新人教A版必修4高中数学2.3.1-2平面向量正交分解及坐标表示导学案

《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容：1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。

本节教学的内容是本单元的第2节。

本节内容是向量进行坐标运算的理论基础，是将向量由几何属性转变为代数属性的转折点，具有非常总要的意义。

【三维目标】知识与技能：1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。

3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。

过程与方法：学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

情感态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

教学重点：平面向量坐标表示的定义突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想.教学难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理【教学过程】（一）回顾旧知：回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。

12a e e λμ=+【设计说明】回顾平面向量基本定理，为本节内容做铺垫，特别强调基底的系数是唯一确定的。

（二）情境引入：光滑斜面上的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?【设计说明】利用学生熟知的物理背景类比引出本节课题。

2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a . AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF .变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB. 故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A、B 、D 三点共线, ∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△A BC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+= ∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△A BC 中,AD 为△A BC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△O AB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△A BC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0). ∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A 组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。

平面向量的正交分解及坐标表示教学目标：教学目标：1. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2. 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.3. 了解向量的坐标表示与平面内点的坐标之间的关系.教学重点：平面向量的坐标表示与坐标运算.教学难点：正确理解平面向量坐标概念、平面向量坐标运算及其应用. 教学方法：自主学习，合作探究.一、新课探究1.从物理学中“力的正交分解”出发，引出向量的正交分解概念：把一个向量分解成互相垂直的向量，叫做向量的正交分解.2.思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？二、新知讲授1.平面向量的正交分解及坐标表示（1）基底的选取：互相垂直的两个单位向量i，j，图形展示，性质：|i|=1，|j|=1，i⊥j.（2）任一向量a（以原点为起点，终点在第一象限）的正交分解：向量形式：a=xi+yj.坐标形式：a=(x，y).特别地，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).（3）用有向线段表示的向量作OA=a ，有点A(x ，y)，→ OA =(x ，y)，→OA =xi+yj..2.平面向量的坐标运算设a ()11,x y =，b ()22,x y =，有（1）a+b ()1212,x x y y =++.（2）a-b ()1212,x x y y =--.（3）λa ()11,x y =λλ.三、典型例题例1.如图，取与x 轴，y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA ，OB ，并求出它们的坐标.例2.已知a=(x 1，y 1)，b=(x 2，y 2)，求a+b ，a-b ，λb 的坐标。

例3. 已知()11,A x y ，()22,B x y ，求AB 的坐标例4已知a ()2,1=，b ()3,4=-，求a+b ，a-b ，3a+4b 的坐标.四、课堂练习1.在平面直角坐标系内，作出向量：()1,2OA =，()3,2OB =-，()1,1AC =.(O 为坐标原点)2. 已知向量a()=-，则2a-b=.2,4=，b()1,13. 已知向量a()1,2=，则b=.=，2a+b()3,2五、当堂检测1. 在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a=i-2j，则向量用坐标表示a=.2. 若a()2,3=，b()3,1=-，则a+b=.3. 已知向量a()1,2=，则b-a=.=，b()3,1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =.4. 若点()3,5M，点()2,1N，用坐标表示向量MN六、课堂小结七、课后作业1.在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.2.已知作用在坐标原点的三个力分别为F1=(3，4)，F2=(2，−5)，F3=(3，1)，求作用在原点的合力F1+F2+F3的坐标。

