高一立体几何初步练习题.doc

《立体几何、解析几何初步》训练题总分值：100分考试时刻：100分钟一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 已知直线α及平面、、n m l ，以下命题中的假命题是：A. 假设n l n m m l //,//,//则B. 假设n l n l ⊥⊥则,//,ααC. 假设n l n m m l ⊥⊥则,//,D. 假设n l n l //,//,//则αα2. 设D C B A 、、、是空间四个不同的点，在以下命题中，不正确．．．的是 A. 假设BD AC 与共面，那么BC AD 与共面; B. 假设BD AC 与是异面直线，那么BC AD 与是异面直线;C. 假设BCAD DC DB AC AB ===则,,； D. 假设BC AD DC DB AC AB ⊥==则,,3. “直线a 平行于直线b ”是“直线a 平行于过直线b 的平面”成立的： A. 充分没必要要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也没必要要条件4. 若是正方体''''D C B A ABCD -的棱长为a ，那么四面体ABD A -'的体积是： A. 23a B. 33a C. 43a D. 63a 5. 一个梯形采纳斜二测画法作出其直观图，那么其直观图的面积是原先梯形面积的： A. 42倍 B. 21倍 C. 22倍 D. 2倍 6. 已知过点)4,(),2(m B m A 和-的直线与直线012=-+y x 平行，那么m 的值为：A. 0B. 8-C. 2D. 107. 已知点)1,3()21(B A 和，，那么线段AB 的垂直平分线的方程为：A. 0524=-+y xB. 0524=--y xC. 052=-+y xD. 052=--y x8. 已知点BC x A B xOy A C A 则轴对称关于与点点对称关于平面与点，点,,)1,2,1(-的长为： A. 52 B. 4 C. 22 D. 729. 假设圆1)1()2(22=-++y x C 与圆关于原点对称，那么圆C 的方程是：A. 1)1()2(22=++-y xB. 1)1()2(22=-+-y xC. 1)2()1(22=++-y xD. 1)2()1(22=-++y x10. 假设直线的值为相切，则与圆a x y x y x a 0201)1(22=-+=+++：A. 1±B. 2±C. 1D. 1-二、 填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 把答案填在题中的横线上. 11. 已知点)0,1()01(B A 和，-. 假设直线b x y +-=2与线段AB 相交，那么b 的取值范围是_____________.12. 已知βα、是不同的直线、,n m 是不重合的平面，给出以下命题：①若,,//αβα⊂m n m n //,则β⊂；② 假设βαββα//,//,//,,则n m n m ⊂；③若,//,,n m n m βα⊥⊥ 那么βα//；④ ,//,////αβαn m m n m 、是两条异面直线，若、βαβ//,//则n . 上面的命题中，真命题的序号是 ___________.( 写出所有真命题的序号)13. 设的方程为则直线的中点为的弦圆AB P AB x y x ),1,3(05422=--+___________.14. 在直四棱柱ABCD D C B A -1111中，当底面四边形ABCD 知足条件_________________时，有111D B C A ⊥.（填上你以为正确的一种条件即可，没必要考虑所有可能的情形）OD 1C 1B 1A 1D CBA三、解答题：本大题共4小题，共50分. 解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤.15.（本小题总分值8分）已知两直线0120821=-+=++my x l n y mx l ：和：，试确信n m 、的值，使得：（1）)1,(21-m P l l 相交于点与；（2）21//l l ；（3）1121-⊥轴上的截距为在且y l l l . 16.（本小题总分值10分）如图，已知NM a AD a DC PD ABCD PD ABCD 、，，平面是矩形，2,===⊥别离是PB AD 、的中点. 求证：平面PBC MNC 平面⊥.N MPDCBA17.（本小题总分值10分）已知O 为坐标原点，圆0320622=-+=+-++y x l c y x y x C ：与直线：的两个交点为Q P 、. OQ OP c ⊥为何值时，当？18.（本小题总分值12分）如图，PC AB N M ABCD PA 、分别是、所在的平面，矩形⊥的中点. （1）求证：PAD MN 平面//；（2）求证：CD MN ⊥；（3）假设，45=∠PDA 求证：PCD MN 平面⊥.NM P D CBA参考答案一、选择题：1-5 DCDDA 6-10 BBBAD二、填空题：11. 22≤≤-b12. ③④13.04=-+y x14. 等或BD AC AD AB ⊥=三、解答题：15.（1）⎩⎨⎧==71n m ；（2）2424≠-=-≠=n m n m 时，，当时，当；（3）⎩⎨⎧==80n m .16. 提示：连接PB NC PB MN MB PM MB PM ⊥⊥=；再证，从而，证明、.17. 3=c .18. 提示：（1）取AE MN EN AE E PD //,,,证明连接的中点；（2）PAD AB 平面证明⊥；（3）.,,PCD MN CD MN PD MN 平面从而又证明⊥⊥⊥。

高一数学（必修二）立体几何初步单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，己知正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )A.8B.22C.4D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行3.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体中过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且3AE EF =，2BF BC =，异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为45，则该圆柱的外接球的表面积为( )A.20πB.16πC.12πD.10π5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282B.283142D.1436.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11B C 的中点，则与直线CF 互为异面直线的是( )A.1CCB.11B CC.DED.AE8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学立体几何初步试题1.平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的关系是A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能确定【答案】A【解析】若AB∥CD，易得EF与α、β均平行若AB与CD相交，则EF与α、β均平行若AB与CD异面，则设过AB和EF的平面交α，β分别于直线AG和BH，如下图所示：且使G，F，H在一直线上．因为平面α∥β，所以AG∥CH，连接CG和DH，则CGFDH在一个平面内，且CG∥DH，F为CD中点，所以三角形CFG和三角形DFH全等，即得FG=FH，因为AG∥CH，又E，F分别为AB，CD中点，且A，C，H，G在一个平面内，所以EF∥AG∥CH，CH在平面β内，故EF∥β．同理EF∥β故选A。

【考点】本题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系。

点评：由于AB，CD的位置关系不确定，故要进行分类讨论。

将空间问题转化为平面问题的转化思想也是处理空间问题最常用的思路。

2.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是A．三个平面共线；B．有两个平面平行且都与第三个平面相交；C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；D．三个平面两两相交。

【答案】C【解析】①若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；②若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；③若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；④若三个平面其中两个平行和第三个相交，则把空间分成6部分；故选C．【考点】本题主要考查平面与平面之间的位置关系。

点评：基础题．考查平面与平面之间的位置关系平，需要灵活应用知识分析解决问题。

3.如图所示，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝6，则MN＝___________．【答案】2；【解析】取BC、CD中点E、F，连接AE、AF，则M、N分别在AE、AF上，且AM：ME=AN：NF=2：1，所以MN:EF=2:3；又E、F为BC、CD中点，所以在三角形BCD中EF=3，则MN=2【考点】本题主要考查三棱锥的几何特征、相似三角形性质。

