图与网络分析 最大流问题
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最大流问题在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。
例如铁路运输系统中的车辆流,城市给排水系统的水流问题等等。
网络系统流最大流问题是图与网络流理论中十分重要的最优化问题,它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。
基本概念设一个赋权有向图D=(V , A),在V 中指定一个发点(源)vs 和一个收点(汇)vt ,且只能有一个发点vs 和一个收点vt 。
(即D 中与vs 相关联的弧只能以 vs 为起点,与vt 相关联的弧只能以 vt 为终点),其他的点叫做中间点。
对于D 中的每一个弧(vi, vj)A ∈,都有一个权cij 叫做弧的容量。
我们把这样的图 D 叫做一个网络系统,简称网络,记做D =(V , A, C)。
VsVt 图1图1是一个网络。
每一个弧旁边的权就是对应的容量。
网络D 上的流,是指定义在弧集合A 上的一个函数f={f(vi, vj)}={fij},f(vi,vj)=fij 叫做弧在(vi,vj)上的流量。
VsVt 图2图2中,每条弧上都有流量fij ,例如fs1=5,fs2=3,f13=2等。
容量是最大通过能力,流量是单位时间的实际通过量。
显然,0≤fij≤cij 。
网络系统上流的特点:(1)发点的总流出量和收点的总流入量必相等;(2)每一个中间点的流入量与流出量的代数和等于零;(3)每一个弧上的流量不能超过它的最大通过能力(即容量)。
网络上的一个流f={fij}叫做可行流,如果f 满足以下条件: (1)容量条件:对于每一个弧(vi,vj)A ∈,有0≤fij≤cij 。
(2)平衡条件:对于发点vs ,有∑f sj −∑f js =v (f ) 对于收点vt ,有∑f tj −∑f jt =−v (f )对于中间点,有∑f ij −∑f ji =0其中发点的总流量(或收点的总流量)v(f)叫做这个可行流的流量。
网络系统中最大流问题就是,在给定的网络上寻求一个可行流f={fij},其流量v(f)达到最大值,即从vs 到vt 的通过量最大。
第七章图与网络分析一、单项选择题1.关于可行流,以下叙述不正确的是()A.可行流的流量大于零而小于容量限制条件B.在网络的任一中间点,可行流满足流人量=流出量C.各条有向边上的流量均为零的流是一个可行流D.可行流的流量小于或等于容量限制条件而大于或等于零2.关于最小树,以下叙述()正确。
A.最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B.最小树是一个网络中连通所有的点,而权数最少的图C.一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D.一个网络的最小树一般是唯一的。
3.最小树的算法关键是把最近的某些结点连接到那些已接结点上去,前者所指结点是()A. 边缘结点B.未接结点C.已接结点D.最重要结点4.最小树问题就是在网络图中,找出若干条边,连接所有结点,而且()A.连接的总长度最大B.连接的总长度最小C.连接的总长度为0D.计算总长度5.最小树问题就是在网络图中,找出若干条边,连接()A.相邻结点B.头尾结点C.部分结点D.所有结点6.任一树中的边数和它的点数之间的关系是()A.边数等于点数减1B.边数等于点数加1C.点数等于边数减1D.点数等于边数加17.最大流问题中,对于一个可行流,Vi Vj有向边上的流量fij必须满足的条件之一是()A.0≤fij ≥cijB.0≥fij≤cijC. 0≤fij≤cijD.0≥fij ≥cij8.一个连通图中的最小树可能不唯一,其权()A.是唯一确定的B.可能不唯一C.可能不存在D.一定有多个二、多项选择题1.关于图论中图的概念,以下叙述正确的的()A.图中的边可以是有向边,也可以是无向边B.图中的各条边上可以标注权C.结点数等于边数的连通图必含圈D.结点数等于边数的图必连通E.图中的边只能是有向边2.关于最短路,以下叙述不正确的有()A. 从起点出发到终点的最短路不一定是唯一的,但其最短路线的长度是确定的B.从起点出发到终点的最短路是唯一的C.从起点出发的有向边中的最小权边,一定包含在起点到终点的最短路上D.从起点出发的有向边中的最大权边,一定不包含在起点到终点的最短路上E.整个网络的最大权边的一定不包含在从起点到终点的最短路线上3.关于增广链,以下叙述正确的有()A.增广链是一条从发点到收点的有向路,这条路上各条边的方向必一致 B.增广链是一条从发点到收点的有向路,这条路上各条边的方向可不一致 C.增广链上与发收点方向一致的边必是非饱和边,方向相反的边必是流量大于零的边D.增广链上与发收点方向一致的边必是流量小于容量的边,方向相反的边必是流量等于零的边E.增广链上与发收点方向一致的边必是流量为零的边,方向相反边必是流量大于零的边4.在下图中,根据(a)生成的支撑树有()三、应用题1.下图是6个城市的交通图,为将部分道路改造成高速公路,使各个城市均能通达,又要使高速公路的总长度最小,应如何做?最小的总长度是多少?2.对下面的连通图,试求出最小树。
