊥EC . 因为BE ＝BC ，所以M 为CE 的中点，所以MF ∥BC .因为N 为AB 的中点，所以NF ∥AE ， 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AD ∥BC .所以MF ∥AD .因为NF 、MF ⊄平面ADE ，AD 、AE ⊂平面ADE ， 所以NF ∥平面ADE ，MF ∥平面ADE . 因为MF ∩NF ＝F ，MF 、NF ⊂平面MNF ， 所以平面MNF ∥平面ADE .因为MN ⊂平面MNF ，所以MN ∥平面ADE .(理)(2010·厦门市质检)如图所示的几何体中，△ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE ＝AB ＝2，CD ＝1，F 为BE 的中点．(1)若点G 在AB 上，试确定G 点位置，使FG ∥平面ADE ，并加以证明；(2)在(1)的条件下，求三棱锥D －ABF 的体积． [解析] (1)当G 是AB 的中点时，GF ∥平面ADE . ∵G 是AB 的中点，F 是BE 的中点， ∴GF ∥AE ，又GF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴GF ∥平面ADE . (2)连接CG ，由(1)可知：GF ∥AE ，且GF ＝12AE .又AE ⊥平面ABC ，CD ⊥平面ABC ，∴CD ∥AE ， 又CD ＝12AE ，∴GF ∥CD ，GF ＝CD ，∴四边形CDFG 为平行四边形， ∴DF ∥CG ，且DF ＝CG .又∵AE ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，∴AE ⊥CG . ∵△ABC 为正三角形，G 为AB 的中点， ∴CG ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴CG ⊥平面ABE . 又CG ∥DF ，且CG ＝DF ，∴DF 为三棱锥D －ABF 的高，且DF ＝ 3. 又AE ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴AE ⊥AB . ∵在Rt △ABE 中，AB ＝AE ＝2，F 为BE 的中点，∴S △ABF ＝12S △ABE ＝12×12×2×2＝1.∴V D －ABF ＝13S △ABF ·DF ＝13×1×3＝33，∴三棱锥D －ABF 的体积为33. 16．(文)(2010·安徽合肥质检)如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12CD .(1)求证：BC ⊥平面ABPE ；(2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ；若不存在，说明理由． [解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PO ，又BC ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ，AB ⊂平面ABP ，PO ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABP ， 又EA ∥PO ，AO ⊂平面ABP ， ∴EA ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABPE . (2)点E 即为所求的点，即点M 与点E 重合． 取PO 的中点N ，连结EN 并延长交PB 于F ， ∵EA ＝1，PO ＝2，∴NO ＝1，又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直，∴EF ∥AB ， ∴F 为PB 的中点，∴NF ＝12OB ＝1，∴EF ＝2，又CD ＝2，EF ∥AB ∥CD ，∴四边形DCFE 为平行四边形，∴DE ∥CF ， ∵CF ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可．(理)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面正方形的中心，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD －A 1C 1D 1及其三视图．(1)求证：D1O∥平面A1BC1；(2)是否存在过点A1与直线DC1垂直的平面A1PQ，与线段BC1交于点P，与线段CC1交于点Q？若存在，求出线段PQ的长；若不存在，请说明理由．[分析] 要证D1O∥平面A1BC1，∵O为DB的中点，∴取A1C1中点E，只须证D1E綊OB，或利用长方体为正四棱柱的特性，证明平面ACD1∥平面A1C1B，假设存在平面A1PQ⊥DC1，利用正四棱柱中，BC⊥平面DCC1D1，故有BC⊥DC1，从而平面A1PQ与平面BCC1的交线PQ⊥DC1，故只须在面DCC1D1的边CC1上寻找点Q，使D1Q⊥DC1即可．[解析] (1)连接AC，AD1，D1C，易知点O在AC上．根据长方体的性质得四边形ABC 1D1、四边形A1D1CB均为平行四边形，∴AD1∥BC1，A1B∥D1C，又∵AD1⊄平面A1C1B，BC1⊂平面A1C1B，∴AD1∥平面A1C1B，同理D1C∥平面A1BC1，又∵D1C∩AD1＝D1，∴根据面面平行的判定定理知平面ACD1∥平面A1BC1.∵D1O⊂平面ACD1，∴D1O∥平面A1BC1.(2)假设存在过点A1与直线DC1垂直的平面A1PQ，与线段BC1交于点P，与线段CC1交于点Q.连接C1D，过点D1作C1D的垂线交C1C于点Q，过点Q作PQ∥BC交BC1于点P，连接A1P，A1Q.∵C1D⊥D1Q，C1D⊥A1D1，D1Q∩A1D1＝D1，∴C1D⊥平面A1D1Q.∵A1Q⊂平面A1D1Q，∴C1D⊥A1Q.∵PQ∥BC∥A1D1，∴C1D⊥PQ，∵A1Q∩PQ＝Q，∴C1D⊥平面A1PQ.∴存在过点A1与直线DC1垂直的平面A1PQ，与线段BC1交于点P，与线段CC1交于点Q.在矩形CDD1C1中，∵Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴C1QCD＝D1C1C1C，结合三视图得C1Q2＝24，∴C1Q＝1.∵PQ ∥BC ，∴PQ BC ＝C 1Q CC 1＝14，∴PQ ＝14BC ＝12. 17．(文)(2010·东北师大附中)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1；(2)求证：EF ⊥B 1C ；(3)求三棱锥B 1－EFC 的体积．[解析] (1)证明：连结BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B ，又EF ⊄平面ABC 1D 1，D 1B ⊂平面ABC 1D 1，∴EF ∥平面ABC 1D 1.(2)证明：∵B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1，又BD 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥BD 1，又EF ∥BD 1，∴EF ⊥B 1C .(3)解：∵CF ⊥BD ，CF ⊥BB 1，∴CF ⊥平面BDD 1B 1，即CF ⊥平面EFB 1，且CF ＝BF ＝ 2∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF 2＋BB 12＝22＋22＝6，B 1E ＝B 1D 12＋D 1E 2＝12＋222＝3， ∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°，∴VB 1－EFC ＝VC －B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF ＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×12×3×6×2＝1. (理)(2010·河北唐山)如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱VA ⊥底面ABCD ，E 、F 、G 分别为VA 、VB 、BC 的中点．(1)求证：平面EFG ∥平面VCD ；(2)当二面角V －BC －A 、V －DC －A 依次为45°、30°时，求直线VB 与平面EFG 所成的角．[解析] (1)∵E 、F 、G 分别为VA 、VB 、BC 的中点，∴EF∥AB，FG∥VC，又ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面VCD，FG⊄平面VCD，∴EF∥平面VCD，FG∥平面VCD，又EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面VCD.(2)∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD.则∠VDA为二面角V－DC－A的平面角，∴∠VDA＝30°.同理∠VBA＝45°.作AH⊥VD，垂足为H，由上可知CD⊥平面VAD，则AH⊥平面VCD.∵AB∥平面VCD，∴AH即为B到平面VCD的距离．由(1)知，平面EFG∥平面VCD，则直线VB与平面EFG所成的角等于直线VB与平面VCD 所成的角，记这个角为θ.∵AH＝VA sin60°＝32VA，VB＝2VA，∴sinθ＝AHVB＝64，故直线VB与平面EFG所成的角是arcsin64.。