ABCDO2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 【学习目标】1.理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义；2.了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标；3.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算.4.会根据表示向量的有向线段的起点坐标和终点坐标求这个向量的坐标. 【知识梳理】 1.平面向量的正交分解把一向量分解成两个 的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 （1）向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与轴轴，y x 方向相同的两个 j i ,作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数y x ,使得a = ，则把有序数对 叫做向量a 的坐标. (2)向量的坐标表示在向量a 的直角坐标系中， 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做向量a 在y 轴上的表示， 叫做向量的坐标表示.(3)在平面直角坐标系中，=i ，=j ，）（0,00= 3.平面向量的坐标运算（1）已知向量）（2211,),,(y x b y x a ==和实数λ，那么 =+b a ；=-b a ；a λ= ；（2）已知),(),,(2211y x B y x A ，O 为坐标原点，则)(,1122y x y x OA OB AB --=-=）（，即一个向量的坐标表示等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去的 坐标. 即学即练1.如图所示，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列是正交分解的是 （ ） A.OA OB AB -= B.AB AD D B -=C.BD AB AD +=D.CB AC AB +=2.已知基向量j i m j i -===4),1,0(),0,1(，则m 的坐标是 （ ） A.（4,1） B.（-4,1） C.（4，-1） D.（-4，-1）3.已知)1,2(),3,1(-==b a ，则a b -等于 （ ） A.（-3,2） B.（3，-2） C.（-3，-2） D.（-2，-3）4.已知)21(，-=MN ,则=-MN 3 （ ） A.(-3,-3) B.(-6,3) C.（3，-6） D.（-4，-1） 【合作探究】探究一、向量的坐标表示例1.如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量j i ,作为基底，分别用j i ,表示OC OB OA ，,，并求出它们的坐标.例2、设向量b a ,的坐标分别是（-1,2），（3，-5），求b a a b a b a 32,3,,+-+；第3页 第4页探究二、向量的直角直角坐标运算例3 、若向量1||||==，且.0,1），求（=+变式：已知)4,3(),1,3(,4,2----C B A ）（，且CB CN CA CM 23==，，求M,N 的坐标和MN 的坐标；【课堂检测】1. 若向量()2,3a x =-r 与向量()1,2b y =+r相等，则 （ ） A.1,3x y == B.3,1x y == C.1,5x y ==- D.5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =u u u r ，点B 的坐标为()2,1-，则OA u u u r的坐标为 （ ）A.()2,1x y -+B.()2,1x y +-C.()2 1x y ---，D.()2,1x y ++ 3. 已知()3,1a =-r ，()1,2b =-r ，则32a b --r r等于 （ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1- 4. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =u u u r 2AB u u u r 3BC -u u ur ，求D 点的坐标.5.已知点A (－1，－5)和向量＝(2,3)，若AB →＝3，则点B 的坐标为 ( ) A ．(6,9)B ．(5,4)C ．(7,14)D ．(9,24)6已知(,),(,)M N ---3251，且=u u u vu u uv MP MN 12，求P 点的坐标.7已知向量()3,2a =-r ，()2,1b =-r ，()7,4c =-r ，试用,a b r r 来表示c r.。

2. 3.2 平面向量正交分解与坐标表示学习目标、细解考纲1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

4.通过培养学生作图、判断、求解的基本能力提升数学实践能力的核心素养。

一、自主学习—————（素养催化剂）（阅读教材第94—96页内容，完成以下问题：）1. 对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？2. 我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?3.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1.(5,2),(4,3),(,).320,a b c x y a b c c ==--=-+==已知向量若则( )A ．()2312--，B ．（23，12）C ．（7，0） D ．（-7，0）变式1．设12e ,e 是平面内一组基向量，且122a e e =+，12b e e =-+，则向量12e e +可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即12____e e a b +=+例2.如图,分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.变式2 ,i j 是两个不共线的向量,已知AB =32i j +,CB =i j λ+,CD =-2i j +,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）例3．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC ―→＝λOA ―→＋OB ―→，则实数λ的值为________．备选例题例1. 如图,ABCD,AB =a ，AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量AM 和MF .四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。