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷6（共22题）一、选择题（共10题） 1. 已知 4+(a−2)ii为纯虚数，则实数 a 的值为 ( )A ． 4B ． 2C ． 1D ． −22. 如图，在矩形 OACB 中，E 和 F 分别是边 AC 和 BC 上的点，且满足 AC =3AE ，BC =3BF ，若 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中 λ,μ∈R ，则 λ+μ 是A ．83B ．32C ．53D ．13. 棱锥的侧面和底面可以都是 ( ) A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4. 有下列三个说法：① 两个互相平行的面是正方形，其余各面都是四边形的几何体一定是棱台； ②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 其中正确的有 ( ) A ． 0 个B ． 1 个C ． 2 个D ． 3 个5. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 ( )A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是( )A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关7.已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A．i(1+i)B．i(1−i)2C．i2(1+i)2D．i+i2+i3+i48.在下列结论中，正确的是( )A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若a和b⃗都是单位向量，则a=b⃗D．两个相等向量的模相等9.某书店新进了一批书籍，如表是某月中连续6天的销售情况记录：日期6日7日8日9日10日11日根据上表估计该书店该月（按31天计当日销售量(本)304028443842算）的销售总量是 ( ) A ． 1147 本 B ． 1110 本 C ． 1340 本 D ． 1278 本10. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsin (π−C )−√2ccos (π+B )=0，则tanB = ( ) A ．√22B ． √2C ． −√22D ． −√2二、填空题（共6题）11. A ，B 两种品牌各三种车型 2017 年 7 月的销量环比（与 2017 年 6 月比较）增长率如下表：A 品牌车型A 1A 2A 3环比增长率−7.29%10.47%14.70%B 品牌车型B 1B 2B 3环比增长率−8.49%−28.06%13.25%根据此表中的数据，有如下四个结论：① A 1 车型销量比 B 1 车型销量多；② A 品牌三种车型总销量环比增长率可能大于 14.70%； ③ B 品牌三种车型车总销量环比增长率可能为正；④ A 品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B 品牌三种车型总销量环比增长率．其中正确的结论个数是 ．12. 设复数 z 1=x +2i ，z 2=3−yi （x,y ∈R ），若 z 1+z 2=5−6i ，则 z 1−z 2= ．13. 如果两个球的体积之比为 8:27，那么两个球的表面积之比为 ．14. 在复平面内，点 A (−2,1) 对应的复数 z ，则 ∣z +1∣= ．15. 已知点 A (−2,0)，设 B ，C 是圆 O ：x 2+y 2=1 上的两个不同的动点，且向量 OB⃗⃗⃗⃗⃗ =tOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t )OC ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中 t 为实数），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．16. 如图，在平面四边形 ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =√3，BC =1，△ACD 是等边三角形，则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ．三、解答题（共6题）17. 某鱼苗实验场进行某种淡水鱼的人工孵化试验，按在同一条件下的试验结果，10000 个鱼卵能孵出 8520 尾鱼苗．(1) 求这种鱼卵孵化的频率（经验概率）；(2) 估计 30000 个这种鱼苗能孵化出多少尾鱼苗？ (3) 若要孵出 5000 尾鱼苗，估计需要准备多少个鱼卵？18. 在数学考试中，小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18，在 80∼89 分的概率是 0.51，在70∼79 分的概率是 0.15，在 60∼69 分的概率是 0.09，60 分以下的概率是 0.07，计算： (1) 小明在数学考试中取得 80 分以上成绩的概率； (2) 小明考试及格的概率．19. 从① B =π3，② a =2，③ bcosA +acosB =√3+1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．已知在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，△ABC 的面积为 S ，若 4S =b 2+c 2−a 2，b =√6，且 ，求 △ABC 的面积 S 的大小．20. 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．21. 某班抽取 20 名学生周测物理考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下．(1) 求频率分布直方图中 a 的值，并写出众数；(2) 分别求出成绩落在 [50,60) 与 [60,70) 中的学生人数；(3) 从成绩在 [50,70) 的学生中任选 2 人，求这 2 人的成绩都在 [60,70) 中的概率．22. 已知点 O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tAB⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1) t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限？(2) 四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，说明理由．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】4+(a−2)ii =−i[4+(a−2)i]−i⋅i=a−2−4i为纯虚数，则实数a满足：a−2=0，解得a=2．【知识点】复数的乘除运算2. 【答案】B【解析】以O为原点，OA为x轴、OB为y轴建立平面直角坐标系．设OA=a，OB=b，则E(a,b3)，F(a3,b)，C(a,b)．由已知，得(a,b)=λ(a,b3)+μ(a3,b)，则有{a=λa+μa3,b=λb3+bμ,解得λ=μ=34，因此λ+μ=32．【知识点】平面向量的分解、平面向量的坐标运算3. 【答案】A【解析】三棱锥的侧面和底面都是三角形．故选A．【知识点】棱锥的结构特征4. 【答案】A【解析】当两个互相平行的正方形全等时，不是棱台，故①中说法错误；②③可用反例去检验，如图（1）（2）所示，故②③中说法错误．故选A．【知识点】棱台的结构特征5. 【答案】A【解析】设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可知：种植收入第三产业收入养殖收入其他收入建设前经济收入0.6a0.06a0.3a0.04a建设后经济收入0.74a0.56a0.6a0.1a据如表可知B，C，D中结论均正确，A中论不正确．【知识点】频率分布直方图6. 【答案】D【解析】由柱形图可知：A，B，C均正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少，所以排放量与年份负相关，所以D不正确．【知识点】频率分布直方图7. 【答案】C【解析】对于A，i(1+i)=i−1不是纯虚数；对于B，i(1−i)2=−2i2=2是实数；对于C，i2(1+i)2=−2i为纯虚数；对于D，i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0不是纯虚数．【知识点】复数的乘除运算8. 【答案】D【解析】由平面向量的基本概念可得，D是正确的．【知识点】平面向量的概念与表示9. 【答案】A=37（本）,【解析】从表中6天的销售情况可得，一天的平均销售量为30+40+28+44+38+426该月共31天，故该月的销售总量约为37×31=1147（本）．【知识点】样本数据的数字特征10. 【答案】D【解析】由已知得bsinC+√2ccosB=0，即sinBsinC+√2sinCcosB=0，因为sinC≠0，所以sinB+√2cosB=0，故tanB=−√2．【知识点】正弦定理二、填空题（共6题）11. 【答案】2【知识点】概率的应用12. 【答案】 −1+10i【解析】因为 z 1+z 2=x +2i +(3−yi )=(x +3)+(2−y )i =5−6i (x,y ∈R )， 所以 x =2 且 y =8，所以 z 1−z 2=2+2i −(3−8i )=−1+10i ． 【知识点】复数的加减运算13. 【答案】 4:9【解析】因为 V 1:V 2=8:27=R 13:R 23，所以 R 1:R 2=2:3，所以 S 1:S 2=R 12:R 22=4:9．【知识点】球的表面积与体积14. 【答案】 √2【知识点】复数的几何意义15. 【答案】 3【解析】 OB⃗⃗⃗⃗⃗ =tOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t )OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =tCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 A ，B ，C 三点共线，所以设直线 BC ：y =k (x +2)．{x 2+y 2=1,y =k (x +2)⇒(1+k 2)x 2+4k 2x +4k 2−1=0， 设 B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 所以 x 1+x 2=−4k 21+k 2，x 1x 2=4k 2−11+k 2．所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,y 1)(x 2+2,y 2)=(x 1+2)(x 2+2)+k 2(x 1+2)(x 2+2)=(1+k 2)[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]=(1+k2)⋅(4k 2−11+k 2−8k 21+k 2+4)=3.【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 −1【解析】 AB ⊥BC ，AB =√3，BC =1， 所以 AC =2，∠BCA =60∘； 又 △ACD 是等边三角形， 所以 AD =AC =2，AD ⊥AB ， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3×√3+1×2=−1.【知识点】平面向量的数量积与垂直三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 0.852．(2) 25560 尾．(3) 约 5869 个．【知识点】频率与概率18. 【答案】(1) 分别记小明的成绩“在 90 分以上”“在 80∼89 分”“在 70∼79 分”“在 60∼69 分”为事件 B ，C ，D ，E ，这四个事件彼此互斥．小明的成绩在 80 分以上的概率是 P (B ∪C )=P (B )+P (C )=0.18+0.51=0.69． (2) 法一：小明考试及格的概率是P (B ∪C ∪D ∪E )=P (B )+P (C )+P (D )+P (E )=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.法二：小明考试不及格的概率是 0.07，又小明考试不及格与及格互为对立事件，故小明考试及格的概率 P =1−0.07=0.93． 【知识点】事件的关系与运算19. 【答案】因为 4S =b 2+c 2−a 2，cosA =b 2+c 2−a 22bc，S =12bcsinA ，所以 2bcsinA =2bccosA ，显然 cosA ≠0， 所以 tanA =1， 又 A ∈(0,π)， 所以 A =π4．若选择① B =π3，由 asinA =bsinB ，得a=bsinAsinB =√6×√22√32=2．又sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√22×12+√22×√32=√6+√24,所以S=12absinC=3+√32．若选择② a=2，由asinA =bsinB，得sinB=bsinAa=√32，B∈(0,π2)，所以cosB=12．sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√6+√24.所以S=12absinC=3+√32．若选择③ bcosA+acosB=√3+1，所以acosB=1，即a⋅a 2+c2−62ac=1，所以a2=6+2c−c2，又a2=6+c2−2√6c⋅√22=6+c2−2√3c，所以6+2c−c2=6+c2−2√3c，解得c=√3+1，所以S=12bcsinA=3+√32．【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O，体对角线A1C=15，B1D=9，所以a2+52=152，b2+52=92，所以a2=200，b2=56．因为该直四棱柱的底面是菱形，所以AB2=(AC2)2+(BD2)2=a2+b24=200+564=64，所以AB=8．所以直四棱柱的侧面积 S 侧=4×8×5=160． 所以直四棱柱的底面积 S 底=12AC ⋅BD =20√7．所以直四棱柱的表面积 S 表=160+2×20√7=160+40√7． 【知识点】棱柱的表面积与体积21. 【答案】(1) 据直方图知组距 =10，由 (2a +3a +6a +7a +2a )×10=1，解得 a =1200=0.005， 众数：75．(2) 成绩落在 [50,60) 中的学生人数为 2×0.005×10×20=2， 成绩落在 [60,70) 中的学生人数为 3×0.005×10×20=3．(3) 记成绩落在 [50,60) 中的 2 人为 A 1，A 2，成绩落在 [60,70) 中的 3 人为 B 1，B 2，B 3， 则从成绩在 [50,70) 的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个：(A 1,A 2)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 2,B 3)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)， 记“两人成绩都落在 [60,70)”为事件 C ，则事件 C 包含的基本事件有 3 个：(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 2,B 3)， P (C )=310．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图、古典概型22. 【答案】(1) OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+3t,2+3t )． 若 P 在 x 轴上，则 t =−23． 若 P 在 y 轴上，则 t =−13． 若 P 在第二象限，则 −23<t <−13．(2) OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−3t,3−3t )． 若 OABP 成平行四边形，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 {3−3t =1,3−3t =2, 此方程无解．故不能． 【知识点】平面向量的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算。