第九章立体几何测试卷答案一.选择题1-5 ACBCD 6-10 DDAAA 11-15 ADBDD 16-20 BBDBA二．填空题21.896 22.1:√2 23.48π 24.2√2 25.8√6ππ三．解答题26.证明:(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD.又∵平面SAD ⊥平面ABCD,且平面SAD ∩平面，ABCD=AD, ∴CD ⊥平面SAD.(2)取SC 的中点R ,连接QR,DR ，由题意知,PD//BC 且PD=12BC.在△SBC 中，Q 为SB 的中点,R 为SC 的中点，∴QR ∥BC 且QR=12BC ∴QR//PD,且QR=PD ，则四边形PDRQ 为平行四边形.所以PQ//DR. 又PQ ⊂平面SCD,DR ⊂平面SCD,∴PQ//平面SCD 。

27.解:设PA=4x,AB=3x ，则PB-5x ， ∵AB 为圆O 的直径，∴∠ACB=90°,即BC ⊥AC,①，在Rt △ACB 中，BC=AB •cos ∠ABC=3x •cos ∠ABC=52x ，又∵PA ⊥平面ABC,BC ⊂平面ABC..PA ⊥BC.②又PA ∩AC=A,③，由①②③得BC ⊥平面PAC,∴∠BPC 是直线PB 和平面PAC 所成的角，在RI △BCP 中,sin ∠BPC=BC PB =5x 25x =12∴∠BPC=30°，即直线PB 和平面PAC 所成的角为30".28.(1)证明:∵CD ⊥AB.CD ⊥BC ，且AB ∩BC=B.AB ⊂平面ABC ， BC ⊂平面ABC.∴CD ⊥平面ABC又∵CD ⊂平面ACD.∴平面ACD ⊥平面ABC.(2)∵AB ⊥CD.AB ⊥BC,且CD ∩BC=C ，BC ⊂平面BCD.CD ⊂平面BCD. ∴AB ⊥平面BCD ∴AB ⊥BD,∴∠CBD 是二面角C-AB-D 的平面角，∵在Rt △BCD 中，BC=CD ，∴∠CBD=45°，∴二面角C-AB-D 的大小为45°29.证明:(1)取PD 的中点记为点E,连接AE ，NE.由点N 为PC 的中点知EN=12DC 且EN ∥12DC.叉∵ABCD 是矩形，所以DC=AB 且DC ∥AB.∴EN=12AB 且EN ∥12AB. 又∵点M 是AB 的中点.∴EN=AM 且EN ∥AM,即四边形AMNE 是平行四边形， ∴MN ∥AE.而AE ⊂平面PAD,MN 不在平面PAD 内,∴MN ∥平面PAD.（2）∵PA=ADD,点E 是PD 的重点，∴AE ⊥PD,又∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD,则CD ⊥AD ，PA ∩ AD=A∴CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE,∵PD ∩CD=D∴AE ⊥平面PCD ，又∵MN ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面PCD 。

