苏教版数学高一【必修三】第一章《立体几何初步》单元测试

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中横线上)1．有下列四个结论，其中正确结论的个数为________．①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．解析：①错误，异面直线也可能垂直．②错误，应有无数条．③错误，可能平行，相交或异面．④正确．答案：12．下列几何体中既能使截面是长方形，又能使截面是圆的是________．①圆锥；②棱柱；③圆柱；④球．解析：③平行于轴的截面是长方形，垂直于轴的截面是圆．答案：③3．(1)若四点不共面，则每三点一定不共线；(2)若四点中的每三点不共线，则此四点一定不共面；(3)两组对边分别相等的四边形是平面图形；(4)两个平面将空间分成3或4个部分．其中正确的个数是________．解析：(1)与(4)正确．对于(1)，若三点共线，根据直线与直线外一点可以确定一个平面，知四点共面，故命题(1)正确；对于(4)，若两平面平行，则把空间分成3个部分，若两平面相交，则把空间分成4个部分；对于(2)，如平行四边形无三点共线，但却是平面图形，即四点共面；对于(3)，如正四面体中的任两条相对棱都相等，但由这四个顶点组成的图形不是平面图形．答案：24．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面，即正方形或长方形，∴①正确，②错误；棱锥A－BDA1符合③，∴③正确；棱锥A1－BDC1符合④，∴④正确；棱锥A1－ABC符合⑤，∴⑤正确．答案：①③④⑤5．如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是________．①SG ⊥平面EFG ②SD ⊥平面EFG③GF ⊥平面SEF ④GD ⊥平面SEF解析：在图甲中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ；在图乙中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，∴SG ⊥平面EFG .答案：①6．正方体的表面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是________．解析：设正方体棱长为b ，则3b ＝2R ，S 球＝4πR 2＝4π·(32b )2＝3πb 2， 又a 2＝6b 2，∴S 球＝π2a 2. 答案：π2a 2 7．(2010年高考湖南卷)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝________ cm.解析：如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA ⊥平面ABC ，BA ⊥AC .由于V ＝13S △ABC ·h ＝13×12×5×6×h ＝5h ，∴5h ＝20，∴h ＝4. 答案：48．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .其中正确论断的序号为________．解析：由P －ABC 为正三棱锥知，PB ⊥AC ，又由DE ∥AC 得，AC ∥平面PDE .答案：①②9．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于________．解析：设底面半径为r ，则2πr ·2r ＝S ，故r ＝S 4π，所以V ＝πr 2·2r ＝S 4S π. 答案：S 4S π10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去三棱锥B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的________．解析：截出的三棱锥底面积为长方体底面面积的12，两者的高一样，V ＝13×12V 长＝16V 长．答案：1611．(2010年高考湖北卷)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ，解得r ＝4. 答案：412．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体的棱长为a ，则S 正＝6a 2，正四面体D 1－AB 1C的棱长为2a ，S 正四面体＝4·34(2a )2＝23a 2， 所以S 四面体S 正方体＝236＝33 . 答案：3313．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．解析：如图，取AB 中点为O ，连结C 1O 和CO .∵是正三棱柱，∴CO ⊥AB ，AC 1＝BC 1.∴CO ⊥AB ，则∠C 1OC 即为二面角C －AB －C 1的平面角．又AB ＝1，∴CO ＝32，C 1C ＝32，OC 1＝ 3. 下面用等体积法求距离．VC 1－ABC ＝VC －ABC 1，∴13S △ABC ·CC 1＝13S △ABC 1·d ， 即34×32＝12×1×3×d .∴d ＝34. 答案：3414．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点均在同一个球面上，如图，AB ＝AA 1＝1，BC ＝2，则A ，B 两点间的球面距离为________．解析：由题意可知球的直径为长方体的体对角线B 1D ， ∴R 球＝12＋12＋(2)22＝1. 设B 1D 的中点为M ，则M 为球的球心，故△ABM 为边长为1的正三角形，∴∠AMB ＝π3， ∴A ，B 两点间的球面距离为π3. 答案：π3二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)画一个侧棱长为4 cm ，底面边长为4 cm 的正四棱锥的三视图和直观图，并求其表面积．解：正四棱锥的三视图和直观图如图所示．此正四棱锥的表面积为S 表＝4×34×42＋42＝16(3＋1)(cm 2)．16．(本小题满分14分)如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外的一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明：连结BM 、AC ，设AC ∩BD ＝O ，连结MO .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴MO ∥PA .又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，∴PA ∥平面BDM .又∵平面BDM ∩平面PAG ＝GH ，PA ⊂平面PAG ，∴PA ∥GH .17．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且二面角P －CD －B 为45°.