高一数学（必修2）立体几何初步测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1、以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（ ）A 、球的三视图总为全等的圆B 、正方体的三个视图总是三个全等的正方形C 、水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形D 、水平放置的圆台的俯视图是一个圆2、直线a 、b 、c 满足a ∥b ，b ⊥c,则a 与c 的关系是（ ） A 、异面直线 B 、平行直线 C 、垂直 D 、相交 3．下列说法正确的是（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 4、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A 、2221+B 、 22+C 、 21+D 、 221+ 5、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ）A 、28cm πB 、212cm πC 、216cm πD 、220cm π 6、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 7、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11A C 与1B C 成60角 8、将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ） A 、26aB 、12a 2C 、18a 2D 、 24a 29、设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题（ ） ①若γββα⊥⊥,，则γα⊥； ②若l 上两点到α的距离相等，则α//l ； ③若βαβα⊥⊥则,//,l l ④若.//,//,,//βαββαl l l 则且⊄其中正确的命题是 （ ）A 、①②B 、②③C 、②④D 、③④B 1C 1A 1D 1BACD 10、圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ）A 、S πB 、S π2C 、S π4D 、S π332 二、填空题: (本大题共4小题，每小题4分，共16分)11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).12、正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .14、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.) 三、解答题:15、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.16、已知ABC ∆中90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．SDCBA17、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

立体几何试题一．选择题（每题 4 分，共 40 分）1. 已知 AB3003001500空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形, （2）四边相等的四边形是菱形（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A平行B相交C在平面内D平行或在平面内4. 已知直线 m过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（）A 1 个或 2 个B 0个或1个C1个 D 0个6.如图 , 如果 MC 菱形 ABCD 所在平面 , 那么 MA与 BD的位置关系是 ( )A平行B垂直相交C异面D相交但不垂直7. 经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A 0 个B 1个C无数个 D 1个或无数个8.下列条件中 , 能判断两个平面平行的是 ( )B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9. 对于直线m ,n 和平面,, 使成立的一个条件是 ( )A m // n, n, mB m // n, n,mC m n,I m, nD m n, m //, n //)10 . 已知四棱锥 , 则中 , 直角三角形最多可以有 (A 1个B2个 C 3个D4个二．填空题（每题 4 分，共16 分）11. 已知ABC的两边 AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O，则点 O与直线 MN的位置关系为 _________12.过直线外一点与该直线平行的平面有 ___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13. 一块西瓜切 3 刀最多能切 _________块14.将边长是 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起 , 使得折起后 BD得长为 a, 则三棱锥D-ABC的体积为 ___________三、解答题15（10 分）如图，已知 E,F 分别是正方形ABCD A1B1C1 D1的棱 AA1和棱 CC1上的点，且 AE C1 F 。

