牛顿的牛吃草问题

“牛吃草”问题知识要点：1、“牛吃草”问题一些牛仔吃一片未割的青草，一方面牛在吃草，另一方面草地上的青草还要长出来。

假定每天或每周等单位时间里长出的草量相同，那又怎样来求吃完全部草（包括吃的过程中新长出的草）所用的时间呢？这类问题叫“牛吃草”问题。

由于17世纪英国科学家牛顿在《普遍算术》一书中，曾提出了类似问题，所以这类问题又叫做“牛顿问题”。

2、牛吃草问题的特点：随着时间的增长，草的总数量在等量增加。

3、牛吃草问题的难点：草的总数量不确定。

4、草的总数量包括：①原有的草量②新增的草量5、解题的关键：设法求出原有的草量和单位时间内新增的草量。

6、相关公式：⑴⑵⑶⑷典型例题：例题1.牧场上有一片匀速生长的青草，可供20头牛吃9周，或者供25头牛吃6周，那么这片青草可供15头牛吃几周？例题2.一艘旧船在海上航行，因生锈漏水。

当船长发现船漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。

船长立即安排人员淘水，如果10人淘水，则3小时淘完；如果5人淘水，则8小时淘完，如果要求2小时淘完，那么需要安排多少人淘水？例题3.有一牧场的青草匀速生长，这些草可供19头牛吃24天，或者可供17头牛吃30天，现有一些牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛又吃了两天便将草吃完，问原来有牛多少头？例题4.一片匀速生长的草地，可供80只羊吃12天，或者可供16头牛吃20天，如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？例题5.甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑自行车的人，这三辆车分别用3小时，5小时，6小时追上骑自行车的人，现知道甲车每小时行24千米，乙车每小时行20千米，你能知道丙车每小时行多少千米吗？例题6.一根入水管不断地往一个水池里放水，平均每分钟放入水量相等。

这个水池安装有排水量相等的排水管若干，现在如果开放3根排水管45分钟可把池中水排完，如果开放5根排水管25分钟可把池中水排完。

地址：杨浦区控江路1555号1909室1“牛吃草”问题专题简析：牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。

“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。

因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。

解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。

例1：一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？总差÷单差=份数总差：两种情况下总草量之差单差：天数差份数：长草的速度（新长的草够多少头牛吃）牛吃草问题三步法解决：① 求单位时间内长草的速度长草的速度=两种情况下草的总量的差÷天数差② 求原来的草的总量一种情况下的总草量-它对应的新长的草的总量③ 求天数要将牛分成两群一群去吃新长的草一群去吃原来的草天数=原来的草的总量÷吃原草的牛的头数（设一头牛一周吃的草为1份）长草型：可以类比追及问题追及距离（路程差）=原来的总草量速度差=牛头数－长草的速度时间=路程差÷速度差=原来的总草量÷（牛头数－长草的速度）减草型：可以类比相遇问题路程和=原来的总草量速度和=牛头数+减草的速度时间=路程和÷速度和=原来的总草量÷（牛头数+减草的速度）这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。

因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。

新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。

地址：杨浦区控江路1555号1909室2假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。

牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随 吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰(1)草的生长速度=(相应的牛头数×吃草速度)×吃的较多天数-(相应的牛头数×吃草速度)×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);(2)原有草量=(相应的牛头数×吃草速度)×吃的天数草的生长速度×吃的天数;`(3)吃的天数=原有草量÷(相应的牛头数×吃草速度-草的生长速度);(4)牛头数=(原有草量÷吃的天数+草的生长速度)÷吃草速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。

牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。

正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。

由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

这类问题的数量关系(基本变形)是：1.(相应的牛头数×吃草速度×吃草较多的天数-相应的牛头数×吃草速度×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

2.相应的牛头数×吃草速度×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（理解记忆）（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

（理解记忆）这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。

牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。

正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。

由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

这类问题的基本数量关系是：1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

简析【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？A.3B.4C.5D.6【答案】C【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？A.20B.25C.30D.35【答案】C【演变题目例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？A.50B.46C.38D.35【答案】D【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。