2.3《平面向量的基本定理及座標表示》教學設計【教學目標】1．瞭解平面向量基本定理；2．理解平面裏的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；3．能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達. 【導入新課】 復習引入：1． 實數與向量的積實數λ與向量a 的積是一個向量，記作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0時，λa與a 方向相同；λ<0時，λa 與a 方向相反；λ=0時，λa=0.2．運算定律結合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb .3. 向量共線定理向量b 與非零向量a 共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使b =λa .新授課階段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量a ，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底； (2) 基底不惟一，關鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量a 在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解； (4)基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一確定的數量. 二、平面向量的座標表示如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x 軸、y 軸方向相同的兩個單位向量、j 作為基底.任作一個向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我們把),(y x 叫做向量a 的（直角）座標，記作 ),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 軸上的座標，y 叫做a 在y 軸上的座標，○2○2式叫做向量的座標表示.與．a 相等的向量的座標也為．．．．．．．．．．),(y x . 特別地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如圖，在直角坐標平面內，以原點O 為起點作a OA =，則點A 的位置由a 唯一確定. 設yj xi OA +=，則向量OA 的座標),(y x 就是點A 的座標；反過來，點A 的座標),(y x 也就是向量OA 的座標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.三、平面向量的座標運算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，則b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=.兩個向量和與差的座標分別等於這兩個向量相應座標的和與差.設基底為、j ，則b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=.（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，則()1212,y y x x AB --=.一個向量的座標等於表示此向量的有向線段的終點座標減去始點的座標.AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1).（3）若),(y x a =和實數λ，則),(y x a λλλ=.實數與向量的積的座標等於用這個實數乘原來向量的相應座標. 設基底為、j ，則a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=. 例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的座標.例2 已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的座標.例3 已知平面上三點的座標分別為A(-2，1)，B(-1，3)， C(3，4)，求點D 的座標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解：當平行四邊形為ABCD 時，由DC AB =，得D 1=(2，2).當平行四邊形為ACDB 時，得D 2=(4，6)，當平行四邊形為DACB 時，得D 3=(-6，0). 例4 已知三個力1F (3，4)，2F (2，-5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的座標. 解：由題設1F +2F +3F =0，得：(3，4)+ (2，-5)+(x ，y)=(0，0)， 即：320,450,x y ++=⎧⎨-+=⎩∴5,1.x y =-⎧⎨=⎩∴3F (-5，1).例5 已知a =(2,1),b =(－3,4),求a ＋b ，a －b ，3a＋4b 的座標.解：a ＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，3a＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).點評：利用平面向量的座標運算法則直接求解.例6 已知平行四邊形ABCD 的三個頂點A 、B 、C 的座標分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D 的座標.解：設點D 的座標為（x,y ）,即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2.所以頂點D 的座標為（2，2）. 另解：由平行四邊形法則可得(1,3)(2,1)(1,2),(3,4)(,)(3,4),,AB DC x y x y AB DC =---==-=--=且(1,2)(3,4).x y ∴=--(2(1),13)(3(1),43)(3,1),BD BA BC=+=----+---=-例7 經過點(2,3)M -的直線分別交x 軸、y 軸於點,A B ，且||3||AB AM =，求點,A B 的座標.解：由題設知，,,A B M 三點共線，且||3||AB AM =，設(,0),(0,)A x B y ， ①點M 在,A B 之間，則有3AB AM =， ∴(,)3(2,3)x y x -=--. 解之得：3,3x y =-=， 點,A B 的座標分別為(3,0),(0,3)-.②點M 不在,A B 之間，則有3AB AM =-，同理，可求得點,A B 的座標分別為3(,0)2-，(0,9)-.綜上，點,A B 的座標分別為(3,0),(0,3)-或3(,0)2-，(0,9)-.例8. 已知三點(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，若AM AB AC λ=-，試求實數λ的取值範圍，使M 落在第四象限.解：設點(,)M x y ，由題設得(2,3)(3,)(5,7)(35,7)x y λλλλ--=-=--， ∴33,4x y λλ=-=-， 要使M 落在第四象限，則330,40x y λλ=->=-<， 解之得14λ<<.例8 已知向量(8,2),(3,3),(6,12),(6,4)a b c p ====，問是否存在實數,,x y z 同時滿足兩個條件：(1);(2)1p xa yb zc x y z =++++=？如果存在，求出,,x y z 的值；如果不存在，請說明理由.解：假設滿足條件的實數,,x y z 存在，則有8366,23124,1.x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得：1,21,31.6x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(1,3)(3,1)(2,2).OD OB BD =+=-+-=∴滿足條件的實數111,,236x y z ===. 課堂小結（1）理解平面向量的座標的概念； （2）掌握平面向量的座標運算；（3）會根據向量的座標，判斷向量是否共線. 作業 見同步練習 拓展提升1.設,1e 2e是同一平面內兩個不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（ ） A. 1e ，2e B. 1e +2e ，2e C. 1e ，22e D.1e ，1e +2e2. 設,1e 2e是同一平面內所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（ ）A. 1e +2e 和1e -2eB. 31e -22e 和41e -62eC. 1e +22e和21e +2e D. 1e +2e 和2e3.已知,1e 2e 不共線，a =1λ1e +2e ，b =4 1e +22e ，並且a ，b共線，則下列各式正確的是（ ）A. 1λ=1，B. 1λ=2，C. 1λ=3，D. 1λ=44.設AB =a +5b ，BC =-2a +8b ，CD =3a -3b，那麼下列各組的點中三點一定共線的是（ ）A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列說法中，正確的是（ ）①一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底； ②一個平面內有無數多對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底； ③零向量不可作為基底中的向量.Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③６．已知,1e 2e是同一平面內兩個不共線的向量，那麼下列兩個結論中正確的是（ ）①1λ1e +2λ2e（1λ，2λ為實數）可以表示該平面內所有向量；②若有實數1λ，2λ使1λ1e +2λ2e＝0 ，則1λ＝2λ＝０.Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不對７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若AB ＝a，AC ＝b ，則AM ＝（ ）Ａ．21（a －b ） Ｂ． －21（a －b ）Ｃ．－21（a ＋b ） Ｄ．21（a ＋b ）８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六邊形，AB ＝a，AE ＝b ，則BC ＝（ ）Ａ．21（a －b ） Ｂ． －21（a －b ）Ｃ．a ＋21b Ｄ．21（a ＋b ）９．如果３1e +４2e ＝a ，２1e +３2e ＝b ，其中a ，b為已知向量，則1e ＝ ，2e ＝ .１０．已知,1e 2e 是同一平面內兩個不共線的向量，且AB ＝２1e +ｋ2e ，CB ＝1e +３2e，CD ＝２1e －2e，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點共線，則ｋ的值為 .１１．當ｋ為何值時，向量a＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e 共線，其中1e 、2e 是同一平面內兩個不共線的向量.１２．已知：1e 、2e 是不共線的向量，當ｋ為何值時，向量a＝ｋ1e +2e 與b ＝1e ＋ｋ2e 共線？。