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1.下列命题中正确的是( )A．三点确定一个平面B．垂直于同一直线的两条直线平行C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l⊥αD．若a，b，c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a，b，c共面2.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．下图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容量约为( )A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm33.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.对于棱锥，下列叙述正确的是( )A．四棱锥共有四条棱B．五棱锥共有五个面C．六棱锥的顶点有六个D．任何棱锥都只有一个底面5.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45∘，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A．12+√22B．1+√22C．1+√2D．2+√26.如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为√3和1的直角三角形，则此几何体的体积为( )A．√33B．1C．√32D．27.下列四个正方体中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )A．B．C．D．8.一个圆台上、下底面半径分别为r，R，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )A．2ℎ=1R+1rB．1ℎ=1R+1rC．1r=1R+1ℎD．2R=1r+1ℎ9.已知四棱锥M­−ABCD，MA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=180∘，MA=2，BC= 2√6，∠ABM=30∘．若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A．20πB．22πC．40πD．44π10.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值为( )A．2B．3C．32D．92二、填空题（共6题）11.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为．12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为2cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了cm．13.已知圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是．14.已知M，N是三棱锥P−ABC的棱AB，PC的中点，记三棱锥P−ABC的体积为V1，三棱锥N−MBC的体积为V2，则V2V1等于．15.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=√2cm，则三棱锥D1−A1BD的外接球的体积为．16.思考辨析，判断正误．异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点．三、解答题（共6题）17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1和BCC1B1都是正方形，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，D，E分别为BB1，AC的中点．(1) 求证：BE∥平面A1CD；(2) 求直线B1E与平面A1CD所成角的正弦值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，AC与BD交于点O，E，F分别为AB，PC的中点．(1) 求证：平面PAD⊥平面PCD；(2) 求证：EF∥平面PAD；(3) 求证：AF⊥平面POD．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90∘，AA1=2，M，N分别是棱AA1，A1B1的中点．(1) 求BM的长；(2) 求BA1与CB1所成角的余弦值；(3) 求证：BA1⊥C1N．20.用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1) 三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC;(2) 平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．(1) 求证：平面PCD⊥平面PAD；(2) 在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD．若存在，确定点E的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．22.直三棱柱底面各边的比为17:10:9，侧棱长为16cm，全面积为1440cm2，求底面各边之长．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【知识点】平面的概念与基本性质2. 【答案】B【知识点】圆锥的表面积与体积3. 【答案】A【解析】因为b⊥m，所以当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．【知识点】平面与平面垂直关系的性质4. 【答案】D【解析】对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；对于C，六棱锥的顶点只有一个，故C错误；对于D，根据棱锥的结构特征，知D正确．【知识点】棱锥的结构特征5. 【答案】D【解析】将直观图还原成平面图形如图所示，则平面图形是上底长为1，下底长为1+√2，高为2的直角梯形，其面积为2+√2．【知识点】直观图6. 【答案】A【知识点】棱锥的表面积与体积、由三视图还原空间几何体7. 【答案】B【解析】如图，在B中连接MN，PN，因为A，B，C为正方体所在棱的中点，所以AB∥MN，AC∥PN，因为MN∥DE，PN∥EF，所以AB∥DE，AC∥EF，因为AB∩AC=A，DE∩EF=E，AB,AC⊂平面ABC，DE,EF⊂平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF．【知识点】平面与平面平行关系的判定8. 【答案】A【解析】设圆台的母线长为l，根据题意可得圆台的上底面面积为S上=πr2，圆台的下底面面积为S下=πR2，因为圆台的侧面面积等于两底面面积之和，所以侧面积S侧=π(r2+R2)=π(r+R)l，解之得l=r 2+R2r+R，因为l=√ℎ2+(R−r)2，所以r 2+R2r+R=√ℎ2+(R−r)2，所以(r 2+R2r+R )2=ℎ2+(R−r)2，所以2ℎ=1R+1r．【知识点】圆台的表面积与体积9. 【答案】C【解析】因为∠BCD+∠BAD=180∘，所以A，B，C，D四点共圆，∠ADC=∠ABC=90∘．由tan30∘=2AB，得AB=2√3，所以 AC =√(2√3)2+(2√6)2=6． 设 AC 的中点为 E ，MC 的中点为 O ， 因为 MA ⊥平面ABCD ，所以 OE ⊥平面ABCD ．易知点 O 为四面体 MACD 外接球的球心，所以 OC =√(62)2+(22)2=√10，S 球=4π⋅OC 2=40π． 故选C ．【知识点】球的表面积与体积10. 【答案】B【知识点】三视图、棱锥的表面积与体积二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (32+√3)π【知识点】组合体、圆柱的表面积与体积12. 【答案】 83【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积13. 【答案】4πS【解析】设底面半径为 r ，由底面积 S =πr 2 得 r 2=S π，则 S 侧=(2πr )2=4π2r 2=4π2×Sπ=4πS ．【知识点】圆柱的表面积与体积14. 【答案】 14【解析】 M 是 AB 的中点，所以 S △ABC =2S △MBC ，N 是 PC 的中点，所以 ℎ1=2ℎ2，V2V 1=13S △MBC ⋅ℎ213S △ABC ⋅ℎ1=14．【知识点】棱锥的表面积与体积15. 【答案】20√53π cm 3【解析】因为正四棱柱底面为正方形，所以 AB =BC =3，且三棱锥的顶点为这正四棱柱 8 个当中的 4 个，所以两者的外接球为同一个， 设球的半径为 R ，则 2R =√9+9+2=√20=2√5， 所以 R =√5，所以球的体积为 V =43πR 3=43π×5√5=20√5π3cm 3．【知识点】组合体、球的表面积与体积16. 【答案】 √【知识点】异面直线所成的角三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 取 A 1C 的中点 F ，连接 DF ，EF ． 因为 E ，F 分别为 AC ，A 1C 的中点， 所以 EF ∥AA 1，且 EF =12AA 1．因为四边形 ABB 1A 1 是正方形， 所以 BB 1∥AA 1，且 BB 1=AA 1， 所以 EF ∥BB 1 且 EF =12BB 1， 又因为 D 为 BB 1 的中点， 所以 EF ∥BD 且 EF =BD ， 所以四边形 EFDB 为平行四边形， 所以 BE ∥DF ，又 BE ⊄平面A 1CD ，DF ⊂平面A 1CD ，所以 BE ∥平面A 1CD ．(2) 由题意知 BA ，BC ，BB 1 两两垂直，以 B 为原点，BC ，BB 1，BA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 BA =BC =BB 1=2，则 B 1(0,2,0)，E (1,0,1)，C (2,0,0)，D (0,1,0)，A 1(0,2,2)．所以 B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，设平面 A 1CD 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )，则 {A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =0,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =0,即 {2x −2y −2z =0,−2x +y =0,令 x =1，得 m ⃗⃗ =(1,2,−1)，设直线 B 1E 与平面 A 1CD 所成角为 θ，则 sinθ=∣∣cos⟨B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗ ⟩∣∣=∣∣∣B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ∣∣B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣m⃗⃗⃗ ∣∣∣∣∣=∣∣√6×√6∣∣=23， 所以直线 B 1E 与平面 A 1CD 所成角的正弦值为 23．【知识点】线面角、直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题18. 【答案】(1) 因为 PA ⊥平面ABCD ， 所以 PA ⊥CD ．因为 CD ⊥AD ，AD ∩PA =A ， 所以 CD ⊥平面PAD ． 因为 CD ⊂平面PCD ，所以 平面PAD ⊥平面PCD ．(2) 取 PD 中点 G ，连接 FG ，AG ， 因为 F 为 PC 的中点所以 FG ∥CD ，且 FG =12CD ．因为 E 为 AB 的中点，底面 ABCD 为正方形， 所以 AE ∥CD ，且 AE =12CD ．所以 FG ∥AE ，且 FG =AE ． 所以四边形 AEFG 为平行四边形． 所以 EF ∥AG ．因为 EF ⊄平面PAD 且 AG ⊂平面PAD ， 所以 EF ∥平面PAD ．(3) 在正方形 ABCD 中，OD ⊥AC ， 因为 PA ⊥平面ABCD ， 所以 PA ⊥OD ． 因为 AC ∩PA =A ， 所以 OD ⊥平面PAC ． 所以 OD ⊥AF ．在 △PAC 中，设 PO 交 AF 于 H ． 因为 PA ⊥AC ，且 O ，F 分别为 AC ，PC 的中点， 所以 AF =FC ． 所以 ∠FAC =∠FCA ．设 PA =1，由已知 PA =AB ， 所以 AC =√2．所以 tan∠APO =tan∠ACP =√22． 所以 ∠APO =∠ACP ． 所以 ∠APO =∠ACP ，且 ∠AOP 为公共角，所以 △APO ∽△HAO ．所以 ∠AHO =90∘．所以 AF ⊥PO ．因为 PO ∩OD =O ，所以 AF ⊥平面POD ．【知识点】直线与平面平行关系的判定、平面与平面垂直关系的判定、直线与平面垂直关系的判定19. 【答案】(1) 根据题意，以 C 为坐标原点，分别以 CA ，CB ，CC 1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Cxyz ，如图，依题意得 B (0,1,0),M (1,0,1)，根据空间两点间的距离公式得，∣BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√(1−0)2+(0−1)2+(1−0)2=√3． (2) 由（1）得，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，则 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3．又 ∣BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√6，∣CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√5，所以 cos 〈BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√3010． (3) 由（1）得，C 1(0,0,2)，N (12,12,2)，所以 C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,0)， 所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12−12+0=0，所以 BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 BA 1⊥C 1N ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的角、空间中直线与直线的垂直、空间线段的长度20. 【答案】(1) 符号语言表示：α∩β∩γ=P ，α∩β=PA ，α∩γ=PB ，β∩γ=PC ．图形表示：如图(2) 符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC =BD ，平面ABC ∩平面ADC =AC ．图形表示：如图【知识点】平面与平面的位置关系21. 【答案】(1) 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为AB⊥AD，AB∥CD，所以CD⊥AD，又PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．(2) 当点E是PC的中点时，BE∥平面PAD．证明如下：设PD的中点为F，连接EF，AF，则EF是△PCD的中位线，所以EF∥CD，EF=12CD，又AB∥CD，AB=12CD，所以EF∥AB，EF=AB，所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF，又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的性质22. 【答案】设底面边长为17k，10k，9k（k>0），cosα=(9k)2+(10k)2−(17k)22⋅9k⋅10k =−35，所以S底面=12⋅9k⋅10k⋅sinα=36k2，由题意，(17k+10k+9k)⋅16+2⋅36k2=1440，所以k=2，所以底面三条边长分别为34cm，20cm，18cm．【知识点】棱柱的表面积与体积。