牛吃草问题牛吃草问题是经典的奥数题型之一，牛吃草问题又称为消长问题。

牛吃草问题是科学家牛顿提出来的，所以也称牛顿牧场。

典型的牛吃草问题的条件是假设不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

想办法从变化中找到不变的量，草的生长速度固定不变，牧场上原有的草量也是不变的。

为了便于计算，先设定一头牛一天吃草量为“1”。

解决牛吃草问题常用的四个基本公式︰1.草每天的生长量＝草量差÷时间差；2.原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；3.吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；4.牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础。

解决牛吃草问题关键是正确计算草地上原有的草量及每天新长出的草量。

我们假设让一部分牛吃新长草，其余的牛（牛头数－草的生长速度）吃原有的草，从而求出原有的草够这部分牛吃几天。

【例 1】牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

问：这片牧草可供25头牛吃多少天？解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份。

草每天的生长量：（10×20－15×10）÷（20－10）＝5（份）原有草量：（10－5）×20＝100（份）或原有草量：（15－5）×10＝100（份）100÷（25－5）＝5（天）练习一1.一块牧场长满了草，草每天均匀生长。

这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。

可供45头牛吃几天？2.牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？3.一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长。

已知27头牛6天把草吃尽，同样一片牧场，23头牛9天把草吃尽。

第八讲牛吃草问题（一）【知识精讲】牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。

“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。

因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。

解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。

基本思路：①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。

②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。

③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。

基本公式：解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶(1)草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数－吃的较少天数)；(2)原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)；(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度例1（求头数）“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。

如果12天能把牧场上的草吃尽，那么养牛多少头呢？例2（求天数）一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？例3（求头数）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天？例4（求天数）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。

第二讲牛吃草问题一．牛吃草问题是个有趣的话题，早在17世纪英国科学家牛顿的《普遍算术》一书中，曾提出了类似问题，所以也叫牛顿问题。

是说一些牛在吃一片未割的青草，牛一边吃草一边长。

假定单位时间里长出的草量相同，怎样求吃完全部草（包括吃的过程中新长出的草）所用的时间呢？二．三变与三不变三变：时间变、牛的头数变、牛吃的草也随这变三不变：原有的草、每天长的新草、每头牛每天吃的草三. 一个规定：规定1头1天（或1周）的吃草量为1份。

四. 基本关系式:原有总草量=吃的总草量－相应时间新生的总草量吃的总草量=牛的头数×吃的时间新生总草量=新草长速×草长时间五. 特殊的牛吃草问题：牛喝水（水管问题）、牛吃人（进站检票问题）牛走路（行程问题）、牛吃楼梯（自动扶梯问题）例1．一块牧场的青草每天都在匀速生长，可供15头牛吃10天；或供10头牛吃20天。

这块牧场的青草供25头牛吃多少天？例2．一水手发现船舱里已经进了一些水，水还在匀速的涌入船舱。

如果6人16分钟可以把水淘完；如果3人40分钟可以把水淘完。

那么5人多少分钟可以把水淘完？例3．一水池的进水管在匀速的进水。

若打开3根排水管45分钟可把池中水排完；若打开5根排水管25分钟可把池中水排完。

要15分钟把池中水排完，需同时打开多少根排水管？例4．一片草地，可供80只羊吃12天；或供16头牛吃20天。

一头牛相当于4只羊的吃草量。

60只羊和10头牛一起多少天可吃完这片草？例5．一牧场的青草，可供19头牛吃24天，或供17头牛吃30天。

现有一些牛吃6天以后，又卖掉4头牛，余下的牛又吃2天将草吃完。

那么原来共有多少头牛？例６．一水池每天不断地向外渗水，每天渗水量相等。

若９头牛饮用，５天饮完，若６头牛饮完则要７天。

那么，只有２头牛来饮，多少天池中没有水？例７．一片草场，可供２０头牛吃９天或供２５头牛吃６天，要使牛永远有草吃，最多养多少头牛？例8．“秦始皇兵马俑博物馆”开门前已有100名游客在排队等待，开始检票后每分钟新来人数是相等的。