求证：(1)AF ∥平面PEC ；(2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)如图，取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，因为F 是PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD ，而AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以EA ∥GF ，且EA ＝GF ，故四边形EGFA 是平行四边形，从而EG ∥AF ，又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，所以AF ∥平面PEC .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥PD ，则∠PDA 就是二面角P －CD －B 的平面角，所以∠PDA ＝45°，则AF ⊥PD .又AF ⊥CD ，PD ∩CD ＝D ，所以AF ⊥平面PCD ，由(1)知，EG ∥AF ，所以EG ⊥平面PCD ，而EG ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PCD .18．(本小题满分16分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则120360πl 2＝3π， ∴l ＝3.又∵2π3×3＝2πr ，∴r ＝1. ∴h ＝l 2－r 2＝2 2.∴S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π，V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.19．(本小题满分16分)如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点．(1)如果QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH∥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝23，求圆锥的体积．解：(1)证明：∵OH⊥SC，SO⊥OH，SO∩SC＝S，∴OH⊥平面SOC，∴OH⊥OC.∵QB的中点为C，∴OC⊥QB.∵QB、OC、OH在同一平面内，∴OH∥QB，QB⊂平面SBQ，OH⊄平面SBQ，∴OH∥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝60°，AO＝QO，∴∠BAQ＝60°.在Rt△ABQ中，AB＝BQsin 60°＝2332＝4.∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴圆锥的高SO＝12AB＝2.∴V圆锥＝13π(AB2)2·SO＝13π·4·2＝83π.20．(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD＝AD＝1.(1)求证：MN∥平面PCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求三棱锥P－ABC的体积．解：(1)证明：如图，取AD中点E，连结ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以ME∥PD，NE∥CD，又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE＝E，所以平面MNE∥平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)证明：因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.(3)PD⊥平面ABCD，所以PD为三棱锥P－ABC的高，三角形ABC为等腰直角三角形，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13S△ABC·PD＝16.。

高一数学必修②第一章立体几何初步（练习9）班级姓名成绩一、选择题：1．下列说法正确的是()A．任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关B．任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关C．有的几何体的三视图与其摆放的位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()5．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()7．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④8．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为 （ ）9. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的 面积中，最大的是（ ）A ．8 B． C ．10 D．10. 一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是（ ）A. ①②B.②③C.③④D.①④11．对如图所示的几何体正确的说法是()A ．如果把(1)作为主视图，则(2)、(3)分别是俯视图和左视图① 正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥B．如果把(2)作为主视图，则(1)、(4)分别是俯视图和左视图C．如果把(3)作为主视图，则(2)、(1)分别是俯视图和左视图D．如果把(4)作为主视图，则(2)、(1)分别是俯视图和左视图二、填空题12．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．13．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．三、解答题14．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．15．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．16．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？。