立体几何初步第1课时棱柱、棱锥和棱台开始时间40min1棱柱的侧面是____________.形，棱锥的侧面是____________.形，棱台的侧面是形____________.，棱柱的面至少有____________.个。

2正方体可以看做是由____________.形向____________.或向____________.平移而得到的几何体，平移的距离等于____________.3一个正棱柱如图所示，这个棱柱的底面________________________.侧棱是___________________________侧面是___________________________4有一个简单几何体有六个面，两个面是平行且全等的正方形，另外四个面是正方形，这样的几何体是____________.（填“棱柱”、“棱锥”或“棱台’）.5给出命题：（1）用平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似；（2）两底面平行，各侧面都是梯形的几何体是棱台；（3）棱柱的侧面展开后是一个平行四边形或矩形。

其中为正确的命题个数为：____________.6棱锥的几何特征有____________;____________.7观察周围的物体，请举出几个棱柱、棱锥和棱台的实例（也可以几何体的一部分是棱柱、棱锥或棱台）：__________________________________________________.8画出一个五棱锥和五棱台。

9设计一个平面图形，使它能够折成一个侧面与底面都是等边三角形的三棱锥。

结束时间实际用时本节疑惑：第2课时圆柱、圆锥、圆台和球开始时间40min1矩形绕着它的一边旋转一周而形成的几何体叫做圆柱，这条边称为圆柱的_____________. 2橄榄球可以近似看成是由____________.旋转而成的。

3充满气的车轮胎可以由下面哪个图形绕图中所給轴线旋转而生成____________.(1) (2) (3) (4)4图中表示某单位公章，这个几何体是由简单几何体中____________.组成的(第4题) （第5题）5在图中指出母线、旋转轴、底面6观察周围的物体，请举出几个圆柱、圆锥和圆台的实例：_____________________________（也可以几何体的一部分是圆柱、圆锥和圆台）。

