网络最大流问题.docx

容量为20 容量为
• 最小截集： • 容量最小截集的称为网络G的最小截集。 • 最大流-最小截集定理： • 在任一个网络D中，从vs到vt的最大流的 流量等于分离的最小截集的容量。
（二）、 求最大流的标号法
标号过程： 1． 给发点vs 标号（0，+∞）。 2． 取一个已标号的点vi，对于vi一切未标号的邻 接点vj 按下列规则处理： （1）如果边 (v j , vi ) ∈ E ，且 f j i > 0 ，那么给vj 标 号 (−vi , δ j ) ，其中： δ j = min( f j i , δ i ) （2）如果边 (vi , v j ) ∈ E ，且 f ij < cij，那么给vj 标号 ( +vi , δ δ j = min(ci j − f i j , δ i ) ，其中：j ) 3．重复步骤2，直到vt被标号或标号过程无法进 行下去，则标号结束。若vt被标号，则存在一条增广 链，转调整过程；若vt未被标号，而标号过程无法进 行下去，这时的可行流就是最大流。
2．去掉所有标号，回到第一步，对可行流 重新标号。
求下图所示网络中的最大流，弧旁数为
v2 (3 , 3) vs (5 , 1) (1 , 1) v1 （-v1, 1） ） v2 (3 , 3) （0，+∞） ， ） vs (5 , 1) v1 （+ vs , 4） ） (2 , 2) (1 ,1) (1 , 1) (3 ,0) (2 ,1) v3 （-v2 ，1） ） (2 , 2) (4 ,3) (1 ,1) (3 ,0) (2 ,1) v3 （+v2，1） ） v4 (5 ,3) v4 (5 ,3) vt
f = f (v i , v j ) = { f i j }

最大流问题的求解方法及应用
最大流问题，是指在一个有向图中，从源点 s 到汇点 t 的最大
流量。

在实际应用中，最大流问题往往用于描述网络传输、油管输送等流量分配问题。

求解最大流问题的方法包括以下几种：
1. 网络流算法：这是一种基于图论和线性规划的算法。

通过构建网络流图，将最大流问题转化为最小割问题，再利用线性规划求解最小割问题的对偶问题来求解最大流问题。

2. 增广路算法：这是一种经典的最大流算法，其基本思想是不断找到增广路径，即从源点 s 到汇点 t 的一条路径，沿途边权
均有剩余容量，使得该路径上的边的剩余容量中的最小值最大化，最终得到最大流。

3. 矩阵树定理：这是一种基于图论和矩阵运算的算法，适用于有向图和无向图。

通过计算图的拉普拉斯矩阵的行列式等方法，求得图的生成树个数，从而计算最大流。

4. Dinic算法：是对增广路算法的改进。

在增广路算法中，每
次查找增广路径的过程需要遍历整个图，为了提高效率，
Dinic算法引入了分层图的概念，将图分层之后只在图的一层
中查找增广路径，最终求得最大流。

这些方法在实际应用中常常被用来解决路由选择、网络流量优化、模拟电路分析等问题。

例如，最大流可以被用来优化数据传输、流水线设计、流量管道的运营和管理，提高资源利用率和数据传输速度。

最大流问题解题步骤一、什么是最大流问题？最大流问题是指在一个有向图中，给定源点和汇点，每条边都有一个容量限制，求从源点到汇点的最大流量。

该问题可以用于网络传输、电力调度等实际应用中。

二、最大流问题的解法1. 增广路算法增广路算法是最基本的解决最大流问题的方法。

其基本思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。

具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。

2. Dinic算法Dinic算法是一种改进型的增广路算法，其核心思想是通过层次分析和分层图来减少搜索次数，进而提高效率。

具体步骤如下：（1）构建分层图；（2）在分层图上进行BFS搜索寻找增广路径；（3）计算路径上可行流量并更新残留网络；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。

3. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种基于增广路的算法，其核心思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。

具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。

三、最大流问题解题步骤1. 确定源点和汇点首先需要确定问题中的源点和汇点，这是解决最大流问题的前提条件。

2. 构建残留网络在有向图中，每条边都有一个容量限制。

我们可以将这些边看作管道，容量看作管道的宽度。

在实际传输过程中，某些管道可能已经被占用了一部分宽度。

因此，在求解最大流问题时，需要构建一个残留网络来表示哪些管道还能够继续传输数据。

具体方法是：对于每条边(u,v)，分别构造两条边(u,v)和(v,u)，容量分别为c(u,v)-f(u,v)和f(u,v)，其中c(u,v)表示边的容量，f(u,v)表示当前流量。

