高量-时间平移和时间反演

高等量子力学试题库一、简述题1. (§1.4)试以一维线性谐振子基函数所构成的空间为例，说明一般矢量空间的维数与位形空间维数的区别 2. (§2.4)试述幺正算符的性质 3. (§3.2)试述本征子空间的概念 4. (§3.3)试述厄米算符完备组的概念和建立厄米算符完备组的必要性 5. (§6.2)试述量子力学的基本原理 6. (§11)试述相互作用绘景与薛定谔绘景、海森伯绘景的区别和联系7. (§17.2)设氢原子的定态狄拉克方程为 ψψβαE r e mc P c =-+⋅)ˆ(212 ，为求氢原子哈密顿算符Hˆ 确切的本征矢量，试确定包含Hˆ在内的厄米算符完备组 8. (§19)若系统的哈密顿具有下列对称性（1）空间反演（2）空间平移（3）空间转动（4）SO(4)（5）时间平移，试分别给出这些对称性所带来的守恒量9. (§21.2)对于 Fermi 子，试讨论由时间反演引起的简并。

（提示：参阅曾书335页） 10. (§23)试述角动量耦合与3j ，6j 和9j 符号之间的关系11. (§23.7)对具有两个价电子的原子，设两电子的轨道和自旋角动量分别为21,L L 和21,S S，试在希尔伯特空间中给出两组可能的耦合基矢 12. (§34.4)试给出位置表象中的Hartree-Fock 方程并叙述其物理意义 二、证明题1. (§1.1)利用矢量空间的加法运算法则证明零矢量是唯一的2. (§1.1)利用矢量空间的数乘运算法则证明：若0=a ψ，则0=a 或0=ψ3. (§1.2)对于任意ψ和ϕ，试证：ϕψϕψ+≤+4. (§1.5)试证明：若三个右矢ψ、ϕ和χ满足χϕψ=+，则有χϕψ=+5. (§2.3)证明定理：在复矢量空间中，若算符A 对其定义域中的任意ψ满足0=ψψA ，则必有0=A6. (§2.4)证明定理：算符H 为厄米算符的充要条件是对其定义域中的所有矢量ψ满足=ψψH 实数7. (§2.4)证明：若I U U =+，则对任意ψ和ϕ，U 满足ϕψϕψ=U U ，进而证明，幺正变换不改变矢量的模8. (§2.4)设U 是幺正算符，试证明：在矢量空间中，若{}iν是一组基矢，则{iU ν也是一组基矢9. (§2.5)证明投影算符是厄米算符，并由全空间的投影算符证明基矢的完全性关系 10. (§3.1)证明：复空间中厄米算符的本征值都是实数11. (§3.1)证明：厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交12. (§3.1)证明：若B A ,两算符相似，则二者有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 13. (§6.6)设i a 是算符A 属于本征值i a 的本征函数，即满足i i i a a a A =，且定义物理量在状态ψ中的平均值为ψψA A =。