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2．若3sin (0)52x x π=--<<，则tan x =_____________.二、填空题3．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 ．4．把半径为3cm ,中心角为π32的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为：__________．5．在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________（2013年高考上海卷（理））6．空间中可以确定一个平面的条件是 _．(填序号) ①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点．7．设，，a b g 为两两不重合的平面,l ,m ,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题： ①若,,//,//,m n m n ⊂⊂a a b b 则//a b ； ②//,,l ⊂a b a 若则//l b ； ③,,,//,l m n l m ===若ab bg ga 则 //m n ; ④若⊥⊥a gb g ，，则//a b ； 则其中所有正确命题的序号是 ▲ ．8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.9．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ．10．如图，在边长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AB 上一点，M 是棱D 1C 1上一点，则三棱锥M-DEC 的体积是 ▲11．给出下列命题：DABC1C1D 1A1BD C1A 1B 1C 1D .EBAM.（第6题图）（1）若直线a 在平面α外，则直线a 与平面α没有公共点；（2）两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； （3）设a 、b 、c 是同一平面内三条不同的直线，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ; （4）垂直于同一平面的两个平面平行；（5）若,a b 为异面直线，则过不在,a b 上的任一点，可作一个平面与,a b 都平行． 上面命题中，真命题．．．的序号是 ．12．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 . (2011年高考全国卷理科16)13．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,AB BC PA AB BC ⊥==，则PB 与平面ABC 所成的角为_______，PC 与平面PAB 所成的角的正切值等于____________ CBAP14．在长方体1111ABCD A B C D -中，若13,4AB BC AA ===，求1A B 和1B C 所成角的余弦值。

2021-2022年高中数学第1章立体几何初步1.3.1空间几何体的表面积课堂精练苏教版必修1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为__________．2．将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了__________．3．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积．．．等于__________．4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则该圆锥的全面积为__________．5．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为__________．6．(1)若正三棱锥的斜高是高的倍，则棱锥的底面积与侧面积的比值为________．(2)已知正四棱台的上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，则它的侧面积为__________．7．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积．长和斜高．参考答案1. 设正方形边长为1，则圆柱的底面半径为，S 侧＝1，21121122S πππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭表，∴1121122S S πππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭表侧∶∶.2．12a 2方法一：把一个正方体切成27块，可知多出了12(个)面，每个面面积为a 2，∴12个面增加了12a 2的表面积．方法二：∵小正方体的棱长为，∴27个小正方体的表面积和减去原大正方体的表面积，即2226276123a a a ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭.3．6 根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其侧面积为2×1×3＝6.4．3π ∵轴截面面积为，设母线长为l ，则，∴l ＝2.底面半径为r ＝1，∴S ＝S 侧＋S 底＝·2πr ·l ＋πr 2＝π·1·2＋π·12＝3π.5． 由三视图可知原棱锥为三棱锥，记为PABC (如图)． 且底边为直角三角形，顶点P 在底面射影为底边AC 的中点， 且由已知可知AB ＝BC ＝6，PD ＝4.则全面积为11166265448222S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋6．(1) (2) (1)如图，在正三棱锥VABC 中，V 在底面的射影为O ，连结AO ，并延长交BC 于D ，则D 为BC 中点，设△ABC 的边长为a ，VO ＝h ，则，∵，∴VD 2＝VO 2＋OD 2，即 ∴，∴213232S a =⋅⋅=侧，.∴212S S ==底侧.(2)设四棱台为ABCDA 1B 1C 1D 1，如图所示．设B 1F 为斜高，在Rt △B 1FB 中，有B 1F ＝h ′， ，B 1B ＝8， 所以. 所以.所以14(48)2S =⨯⨯⨯=正棱台侧＋7．解：由三视图知正三棱柱的高为2 mm ，由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为mm.设底面边长为a mm ，则，∴a ＝4.∴正三棱柱的表面积S ＝S 侧＋2S 底＝3×4×2＋2××4× (mm 2)．8．解：如图，设棱台两底面的中心分别是O 1和O ，B 1C 1和BC 的中点分别是E 1和E ，连结O 1O ，E 1E ，OB ，O 1B 1，OE ，O 1E 1，则OBB 1O 1和OEE 1O 1都是直角梯形．∵A 1B 1＝4 cm ，AB ＝16 cm ，∴O 1E 1＝2 cm ，OE ＝8 cm ，cm ，cm.因此119BB == (cm)，1EE ==，即这个棱台的侧棱长是19 cm，斜高是cm.35178 896A 襪38834 97B2 鞲.33923 8483 蒃%22314 572A 圪 32668 7F9C 羜28649 6FE9 濩34285 85ED 藭36964 9064 遤34007 84D7 蓗25355 630B 挋。