第7章 立体几何习题练习9.1.11、判断题，下列语句说法正确的打“√”，错误的打“Χ” （1）一个平面长是4cm ，宽是2cm （ ）；（2）10个平面重叠在一起比5个平面重叠在一起要厚（ ）； （3）一个平面将空间分成两部分（ ）。

2、选择题（每题只有一个正确答案）（1）以下命题中，正确的个数是（ ）①平面是没有边界且光滑的图形，②四条线段首首尾连接，所得图形一定是平面图形，③画两个相交平面时，一定要画出交线。

A ．0B ．1C ．2D ．3 （2）下列说法中，正确的是（ ）A ．教室里的黑板面就是平面B ．过一条直线的平面只有1个C ．一条线段在一个平面内，这条线段的延长线可以不在这个平面内D ．平面是没有厚薄之分的3、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，请表示出该图形的6个平面（要求用各面的四个顶点来表示）参考答案： 1、（1）Χ（2）Χ（3）√ 2、（1）C （2）D 3、平面ABCD ，平面A 1B 1C 1D 1，平面ADD 1 A 1，平面BCC 1 B 1，平面ABB 1 A 1，平面D CC 1D 1练习9.1.21、选择题（每题只有一个正确答案） （1）下列说法中有错误的是（ ）①三个点可以确定一个平面，②若两个平面有一个公共点，则它们有无数多个公共点，③空间任意两条直线可以确定一个平面，④直线与直线外一点可以确定一个平面。

A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ （2）下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．四条线段首尾连接而成的四边形D ．梯形 （3）用符号表示语句“直线a ，b 相交于平面α内一点M ”，正确的是（ ） A ．,,a b M a b αα=⊆⊆I B ．,a b M M α=∈IC ．,,a b M a b ααα=∈I 刎D ．,,,M M a b a b ααα∈∈I 刎 2、用符号表示下列语句（1）点A 在直线a 上，直线a 在平面α内（2）平面β过直线b 及b 外一点M ，点N 在平面β外，直线c 过点M ，N3、如图所示，对于长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，回答下列问题。