数学与物理的奇妙融合——对称与守恒物理学家杨振宁（1922-）先生认为，20世纪物理学有三大主旋律：量子化、对称与相位因子．关于对称性，伟大的德国女数学家，有着“代数学女王”之称的艾米˙诺特（E.Noether，1882－1935）认为：“物理体系的每一个连续的对称变换，都对应于一个守恒定律”，这就是著名的诺特定理．大自然中处处有对称，对称性很早就是物理学研究的指导原则．对称原本是数学的概念，守恒则是物理定律，诺特定理却揭示二者之间存在紧密而奇妙的联系．本讲将介绍物理学中的对称性与守恒律．主要内容分三部分：第一部分介绍对称性与守恒律之间的联系；第二部分通过拉格朗日函数的变分，将力学系统的运动规律表述为“最小作用量原理”；第三部分则通过考察作用量的三种对称性，导出物理学中的三大守恒定律：（1）由“时间平移对称性”推导“能量守恒定律”；（2）由“空间平移对称性”推导“动量守恒定律”；（3）由“空间旋转对称性”推导“角动量守恒定律”．这一讲，通过对称性与守恒律在数学和物理角度的分别诠释，我们可以更加深入体会到数学语言在物理中的运用，并进一步了解数学与物理之间分分合合的关系：二者都源于哲学，曾经一度分家，到了现代，又产生了密不可分的联系．作为科学上最重要的两个分支，数学与物理互相促进、相辅相成．第1节 对称性与守恒律1.1 对称与群人们很早就注意到我们生活的这个世界充满了对称性，并对之加以探究，早在古希腊、古罗马以及古代中国，都有关于对称概念的研究记载．简单来说，对称性就是“变中有不变”，即在某种变换下保持不变的性质． 1872年，德国数学家克莱因（F.C.Klein ，1849-1925）在埃尔朗根大学的就职演说中提出了著名“埃尔朗根纲领”，将19世纪及之前的几何学概括为“研究在某种变换群下保持不变性质和不变量的学科”．例如，欧氏几何研究的是在刚体变换下保持不变性质的几何学，其变换群是正交矩阵群；仿射几何研究的是在仿射变换下保持不变性质的几何学，其变换群是一般线性群．例1（平面上的刚体变换）平面上的一点(,)x y 经过平移和旋转的刚体变换到另一点(,)x y ''，则有如下的对应关系00'cos sin 'sin cos x x x y y y θθθθ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 例2（平面上的仿射变换）平面上的一点(,)x y 经过仿射变换到另一点(,)x y ''，则有如下的对应关系011121112021222122',0'x a a a a x x y a a a a y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．研究对称性最重要的数学工具就是群论——抽象代数的一个重要分支，群的概念在第2讲中已有详细介绍．群的发明来源于法国数学家伽罗瓦（É. Galois ，1811-1832）对一元n (5)n ≥次代数方程是否可以根式求解问题的研究．早在古巴比伦时期，一元一次和二次方程求根问题就已经解决，并有一元二次方程的求根公式．16世纪意大利的数学家给出了一元三次方程和四次方程的求根公式，但是，此后人们在长达300多年内寻求高于四次方程的求根公式均以失败告终．至19世纪上半叶，“求代数方程的根”一直是古典代数学的中心问题，直到伽罗瓦证明了：一元n 次代数方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为可解群．作为这个结果的一个推论是：对应于一般形式的n 次代数方程的伽罗瓦群，只有当 1，2，3，4时才是可解群．因此，五次及五次以上代数方程不存在求根公式．所谓伽罗瓦群是指由方程的根的置换群中保持方程根的以“基本域”中的元素为系数的全部代数关系不变的置换构成的子群．可解群可作如下简单解释：由群中元素的换位子11[,]a b aba b −−=全体生成的子群，即换位子群，而换位子群的换位子全体又可以生成一个新的子群……，若经过有限次成为只含幺元的幺群，则此群称为可解群．图1. 伽罗华1.2 对称性与守恒律 物理系统中常见的对称性有时间平移对称性、空间平移对称性和空间旋转对称性等；物理系统常见的守恒律有能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律等，对称性与守恒律有着千丝万缕的联系．德国著名女数学家艾米·诺特是抽象代数的开创者，她被爱因斯坦赞誉为“最伟大的女数学家”．艾米·诺特是从数学及物理上阐明了对称性与守恒律的联系的第一人，她在1918年发表的题为《变分问题的不变量》的论文中提出了著名的“诺特定理”：物理系统的每一个连续的对称变换，都对应于一个守恒定律．1926年，美国物理学家维格纳（E.P.Wigner,1902-1995）还提出了宇称守恒定律，想把对称性和守恒律的关系进一步推广到微观世界．所谓“宇称”，是指一种粒子之间互为镜像，粒子的运动是相同的．但在1956年，美籍华裔物理学家李政道（1926-）和杨振宁在深入细致地研究了各种因素之后，提出“在弱相互作用下宇称不是守恒的”，美籍华裔实验物理学家吴健雄（1912-1997）则通过一个巧妙的钴60衰变实验验证了“宇称不守恒”．李政道和杨振宁因此获得1957年的诺贝尔物理学奖，成为首次获得该奖项的华裔科学家．图2. 诺特与《代数学》例3（开普勒第二定律与角动量守恒）在第8讲中的开普勒行星第二运动定律（即面积律），本质上反映了太阳-行星系统的角动量守恒． 事实上，由面积律，我们知道212r A θ≡（常数），而行星运动时的线速度0()()lim t r t t r t v t∆→+∆−=∆，则角动量的大小为 2200()[()()]lim lim t t r t r r t t r t r v r t t θθ∆→∆→∆⨯+∆−⨯===∆∆．诺特定理直观的理解就是：每一种对称性都对应一个守恒律．例如，时间平移对称性对应能量守恒定律；空间平移对称性对应动量守恒定律；空间旋转对称性对应角动量守恒定律．这个定理培育出了物理学家的一种思维习惯：只要发现一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒律；反之，只要发现了一条守恒律，也总要把相应对称性找出来，下面是一个对称性与守恒定律及使用范围的关系表． 对称性守恒定律 使用范围 时间平移能量守恒 完全 空间平移动量守恒 完全 空间旋转角动量守恒 完全 镜像反射宇称守恒 弱作用中破缺 电荷规范变换电荷守恒 完全 重子规范变换重子数守恒 完全 轻子规范变换 轻子数守恒 完全1.3 自发对称破缺自然规律的确具有某种对称性，对称使得万物和谐、均衡，但对称中也潜藏着不对称，对称中的不对称使得事物变得生机、灵动．