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高一数学必修3第一章测试题姓名____________班级___________学号_______（时间120分钟，满分150分) 一、选择题（5×10=50分）1。

下面对算法描述正确的一项是:（ ）A ．算法只能用自然语言来描述B ．算法只能用图形方式来表示C ．同一问题可以有不同的算法D ．同一问题的算法不同,结果必然不同 2．在下图中，直到型循环结构为 （ )A ．B ．C ． D3．算法 S1 m=aS2 若b 〈m ，则m=b S3 若c 〈m ，则m=c S4 若d<m ，则 m=dS5 输出m ，则输出m 表示 （ ） A ．a,b ，c ，d 中最大值B ．a ，b,c ，d 中最小值C ．将a ，b,c,d 由小到大排序D ．将a,b ，c,d 由大到小排序 4．右图输出的是A ．2005B ．65C ．64D ．63循环体 满足条件？是否循环体满足条件？否是满足条件？循环体是否满足条件？循环体否是i=11 s=1 DOs= s * i i = i －1n=5 s=0WHILE s<15 S=s + nn=n －1WEND PRINT n 5．下列给出的赋值语句中正确的是( )A 。

5 = M B. x =－x （第4题）C. B=A=3D. x +y = 06.右边程序的输出结果为 （ ）A ． 3，4B ． 7，7C ． 7,8D ． 7，117.右图给出的是计算0101614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( )A ． i 〈＝100B ．i 〉100C ．i>50D ．i<＝50 8．如果右边程序执行后输出的结果是990， 那么在程序until 后面的“条件”应为（ ） A.i > 10 B. i <8 C 。

高一数学 立体几何初步章节测试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知b a ,是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：①b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则α⊥β；②,,γβγα⊥⊥则α//β；③αβα⊥⊥,b ，则β//b ；④b a ==γβγαβα ,,//，则β//a ，其中正确的命题序号是 （ ）A 、①④B 、①③C 、①②④D 、③④2、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，则这个长方体的对角线的长为 （ ）A 、32B 、23C 、6D 、63、相交成60°角的两条直线与平面α所成的角是45°，则这两条直线在平面α内射影的夹角是 （ ）A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°4、已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则b a ,的关系是 （ ）A 、a b )12(-=B 、a b )12(+=C 、a b 222-=D 、a b 222+= 5、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为 （ ） A 、π28 B 、8π C 、π24 D 、4π6、设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ ）A 、V 61B 、V 41C 、V 31D 、V 217、如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形， SD ⊥底面ABCD ，SB=3，则平面ASD 与平面BSC 所成的二面 角大小为 （ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8、下列图形中，不是三棱柱的展开图的是 （ ）ABCDSA B C D9、如图所示的直观图，其平面图形的面积为 ） A 、3 B 、C 、6D 、 10、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为图中的（）A B C D 11、四面体PABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，则P 在平面ABC 的正投影是△ABC 的（ ） A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心12、△ABC 的边AB=5，BC=3，AC=4，设分别以此三边为轴，把△ABC 旋转一周，所得旋转体的体积为V AB ，V BC ，V AC ，则它们的大小关系是 （ ）A 、V AB > V AC > V BC B 、V AB > V BC > V AC C 、V AB > V BC > V ACD 、V BC > V AC > V AB 二、填空（每小题5分，共20分）13、已知正四棱锥P —ABCD 的五个顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为62，则此球的表面积为 。

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11（2013年高考江西卷（理））2．设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积是V ，P .Q 分别是侧棱AA 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（ ）A.V 61 B.V 41 C.V 31 D.V 21 (2005全国3理)3．对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （ ）C （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n （2006福建）4．若一条直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是__________；①直线上上所有点都在平面外；②直线上有无穷多个点在平面外； ③直线上有有限个点在平面外；④平面内至少有一个点在直线。