2022-2023学年高一第二学期第八章《立体几何初步》单元测试（新人教A 版必修第二册）一、单项选择题（每小题5分，共40分）1、下列说法中正确的是 A ．若一个平面内有3个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行B ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱D ．过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行2、已知正三角形的边长为2，那么的直观图△的面积为 ABCD3、已知S 为圆锥的顶点，O为底面圆心，圆锥的体积为 ABCD4、如图：已知正四面体中E 在棱上，，G 为的重心，则异面直线与所成角为（ ）A. B. C. D. 5．已知直线，与平面，，，则能使成立的充分条件是 A ．，B ．，C ．，D ．，，6、如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题错误的是 ()ABC ABC ∆A B C '''()SO =()ABCD CD 2EC DE =ABC V EG BD 30°45︒60︒90︒m n αβγαβ⊥()αγ⊥βγ⊥//m α//m β//m αm β⊥m n ⊥m αβ= n β⊂1111ABCD A B C D -()A ．直线与平面所成的角等于B ．点到面C ．两条异面直线和所成的角为D ．三棱柱7、端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗. 粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明, 且形状各异. 裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子, 是用当地特有的冬叶、水草包裹糯米、绿豆、猪肉、咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子. 现将裹蒸粽看作一个正四面体, 其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为时，该裹蒸粽的高的最小值为A. B. C. D. 8、已知三棱锥中，，，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的半径为 A ．2B．5C ．13D 二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9、高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线 A ．垂直B ．相交C ．异面D ．平行10、设，，表示不同的点，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下列说法错误的是 A ．若，，，则B ．若，，，，则C ．若，，，，，，则D ．若，，，则11、如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是 BC 11ABC D 4πC 11ABCD 1D C 1BC 4π1111AA D BB C -43π46810O ABC -A B C O 2AB BC ==120ABC ∠=︒O ABC -O ()()A B C n l αβ()l αβ= //n α//n β//n l A B l ∈A B α∉//l αA B α∈A B C β∈l αβ= C l ∈//αβl α⊂n β⊂//l n ABCD 2AB =3BAD π∠=ABD ∆BD A A 'A 'BCD M A C 'ABD ∆()A ．四面体的体积的最大值为1B ．存在某一位置，使得C ．异面直线，所成的角为定值D ．当二面角的余弦值为时，四面体12、四面体的四个顶点都在球的球面上，，，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是 A ．过点，，做四面体的截面，则该截面的面积为2B ．四面体C ．与的公垂线段的长为D ．过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为二、填空题（每小题5分，共20分）13、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ．14、在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 ．15、某校高一级学生进行创客活动，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．A BCD '-BM CD ⊥BM A D 'A BD C '--13A BCD '-ABCD O 4AB BC CD DA ====AC BD ==EFG BC CD AD ()E F G ABCD ABCD AC BD E O 5:41111ABCD A B C D -P 11B D PB 1AD 1111ABCD A B C D -ABCD EFGH -122,6cm,4cm AB EF BF AB BC AA =====2mg mg16、如图，在长方体中，四边形是边长为4的正方形，，为棱的中点，为棱（包括端点）上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值是 ．三 解答题（共6小题，共计70分）17、（10分）如图，在三棱锥中，平面，是直角三角形，，．，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面．（2）求三棱锥的体积．18．（12分）如图，在三棱锥中，，底面．1111ABCD A B C D -ABCD 13AA =E CD F 11C D A DEF -P ABC -PA ⊥ABC ABC ∆AC BC =6PA AB ==D E PB PC PAC ⊥ADE P ADE -P ABC -90ACB ∠=︒PA ⊥ABC（1）求证：平面平面；（2）若，，求与平面所成角的正弦值．19．（12分）如图，在直四棱柱中，四边形是平行四边形，是的中点，点是线段上，且．（1）证明：直线平面．（2）若，，，求点到平面的距离．20、（12分）如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点底面四边形是边长为2的菱形，且，交于点．（1）求证：平面；（2）二面角的平面角为，若．①求与底面所成角的大小；②求点到平面的距离．21、（12分）如图在直三棱柱中，，，，是上的一点，且，、、分别是、、的中点，与相交于．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；PAC ⊥PBC 2AC PA ==3BC =AB PBC 1111ABCD A B C D -ABCD F 1BD E 1CD 12D E CE =//AF BDE 13AA AB ==2AD =60BAD ∠=︒F BDE P ABCD -PB PD =PA PC ⊥M N PA BC ABCD 60DAB ∠=︒AC BD O //MN PCD B PC D --θ1cos 7θ=-PA ABCD N CDP 111ABC A B C -90ABC ∠=︒2BC =14CC =E 1BB 11EB =D F G 1CC 11B C 11A C EF 1B D H 1B D ⊥ABD //EFG ABD（Ⅲ）求平面与平面的距离．22、（12分）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，．（1）求证：平面；（2）若直线与平面，求二面角的余弦值．参考答案1、D2、D3、B4、A5、C6、C7、A8、D 8、【解析】设的外接圆的圆心为，半径为,在中，，，由余弦定理可得，由正弦定理可得，解得，所以又三棱锥所以EGF ABD P ABCD -ABCD 12BC AD =//BC AD PCD ABCD BC PD ⊥BC ⊥PCD PB ABCD P AB D --ABC ∆1O r ABC ∆2AB BC ==120ABC ∠=︒222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=24sin AC r ABC ===∠2r =11sin 2222ABC S AB BC ABC ∆=⋅⋅⋅∠=⨯⨯=O ABC -111133O ABC ABC V S OO OO -∆=⋅⋅==故三棱锥的高，所以球．9、AC10、BCD 11、ABD 12、ACD9、【解析】根据题意可得：对直线与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线垂直，A 正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面，若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面，C 正确，B 、D 错误；【答案】AC11、【解析】连接交于，连接，取的中点，连接，，对于A ，当平面平面时，四面体的体积最大，点到平面的距离最大，此时在菱形中，，则，都是等边三角形，则，此时四面体的体积为，所以四面体的体积的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为，分别为，的中点，所以，且，由题意，则，当时，，因为，O ABC -13OO =O =l l AC BD O OA 'CD N MN BN A BD '⊥BCD A BCD '-A 'BCD ABCD 2AB =3BAD π∠=ABD ∆BCD ∆OA OA OC '===A BCD '-112132⨯⨯=A BCD '-M N C 'CD BN CD ⊥//MN A D '112MN A D ='=2(0,)3A DC π∠'∈2(0,3MNC π∠∈2MNC π∠=MN CD ⊥MN BN N =所以当时，平面，又平面，所以，所以存在某一位置，使得，故B正确；对于C，因为，所以异面直线，所成的角即为或其补角，，因为不为定值，所以不为定值，即异面直线，，所成的角不为定值，故C错误；对于D，因为，，所以即为二面角的平面角，则，所以，所以四面体为正四面体，如图，补全正四面体，即四面体的D正确．