五彩缤纷的大自然中，无处不有对称与不对称，物理学也是如此．物理规律的某种对称性表现在真实世界的具体现象时，却不是对称的，这一看起来似乎很简单的现象，却曾经使得科学家困惑多年．“自发对称破缺”的理论给予了解释．“自发对称破缺”作为专业术语，常常被人们用一个简单的例子解读，例如，一支铅笔竖直立在桌子上，按照物理定律，铅笔所受的力在四面八方都是对称的，及满足旋转对称性，因此铅笔向任何一个方向倒下的概率都应该相等．但是，铅笔最终只会倒向一个方向，倒下之后，铅笔原有的对称性就被破坏掉，而这种破坏是铅笔自身发生的，因此被称为“自发对称破缺”．20世纪60年代中期，科学家们通过对数学物理理论的研究，预言了一种名为希格斯粒子的基本粒子，这与上述的“自发对称破缺”这一术语相关．2012年，希格斯粒子被欧洲核子中心发现，与此相关的研究获得了2013年的诺贝尔物理学奖．事实上，物理学家经过多年的研究，提出了关于物质世界的组成的“标准模型”，在这个“标准模型”中，物质的本源来自四种基本力：引力、电磁力、弱力和强力，以及61种基本粒子，其中包括36种夸克，12种轻子，8中胶子，2种W粒子，另外还有Z粒子、光子以及希格斯粒子．希格斯粒子是“标准模型”中最后被发现的粒子，被称为“上帝粒子”．“标准模型”成功地统一了除了引力以外的三种力，并且基本精确地解释了与三种力有关的所有实验事实．物理学家用“自发对称破缺”的概念来研究基本粒子和场，认为它们遵循某种“规范对称性”，希格斯粒子的发现证明了“标准模型”基本正确．在微观世界里，基本粒子有三种基本的对称方式：（1）电荷（C）对称（共轭对称）：对于粒子和反粒子，物理定律是相同的．（2）宇称（P）对称（空间反射对称）：互为镜像的同一种粒子的运动规律相同．（3）时间（T）对称（时间反演对称）：如果颠倒粒子的运动方向，则粒子的运动是相同的．高能物理实验告诉我们，对于粒子世界的物理规律，以上3种对称性全部破缺，世界从本质上被证明了是不完美的、有缺陷的．因此，可以认为我们这个五彩缤纷的物质世界，包括人类自身，都是对称性的细微破缺留下的遗迹．第2节 最小作用量原理2.1 拉格朗日函数我们描述系统中的N 个点的位置信息需要3N 个坐标，当增加约束时，这个系统的自由度便会降低．所谓自由度，指的是能够完全描述某一物理系统状态的相互独立的最少变量个数，当增加某些约束时，会使其中某些变量不再相互独立，导致自由度降低．为了研究问题方便，我们要引进广义坐标系统．s 个自由度的系统可以用s 个独立变量1,,s q q 和变量的变化率1,,s q q 以及时间t 的函数()()11,,,,,,,,s s L q q t L q q q q t =来表示，称之为拉格朗日函数，拉格朗日函数对于时间的积分()21,,t t S L q q t dt =⎰即为作用量． 最小作用原理指的是物理系统的真实运动轨迹是使作用量达到最小的轨迹．据此可以推导出著名的欧拉-拉格朗日方程．例4（费马原理）光学中的费马原理指的是：光的轨迹总是遵循使光程B A nds ⎰（其中n 是介质的折射率）取极值的轨迹．根据费马定理，可以推导出光传播的三大规律——光的直线传播定律、反射定律和折射定律，包含了几何光学的主要内容．这其实很有趣：光是没有脑子的，但它走的总是最省时间的路．斯奈尔折射定律的内容是：设一道光线从一点A 以速度1v 、入射角1α进入较密媒质后以较低速度2v 、折射角2α 到达点B ，则有1212sin sin v v αα=. 例5（最速降线问题）伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——一个质点在重力作用下从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，沿什么曲线滑下所需时间最短？伽利略错误的认为这曲线是个圆．瑞士数学家约翰·伯努利在1696年再次提出这个最速降线问题，次年（1697年）已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达以及雅可比·伯努利与约翰·伯努利兄弟．其中，牛顿、莱布尼兹、洛必达利用的是微积分的方法，雅可比·伯努利的方法虽然比较繁琐，但其中孕育了变分法的思想，约翰·伯努利的方法似乎缺乏根据但十分简明．约翰·伯努利采用费马最小时间原理，将质点在重力场中的运动类比于光线在介质中的传播，得到最速降线问题中的路径所需满足的微分方程．假设质点沿从点A 滑行到点B 的路径，所需时间最短．从光学的原理得出，sin vα=常数. 根据能量守恒定律，质点在一定高处的速度，完全由其到达该高处所损失的势能确定，而与所经过的路径无关，从而，有2v gy =.由几何关系，还可以得到 221sin cos sec 1tan 1()y αβββ===='++ 将上述三式结合起来，得到2[1()]().y y c '+=常数这就是最速降线所满足的常微分方程．解此微分方程，可以得到(sin ),(1cos ).x a y a θθθ=−=− 这是旋轮线（也称摆线）的标准方程，而最速降线问题的正确答案就是连接两点上凹的唯一一段旋轮线（即倒置的摆线）．1673年，惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629～1695）证明了旋轮线是摆线．因为钟摆做一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线又称等时曲线．雅可比·伯努利的方法则接近于现代的变分法思想．以变分法的思想，最速降线问题应该是一个求泛函极值的问题，其数学表达如下：()()()()2121121'min min '22x x y x y x y x v J dx y y x g g αα+⎛⎫==− ⎪−⎝⎭⎰． 这个数学问题的正确的解答也是倒置的摆线图3. 最速降线问题与摆线 作用量在数学上被称为泛函，即“函数的函数”，而最小作用原理从数学角度来说是研究泛函的极值，而要计算泛函的极值，需要运用变分法，变分法可以理解为微分法的推广．微分法研究自变量的改变对于函数值的影响，而泛函中是将函数映射为一个实数，可以把这里的函数类比微分中的自变量，本质思想是相同的．变分法是研究泛函的极值方法．1756年，欧拉在论文中将变分法正式命名为“the calculus of variation ” ．1760年，拉格朗日引入变分的概念，在纯分析的基础上建立变分法。