课后作业基础巩固强化一、选择题1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] D[解析]解法1：取CN的中点H，连接MH、A1H，则MH＝12DN.设正方体的棱长为2，则DN ＝5，MH ＝52， A 1M 2＝22＋22＋12＝9.从而A 1H 2＝(2－12)2＋22＋22＝414∵A 1H 2＝MH 2＋A 1M 2，∴∠A 1MH ＝90°解法2：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则D (0,0,0)，N (0,1，12)，M (0，12，0)，A 1(1,0,1)，∴DN →＝(0,1，12)，MA 1→＝(1，－12，1)，∴DN →·MA 1→＝0，∴DN →⊥MA 1→，∴A 1M 与DN所成角的大小为90°. 2.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A.66B.33C.63D.23[答案] C[解析] 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系如图．则A (0,0,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a,2a )，G (a ，a,0)，F (a,0,0)，AG →＝(a ，a,0)，AC →＝(0,2a,2a )，BG →＝(a ，－a,0)，BC →＝(0,0,2a )，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)，则⎩⎨⎧AG →·n 1＝0，AC →·n 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，2ay 1＋2a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－1，∴n 1＝(1，－1,1)． sin θ＝BG →·n 1|BG →||n 1|＝2a 2a ×3＝63.3．(2013·荆州市质检)已知E 、F 分别是正方体的棱BB 1、AD 的中点，则直线EF 和平面BDD 1B 1所成角的正弦值是( )A.26B.36C.13D.66[答案] B[解析] 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过点F 作BD 的垂线FH 交BD 于点H ，连接EH ，则FH ⊥平面BDD 1B 1，所以直线EF 和平面BDD 1B 1所成的角为∠FEH ，因为FH ＝22，AF ＝1，EF ＝6，故sin ∠FEH ＝FH EF ＝36，选B.4．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF .当A 1、E 、F 、C 1四点共面时，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成二面角的余弦值为( )A.32B.12C.15D.265[答案] B[解析] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(6,0,6)、E (6,3,0)、F (3,6,0)，设平面A 1DE 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，依题意得⎩⎨⎧n 1·DE →＝6a ＋3b ＝0，n 1·DA 1→＝6a ＋6c ＝0，令a ＝－1，则c ＝1，b ＝2，所以n 1＝(－1,2,1)，同理得平面C 1DF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)，由题图知，平面A 1DE 与平面C 1DF 所成二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12. 5.(2012·云南省统考)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离等于( )A.23B.223C.233D.43[答案] D[解析] 解法1：设点C 1到平面B 1EF 的距离h .如图，连接EC 1，FC 1，由题意得|B 1E |＝|B 1F |＝|B 1B |2＋|EB |2＝5，|EF |＝2，等腰△B 1EF 底边EF 上的高为：h 1＝|B 1E |2－(12|EF |)2＝322，则S △B 1EF＝12|EF |·h 1＝32，那么VC 1－B 1EF ＝13S △B 1EF ·h ＝12h ；又VE －B 1C 1F ＝13S △B 1C 1F ·|EB |＝13×(12×2×2)×1＝23，且VC 1－B 1EF ＝VE －B 1C 1F ，即23＝12h ，得h ＝43，选D.解法2：以B 1为原点分别以B 1C 1→、B 1A 1→、B 1B →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B 1(0,0,0)，C 1(2,0,0)，E (0,1,2)，F (1,0,2)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·B 1F →＝0，n ·B 1E →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0.∴x ＝y ＝－2z . 令z ＝1得n ＝(－2，－2,1)， 又B 1C 1→＝(2,0,0)，∴C 1到平面B 1EF 的距离h ＝|n ·B 1C 1→||n |＝43，故选D.6．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是( )A ．－34B ．－34 C.34D.34[答案] D[解析] 设正方形的边长为1，AC 与BD 交于点O ，当折成120°的二面角时，AC 21＝⎝⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2·22·22·cos120°＝32. 又AC 1→＝AD →＋DB →＋BC 1→，∴|AC 1→|2＝|AD →|2＋|DB →|2＋|BC 1→|2＋2AD →·DB →＋2AD →·BC 1→＋2DB →·BC 1→＝1＋2＋1＋2×1×2cos135°＋2×2×1×cos135°＋2AD →·BC 1→＝2AD →·BC 1→＝2|AD →|·|BC 1→|cos 〈AD →，BC 1→〉＝2cos 〈AD →，BC 1→〉． ∴cos 〈AD →，BC1→〉＝34. 二、填空题 7.(2013·北京理，14)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．[答案]255[解析] 过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，交B 1C 1于点E 1， 连接D 1E 1，过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1，交D 1E 1于点H ， P 点到直线CC 1的距离就是C1H ，故当C 1H 垂直于D 1E 1时，P 点到直线CC 1距离最小， 此时，在Rt △D 1C 1E 1中，C 1H ⊥D 1E 1，D 1E 1·C 1H ＝C 1D 1·C 1E 1，∴C 1H ＝25＝255.[点评] 点P 到直线CC 1距离的最小值就是异面直线D 1E 与CC 1的距离，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，E (1,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，∴D 1E →＝(1,2，－2)，CC 1→＝(0,0,2)，设n ⊥D 1E →，n ⊥CC 1→，n ＝(x ，y ，z )，则n ·D 1E →＝x ＋2y －2z ＝0，n ·CC 1→＝2z ＝0，∴z ＝0，取y ＝－1，则x ＝2，∴n ＝(2，－1,0)，又CE →＝(1,0,0)，∴异面直线距离d ＝|n ·CE →||n |＝255.8．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角的大小为________．[答案] 30° [解析]由条件知AC ⊥BD ，AC 与BD 交点为O ，以O 为原点，射线OC 、射线OD 、射线OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴建立空间直角坐标系，设SO ＝OD ＝2，则BC ＝2，∴A (－2，0,0)，C (2，0,0)，D (0，2，0)，S (0,0，2)，B (0，－2，0)，∴P (0，22，22)，∴BC →＝(2，2，0)，AC →＝(22，0,0)，AP →＝(2，22，22)． 设平面P AC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AC →＝0，n ·AP →＝0，∴⎩⎨⎧22x ＝0，2x ＋22y ＋22z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z .取n ＝(0,1，－1)， 设直线BC 与平面P AC 成的角为φ，则 sin φ＝|cos 〈n ，BC →〉|＝|n ·BC →||n |·|BC →|＝22×2＝12，∴φ＝30°.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．