取 AC 的中点 D,连接 PD,BD,
如图所示,由于 P-ABC 是正三棱锥,
所以 PD⊥AC,BD⊥AC,
而 PD∩BD=D,PD,BD⊂平面 PBD,
所以 AC⊥平面 PBD,又 PB⊂平面 PBD,所以 AC⊥PB,
因为 AC∩CE=C,AC,CE⊂平面 PAC,
所以 PB⊥平面 PAC,
(2)(2021·河南郑州期末)在正三棱锥 P-ABC 中,E,F 分别为棱 PA,AB 上的
点,PE=3EA,BF=3FA,且 CE⊥EF.若 PB=2 ,则三棱锥 P-ABC 的外接球的体积
为
.
解析:(2)因为 PE=3EA,BF=3FA,所以=,
所以 EF∥PB,又 CE⊥EF,所以 PB⊥CE,
在球O的球面上,则球O的表面积为(
(A)8π (B)12π
(C)20π
)
(D)24π
解析:(1)利用鳖臑的特点求解,如图,因为四个面都是直角三角形,所以 PC 的中
点到每一个顶点的距离都相等,即 PC 的中点为球心 O,易得 2R=PC= ,所以球
2
O 的表面积为 4πR =20π.故选 C.
答案:(1)C
(2)一般地,作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素,能反应出几
何体与球体之间的主要位置关系和数量关系,将立体问题转化为平面问题
解决.
跟踪训练2:(1)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直
的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三
棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都
解析:如图所示,
因为棱台的上、下底面的面积之比为 1∶4,