电场对称知识点总结一、空间对称性1.1 点反演对称性点反演是指通过选定一点O，在该点处对空间中的任意一点P进行空间对称。

如果有一个点对称体G与点反演体G’的满足条件是二者的每一个对应点在选定点O作点反演时的对应点相互对应，则称体G有点反演对称性。

1.2 镜面对称性镜面对称性是指物体在一个均匀平行于不透明界面的镜面中可以找到镜像面，即物体的形状在镜面两侧有对称的关系。

具有镜面对称性的物体的一侧图像会出现在镜面的另一侧，且两侧图像互为镜像关系。

1.3 旋转对称性旋转对称性是指物体相对于某一轴进行旋转时，旋转后与原来的物体重叠。

旋转对称性的常见特点是，旋转对称物体的某一特定角度内奋力时，在经过一定的角度旋转后，仍能够保持原来物体的形状不变。

1.4 空间反演对称性空间反演是指物体的形状和位置关系通过空间中某个固定的点进行对称变换。

在空间反演变换中，所有物体的位置和方向都发生了反演。

具有空间反演对称性的物体，在空间反演变换后往往能保持原来的形状和位置关系。

1.5 螺旋对称性螺旋对称性是指物体相对于某一轴进行螺旋运动时，螺旋后可与原来的物体重叠。

螺旋对称物体的特点是，其形状在经过一定的螺旋角度后，能够保持其原来的形状不变。

二、时间对称性2.1 时间反演对称性时间反演是指将物理过程中的时间方向进行反演，即将时间t换为-t。

在时间反演变换中，物理过程中的变化方向和速度方向发生了变换。

具有时间反演对称性的物理过程，在时间反演变换中能够保持其物理规律不变。

2.2 时间平移对称性时间平移对称性是指物理过程在不同的时间点上具有相同的物理规律。

具有时间平移对称性的物理过程，在不同的时间点上能够保持其物理规律不变。

2.3 正演化对称性正演化对称性是指物理过程在正演化条件下具有相同的物理规律。

具有正演化对称性的物理过程，在正演化条件下能够保持其物理规律不变。

三、材料对称性3.1 各向同性各向同性是指物质在各个方向上具有相同的物理性质。

第二章对物体运动规律的思考5、伽利略落体运动的研路：提出问题合理猜想数学推理实验验证合理外推得出结论操作过程：由于伽利略时代的实验仪器不能精确测量快速下落所需的时间，所以他设想通过斜面落体来“冲淡重力”，并通过延伸斜面和控制斜面倾角来控制物体运动的速度和所经历的时间。