【答案】ABD12、【解析】如图所示：取中点，连结、，则有：，且，同理可得，且所以，且为平行四边形，2MNCπ∠=CD⊥BMNBM⊂BMN CD BM⊥BM CD⊥//MN A D'BM A D'BMN∠2131cos22BM BMBMNBM BM+-∠==-BM cos BMN∠BM A D'OC BD⊥OA BD'⊥A OC∠'A BD C'--26163A CA OC-'∠'==2A C'=A BCD'-A BCD'-=A BCD'-AB H EH HG//HG BD12GH BD==//EF BD12EF BD== //HG EF HG EF==EFGH同理可得，且，所以平行四边形的菱形；取中点，连结、，因为，所以，同理，所以平面，所以，又因为，，所以，所以菱形的正方形，所以，故A 正确；因为，，，所以，同理可得，在中，，所以边上的高，又因为平面，为中点，所以，故B 错；因为平面，平面，所以，又因为，所以是与的公垂线，由选项可知，故C 正确；取中点，则为球心，理由如下：因为平面，，所以，同理，，所以，所以即为球心，所以，又因为，所以过所作的面积最小的截面是以为圆心，为半径的圆；面积最大的截面是过，的大圆，//HE GF HE GF ==EFGH BD Q AQ CQ AB AD =AQ BD ⊥CQ BD ⊥BD ⊥ACQ BD AC ⊥//HG BD //HE AC HG HE ⊥EFGH 2EFGH S =4AB AD ==BD =AQ BD ⊥BQ DQ ==AQ =CQ =ACQ ∆AQ CQ ==AC =AC QM ==12ACQ S AC QM ∆=⋅⋅=BD ⊥ACQ Q BD 1122233A BCD B ACQ ACQ V V S BQ --∆==⨯⨯=⨯⨯=BD ⊥ACQ QM ⊆ACQ BD QM ⊥QM AC ⊥QM AC BD B QM =QM S S O BD ⊥ACQ BQ DQ =12QS QM ==225SB SD ==12MS QM ==225SA SC ==SA SB SC SD ====S O R =OE BC ⊥E E 2BE =O E所以，故D 正确．13、 14、15、16、15、【详解】由题意，该几何体侧面4个面的面积和为，底面积，正方形面积.考虑梯形，高为，故正四棱台的侧面积为，故该模型表面积为，故所需金属膜的质量为16、【解析】如图，取的中点，过作平面的垂线，与平面交于点，过作的垂线，垂足为，则三棱锥外接球的球心在上，设，，则，设球的半径为，则，即，所以．因为，所以，则．()()22::5:4S S R BE ππ==大小2π6π282+2449π244696cm ⨯⨯=26636cm ⨯=EFGH 2339cm ⨯=ABFE =()214362⨯+=(296369141cm +++=+((2141282mg⨯+=+AE 1O 1O ABCD 1111A B C D M M 11C D N E ADF -O 1MO 1OO m =NF n =03n ……O R 222R OE OF ==22222225(3)4R m OM MN NF m n =+=++=-++286n m +=03n ......41736m (2261)59R m =+…故三棱锥外接球的表面积．17、（1）证明：因为是直角三角形，且，所以．因为平面，且平面，所以．因为平面，平面，且，所以平面．因为，分别是棱，的中点，所以，，因为平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：因为，所以因为平面，且，所以三棱锥的体积．连接，因为是棱的中点，所以三棱锥的体积．因为是棱的中点，所以三棱锥的体积．因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，所以的体积为．18．（1）证明：底面．，又，，又，平面，又平面，平面平面；（2）解：取的中点，连接、，，，又平面平面且交线为，平面，A DEF -224449S R ππ=…ABC ∆AC BC =AC BC ⊥PA ⊥ABC BC ⊂ABC PA BC ⊥PA ⊂PAC AC ⊂PAC PA AC A = BC ⊥PAC D E PB PC 12DE BC =//DE BC BC ⊥PAC DE ⊥PAC DE ⊂ADE PAC ⊥ADE 6AB =AC BC ==PA ⊥ABC 6PA =P ABC -1161832V =⨯⨯=CD D PB D PAC -11118922V ==⨯=E PC D PAE -211199222V V ==⨯=P ADE -D PAE -P ADE -92PA ⊥ ABC PA BC ∴⊥90ACB ∠=︒ AC BC ∴⊥PA AC A = BC ∴⊥PAC BC ⊂PBC ∴PBC ⊥PAC PC O AO BO PA AC = AO PC ∴⊥ PBC ⊥PAC PC AO ∴⊥PBC直线在平面中的射影为，为与平面所成的角，在直角中，，，．19．（1）证明：连接，记，连接．取线段的中点，连接，．因为四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，且，所以是的中点，因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面，且，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解：由（1）可知平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离．因为，，，所以的面积为作，垂足为，连接，则平面．因为，所以，，则．因为，，，所以AB PBC OB ABO ∴∠AB PBC AOB ∆AB =AO =∴sin ABO ∠=AC AC BD O = OE 1D E H AH HF ABCD O AC H 1D E 12D E CE =E HC O E AC HC //OE AH OE ⊂BDE AH ⊂/BDE //AH BDE H F 1D E 1BD //HF BE BE ⊂BDE HF ⊂/BDE //HF BDE AH ⊂AHF HF ⊂AHF AH HF H = //AHF BDE AF ⊂AHF //AF BDE //AF BDE F BDE A BDE 2AD =3AB =60BAD ∠=︒ABD ∆1sin 2AD AB BAD ⋅∠=EG CD ⊥G BG EG ⊥ABCD 12D E CE =1113EG DD ==22DG GC ==DE =3AB =2AD =60BAD ∠=︒BD因为，，，所以，则．在中，由余弦定理可得．故的面积为．设点到平面的距离为，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以，解得到平面20、（1）证明：取得中点，连接，，如图，为的中点，，为的中点且四边形为菱形，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2）解：①连接，过作于，连接，，由，是的中点，，由菱形知，又，平面，平面，平面平面，且交线为，直线在平面上的射影为，即与底面所成角为，平面，，且在平面上的射影为，，又，，是的中点，是的中点，，由知，，，为二面角的平面角，，1CG =2BC =60BCG ∠=︒BG =2BE =BDE ∆cos BED ∠==sin BED ∠=BDE ∆11sin 222BE DE BED ⋅∠=⨯=F BDE h E ABD -A BDE -11133=h =F BDE PD E ME CE M PA ∴1,//2ME AD ME AD =N BC ABCD ∴1//,2NC AD NC AD =//NC ME ∴NC ME =∴MNCE //MN EC ∴MN ⊂/PCD CE ⊂PCD //MN ∴PCD PO B BF PC ⊥F DF OF PB PD =O BD PO BD ∴⊥ABCD AC BD ⊥PO AC O = BD ∴⊥PAC BD ⊂ ABCD ∴PAC ⊥ABCD AC ∴PA ABCD AC PA ABCD PAC ∠BD ⊥ PAC BF PC ⊥BF PAC OF OF PC ∴⊥PA PC ⊥//OF PA ∴O BD F ∴PC 2PB BC ∴==BPC DPC ∆≅∆DF PC ⊥BF DF =BFD ∴∠B PC D --∴2222222162cos 277BD BF DF BF DF BFD BF BF BF =+-⋅∠=+=即，解得，，，，，即与底面所成角的大小为；②连接，过作于，由，平面，平面，平面，点到平面的距离即点到平面的距离，，，，平面，平面平面，且是交线，，平面，在中，，由等积法可得，即，即点到平面．21、（12分）（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质，得平面平面，又，平面，又平面，，，在和△中，，，即，又，平面．（Ⅱ）证明：由题意知，在△中，，又，，平面，不包含于平面，平面，、分别为、的中点，，又，，，不包含平面，平面，平面，平面，，平面平面．（Ⅲ）解：平面，平面平面，平面，为平行平面与之间的距离，21647BF =274BF =∴23PC FC ===∴sin 2PC PC PAC AC AO ∠====090PAC ︒∠︒ ……60PAC ∴∠=︒PA ABCD 60︒ON O OG FD ⊥G //ON CD ON ⊂/PCD CD ⊂PCD //ON ∴PCD ∴N CDP O CDP BF PC ⊥ DF PC ⊥BF DF F = PC ∴⊥BFD ∴PCD ⊥BDF DF OG FD ⊥ OG ∴⊥PCD Rt OFD ∆1,OF OD DF ===OF OD FD OG ⋅=⋅OG =N CDP ABC ⊥11BB C C AB BC ⊥AB ∴⊥11BB C C 1B D ⊂11BB C C 1AB B D ∴⊥1112BC CD DC B C ==== ∴Rt BCD ∆Rt 11DC B 1145BDC B DC ∠=∠=︒190BDB ∴∠=︒1B D BD ⊥AB BD B = 1B D ∴⊥ABD 111EB B F ==∴Rt 1EB F 145FEB ∠=︒145DBB ∠=︒//EF BD ∴BD ⊂ ABD EF ABD //EF ∴ABD G F 11A C 11B C 11//GF A B ∴11//A B AB //GF AB ∴\AB ABD ⊂ 平面GF ABD //GF ∴ABD EF ⊂ EFG GF ⊂EFG EF GF F = ∴//EFG ABD 1B D ⊥ ABD //EGF ABD 1B D ∴⊥EGF HD ∴EFG ABD．22、证明：（1）如图所示，取中点，连接，是正三角形，又平面平面，且平面平面，平面，平面，，，且，平面；如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点作，交于点，连接，设，，，则，由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角，平面，，则，解得：，故，，解得又，所以平面，，，，解得所以点为线段的中点，故点也为线段中点，11HD B D B H ∴=-==CD O PO PCD ∆ PO CD∴⊥PCD ⊥ABCD PCD ⋂ABCD CD =PO ∴⊥ABCD BC ⊂ABCD PO BC ∴⊥BC PD ⊥ PO PD P = BC ∴⊥PCD OB BD D P DM AB ⊥PN AB ⊥AB M N M //MQ NP AP Q DQ 22AD BC ==2CD a =0a >OP =OP ⊥ABCD OBP ∴∠PB ABCD BC ⊥PCD BC CP ∴⊥OP PB OBP BP =∠===1a =BD AB ====BM AM =DM //BC AD AD ⊥PCD AD PD ⊥PA ===BN AN PN ===M AN Q AP所以，所以即为二面角的平面角，．12QM PN DQ ===DMQ ∠P AB D --222cos 2DM QM DQ DMQ DM QM +-∠===⋅。