[答案] 510 [解析]以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz 如图，则A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1，12)，F (0，12，1)，设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·A 1D 1→＝0，n ·A 1E →＝0，∵A 1D 1→＝(－1,0,0)，A 1E →＝(0,1，－12)， ∴⎩⎨⎧ －x ＝0，y －12z ＝0，∴⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝12z ，令z ＝2，则n ＝(0,1,2)为平面A 1D 1E 的一个法向量，又FE →＝(1，12，－12)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离d ＝|n ·FE →||n |＝125＝510. 三、解答题10．(2013·新课标Ⅰ理，18)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．[解析] (1)取AB 中点O ，连接CO ，A 1B ，A 1O ，∵AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，∴△BAA 1是正三角形，∴A 1O ⊥AB ，∵CA ＝CB ，∴CO ⊥AB ，∵CO ∩A 1O ＝O ，∴AB ⊥平面COA 1，∴AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB ，又∵平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，平面ABC ∩平面ABB 1A 1＝AB ，∴OC ⊥平面ABB 1A 1，∴OC ⊥OA 1，∴OA ，OC ，OA 1两两相互垂直，以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴正方向，|OA →|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O －xyz ，由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1，0,0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)，设n ＝(x ，y ，z )是平面CBB 1C 1的法向量，则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0， 可取n ＝(3，1，－1)，∴cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝105，∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.能力拓展提升11.如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥平面ABC ，DB ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝AE ＝1，BD ＝2，F为CD 中点．(1)求证：EF ⊥平面BCD ；(2)求多面体ABCDE 的体积；(3)求平面ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值．[解析] (1)证明：取BC 中点G ，连接AG 、FG ，∵F 、G 分别为DC 、BC 中点，∴FG 綊12DB 綊EA .∴四边形EFGA 为平行四边形．∴EF ∥AG .∵AE ⊥平面ABC ，BD ∥AE ，∴DB ⊥平面ABC .又∵DB ⊂平面BCD ，∴平面ABC ⊥平面BCD .又∵G 为BC 中点且AC ＝AB ＝BC ，∴AG ⊥BC .∴AG ⊥平面BCD .∴EF ⊥平面BCD .(2)过C 作CH ⊥AB ，则CH ⊥平面ABDE 且CH ＝32，∴V C －ABDE ＝13×S 四边形ABDE ×CH ＝13×(1＋2)2×1×32＝34.(3)过C 作CH ⊥AB 于H ，以H 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C (32，0,0)，E (0，－12，1)，F (34，14，1)，CE →＝(－32，－12，1)，CF →＝(－34，14，1)，设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ CE →·n ＝－32x －12y ＋z ＝0，CF →·n ＝－34x ＋14y ＋z ＝0，取n ＝(3，－1,1)． 又平面ABC 的法向量为u ＝(0,0,1)，则cos 〈n ，u 〉＝n ·u |n ||u |＝15＝55. ∴平面ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值为55.12．(2012·辽宁大连市、沈阳市二模)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE ∥平面AB 1C 1；(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角；(3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．[解析] 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1，∴OE ∥平面AB 1C 1.(2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1，∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO ＝O ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形，∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°.(3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1，∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形，∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°，∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO ＝13·S △AA 1B ·d .又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22，∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217.解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1，∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形，∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°，∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (0,0，3)，A 1(0，－1,0)，E (0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C (0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1，∴OE ∥平面AB 1C 1.(2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)，∴AB 1→·A 1C →＝0，即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°.(3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，∵A 1C 1→＝(0,2,0)，A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0. 不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)，∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217， ∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217.[点评] 注意直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值，而不是余弦值．13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1)求直线AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离．[解析] (1)分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A (0,0,0)、B (3，0,0)、C (3，1,0)、D (0,1,0)、P (0,0,2)、E (0，12，1)，从而AC →＝(3，1,0)，PB →＝(3，0，－2)．设AC →与PB →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝32×7＝3714， ∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面P AB 内，故可设N 点坐标为(x,0，z )， 则NE →＝(－x ，12，1－z )，由NE ⊥平面P AC 可得，⎩⎨⎧ NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ (－x ，12，1－z )·(0，0，2)＝0，(－x ，12，1－z )·(3，1，0)＝0.化简得⎩⎨⎧ z －1＝0，－3x ＋12＝0.∴⎩⎨⎧ x ＝36，z ＝1.即N 点的坐标为(36，0,1)，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为1，36.14．