最大流量问题（1）流量问题是一类应用极为广泛的问题，例如在交通网络中有人流、车流、货物流，供水网络中有水流，金融系统中现金流，等等。

最大流量问题，是一种组合最优化问题，就是要讨论如何充分利用装置的能力，使得运输的流量最大，以取得最好的效果。

求最大流量的标号算法最早由福特(Ford)和福克逊(Fulkerson)于1956年提出，他们建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成成分。

我们今天介绍最简单的最大流量问题：找出从单个源点到单个目标点之间可以通过的最大流量。

让我们用一张图片来解释。

在上图中，圆圈表示节点，节点之间有带箭头的有向边连接，箭头方向表示从某个节点有通路到底另一个节点。

而有向边的绿色数字，表示从节点到达下一个节点的最大流量。

例如0->1的有向边的数字16表示从节点0到节点1，最大允许的流量为16（可以把流量想象为高速公路的运输能力，或者自来水管的最大出水量）。

而节点1和节点2之间有两条有向边，一条从1->2, 标记有数字10，表示经过这条边，从1到2的最大流量是10；而另一条从2->1，标记有数字4，表示经过这条边，从2到1的最大流量是4。

而红色的0表示源点，红色的5表示目标点。

现在问题来了，从单个源点0到单个目标点5之间可以通过的最大流量是多少？你能回答这个问题吗？答案是23（请你想想为什么？）。

具体的分流的情况如下图所示，其中的粉色数字表示两点之间的实际流量，它必须不大于原来规定的最大流量。

朴素贪婪算法我们先尝试采用朴素的贪婪算法来解决最大流量问题。

从假设每条边的流量都是0开始，采用贪婪算法，逐步增加对应的流量。

也就是从源点s到目标点t的某个路径上逐步增加更多流量（当然必须满足每条边的流量不超过运行的最大流量）。

假设在例子中：E是边的集合f(e)是边对应的流量C(e)是边对应的最大流量s-t路径表示从源点到目标点存在的路径算法的描述如下：1) max_flow = 02) 当存在s-t路径时，对每一条路径重复下面的步骤：a) 采用DFS（深度优先）或BFS（宽度优先）找到从s-t的路径P，并且路径上的每一条边e 都满足 f(e) < C(e)b) 如果找不到路径, 返回 max_flow。

(2)标号过程 标号过程
给起点v 标上标号（ ， 1给起点 s标上标号（-，+∞）； ）； （表示 s是源点（起点），能够得到任意多的量。 表示v 是源点（起点），能够得到任意多的量。 ），能够得到任意多的量 表示 vs称为已标记的点。让S表示已标记点的集合 S 表示 称为已标记的点。 表示已标记点的集合， 表示已标记点的集合 未标记点的集合， 未标记点的集合 VS ∈ S ） 2考察起点的所有相邻未标号点： 考察起点的所有相邻未标号 所有相邻未标号点 若存在以S中的点为起点， 若存在以 中的点为起点，以 S 中的点为终点的非饱 中的点为起点 [vi+ , ε j ] ，否则不加标记。 和弧（ 否则不加标记。 和弧（vi,vj）则vj可标记为
从S出发到 S 终止的所有边的集合即割集。 终止的所有边的集合即割集。
v2
e1
e3 e6
v4
e8
v1
e2
e4 e7
v6
e5
v3
v5
e9
不包括从 S 出发到S终 止的边!
4、弧的分类
（1）在可行流X={xij}中，按流量的特征 在可行流X 分有： 分有： ①饱和弧——xij=bij 饱和弧 ②非饱和弧——xij<bij 非饱和弧 ③零流弧——xij=0 零流弧 ④非零流弧——xij>0 非零流弧
顶点3的标记化 顶点 的标记化: 的标记化 ∵ x s 3 = bs 3 ， 但
正向饱和 弧 ∴不能从v 不能从
得到标记； 标记 s得到标记；
x
32
得到标记 标记。 > 0，故可从v2得到标记。
反向非零流
于是
ε ε3 = min { 2 , x 32 } = min {6 , 4 } = 4