5．过空间任一点和两条异面直线都平行的平面有-----------------------------------------------（ ） (A) 1个 (B) 无数个 (C)至多一个 (D)不存 二、填空题6．已知直线m 、n ，平面α、β,给出下列命题:①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题的个数为 _▲_.7．有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是60，又侧棱与底面所成的角都是45，则这个棱锥的体积是48．角α和角β的两边分别平行，则当72α=时，β=_______________9．在长方体1111ABCD A B C D -中，若13,4AB BC AA ===，求1A B 和1B C 所成角的余弦值。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第1章算法初步(A)(时间：120分钟满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．流程图中的功能是________．(填序号)①算法的起始与结束；②算法输入和输出信息；③计算、赋值；④判断条件是否成立．2．用二分法求方程x2－10＝0的近似根的算法中要用下列哪种算法结构________．(填序号)①顺序结构；②选择结构；③循环结构．3．已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，采用的算法是________．4．阅读下图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果是________．5．给出伪代码如下图所示，若该程序执行的结果是3，则输入的x值是________．Read xIf x≥0Theny←xElsey←－xEnd IfPrint y6．阅读下面的流程图，则输出的S等于________．7．下面伪代码的输出结果为________． S ←1For I From 1 To 9 Step 2S ←S ＋I End ForPrint S8．两个整数1 908和4 187的最大公约数是____________．9．执行下面的伪代码时，While 循环语句的执行次数是________． N ←0While N<20 N ←N ＋1 N ←N ×N End WhilePrint N10．下面的流程图的输出结果为________．11．假设a ＝123，那么在执行b ＝a 10－a \10后，b 的值是________．12．给出一个伪代码： Read xIf x ≤0 Thenf (x )←4xElse f (x )←2x End IfPrint f (x )根据以上算法，可求得f (－1)＋f (2)＝________.13．下列算法的功能是____________．S ←1i ←1While S ≤2 005i ←i ＋2S ←S ×iEnd WhilePrinti14．如图给出的是计算1＋12＋13＋…＋112的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是____________________________________________________________________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)用辗转相除法求282与470的最大公约数．16．(14分)写出一个伪代码计算12＋32＋52＋…＋9992，并画出相应的流程图．17．(14分)设计一个算法，判断一个整数是奇数还是偶数，要求画出流程图，写出伪代码．18．(16分)设计一个流程图，求出前100个正整数中的所有素数．19．(16分)设计一个算法，将n个数a1，a2，…，a n中的最小数找出来，并用伪代码表示这个算法．20．(16分)已知函数f(x)＝x2－5，画出求方程f(x)＝0在[2,3]上的近似解(精确到0.001)的流程图．答案1．②2．①②③3．c ←a ，a ←b ，b ←c4．4解析 初值，S ＝2，n ＝1.执行第一次后，S ＝－1，n ＝2，执行第二次后，S ＝12，n ＝3， 执行第三次后，S ＝2，n ＝4.此时符合条件，输出n ＝4.5．3或－3解析 该算法对应的函数为y ＝|x|，已知y ＝3，则x ＝±3.6．30解析 由题意知：S ＝12＋22＋…＋i 2，当i ＝4时循环终止，故S ＝12＋22＋32＋42＝30.7．268．53解析 4 187＝1 908×2＋371，1 908＝371×5＋53，371＝53×7，从而，最大公约数为53.9．3解析 解读伪代码时，可采用一一列举的形式：(1)N ＝0＋1＝1；N ＝1×1＝1；(2)N ＝1＋1＝2；N ＝2×2＝4；(3)N ＝4＋1＝5；N ＝5×5＝25.10．20解析 其算法为1×5×4＝20.11．0.3解析 ∵a ＝123，∴a 10＝12.3.又∵a\10表示a 除以10的商，∴a\10＝12.∴b ＝a 10－a\10＝12.3－12＝0.3.12．0解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ， x ≤0，2x ， x>0， ∴f(－1)＋f(2)＝－4＋22＝0.13．求满足1×3×5×…×n>2 005的最小正整数14．n ≤12(或n<13)15．解 辗转相除法：470＝1×282＋188，282＝1×188＋94，188＝2×94，∴282与470的最大公约数为94.16．解 伪代码： 流程图如图：S ←0i ←1While i ≤999S←S ＋i 2i ←i ＋2End WhilePrint S17．解 流程图：伪代码：Read xIf Mod (x ，2)＝0 ThenPrint x 是偶数ElsePrint x 是奇数End If18．解 流程图如图所示．19．解S 1 x ←a 1，I ←2；S 2 如果2≤I ≤n ，那么转S 3；否则转S 6；S 3 输入a I ；S 4 如果a I <x ，那么x ←a I ；S 5 I ←I ＋1，转S 2； S 6 输出x.x ←a 1For I From 2 To nRead a IIf a I <x Then x ←a IEnd IfEnd ForPrint x20．解 本题可用二分法来解决，设x 1＝2，x 2＝3，m ＝x 1＋x 22. 步骤如下：S 1 x 1←2，x 2←3；S 2 m ←(x 1＋x 2)/2；S 3 计算f(m)，如果f(m)＝0，则输出m ；如果f(m)>0，则x 2←m ，否则x 1←m ； S 4 若|x 2－x 1|<0.001，输出m ，否则转S 2.流程图如图所示：。