如图(一)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AD＝2AB＝2BC，E为AD中点，沿CE折叠，使平面DEC⊥平面ABCE，如图(二)．(1)证明：AC⊥BD(2)求DE与平面ACD所成角的余弦值．[解析]方法1：(1)证明：由题意知DE⊥平面ABCE，则DE⊥AC，连接BE，由四边形ABCE是正方形可知AC⊥BE.又DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面DEB，∴AC⊥平面DEB.又DB⊂平面DEB.∴AC⊥BD.(2)连接BE交AC于O，连接DO，由(1)知AC⊥平面DEB，AC⊂平面ADC，∴平面EDO⊥平面ADC，且交线为DO.∴DE在平面ADC内的射影为DO.∴∠EDO就是DE与平面ACD所成的角．在△DEO中，∠DEO＝90°，设BC＝a，则EO＝22a，DE＝a，DO＝62a，∴cos∠EDO＝DEDO＝63，即DE与平面ACD所成角的余弦值为6 3.方法2：如图所示，以E 为原点，EC 、EA 、ED 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E －xyz ，令AB ＝a ，则E (0,0,0)，C (a,0,0)，A (0，a,0)，D (0,0，a )，B (a ，a,0)，AC →＝(a ，－a,0)，AD →＝(0，－a ，a )，ED →＝(0,0，a )，DB →＝(a ，a ，－a )．(1)证明：∵AC →·DB →＝(a ，－a,0)·(a ，a ，－a )＝0， ∴AC →⊥DB →，即AC ⊥DB .(2)设平面ACD 的法向量n ＝(x ，y,1)，则⎩⎨⎧n ·AC →＝0，n ·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax －ay ＝0，－ay ＋a ＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴n ＝(1,1,1)，∴cos 〈n ，ED →〉＝n ·ED →|n |·|ED →|＝a 3·a ＝33.设DE 与平面ACD 所成的角为θ，则sin θ＝33，∴cos θ＝1－sin 2θ＝63， ∴DE 与平面ACD 所成角的余弦值为63.考纲要求能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用．补充说明1．求直线与平面所成的角(1)如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |. (2)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．此法较少用．2．求二面角平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，<n 1，n 2>＝θ，则二面角α－l －β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|. 3．求点到平面的距离如图所示，已知点B (x 0，y 0，z 0)，平面α内一点A (x 1，y 1，z 1)，平面α的一个法向量n ，直线AB 与平面α所成的角为φ，θ＝〈n ，AB →〉，则sin φ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n ·AB →＝|n ||AB →|cos θ，∴点B 到平面α的距离d ＝|AB →|·sin φ＝|AB →|·|cos θ|＝|n ·AB →||n |.4．求异面直线间的距离如右图，若CD 是异面直线a 、b 的公垂线，A 、B 分别为a 、b 上的任意两点，令向量n ⊥a ，n ⊥b ，则n ∥CD .则由AB →＝AC →＋CD →＋DB →得，AB →·n ＝AC →·n ＋CD →·n ＋DB →·n ，∴AB →·n ＝CD →·n ， ∴|AB →·n |＝|CD →|·|n |，∴|CD →|＝|AB →·n ||n |，∴两异面直线a 、b 间的距离为d ＝|AB →·n ||n |.5．求直线到平面的距离设直线a ∥平面α，A ∈a ，B ∈α，n 是平面α的法向量，过A 作AC ⊥α，垂足为C ，则AC →∥n ，∵AB →·n ＝(AC →＋CB →)·n ＝AC →·n ， ∴|AB →·n |＝|AC →|·|n |.∴直线a 到平面α的距离d ＝|AC →|＝|AB →·n ||n |.6．求两平行平面间的距离(1)用公式d ＝|AB →·n ||n |求，n 为两平行平面的一个法向量，A 、B 分别为两平面上的任意两点．(2)转化为点面距或线面距求解．7．用向量的坐标运算解决立体几何问题的步骤第一步：建系，根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系；第二步：定坐标，确定点的坐标进而求出有关向量的坐标；第三步：向量运算，进行相关的空间向量的运算；第四步：翻译，将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言，完成几何问题的证明；第五步：得结论，得出本题结论．8．利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系．第二步：确定点的坐标．第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标．第四步：计算向量的夹角．第五步：将向量夹角转化为所求的空间角．第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．备选习题1．(2013·浙江省名校联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是正方形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是()A ．{t |255≤t ≤23} B ．{t |255≤t ≤2} C ．{t |2≤t ≤23} D ．{t |2≤t ≤22}[答案] D[解析] 如图，设M 、N 分别是B 1C 1、BB 1的中点，连接A 1M 、A 1N 、MN ，根据正方体的性质易知，平面A 1MN ∥平面AED 1，又A 1F ∥平面AED 1，所以A 1F ⊂平面A 1MN ，所以点F 必在线段MN 上移动．连接B 1F ，因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，所以直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角即为∠B 1F A 1，即t ＝A 1B 1B 1F ，当t 最大时，点F 位于MN 的中点，t 最小时，点F 位于M 点或N 点．易求得最大角的正切值为22，最小角的正切值为2，故选D.2.(2013·湖北模拟)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：P A ⊥EF ；(2)求二面角D －FG －E 的余弦值．[解析] 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (0,2,0)，C (－2,0,0)，P (0,0,2)，E (－1,0,1)，F (0,0,1)，G (－2,1,0)．(1)证明：由于P A →＝(0,2，－2)，EF →＝(1,0,0)， 则P A →·EF →＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0， ∴P A ⊥EF .(2)易知DF →＝(0,0,1)，EF →＝(1,0,0)，FG →＝(－2,1，－1)， 设平面DFG 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧m ·DF →＝0，m ·FG →＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋y 1－z 1＝0.令x 1＝1，得m ＝(1,2,0)是平面DFG 的一个法向量． 设平面EFG 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， 同理可得n ＝(0,1,1)是平面EFG 的一个法向量． ∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝25·2＝105，设二面角D －FG －E 的平面角为θ，由图可知θ＝π－〈m ，n 〉，∴cos θ＝－105，∴二面角D －FG －E 的余弦值为－105.3．(2013·江西六校联考)如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求BF 的长；(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则各相关点的坐标为：D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)，设F (0,0，z )．∵AEC 1F 为平行四边形，∴AF →＝EC 1→，∴(－2,0，z )＝(－2,0,2)， ∴z ＝2.∴F (0,0,2)．∴BF →＝(－2，－4,2)， ∴|BF →|＝26，即BF 的长为2 6.(2)设n 1为平面AEC 1F 的法向量，显然n 1不垂直于平面ADF ，故可设n 1＝(x ，y,1)．由⎩⎨⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0×x ＋4×y ＋1＝0，－2×x ＋0×y ＋2＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－14，则n 1＝(1，－14，1)． 又CC 1→＝(0,0,3)，∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|CC 1→·n 1||n 1|＝43311.。