所有指向为vs→vt的弧，称为前向弧，记作μ +；
所有指向为vt →vs的弧，称为后向弧，记做μ
－，
增广链：设 f 是一个可行流，μ是从vs 到 vt 的一条链，若μ满 足下列条件，称之为(关于可行流 f 的)增广链。
1)在(vi , vj)∈μ+上，0≤fij＜cij，即μ+中的弧都是非饱和弧。
2)在(vi，vj)∈μ-上，0＜fij≤cij，即μ-中的弧都是非零流弧。
§8.4 网络最大流问题
Page 22
(3) 检查与v3点相邻的未标号的点，因f3t<c3t，故对vt 标 l(vt)=min{l(v3), c3t-f3t } =min{1, 1}= 1 找到一条增广链 vs→v1→v2 →v3 →vt ( v , 1) 2 (-v v12, 1) (4,3) v4 (3,3) (5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
v ( f ) f s1 f s 2 f 4 t f 3 t 5
§8.4 网络最大流问题
Page 25
例8.10 用标号算法求下图中vs→vt的最大流量，并找出最小 截。 v1 9(3) v3 8(7)
5(4) 5(4)
2(0)
vs
7(5)
6(1)
●
vt
10(8) v2 9(9) v4
§8.4 网络最大流问题
基本方法： (1)找出第一个可行流（例如所有弧的流量fij =0）；
Page 14
(2)用标号的方法找一条增广链：
首先给发点vs标号(0,+∞),第一个数字表示标号从哪一点得到；
第二个数字表示允许的最大调整量。
选择一个点 vi 已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向收

4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(1,4) V2 (0,+∞) V1
(2,4) V4 (4,4) V6
(1,8)
V3
V5 (2,1)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(-4,2) V2 (0,+∞) V1 4 4
(3,2) V4 4
(4,2) V6
(1,8)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(5,2) V2 (0,+∞) V1 2 4 4 V4 6
(5,2) V6
2
(1,6)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
V2 (0,+∞) V1 4 4
4
V4
6 V6 2
2 2
(1,4)
V3
V5
存储结构
const maxn=100; type nodetype=record{可改进路顶点类型 可改进路顶点类型} 可改进路顶点类型 l,p:integer;{标号、检查标志 标号、 标号 检查标志} end; arctype=record{网顶点类型 网顶点类型} 网顶点类型 c,f:integer;{容量、流量 容量、 容量 流量} end; gtype=array[0..maxn,0..maxn] of arctype; ltype=array[0..maxn] of nodetype; var lt:ltype; g:gtype; n,s,t:integer;{顶点数、源点、汇点 顶点数、 顶点数 源点、汇点} f:text;
增广后的F

l(vj)=min[l(vi),cij-fij],
l(vj)=min[l(vi),fji]
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的 增广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。 （二）调整过程
从vt 开始，反向追踪，找出增广链 µ ，并在µ 上进 行流量调整。 （1）找增广链 如vt 的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt） ∈µ（或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk 的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ (或(vk,vi) ∈µ )。再检查vi 的第一 个标号,依此下去,直到vs 。被找出的弧构成了增广链 µ 。
5. 增广链 对可行流 f ={ fij }： 非饱和弧：fij < cij 非零流弧：fij >0 饱和弧：fij =cij 零流弧：fij =0
链的方向：若µ 是联结vs和vt的一条链，定义链的方 向是从vs到vt 。 v2 v4 5.2
10.5 3.2 4.1 5.1 3.3 11.6
v1
8.3
已检查 标号点 网络中的点 未检查 未标号点
标号：（前点标记，前点到该点的弧流量可调整量） 开始，vs 标上（0，∞），vs 是标号未检查的点， 其余点都是未标号点，一般地，取一个标号未检查 的点vi ，对一切未标号的点vj 。 （1）若弧（vi，vj）上，fij<cij，则给vj 标号(vi ，l(vj))， l(vj)=min[l (vi), cij-fij], vj 成为标号而未检查的点。 （2）若弧（vj，vi）上，fji>0，则给vj 标号(- vi, l (vj))， l (vj)=min[l (vi), fji], vj 成为标号而未检查的点。 vj vj (i , l(vj)) vi (-i , l(vj)) vi fij<cij f ji>0