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2.3.1 平面向量基本定理2。

3.2平面向量的正交分解及坐标表示教材分析本节内容是数学必修 4 第二章第三节的第一课,平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进一步研究向量问题的基础；是进行向量运算的基本工具，是解决向量或利用向量解决问题的基本手段. 掌握了平面向量基本定理及坐标表示，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一,所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点.另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解平面向量基本定理、向量的坐标表示．教学目标1.了解平面向量的基本定理及其意义,理解掌握平面向量的的正交分解及其坐标表示。

2.经历平面向量基本定理的形成探究过程，掌握正交分解下向量的坐标表示,认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的桥梁。

3.通过本节课的学习，了解先关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值,培养学生的探索研究能力。

重点: 正交分解下向量的坐标表示.难点：平面向量的基本定理,正交分解下向量的坐标表示。

第二章 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示【学习目标】掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握向量的坐标运算.【学习重点】向量的坐标运算【知识链接】平面向量的基本定理【基础知识】1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y 轴作一个向方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=……○1 我们把),(y x 叫做 ，记作),(y x a =……○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做 与．a 相等的向量的坐．．．．．．．标也为．．．),(y x .特别地，i= , j= , 0= .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，（1）设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a += ，同理可得b a -= .结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即=a λ .结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（3） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= .结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.【例题讲解】例1已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ， 3a +4b 的坐标.例2 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例3已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.【达标检测】1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.4.在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则OA =_______________，OB =__________________。

2.3.2平面向量的正交分解及其坐标表示例1 例3板书设计二2．2．3用平面向量坐标表示向量共线条件向量共线条件：平面基本定理介绍例1 例3例2 例4归纳小结：归纳小结：（四）教学资源建议教材、电子版教参中提供的教学课件（五）教学方法与学习指导策略建议将平面向量的基本定理的内容后置的相关考虑：（1）平面向量的基本定理由原实验教材的“掌握”变成了新课标中的“了解”。

这一基本定理是正交分解的理论基础，是向量恒等变形中“消元”的基本依据，应用这一基本定理可以更加灵活的解决一些向量问题.“了解”更适应数学基础课的要求，适应所有学生的学习要求。

（2）从教学功能上，平面向量的正交分解可以替代基本定理。

正交分解可以直接证明，方法及思想与基本定理相同；同样包含了“消元”的基本思想方法（平面中任一向量都能表示成两个基底的线性组合）；正交分解同样有多种选择性。

(3)从学生的主体作用看，先有平面向量的正交分解，再有基本定理，更适合从特殊到一般的研究规律。

有学生前面一维向量（轴上向量）的坐标表示，以及平面直角坐标系与数轴的相关研究过程，平面向量用两个互相垂直的单位向量表示，比两个不平行的向量表示应该更自然；基本定理作为所有学生要了解的内容，也是部分同学可以有所拓展的内容，有了之前的正交分解的研究作为基础，更容易通过类比加深理解。