图与网络分析试题及答案一、填空题1.图的最基本要素是点、点与点之间构成的边2.在图论中,通常用点表示,用边或有向边表示研究对象,以及研究对象之间具有特定关系。
3.在图论中,通常用点表示研究对象,用边或有向边表示研究对象之间具有某种特定的关系。
4.在图论中,图是反映研究对象_之间_特定关系的一种工具。
5.任一树中的边数必定是它的点数减1。
6.最小树问题就是在网络图中,找出若干条边,连接所有结点,而且连接的总长度最小。
7.最小树的算法关键是把最近的未接_结点连接到那些已接结点上去。
8.求最短路问题的计算方法是从0≤f ij≤c ij开始逐步推算的,在推算过程中需要不断标记平衡和最短路线。
二、单选题1、关于图论中图的概念,以下叙述(B)正确。
A图中的有向边表示研究对象,结点表示衔接关系。
B图中的点表示研究对象,边表示点与点之间的关系。
C图中任意两点之间必有边。
D图的边数必定等于点数减1。
2.关于树的概念,以下叙述(B)正确。
A树中的点数等于边数减1 B连通无圈的图必定是树C含n个点的树是唯一的D任一树中,去掉一条边仍为树。
3.一个连通图中的最小树(B),其权(A)。
A是唯一确定的 B可能不唯一 C可能不存在 D一定有多个。
4.关于最大流量问题,以下叙述(D)正确。
A一个容量网络的最大流是唯一确定的B达到最大流的方案是唯一的C当用标号法求最大流时,可能得到不同的最大流方案D当最大流方案不唯一时,得到的最大流量亦可能不相同。
5.图论中的图,以下叙述(C)不正确。
A.图论中点表示研究对象,边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B.图论中的图,用点与点的相互位置,边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
C.图论中的边表示研究对象,点表示研究对象之间的特定关系。
D.图论中的图,可以改变点与点的相互位置。
只要不改变点与点的连接关系。
6.关于最小树,以下叙述(B)正确。
A.最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B.最小树是一个网络中连通所有的点,而权数最少的图C.一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D.一个网络的最小树一般是不唯一的。
最大流问题算法一、最大流问题简介最大流问题是图论中的一个经典问题,是指在给定一个有向图中,找到一个流量最大的流,从源节点流向汇节点的过程。
最大流问题在物流、通信网络、电力系统等领域有广泛的应用。
二、最大流问题算法分类2.1 Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最大流问题的经典解法之一,基于增广路径的思想,通过多次寻找增广路径,不断增加网络中的流量,直到无法找到增广路径为止。
2.2 Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是对Ford-Fulkerson算法的一种改进。
它利用BFS(广度优先搜索)找出最短增广路径,从而加快了算法的收敛速度。
2.3 Dinic算法Dinic算法是一种高效的最大流算法,它基于分层图的思想,通过构建分层图和阻塞流的概念,有效地降低了算法的时间复杂度。
2.4 Push-relabel算法Push-relabel算法是一种基于预流推进和重贴标签操作的最大流算法。
它通过动态调整节点的剩余容量和高度来寻找最大流。
三、Ford-Fulkerson算法详解3.1 算法思想Ford-Fulkerson算法的思想很简单,即通过不断寻找增广路径,将增加的流量加到原有的流上,直到无法找到增广路径为止。
3.2 算法步骤1.初始化网络的流为0;2.利用DFS或BFS寻找一条增广路径;3.如果找到增广路径,则确定这条路径上的最小容量;4.增加流量,并更新网络中相关的容量;5.重复步骤2~4,直到无法找到增广路径。
3.3 算法复杂度Ford-Fulkerson算法的时间复杂度依赖于增广路径的选择策略。
最坏情况下,算法的时间复杂度为O(E * |f|),其中E为边的数量,|f|为最大流的流量。
四、Dinic算法详解4.1 算法思想Dinic算法基于分层图的思想,通过构建分层图和阻塞流的概念,有效地降低了算法的时间复杂度。
4.2 算法步骤1.构建分层图,确定每个节点的层次,并初始化节点的过剩容量;2.通过DFS在分层图上寻找阻塞流,直到找不到增广路径为止;3.更新每个节点的过剩容量和残余网络的容量;4.重复步骤2~3,直到无法找到阻塞流。