图3图4第九章 直线、平面、简单几何体 一 直线、平面1.无数2.（1）异面 90︒ （2）45︒ a （3）60︒3. 60︒4.5.在这个平面内6. 37.8. 279. 10.①②③⑤ 11.平行或相交 12. ②④ 三 解答题 1.证明略。

2.解：如图3所示，（1）连结CG 交DE 于点M ，∵D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点， ∴M 是CG 的中点。

∴MF//SG. （2）45︒3.解：（1）过N 点作NE//AC 交BC 于E ，过M 点作MF//AC 与于F ，连结EF ，过平面MNEF 为平行于AC 的平面ɑ，NE 、EF 、MF 分别是平面ABC 、平面PBC 、平面PAC 的交线；（2）∵NE//AC,MF//AC,∴NE//MF.∴直线NE 与MF 共面，NE 、EF 、MF 分别是平面ABC 、平面PBC 、平面PAC 的交线。

∵ NE//AC ，NE ⊂平面MNEF ， ∴ AC//平面MNEF∴ 平面MNEF 为所求的平面ɑ.4.证明：如图4所示，由已知得BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，∴AC ⊥平面BGD ； ∵E 、F 分别是DC 、DA 的中点，∴EF//AC∴EF ⊥平面BGD ，∴平面BEF ⊥平面BGD.图5DB 1图65.提示：如图5所示，（1）根据三垂线定理证111,A C BD A C BC ⊥⊥. （2）证明平面11A B D 和平面1C D B 都垂直于1AC6.解法1：（1）连结1A B 、BD 、1A D ，则11//A D B C ， ∴ 1BA D ∠为1A B 与1B C 所成的角。

∵ 因为正方形各面对角线相等，∴ 1A BD ∆为等边三角形， ∴ 1BA D ∠=60︒.∴1A B 与1B C 所成的角为60︒.（2）∵AB//DC ，A B ⊄平面1B D C ，DC ⊂平面1B D C ， ∴AB//平面1B D C从而AB 与1B D 的距离即为AB 与平面1B D C 间的距离；设BC 、1B C 交于O 点。

第九章 立体几何一、 判断题：（每小题2分，共20分）1．三个点确定一个平面。

（ ）2．三角形是一个平面。

（ ）3．经过一点和一条直线有且只有一个平面。

（ ）4．平行于同一条直线的两条直线平行。

（ ）5．过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条。

（ ）6．一条直线和一个平面内的一条直线平行，一定和这个平面平行。

（ ）7．一条直线和一个平面平行，就和这个平面内的所有直线都没有公共点。

（ ）8．若一个平面内有一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。

（ ）9．若两个平面没有公共点，则这两个平面平行。

（ ）10．矩形的平行射影一定是矩形。

（ ）一、判断下列命题的真假：（每小题2分，共20分）1、在空间一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（ ）2、空间两个向量一定共面，三向量不一定共面。

（ ）3、长方体的对角线相等。

（ ）4、过平面外一点可以作无数条直线与这个平面平行。

（ ）5、两个平面只要三点重合，那么这两个平面一定重合为一个平面。

（ ）6、如果两个平面相交，那么它们的交点不一定在交线上。

（ ）7、已知直线a//平面α，且直线b//平面α，则a//b 。

（ ）8、任给三个向量，空间任一向量都可用这三个向量表示。

（ ）9、过平面外一点可以作无数个平面与这个平面平行。

（ ）10、正方形的平行射影一定是菱形。

（ ）1、两条直线无公共点是这两条直线平行的（ ）A 、充分而非必要条件B 、必要而非充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2、在空间四边形ABCD 中，如果E 、H 分别是AB 、AD 边上的点，且41==HD AHEB AE，F 、G 分别是BC 、CD 的中点。