牛吃草问题英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题求解例1 一片牧场，牧草每天生长一样快，已知这片牧场的草可供10只羊吃20天，或可供14只羊吃12天。

那么这片牧场每天长的草够2只羊吃多少天？例2 有一片牧草，每天生长的速度相同，现有这片牧草可供16头大牛吃20天，或者供80头小牛吃10天。

如果1头大牛的吃草量等于3头小牛吃草量，那么12头大牛与60头小牛一起吃草可以吃多少天？例3 一艘轮船发生漏水事故，船长立即安排两部抽水机同时向外抽水，当时已经漏了500桶水，一部抽水机每分钟抽水18桶，另一部每分钟抽水12桶，经过25分钟全部抽完。

问每分钟漏进水多少桶？例4 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水，如果打开5个水龙头，2小时半就把水池中的水放光，如果打开8个水龙头，1小时半就把池中的水放光，现打开13个水龙头，问要多少时间才能把水池中的水放光？（每个水龙头每小时放走的水量相同）例5 甲、乙、丙3个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用皮带输送机一台和12个工人，需5小时才能把甲库搬空；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，需3小时才能把乙仓库搬空，丙仓库有两台皮带输运机，如果要2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少名工人？（皮带输送机功效相同，每个工人每小时搬运量相同，皮带输送和与工人同时往外搬运化肥。