（4）如果允许，可以用三课时完成这部分内容的教学。

基础差的班级可以介绍平面向量基本定理，并落实巩固正交分解的方法以及向量平行条件的坐标表示；基础好的班级可以适当拓展非正交分解的思想方法（六）备注：文中“向量AB”，符号不规范（少上面的前头线），需用正常的公式编辑器修改，为修改方便均在前面注明了“向量”或者“基底｛｝”。

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算学习目标：1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．3．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．【学法指导】1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个彼此垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，若是一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点时，则向量的终点坐标并非是向量的坐标，此时AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一．知识导学1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，别离取与x 轴、y 轴方向相同的两个 i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则 叫做向量a 的坐标， 叫做向量a 的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝ ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ ．2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝ ，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R，则λa ＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.二．探讨与发现【探讨点一】平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，别离取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的任一贯量a ，由平面向量大体定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝xi＋yj .咱们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．显然有，i ＝ ，j ＝ ，0＝ ．问题1 按照下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每一个小正方形的边长是1.问题2 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．所以相等向量的坐标相同，从原点动身的向量和平面直角坐标系的点是一一对应关系．请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量a ，b ，c ，d 所对应的点A ，B ，C ，D .【探讨点二】平面向量的坐标运算问题1 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋b ，a －b 和a －3c ，然后写出它们的坐标．问题2 一般地，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，试写出a ＋b ，a －b ，λa ，λa ＋μb 的坐标．【典型例题】例1 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求：(1)AB →－AC →； (2)AB →＋2BC →； (3)BC →－12AC →.跟踪训练1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ； (2)a －3b ； (3)12a －13b .例2 已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .跟踪训练2 已知a ＝(10，－5)，b ＝(3,2)，c ＝(－2,2)，试用b ，c 表示a .例3 已知▱ABCD 的极点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，求极点D 的坐标．跟踪训练3 已知平行四边形的三个极点的坐标别离为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个极点的坐标．三、巩固训练1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于 ( )A ．(7,3)B ．(7,7)C ．(1,7)D ．(1,3)2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )C. (－8,1)D. (8,1)3．已知四边形ABCD 的三个极点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则极点D 的坐标为 ( )C. (3,2)D. (1,3)4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝ma ＋nb ，则m ＋n ＝________.四、课堂小结：1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间成立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不必然相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，避免符号错误.。