(一) 立体几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．给出下列命题：(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； (4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 其中真命题的序号为__________．【解析】 (1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行． 综上：(1)(2)为真命题． 【答案】 (1)(2)2．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】 若有AC ⊥BD ，则A 1C 1⊥B 1D 1. 又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C ，故条件可填AC ⊥BD . 【答案】 AC ⊥BD (答案不唯一)3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各个面引垂线，垂线段分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．【解析】 设四面体的高为h ， 则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63. 【答案】634．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为__________．【解析】 设圆锥的体积为x ，则x －52x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133，解得x ＝54.【答案】 545．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.【解析】 V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π. 【答案】 24π6．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的________条件．【解析】 ∵m ⊥α，若l ∥α，则必有l ⊥m ，即l ∥α⇒l ⊥m . 但l ⊥mD ⇒/l ∥α，∵l ⊥m 时，l 可能在α内． 故“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要而不充分条件． 【答案】 必要不充分7．如图1所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．图1【解析】 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角． ∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1.又MC 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 【答案】 90°8．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________． ①若l ∥α，l ∥β，则α∥β；②若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；③若l ⊥α，l ∥β，则α∥β；④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β.【解析】 对于①，若l ∥α，l ∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误； 对于②，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β，故正确； 对于③，若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β，故错误；对于④，若α⊥β，l ∥α，则l 与β的位置关系有三种可能：l ⊥β，l ∥β，l ⊂β，故错误．故选②.【答案】 ②9．如图2，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH ，FG 间的距离为__________cm.图2【解析】 由题知，EH ＝12BD ＝3 cm ，FG ＝23BD ＝4 cm.设平行线EH ，FG 之间距离为d ，则12×(3＋4)×d ＝28，解得d ＝8 cm. 【答案】 810．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AD ，四边形ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，则AE 与PC 的位置关系为________．【解析】 易知CD ⊥AE ，AE ⊥PD ，则AE ⊥平面PCD ，所以AE ⊥PC . 【答案】 垂直11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是________．①点H 是△A 1BD 的垂心； ②AH ⊥平面CB 1D 1；③AH的延长线经过点C1；④直线AH和BB1所成的角为45°.【解析】因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，①正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，②正确．易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故③正确．因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠A1AH≠45°，故④错误．【答案】④12．如图3所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：图3①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的序号是________．【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，故①正确；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM ∥PA .∵PA ⊂平面PAC ，∴OM ∥平面PAC ，故②正确；对于③，由①知BC ⊥平面PAC ，∴线段BC 的长即是点B 到平面PAC 的距离，故③正确． 【答案】 ①②③13．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③二面角A －BC －D 的度数为60°； ④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________．【解析】 如图(1)(2)所示，取BD 的中点O ，连结AO ，OC ，易知AO ⊥BD 且CO ⊥BD ，AO ∩OC ＝O ，故BD ⊥平面AOC ，∴BD ⊥AC ，故①正确．设正方形ABCD 的边长为1，易知AO ＝OC ＝22.又由题意可知∠AOC ＝90°，故AC ＝1. 所以AC ＝AD ＝DC ，所以△ACD 是等边三角形，故②正确．取BC 的中点E ，连结OE ，AE ，则∠AEO 即为二面角A －BC －D 的平面角， ∴tan ∠AEO ＝AO OE＝2，(3)故③不正确．对于④，如图(3)所示，取AC 的中点F ，连结OF ，EF ，OE ，则OE ∥CD ，EF ∥AB ，则∠FEO 即为异面直线AB 与CD 所成的角．又在△AOC 中，OF ＝12，故EF ＝OE ＝OF ，∴AB 与CD 所成的角为60°，故④正确．综上可知①②④正确． 【答案】 ①②④14．