小学数学牛吃草问题知识点总结:牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的;典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天;由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化;小升初冲刺第2讲牛吃草问题基本公式:1 设定一头牛一天吃草量为“1”2草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷吃的较多天数－吃的较少天数；3原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`4吃的天数＝原有草量÷牛头数－草的生长速度；5牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度;例1、牧场上长满了牧草,牧草每天匀速生长,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天;问：这片牧草可供25头牛吃多少天解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：200-150÷20-10=5份10×20=200份……原草量+20天的生长量原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份15×10=150份……原草量+10天的生长量 100÷25-5=5天自主训练牧场上长满了青草,而且每天还在匀速生长,这片牧场上的草可供9头牛吃20天,可供15头牛吃10天,如果要供18头牛吃,可吃几天解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：180-150÷20-10=3份9×20=180份……原草量+20天的生长量原草量：180-20×3=120份或150-10×3=120份15×10=150份……原草量+10天的生长量 120÷18-3=8天例2、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少;已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天;照此计算,可供多少头牛吃10天解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的减少量：100-90÷6-5=10份20×5=100份……原草量-5天的减少量原草量：100+5×10=150 或90+6×10=150份15×6=90份……原草量-6天的减少量 150-10×10÷10=5头自主训练由于天气逐渐寒冷,牧场上的牧草每天以均匀的速度减少,经测算,牧场上的草可供30头牛吃8天,可供25头牛吃9天,那么可供21头牛吃几天解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的减少量：240-225÷9-8=15份30×8=240份……原草量-8天的减少量原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份25×9=225份……原草量-9天的减少量 360÷21+15=10天例3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼;已知男孩每分钟走20级梯级,女孩每分钟走15级梯级,结果男孩用了5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上;问：该扶梯共有多少级男孩：20×5 =100级自动扶梯的级数-5分钟减少的级数女孩;15×6=90级自动扶梯的级数-6分钟减少的级数每分钟减少的级数= 20×5-15×6 ÷6-5=10级自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150级自主训练两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走3级阶梯,女孩每秒可走2级阶梯,结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒,女孩走了300秒;问该扶梯共有多少级3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数每秒新增的级数：2×300-3×100÷300-100=级自动扶梯级数= 3×100-100×=150级1. 有一片牧场,操每天都在匀速生长每天的增长量相等,如果放牧24头牛,则6天吃完草,如果放牧21头牛,则8天吃完草,设每头牛每天的吃草量相等,问：要使草永远吃不完,最多只能放牧几头牛假设1头1天吃1个单位246=144218=168168-144=24每天长的草可供24/2=12头牛吃最多只能放12头牛2,有一片草地,草每天生长的速度相同;这片草地可供5头牛吃40天,或6供头牛吃30天;如果4头牛吃了30天后,又增加2头牛一起吃,这片草地还可以再吃几天假设1头1天吃1个单位540=200；630=180200-180=20每天长的草:20/40-30=2原有草：200-240=120430=120 ,302=60 60/4=15天3,假设地球上新增长资源的增长速度是一定的,照此推算,地球上的资源可供110亿人生活90年,或可供90亿人生活210年,为了人类不断繁衍,那么地球最多可以养活多少亿人假设1亿人头1天吃1个单位11090=9900；90210=1890018900-9900=90009000/210-90=754,一游乐场在开门前有100人排队等候,开门后每分钟来的游客是相同的,一个入口处每分钟可以放入10名游客,如果开放2个入口处20分钟就没人排队,现开放4个入口处,那么开门后多少分钟后没人排队22010=400400-100=300300/20=15100+154=160160/410=41因为草量=原有草量+新长出的草量,而且草量是均匀增长的;所以“对应的牛头数×吃的较多天数”就代表了第一次情况下的总草量, 即为：吃的较多天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度较多天数时的时间;同理“相应的牛头数×吃的较少天数”代表了第二次情况下的总草量,即为：吃的较少天数时的总草量=草地原有草量+草的生长速度较少天数时的时间;两个一做差,式子中的“原有草量”就被减掉了,等号的左边就是两次情况之下总草量的差,右边等于草的生长速度两次情况下的时间差,所以直接把时间差除到左边去,就得到了草的生长速度了;2牛吃的草的总量包括两个方面,一是原来草地上的草,而是新增长出来的草;所以“牛头数×吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草,牛在这段时间把草吃干净了,所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量;当然草的总量减去新增长出来的草的数量,就剩下原来草地上面草的数量了;牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的;典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天;由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化;解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是︰1 设定一头牛一天吃草量为“1”1草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷吃的较多天数－吃的较少天数；2原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`3吃的天数＝原有草量÷牛头数－草的生长速度；4牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度;这四个公式是解决消长问题的基础;由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量;牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的;正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式;牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草,又有每天新长出的草;由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天;解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题;这类问题的基本数量关系是：1.牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数÷吃的较多的天数-吃的较少的天数=草地每天新长草的量;2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草;解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题,一般情况下找多块草地的最小公倍数,这样可以减少运算难度,但如果数据较大时,我们一般把面积统一为“1”相对简单些;“牛吃草”问题分析华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员姚璐华图名师姚璐例1有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供25头牛吃多少天华图名师姚璐答案C华图名师姚璐解析设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天,这片草场可供25头牛吃Y天根据核心公式代入200-150/20-10=5 1020-520=100 100/25-5=5天璐例2有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供多少头牛吃4天华图名师姚璐答案C华图名师姚璐解析设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天,根据核心公式代入20×10-15×10=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30头华图名师姚璐例3如果22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃尽,17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽,那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草,需要多少头牛华图名师姚璐答案D华图名师姚璐解析设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天,每公亩草场原有牧草量为Y ,24天内吃尽40公亩牧场的草,需要Z头牛根据核心公式：,代入,因此,选择D华图名师姚璐注释这里面牧场的面积发生变化,所以每天长出的草量不再是常量;下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法,在真题中的应用;华图名师姚璐例4有一个灌溉用的中转水池,一直开着进水管往里灌水,一段时间后,用2台抽水机排水,则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水,则用1 6分钟排完;问如果计划用10分钟将水排完,需要多少台抽水机广东2006上台台台台华图名师姚璐答案B华图名师姚璐解析设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量,共需Y台抽水机有恒等式：解,得,代入恒等式华图名师姚璐例5有一水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需抽8小时,8台抽水机需抽12小时,如果用6台抽水机,那么需抽多少小时北京社招2006华图名师姚璐答案C华图名师姚璐解析设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量,共需Y小时有恒等式：解,得,代入恒等式华图名师姚璐例6林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光,问如果有33只猴子一起吃,则需要几周吃光假定野果生长的速度不变浙江2007周周周周华图名师姚璐答案C华图名师姚璐解析设每天新生长的野果足够X只猴子吃,33只猴子共需Y周吃完有恒等式：解,得,代入恒等式华图名师姚璐例7物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款,每一个收银台每小时能应付80名顾客付款;某天某时刻,超市如果只开设一个收银台,付款开始4小时就没有顾客排队了,问如果当时开设两个收银台,则付款开始几小时就没有顾客排队了浙江2006小时小时小时小时华图名师姚璐答案D华图名师姚璐解析设共需X小时就无人排队了;例题：1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要1 0分钟就把所有乘客OK了求增加人数的速度还有原来的人数设一个检票口一分钟一个人1个检票口30分钟30个人2个检票口10分钟20个人30-20÷30-10=个人原有1×30-30×=15人或2×10-10×=15人2、有三块草地,面积分别是5,15,24亩;草地上的草一样厚,而且长得一样快;第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天这是一道牛吃草问题,是比较复杂的牛吃草问题;把每头牛每天吃的草看作1份;因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份所以45－30＝15天,每亩面积长84－60＝24份所以,每亩面积每天长24÷15＝份所以,每亩原有草量60－30×＝12份第三块地面积是24亩,所以每天要长×24＝份,原有草就有24×12＝288份新生长的每天就要用头牛去吃,其余的牛每天去吃原有的草,那么原有的草就要够吃80天,因此288÷80＝头牛所以,一共需要＋＝42头牛来吃;两种解法：解法一：设每头牛每天的吃草量为1,则每亩30天的总草量为：1030/5=60；每亩45天的总草量为：2845/15=84那么每亩每天的新生长草量为84-60/45-30=每亩原有草量为30=12,那么24亩原有草量为1224=288,24亩80天新长草量为2480=3072,2 4亩80天共有草量3072+288=3360,所有3360/80=42头解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩,根据28头牛45天吃15亩,可以推出15亩每天新长草量28×45-30×30/45-30=24；15亩原有草量：1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24头24亩需牛：180/80+2424/15=42头。