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l至少与l1，l2中的一条相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l与l1，l2都不相交2.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线3.下列几何体中是棱柱的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4.下列三个命题中错误的个数是( )①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长．A．0B．1C．2D．35.棱长为a的正四面体的表面积是( )A．√36a2B．√312a2C．√34a2D．√3a26.如图所示的几何体是( )A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=3，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为( )A．3B．3√2C．3√3D．3√58.有以下结论：①平面是处处平直的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001cm．其中正确结论的个数为A．1B．2C．3D．49.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均有可能10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )C．2+√2D．2√3+1 A．2B．52二、填空题（共6题），11.已知四面体ABCD内接于球O，且AB=BC=√2，AC=2，若四面体ABCD的体积为2√33球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是．12.在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点．如果PQ=2，那么三棱锥P−BCQ的体积等于．13.表面积相等的球和正方体的体积比为．14.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）15.半径为3的球体表面积为．16.已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为cm3．三、解答题（共6题）17.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90∘，D，E分别是A1B1，CC1的中点．(1) 求证：C1D∥平面A1BE；(2) 求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值；(3) 在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为60∘？若存在，求出线段CP的长；若不存在，请说明理由．18.如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？19.如图：四棱锥P−ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，F是PC中点．(1) 求证：平面PDC⊥平面PAD；(2) 求证：BF∥平面PAD．20.若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？21.如图所示是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm，两底面直径分别为40cm和30cm．求纸篓（外侧部分）的表面积．22.如图所示，已知一条直线a分别与两条平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则l至少与l1，l2中的一条相交，故选A．【知识点】直线与直线的位置关系2. 【答案】B【解析】由图（1）（2）（3）知，A，C，D均不正确，只有B正确．【知识点】平面的概念与基本性质3. 【答案】C【解析】观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，”的几何体有：①③⑤，只有它们是棱柱，共三个．【知识点】棱柱的结构特征4. 【答案】C【知识点】球面距离、球的结构特征5. 【答案】Da2=√3a2．【解析】棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形，正四面体的表面积是4×√34【知识点】棱锥的表面积与体积6. 【答案】C【解析】由图知，该几何体底面是五边形，且为柱体，所以是五棱柱．【知识点】棱柱的结构特征7. 【答案】D【知识点】棱柱的结构特征8. 【答案】B【解析】平面处处平直，无限延展，但是没有大小、形状、厚薄等，因此①②两种说法是正确的，③④两种说法是错误的．【知识点】平面的概念与基本性质9. 【答案】D【知识点】直线与直线的位置关系10. 【答案】C【解析】由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P−ABCD，几何体的表面积为：1×1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2．故选：C．【知识点】棱锥的表面积与体积、三视图二、填空题（共6题）11. 【答案】16π【解析】如图：在三角形ABC中，因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC为直角三角形，所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点O1．连OO1，根据垂径定理，可得OO1⊥平面ABC，因为O，O1为AD，AC的中点可知DC⊥平面ABC，所以DC为四面体ABCD的高．所以13DC×12×√2×√2=2√33，解得DC=2√3．所以AD=√(2√3)2+22=4．所以四面体ABCD的外接球的半径为2，表面积为4πR2=4π×22=16π．【知识点】棱锥的表面积与体积、球的表面积与体积12. 【答案】12【解析】因为在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q是直线DD1上的两个动点，PQ=2，所以S△PQC=12×PQ×CD=12×2×6=6，所以三棱锥P−BCQ的体积：V P−BCQ=V B−PQC=13×S△PQC×BC=13×6×6=12．【知识点】棱锥的表面积与体积13. 【答案】√6π【知识点】表面积与体积、棱柱的表面积与体积14. 【答案】 DM ⊥PC （或 BM ⊥PC ）【知识点】平面与平面垂直关系的判定15. 【答案】 36π【知识点】球的表面积与体积16. 【答案】36√3【解析】设正六棱柱的底面边长为 x cm ， 由题意得 6x ⋅6=72，所以 x =2， 于是其体积 V =√34×22×6×6=36√3(cm 3)．【知识点】棱柱的表面积与体积三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 取 AB 的中点 F ，连接 DF ，交 A 1B 于点 M ，可知 M 为 DF 的中点， 连接 EM ，易知四边形 C 1DME 为平行四边形， 所以 C 1D ∥EM ，又 C 1D ⊄平面A 1BE ，EM ⊂平面A 1BE ，所以 C 1D ∥平面A 1BE ．(2) 分别以 CA ，CB ，CC 1 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得 B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A 1(2,0,2)， 则 BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)，EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 设平面 A 1BE 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z )，则 {n ⃗ ⋅EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {2x +z =0,2y −z =0,令 x =1，可得 y =−1，z =−2，即 n ⃗ =(1,−1,−2)，所以 cos⟨BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ∣BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=−√36， 所以直线 BC 1 与平面 A 1BE 所成角的正弦值为√36． (3) 假设在棱 CC 1 是存在一点 P ，设 CP =a (0<a <2)，可得 P (0,0,a )，由 A (2,0,0)，B (0,2,0)，可得 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−a )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−a )， 设平面 PAB 的法向量为 m ⃗⃗ =(x 1,y 1.z 1)， 则 {m ⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即 {2x 1−az =0,2y 2−az =0,令 z =2，可得 x 1=a ，y 1=a ， 即 m ⃗⃗ =(a,a,2)，又由平面 A 1BE 的一个法向量为 n ⃗ =(1,−1,−2)， 所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣=√a 2+a 2+4⋅√6，因为平面 PAB 与平面 A 1BE 所成二面角为 60∘，可得 √a 2+a 2+4⋅√6=cos60∘=12，解得 a 2=103，此时 a =√303，符合题意， 所以在棱 CC 1 上存在一点 P ，使得平面 PAB 上与平面 A 1BE 所成二面角为 60∘，且 CP =√303． 【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角、直线与平面平行关系的判定18. 【答案】不一定，这两条直线可能相交、平行或异面．【知识点】空间中直线与直线平行19. 【答案】(1) 因为 PA ⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABCD ， 所以 PA ⊥CD ，又因为 CD ⊥AD ，PA ∩AD =A ，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以 CD ⊥平面PAD ， 因为 CD ⊂平面PCD ，所以平面 PDC ⊥平面PAD ．(2) 取 PD 的中点为 E ，连接 EF,AE ， 因为 F 为 PC 的中点， 所以 EF 为 △PCD 的中位线， 所以 EF ∥CD ，CD =2EF ， 又因为 CD =2AB ，AB ∥CD ， 所以 EF =AB ，并且 EF ∥AB ， 所以四边形 ABEF 为平行四边形， 所以 BF ∥AE ，因为 AE ⊂平面PAD ，BF ⊄平面PAD所以 BF ∥平面PAD ．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定20. 【答案】不是．【知识点】平面与平面平行关系的性质21. 【答案】根据题意可知，纸篓底面圆的半径 rʹ=15 cm ，上口的半径 r =20 cm ，母线长 l =50 cm ，则纸篓的表面积 S =π(rʹ2+rʹl +rl )=π(152+15×50+20×50)=1975π(cm 2)．【知识点】圆台的表面积与体积22. 【答案】因为b∥c，所以b，c确定一个平面，设为α，如图所示．令a∩b=A，a∩c=B，所以A∈α，B∈α，所以AB⊂α，即直线a⊂α．所以a，b，c三线共面．【知识点】平面的概念与基本性质。