最大流问题标号法例题详解最大流问题标号法例题详解本文以一道标号法求解最大流问题的例题胶加以详细讲解，帮助读者了解其原理及运算步骤。

题目如下：给定一个网络结构如下：s (源点) 0----1----2----3----4---- t (汇点)a 25 10 12 15 20其中 s 是源点，t是汇点，aij（i,j=0,1,2,3,4)是每条弧的容量，求整个网络的最大流量。

解：1、设置标号：在最大流问题中，为了求解最大流，最常用的方法是标号法。

首先，要设置各结点标号，因为本题中有5个结点，s源点的标号为0，t汇点标号为4，其他结点即1，2，3依次标号，标号的设定不仅便于求解，而且可以在初始化的时候使用。

2、初始化标号：初始化标号即将各结点初始化为两个空集合{}，即各结点的访问和未访问标号都是空集合，即无访问的结点标号为{}，访问过的结点标号也为{}。

3、依据标号法，从源点(s=0)计算，得出每条弧的剩余容量Cij，具体推导如下：源点0 1 2 3 41 0 25 10 12 152 0 0 10 7 103 0 0 0 8 104 0 0 0 0 20其中：Cij=aij-fij (i,j=0,1,2,3,4)其中，aij 为每条弧的容量，fij 为每条弧的流量，在初始情况下，fij=0，故Cij=aij。

4、找增广路径：从源点s开始，用深度优先搜索法查找从s到t的增广路径，具体步骤如下：设置一个数组P[i]用以记录路径，P[i]表示从s到i节点所经过的上一个结点，先从源点s开始，P[0]=-1，然后查找s出发可以到达的结点，若Cij>0，则有路可达，将P[j]=i（j为s出发可达的结点），接着查找j出发可以到达的结点（该结点未被访问过）若Cjk>0，则有路可达，把P[k]=j，以此类推，直到找到P[t]=-1，即从s到t 的一条增广路径找到，这条增广路径的路径上的容量称为Cmin，它是该增广路径上各结点之间的容量最小值。

运筹学最大流问题例题（原创版）目录一、运筹学最大流问题的基本概念二、最大流问题的求解方法三、最大流问题例题详解四、总结与展望正文一、运筹学最大流问题的基本概念运筹学最大流问题是一种在网络中寻找最大流量的问题。

给定一个有向图 G(V,E)，其中仅有一个点的入次为零称为发点（源），记为 vs；仅有一个点的出次为零称为收点（汇），记为 vt；其余点称为中间点。

对于G 中的每一条边 (vi,vj)，相应地给一个数 cji（cji 0），称为边 (vi,vj) 的容量。

最大流问题的目标是找到从源点到汇点的最大流量。

二、最大流问题的求解方法求解最大流问题的方法主要有两种：增广链路算法（如Ford-Fulkerson 算法）和最短路算法（如 Dijkstra 算法和Bellman-Ford 算法）。

增广链路算法主要思想是不断寻找增广链路，即在网络中寻找一条从源点到汇点的路径，使得路径上的每条边都有剩余容量。

最短路算法则是通过寻找源点到汇点的最短路径来解决最大流问题。

三、最大流问题例题详解假设有如下网络图：```vs --> v1 --> v2 --> vt| | |3 2 1```其中，vs 为源点，vt 为汇点，边 (vs,v1) 的容量为 3，边 (v1,v2) 的容量为 2，边 (v2,vt) 的容量为 1。

现在需要求解从 vs 到 vt 的最大流量。

利用增广链路算法，我们可以得到如下流程：1.初始化流量为 0，即所有边的流量均为 0。

2.从源点 vs 开始，遍历所有邻接点，找到有剩余容量的边，将其流量加 1，直到所有邻接点都遍历完毕。

3.更新流量，将当前点的流量分配给下一个邻接点，直到到达汇点 vt。

4.重复步骤 2-3，直到网络中不存在增广链路。

按照以上步骤，我们可以得到最大流量为 2。

四、总结与展望运筹学最大流问题是网络科学中的一个基本问题，有着广泛的应用。

通过增广链路算法和最短路算法，我们可以有效地解决最大流问题。

求解最大流问题的算法和模型最大流问题是图论中的一个基本问题，涉及到网络流的计算和优化。

在实际应用中，最大流问题的求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、最小割定理等。

本文将从这些方面进行论述。

1. 增广路径算法增广路径算法是求解最大流问题的经典算法，其基本思想是不断地寻找增广路径，通过增加路径上的流量来增加整个网络的流量。

具体来说，首先通过深度优先搜索或广度优先搜索找到一条从源点到汇点的增广路径，然后确定路径上的最小流量d，将当前流量增加d，将反向边的流量减少d，同时计算当前网络的流量。

2. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的增广路径算法，其基本理念与增广路径算法相同，但采用不同的策略来确定增广路径。

具体来说，Ford-Fulkerson算法采用贪心策略，在每次迭代中选择路径上的最小容量，从而确定增加的流量。

此外，Ford-Fulkerson算法还引入了残量图的概念，用于计算增广路径的容量。

3. Dinic算法Dinic算法是一种高效的增广路径算法，其主要优点是采用了分层图的策略来确定增广路径，使得每次迭代的搜索范围大为缩小。

具体来说，Dinic算法首先利用BFS算法确定每个节点的分层，然后在分层图上通过DFS算法查找增广路径，在路径上增加流量，更新分层图，重复此过程直至求解最大流。

4. 最小割定理最小割定理是求解最大流问题的重要定理，其核心思想是将网络分成两个不相交部分，并将其最小的割称为最小割。

最小割定理指出，在任意网络中，最大流等于最小割。

因此，求解最大流可以转化为求最小割问题，即在网络中寻找一组最小割，使得所有的割中容量最小的一组割。

总之，求解最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic 算法、最小割定理等。

在实际应用中，不同情况下可能需要采用不同的算法和模型来求解，需要灵活应用。

最大流问题经典例题最大流问题是指在一个有向图中，从源点到汇点的最大流量是多少。

这个问题在现实生活中有很广泛的应用，比如网络通信中的数据传输、水管输水时的流量控制等。

下面我们来看一道经典的最大流问题的例题。

问题描述：给定一个有向图，其中每条边的容量都只会为1，求从源点到汇点的最大流量。

解题思路：这是一道非常基础的最大流问题，我们可以使用网络流的算法来解决。

下面，我将分几个步骤来阐述解题思路。

1. 构建网络流图首先，我们需要将原有的有向图转化为网络流图。

对于每条边，我们都要添加两条反向边，并将容量均设为1。

这样，我们就得到了一个新的有向图，它的任何一条边的容量都为1。

2. 使用Edmonds-Karp算法接下来，我们可以使用Edmonds-Karp算法，也叫增广路算法，来求出最大流量。

它是一种广度优先搜索的算法，的基本思想是：从源点开始，每次找一条容量不为0，且未被搜索过的路径，将路径上的边的容量减去该路径的最小容量，这个最小容量就是该路径的流量。

然后将路径中的正向边的流量加上这个流量，反向边的流量减去这个流量，依次迭代。

3. 输出结果最后，我们将算法得到的最大流量输出即可。

代码实现：以下是使用Python语言实现的最大流问题的代码：```def bfs(graph, start_node, end_node):visited = [False] * len(graph)queue = []queue.append(start_node)visited[start_node] = Truepred = [-1] * len(graph)while queue:curr_node = queue.pop(0)if curr_node == end_node:return True, predfor i, val in enumerate(graph[curr_node]):if not visited[i] and val > 0:queue.append(i)visited[i] = Truepred[i] = curr_nodereturn False, []def edmonds_karp(graph, start_node, end_node):max_flow = 0while True:flow_found, pred = bfs(graph, start_node, end_node) if not flow_found:breakcurr_node = end_nodemin_flow = float('inf')while curr_node != start_node:prev_node = pred[curr_node]min_flow = min(min_flow,graph[prev_node][curr_node])curr_node = prev_nodecurr_node = end_nodewhile curr_node != start_node:prev_node = pred[curr_node]graph[prev_node][curr_node] -= min_flowgraph[curr_node][prev_node] += min_flowcurr_node = prev_nodemax_flow += min_flowreturn max_flowif __name__ == '__main__':graph = [[0, 1, 0, 1, 0],[0, 0, 1, 0, 1],[0, 0, 0, 1, 0],[0, 0, 0, 0, 1],[0, 0, 0, 0, 0]]start_node = 0end_node = 4max_flow = edmonds_karp(graph, start_node, end_node)print("The maximum flow in the network is:", max_flow) ```在这个例子中，我们构建了一个有向图，其中每条边的容量均为1。