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计【教学目标】1．了解平面向量基本定理；2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】 复习引入：1． 实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时，λa与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa=0.2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb .3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .新授课阶段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1( i ，)1,0( j ，)0,0(0 .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA ，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA ，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x .两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为、j ，则b a )()(2211j y i x j y i x j y y i x x )()(2121 ，即b a ),(2121y y x x ，同理可得b a ),(2121y y x x .（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB .一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2 x 1，y 2 y 1).（3）若),(y x a 和实数 ，则),(y x a .实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为、j ，则a )(yj xi yj xi ，即),(y x a .例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB u u u r的坐标.例2 已知a r =(2，1)，b r =(-3，4)，求a r +b r ，a r -b r ，3a r +4b r的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A( 2，1)，B( 1，3)， C(3，4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB ，得D 1=(2，2).当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4，6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=( 6，0). 例4 已知三个力1F (3，4)，2F (2， 5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F =，得：(3，4)+ (2， 5)+(x ，y)=(0，0)， 即：320,450,x y∴5,1.x y ∴3F ( 5，1).例5 已知a =(2,1),b =(－3,4),求a ＋b ，a －b ，3a＋4b 的坐标.解：a ＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，3a＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D 的坐标.解：设点D 的坐标为（x,y ）,即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2.所以顶点D 的坐标为（2，2）. 另解：由平行四边形法则可得(1,3)(2,1)(1,2),(3,4)(,)(3,4),,AB DC x y x y AB DC u u u rQ u u u ru u u r u u u r 且(1,2)(3,4).x y (2(1),13)(3(1),43)(3,1),BD BA BCu u u r u u u r u u u r例7 经过点(2,3)M 的直线分别交x 轴、y 轴于点,A B ，且||3||AB AM u u u r u u u u r，求点,A B 的坐标.解：由题设知，,,A B M 三点共线，且||3||AB AM u u u r u u u u r，设(,0),(0,)A x B y ，①点M 在,A B 之间，则有3AB AM u u u r u u u u r， ∴(,)3(2,3)x y x .解之得：3,3x y ， 点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3) .②点M 不在,A B 之间，则有3AB AM u u u r u u u u r ，同理，可求得点,A B 的坐标分别为3(,0)2，(0,9) .综上，点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3) 或3(,0)2 ，(0,9) . 例8. 已知三点(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，若AM AB AC u u u u r u u u r u u u r，试求实数 的取值范围，使M落在第四象限.解：设点(,)M x y ，由题设得(2,3)(3,)(5,7)(35,7)x y ， ∴33,4x y ， 要使M 落在第四象限，则330,40x y ， 解之得14 .例8 已知向量(8,2),(3,3),(6,12),(6,4)a b c p r r r u r，问是否存在实数,,x y z 同时满足两个条件：(1);(2)1p xa yb zc x y z u r r r r？如果存在，求出,,x y z 的值；如果不存在，请说明理由.解：假设满足条件的实数,,x y z 存在，则有8366,23124,1.x y z x y z x y z 解之得：1,21,31.6x y z(1,3)(3,1)(2,2).OD OB BD u u u r u u u r u u u r∴满足条件的实数111,,236x y z . 课堂小结（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 作业 见同步练习 拓展提升1.设,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ） A. 1e ，2e B. 1e +2e ，2e C. 1e ，22e D.1e ，1e +2e2. 设,1e 2e是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ）A. 1e +2e 和1e -2eB. 31e -22e 和41e -62eC. 1e +22e 和21e +2eD. 1e +2e 和2e3.已知,1e 2e 不共线，a =1 1e +2e ，b =4 1e +22e ，并且a ，b共线，则下列各式正确的是（ ）A. 1 =1，B. 1 =2，C. 1 =3，D. 1 =44.设=a +5b ，=-2a +8b ，=3a -3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是（ ）A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量.Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③６．已知,1e 2e是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（ ）①1 1e +2 2e（1 ，2 为实数）可以表示该平面内所有向量；②若有实数1 ，2 使1 1e +2 2e ＝0，则1 ＝2 ＝０.Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不对７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若＝a，＝b ，则AM ＝（ ）Ａ．21（a －b ） Ｂ． －21（a －b ）Ｃ．－21（a ＋b ） Ｄ．21（a ＋b ）８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，AB ＝a，AE ＝b ，则BC ＝（ ）Ａ．21（a －b ） Ｂ． －21（a －b ）Ｃ．a ＋21b Ｄ．21（a ＋b ）９．如果３1e +４2e ＝a ，２1e +３2e ＝b ，其中a ，b为已知向量，则1e ＝ ，2e ＝ .１０．已知,1e 2e 是同一平面内两个不共线的向量，且＝２1e +ｋ2e ，CB ＝1e +３2e，＝２1e －2e，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为 .１１．当ｋ为何值时，向量a＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e 共线，其中1e 、2e 是同一平面内两个不共线的向量.１２．已知：1e 、2e 是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a＝ｋ1e +2e 与b ＝1e ＋ｋ2e 共线？。

2.3.2《平面向量正交分解及坐标表示》导学案【学习目标】（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.【重点难点】教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.【知识链接】 平面向量基本定理： 理解：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ;(2) 基底不惟一，关键是 ； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、提出疑惑：如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何呢？【学习过程】一、探究学习1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a …………○1 我们把),(y x 叫做 ，记作),(y x a …………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做 与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，i= , j= , 0= .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA ，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA ，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算 （1） 若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a = ，b a = . 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a )()(2211j y i x j y i x j y y i x x )()(2121即b a = ，同理可得b a = .（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= .（3）若),(y x a 和实数 ，则),(y x a .实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a )(yj xi yj xi ，即),(y x a二、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB u u u r 的坐标.例 2 已知a r =(2，1)， b r =(-3，4)，求a r +b r ，a r -b r ，3a r +4b r 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A( 2， 1)， B( 1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， 5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.【基础达标】：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21 MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB 2BC = .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.【拓展提升】1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则u u vOA =_______________，u u v OB =__________________。