牛顿问题
英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。

书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”。

“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽;养牛23头，9天把草吃尽。

如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢?并且牧场上的草是不断生长的。

”
这类题目的一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
(1) 27头牛6天所吃的牧草为：27×6=162
(这162包括牧场原有的草和6天新长的草。

)
(2) 23头牛9天所吃的牧草为：23×9=207
(这207包括牧场原有的草和9天新长的草。

)
(3) 1天新长的草为：(207-162)÷(9-6)=15
(4) 牧场上原有的草为：27×6-15×6=72
(5) 每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：
72÷(21-15)=72÷6=12(天)
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。

请你算一算。

有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽;养21只羊，12天把草吃尽。

如果养15只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽呢?。

牛吃草问题经典例题及解题思路和方法牛吃草含义:“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。

这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

数量关系：草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数解题思路和方法：解决这类问题的关键是找出草的日常生长情况。

例1一块草，10头牛20天能把草吃完，15头牛10天能把草吃完。

有多少头牛能在五天内吃完草？解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。

求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量由此可知（20——10）天内草的生长量为1×10×20——1×15×10＝50因此，草每天的生长量为50÷（20——10）＝5（2）求原有草量原有草量＝10天内总草量——10内生长量＝1×15×10——5×10＝100（3）求5天内草总量5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125（4）求多少头牛5天吃完草因为每头牛每天吃的草量是1，所以每头牛5天吃的草量是5。

因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）五天内完成草地需要五头牛。

例2一艘船有漏洞，水匀速进入船内。

发现漏水的时候，已经有一部分水进了。

如果有12个人淘水，3个小时就能洗完；如果只有五个人在搜寻水，要10个小时才能洗出来。

要求17个人在几个小时内淘完。

解这是一道变相的“牛吃草”问题。

牛吃草问题伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题："12头牛4周吃牧草3 格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。

问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。

"（格尔--牧场面积单位），以后人们称这类问题为"牛顿问题"的牛吃草问题。

在"牛吃草"问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。

这类问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础。

一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

牛吃草的变式题：“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．多块草地的牛吃草问题：多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变得统一，一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数，这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一般把面积统一为“1”相对会简单些。

例1、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？解：设1头牛1天吃的草为1份。

则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原来的草量是（24-14）×6=60份。