• Ford–Fulkerson算法的劣势：
Edmonds–Karp algorithm
-最大流问题的第一个多项式时间算法 – 与Ford–Fulkerson算法相比，改进之处在于第二步中P路 径的选择，与其任选，不如选最短（边数最少）
•算法步骤：
– 1、令所有边的流量f=0； – 2、在 中找条最短可扩路P，若无，则止； – 3、算出P路中各边剩余容量的最小值r，并沿P 使f扩充r，转2；
•讨论的前提：
– G为简单有向图 – 网络(G,u,s,t)中所有容量均为整数
•最大流(max-flow)问题，就是求在满足网络流性质的 情况下，源点 s 到汇点 t 的最大流量。
Ford–Fulkerson algorithm
• Definition：
– 1、剩余图(residual graph)： – 2、剩余容量(residual capacity)：
设v为活动点：
v点有容许边e，则push(e) v点无容许边，则relabel(v)
–
• •
Push(e)
在v点的超出量e(v)与e的剩余容量中选出较小者r 沿e使f扩充r
–
• •
Relabel(v)
在剩余图的(v,w)中找出高度最小的点w' 令h(v)=h(w')+1
Push–relabel算法可在 O( n 2 m )时间内解决问题 （详见课本157）
•复杂度：
• Edmonds–Karp可在O(m*m*n)内得解
– Edmonds–Karp算法中无论边容量多大，最多增流m*n/2次 （m为边数，n为点数） – 每次增流用BFS最大为O(m)
Dinic's algorithm

Ford-Fulkerson算法的步骤
(S,4) (0,∞) S 5(4) A2 6(5) A4 12(9) (A2,1) 15(11) A1 13(11) A3 4(0) (A1,2)
7(6) (A3,1)
10(9) T
(S,1)
第三步：修改流量。设图中原有可行流为f，令
fi , f fi , f , i 对增广链上所有 对增广链上所有 s t 的弧 t s 的弧

建立最大流问题模型

决策变量：每条弧的实际流量
顶点 A B
B
f AB
C
f AC
D
E
f AE
F
f BD
C
D E
fCD
f DE f ED
f DF
f EF

目标函数：可行流量 最大
m ax Z f E F f D F
约束条件：
弧的实际流量小于等于弧的容量：
f A B 2, ..., f E F 3
转化的方法：网络结点设置为每种语言和每个
应聘人各一个结点，再加上起点和终点。某个 应聘人懂某种语言就将语言和应聘人连线，边 的权数为1。再将起点与每种语言相连，将终 点与每个应聘人相连，边的权数也为1。
俄 v1 英 v2 vs
甲 v6 乙 v7
日 v3
德 v4 法 v5
丙 v8
丁 v9 戊 v10
s 1 t 2
我们应该炸毁哪个截集中的所有桥梁才能 使破坏的桥梁最少？ 截量的概念：给定截集(V1,V2)，把截集 (V1,V2)中所有弧的容量之和称为这个截集 的截量。 找到截量最小的截集也就能使破坏的桥梁 最少 根据最大流问题最小截量定理：任一个网 络D中，从vs到vt的最大流的流量等于分离 vs,vt的最小截量。

◆每条弧 ( u, v )上 给定一个实数f(u,v),满足：有 0 <= f ( u, v ) <= c( u, v ),则f(u,v)称为弧( u, v )上的流量。
◆如果有一组流量满足条件： 源点s ： 流出量 = 整个网络的流量 汇点t ： 流入量 =整个网络的流量 中间点：总流入量 = 总流出量
2 ） 对与该增广路径上的边 若( u, v ) 是正向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) + d; 若( u, v ) 是逆向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) – d;
增广后，总流量增加了d
样例：
4
1
6
23
2
34
开始流量为:sum=0
4
5
5
23
4
4
1
2
5
6
34
5
4 23 4
1 2 22
5
6
3
4
2
5
1、一条增广路径: 1235 d=min{4,2,4} =2 增加流量: 2 Sum=2
4 23 4
1
2
22
5
6
3
4
2
5
2 32
1
4
2
2
22
4
2
5
6
34
5
2
2、一条增广路径: 1245 d=min{4-2,3,5} =2 增加流量: 2 Sum=2+2=4
2 32
i:=b[i];
ห้องสมุดไป่ตู้
end;
inc(sum,d); {总流量增加d}
主程序：
for i:=1 to n do b[i]:= -1; {初始化增广路径} b[1]:=0; while findflow(1) do {增广流}