那么四边形EFGH 是（ ）A 、平行四边形B 、梯形C 、矩形D 、菱形3、三条直线相交于一点，可以确定的平面个数是（ ）A 、1个B 、3个C 、4个D 、1个或3个4、下列正确的命题是（ ）A 、矩形的平行射影一定是矩形B 、过平面外一条直线可作无数个平面与该平面平行C 、在空间，若OA//O 1A 1，OB//O 1B 1，则∠AOB=∠A 1O 1B 1D 、空间四条直线a,b,c,d ，若a//b ，c//d ，且a//b,则b//c.5、三条直线两两垂直，则下列命题中正确的是（ ）A 、三条直线必共点B 、其中必有两条直线异面C 、三条直线不可能在同一平面内D 、其中必有两条直线在同一平面内6、四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，F ，G 分别是AD 、DC 的中点，则FG •BA=（ ） A 、a B 、-221a C 、-241a D 、241a 7、在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三个向量共面的是（ ）A 、1，1，BB 1 B 、AB ，AD ，AA 1C 、B 1B ，AC 1，DB 1D 、AD ，A 1B 1，CC 18、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列不正确的是（ ）A 、＜AC CD 1＞=60ºB 、＜AB ，C 1A 1＞=135ºC 、＜AB ，AD ＞=90º D 、＜AB ，BA ＞=180º9、已知A （3，-2，1），B （-2，3，5）两点，有一点P 在0 轴上，且|PA|=|PB|，则P 的坐标是（ ）A 、（-512，0，0） B 、（-1，0，0） C 、（-52，0，0） D 、（2，0，0） 10、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AC 1•BC=（ ）A 、0B 、1C 、3D 、26、空间中的四点，如果其中任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面（ ）A 、 可能有三个，也可能有一个B 、可能有二个，也可能有三个C 、可能有四个，也可能有一个D 、可能有4个，也可能有两个7、异面直线a 、b 分别在两个平面上α、β，α∩β=C ，则直线C （ ）A、与a、b都相交B、与a、b都不相交C、至少与a、b中的一条相交D、至多与a、b中的一条相交8、已知直线L⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题（1）α∥∥m （2）α⊥β⊥m（3）L∥m α⊥β（4）α∥β⊥m其中正确命题是（）A、(1)(2)B、(3)(4)C、(2)(4)D、(1)(3)9、下列命题中错误的是（）A、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上的所有直线B、若一平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直C、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面D、若一平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。

职高数学第九章立体几何习题和答案解析立体几何是数学中的一个重要分支，也是职高数学课程中的一大门类。

在职高数学的第九章中，我们将学习关于立体几何的基本概念、性质以及应用。

为了帮助同学们更好地掌握这一章节的知识，本文将提供一些与立体几何相关的习题，并对每个习题的答案进行详细解析。

1. 问题描述：已知一个正方体的棱长为5cm，求其表面积和体积。

解析：正方体的表面积等于六个面的面积之和，每个面的面积等于边长的平方。

所以正方体的表面积为6 * (5cm)^2 = 150cm^2。

正方体的体积等于边长的立方，所以正方体的体积为(5cm)^3 = 125cm^3。

2. 问题描述：一个圆柱体的底面半径为3cm，高为8cm，求其体积和侧面积。

解析：圆柱体的体积等于底面积乘以高。

底面积等于圆的面积，即π * r^2，其中π取近似值3.14。

所以圆柱体的体积为3.14 * (3cm)^2 *8cm ≈ 226.08cm^3。

圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高，底面周长等于圆的周长，即2 * π * r。

所以圆柱体的侧面积为2 * 3.14 * 3cm * 8cm ≈ 150.72cm^2。

3. 问题描述：一个圆锥的底面半径为4cm，高为6cm，求其体积和侧面积。

解析：圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3。

底面积等于圆的面积，即π * r^2。

所以圆锥的体积为1/3 * 3.14 * (4cm)^2 * 6cm ≈100.48cm^3。

圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线的长度，底面周长等于圆的周长，即2 * π * r，母线的长度可以用勾股定理计算，即√(r^2 + h^2)。

所以圆锥的侧面积为3.14 * 4cm * √((4cm)^2 + (6cm)^2) ≈97.44cm^2。

4. 问题描述：一个球体的半径为5cm，求其体积和表面积。

解析：球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，即4/3 * 3.14 * (5cm)^3 ≈ 523.33cm^3。