如图4所示，三棱锥A －BCD 的底面是等腰直角三角形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，E 是棱CD 上的任意一点，F ，G 分别是AC ，BC 的中点，则在下面命题中：①平面ABE ⊥平面BCD ； ②平面EFG ∥平面ABD ； ③四面体FECG 体积的最大值是13.其中为真命题的是__________．(填序号)【导学号：41292059】图4【解析】 ①正确，因为AB ⊥平面BCD ，且AB ⊂平面ABE ，由面面垂直的判定定理可知平面ABE ⊥平面BCD ；②错，若两平面平行，则必有AD ∥EF ，而点E 是棱CD 上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF ⊥平面GCE ，且GF ＝12AB ＝1，而S △GCE ＝12GC ·CE ·sin 45°＝24CE ≤1，故V F －GCE ＝13S △GCE ·FG ≤13.故正确的命题为①③. 【答案】 ①③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图515．(本小题满分14分)如图5，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连结A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．【解】 (1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴六个面是互相全等的正方形，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ， ∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝13a 3.16．(本小题满分14分)如图6所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，并说明理由．图6【解】 直线MN ∥平面A 1BC 1. 证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1. ∴MN ⊄平面A 1BC 1. 如图，取A 1C 1的中点O 1， 连结NO 1，BO 1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB ，∴四边形NO 1BM 为平行四边形， ∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.17．(本小题满分14分)如图7，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．图7(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝3，求圆锥的表面积．【解】(1)∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，∴QB⊥SC，QB⊥OC.∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC.又∵QB⊂平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝3，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，∴OB＝ 3.∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝6，∴S侧＝3·6π＝32π，∴S表＝S侧＋S底＝32π＋3π＝(3＋32)π.图818．(本小题满分16分)如图8所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．【解】(1)证明：连结OE，如图所示．∵O ，E 分别为AC ，PC 的中点， ∴OE ∥PA .∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE . (2)证明：∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC . 又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面PAC . 又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE . (3)取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点， ∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥BD ，∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ， ∴OE ⊥BD ，∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.19．(本小题满分16分)如图9，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 为线段AC 上一点.(1)求证：BD ⊥EF ；(2)若EF ∥平面PBD ，求AFFC的值．图9【解】 (1)因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 又四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 又PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC .又EF ⊂平面PAC ，所以BD ⊥EF . (2)设AC 与BD 交于点O ，连结PO .因为EF ∥平面PBD ，平面PAC ∩平面PBD ＝PO ，且EF ⊂平面PAC ，所以EF ∥PO .又E 是PC 的中点，所以OF ＝FC ，所以AF ＝3FC ，即AF FC＝3.20．(本小题满分16分)如图10(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图10(2)．(1) (2)图10(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .说明理由． 【解】 (1)证明：∵D ，E 分别为AC ，AB 的中点， ∴DE ∥BC .又∵DE ⊄平面A 1CB ，BC ⊂平面A 1CB ， ∴DE ∥平面A 1CB .(2)证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，∴DE ⊥AC ， ∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，A 1D ∩CD ＝D ， ∴DE ⊥平面A 1DC ，而A 1F ⊂平面A 1DC ， ∴DE ⊥A 1F .又∵A 1F ⊥CD ，DE ∩CD ＝D ，∴A 1F ⊥平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ，∴A 1F ⊥BE .(3)线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ . 理由如下：小中高精品教案试卷如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.制作不易推荐下载11。