图论中的网络流最大流算法网络流最大流算法是图论中的重要算法之一，用于求解网络中最大的流量。

在许多实际应用中，如交通流量优化、电力系统规划和通信网络传输等领域，网络流最大流算法都具有重要的应用价值。

一、问题描述在介绍网络流最大流算法之前，首先要明确问题的具体描述。

假设有一个有向图G=(V, E)，其中V表示顶点的集合，E表示边的集合。

每条边(u, v)∈E都有一个非负容量c(u, v)表示从u到v的最大流量上限。

而源点s和汇点t分别表示网络中的起始点和终点。

网络流最大流算法的目标就是在该有向图中找到从源点s到汇点t的最大流量。

二、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早提出的网络流最大流算法之一，它基于不断地寻找增广路径来不断增加流量。

具体步骤如下：1. 初始化流量：将所有边的流量设置为0。

2. 寻找增广路径：在残余图中，利用广度优先搜索或深度优先搜索找到一条从源点s到汇点t的路径。

如果找不到增广路径，则跳至步骤4。

3. 更新流量：通过增加路径上的最小容量，更新每条边的流量。

4. 输出最大流量：计算网络中所有从源点s出发的边的流量之和，即为最大流量。

Ford-Fulkerson算法的核心思想是不断地沿着增广路径增加流量，直到无法找到增广路径为止。

虽然该算法可以求解网络流最大流问题，但是其时间复杂度较高，不适用于大规模的问题。

三、Edmonds-Karp算法为了改进Ford-Fulkerson算法的效率，Edmonds-Karp算法采用了广度优先搜索作为寻找增广路径的策略。

相比于深度优先搜索，广度优先搜索可以保证找到的增广路径具有最小的边数。

具体步骤如下：1. 初始化流量：将所有边的流量设置为0。

2. 寻找增广路径：利用广度优先搜索找到一条从源点s到汇点t的路径。

如果找不到增广路径，则跳至步骤4。

3. 更新流量：通过增加路径上的最小容量，更新每条边的流量。

4. 输出最大流量：计算网络中所有从源点s出发的边的流量之和，即为最大流量。

网络最大流问题一产生背景流量问题在实际中是一种常见的问题，在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。

例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题,控制系统中的信息流问题，常见的人流，物流，水流，气流，电流，现金流等。

在一定条件下,求解给定系统的最大流量,就是网络最大流问题.网络系统最大流问题是图与网络理论中十分重要的最优化问题，它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。

二基本概念与定理设cij为弧（i，j）的容量，fij为弧（i，j）的流量。

容量是弧（i，j）单位时间内的最大通过能力，流量是弧（i，j）单位时间内的实际通过量，流量的集合f={fij}称为网络的流。

发点到收点的总流量记为v=v(f)。

设D=(V,A)是一有向图且对任意E均有容量cij =（vi，vj），记C={cij︱（vi，vj）∈A},此外D中只有一个源vs和汇vt( 即D中与vs相关联的弧只能以vs为起点，与vt相关联的弧只能以vt为终点)，则称D=(V,A,C, vs,vt)为一网络。

引例1：图1给出了一张网络，其中：vs为源，vt为汇，弧旁的数字为该段弧的容量cij与流量fij，则显然有0≤fij ≤ cij 。

v2 （3,3) v4（3,3）（5,5）vt (2,2) (2,2) (2,2) vt(6,4) (6,2)v1 (6,6) v3图1最大流问题可以建立如下形式的线性规划数学模型。

图1最大流问题的线性规划数学模型为12max 0(,)0s s ij ij j i ij ij v f f f f i s t f c =+⎧-=≠⎪⎨⎪≤≤⎩∑∑所有弧(i,j)由线性规划理论知，满足式上式的约束条件的解{fij}称为可行解，在最大流问题中称为可行流。

可行流满足下列三个条件：(1)0(2)(3)i j i j m j i m j i sj it vs vt f cf fv f f ≤≤===∑∑∑∑条件（2）和条件（3）也称为流量守恒条件。