1.3.2 空间几何体的体积A 组 基础巩固1.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1-ACD 的体积是( )A.16 B.13 C.12D ．1解析：三棱锥D 1-ADC 的体积V ＝13S △ADC ·D 1D ＝13×12×AD ·DC ·D 1D ＝13×12＝16.答案：A2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603 B.5803C ．200D ．240解析：先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝（2＋8）×42＝20.又棱柱的高为10，所以体积V ＝Sh ＝20×10＝200.答案：C3．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3解析：先根据三视图画出几何体，再利用体积公式求解．该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3)．答案：B4．已知直角三角形的两直角边长为a ，b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 2解析：以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到的圆锥体积V ＝13πa 2b .所以13πb 2a ∶13πa 2b ＝b ∶a .答案：B5．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C ．43πD ．323π解析：由题意可知，6a 2＝24，所以a ＝2.设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，所以R ＝3，所以V 球＝43πR 3＝43π.答案：C6．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3D ．1∶1解析：S 1S 2＝4πr 214πr 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19.答案：A7．(2014·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m ，高为2 m 的圆锥，下部是一个底面直径为2 m ，高为4 m 的圆柱．故该几何体的体积V ＝13π·22×2＋π·12×4＝203π(m 3)．答案：203π8.已知高为3的直棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B 1-ABC 的体积为________．解析：因为S △ABC ＝34×12＝34，B 1到底面ABC 的距离即为三棱锥的高等于3，所以VB 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×34×3＝34.答案：349．圆锥的母线长为l ，高为12l ，则过圆锥顶点的最大截面面积为________．解析：易得圆锥底面半径为32l ，故轴截面的顶角为23π，从而过圆锥顶点的最大截面是顶角为π2的等腰直角三角形．答案：12l 2B 级 能力提升10．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图所示，几何体的高为2，V ＝23－14×π·12×2×2＝8－π.答案：B11．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( )A ．4π(r ＋R )2B ．4πr 2R 2C ．4πRrD ．π(R ＋r )2解析：如图所示，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 21＝4πRr .答案：C12．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A 1B 1作一个平行于对棱AB 的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为________．解析：设棱台的高为h ，上底面积为S ，则下底面积为4S . 所以V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，V 柱A 1B 1C 1-FEC ＝Sh .所以V 柱A 1B 1C 1FEC V 台－V 柱A 1B 1C 1FEC ＝Sh 73Sh －Sh＝34.答案：3∶4或4∶313．把一个圆分为两个扇形，一个顶角为120°，另一个顶角为240°，把它们卷成两个圆锥，则两个圆锥的体积之比为________．解析：设圆的半径为R ，则第一个圆锥底面周长为C 1＝2πR3，所以r 1＝R 3.同理，C 2＝4πR 3，所以r 2＝2R3.又母线为R ，所以h 1＝223R ，h 2＝53R .所以V 1＝13πr 12h 1＝2281πR 3，V 2＝13πr 22h 2＝4581πR 3.故V 1∶V 2＝1∶10.答案：1∶1014.如图所示，在等腰三角形ABC 中，E ，F 分别为两腰AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 分别为垂足，若将三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，求其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值．解：由题意画出图形，如图所示，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则圆柱的高为h2，底面半径为r2.所以V －V 柱V ＝1－V 柱V＝ 1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·h 213πr 2h ＝1－38＝58.15.如图所示，在边长为23的正方形中，剪下了一个扇形和一个圆，以此扇形和圆分别作圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积．解：设扇形半径为x ，圆的半径为r ，则扇形弧长等于圆的周长，即14×2x ＝2r ，所以x＝4r .又AC ＝x ＋r ＋2r ＝232，所以r ＝2325＋2＝52－2.所以圆锥的高h ＝x 2－r 2＝15r ＝15×(52－2)．所以圆锥体积V ＝13πr 2·h ＝13π·(52－2)2×15×(52－2)＝153×(52－2)3π.。