经过多次实验发现，虽然不断改变斜面的倾斜度，但得到的结果有共同点：小球经过的距离的比值等于经过这些距离对应所用时间间隔的平方之比.伽利略在这个基础上进行合理外推，当倾角增大到90度时，实验结论仍应成立，此即竖直落体运动.至此，伽利略就完成了对自由落体运动的研究.限制条件：无法测量瞬时速度，没有准确计时工具（无法测量自由落体那么短暂的时间），空气阻力无法营造真空条件，和理想化：坡面是完全光滑的，忽略空气阻力，使用特殊方法： 1.运用推理方法，使亚里士多德的结论陷入矛盾中.2.运用理想模型，猜想落体运动的规律.3 .运用数学方法，推导自由落体运动的数学表达式以及可以直接测定的物理量之间的函数关系.4.运用实验方法，对自由落体运动定律进行实验验证.近代科学研究方法：对现象的一般观察→提出假设→运用逻辑得出推论→实验进行检验→对假设进行修正和推广6、牛顿吸收哪些物理思想后创立经典力学：伽利略通过对自由落体的研究，已经发现了惯性运动和在重力作用下的匀加速运动，奠定了牛顿第一定律和第二定律的基本思想。

伽利略关于抛物体运动定律的发现，对牛顿万有引力的学说也有深刻的启示作用。

开普勒所发现的行星运动定律则是牛顿万有引力学说产生的最重要前提。

7、牛一是牛二的特例？：这种提法是不合适的，因为牛顿第一定律不包括“所受合外力为零”的情况。

牛顿第一定律反映的是物体不受力时的运动状态是匀速直线运动或静止，不能反映所受合力为零时的运动状态是匀速直线运动或静止，合力为零时的情况是牛顿第二定律解决的问题。

8、作用力和反作用力？关系是什么？反映了物质世界的什么普遍性质？：一个物体对另一个物体有作用力时，同时也受到另一个物体对它的作用力。

时间反演在多输入单输出UWB系统中的应用巩林林;王荣荣【摘要】超宽带无线通信是一项极具潜力的通信技术,但是同样面临许多挑战.通过把时间反演(Time Reversal,TR)技术和MISO结合,提升了超宽带无线通信系统的性能.文章给出了时间反演空时聚焦性的数学分析,以及多天线阵列增益的分析.利用这些特性可以实现保密通信,大大简化接收端,提高系统性能.仿真表明,只用一路相关就可以达到不错的接收性能,结合多天线系统,其空时聚焦性更加显著,而且MISO-TR的性能大大优于SISO-TR的性能.对于非目标用户(窃听用户),总是无法正确地接收信息,达到了保密通信的目的.【期刊名称】《微型机与应用》【年(卷),期】2015(034)005【总页数】5页(P60-63,67)【关键词】超宽带;多输入单输出;时间反演;空时聚焦【作者】巩林林;王荣荣【作者单位】南京邮电大学通信与信息工程学院,江苏南京210009;南京邮电大学通信与信息工程学院,江苏南京210009【正文语种】中文【中图分类】TN911.22在短距离无线传输领域，超宽带（Ultra-wideband，UWB）无线传输技术具有明显的优势。

其采用纳秒级别的脉冲来传输信息，并且发送功率非常低，对其他通信系统几乎没有影响，是一种绿色通信的方式。

但是UWB同样面临许多挑战，比如多径能量的收集，降低接收端的复杂度，码间干扰（ISI）的抑制等［1-2］。

本文提出的时间反演技术可以有效解决上述问题［3-4］。

时间反演技术（Time Reversal，TR）的处理过程大致分为两步：（1）目标接收者通过发送一个短脉冲来激励信道；（2）发送端接收此信号，时间反演，然后把需要发送的信息调制到此信号上，发送出去。

结果发送的电磁能量将会在目标接收端出现时间和空间聚焦。

时间反演技术在声学领域上应用广泛，本文把其扩展到无线通信领域。

如果多天线技术和时间反演技术相结合，目标接受者将会获得更大的接收增益［5］，而窃听者接收的信号能量将会进一步地被抑制。

物理学中的对称性原理物理学中的对称性原理是指在自然界中存在着各种对称性，并且这些对称性对于物理定律的描述和解释起着重要的作用。

对称性原理是物理学中的基本原理之一，它帮助我们理解和解释了许多重要的物理现象和规律。

一、空间对称性空间对称性是指物理系统在空间变换下保持不变。

在三维空间中，常见的空间对称性有平移对称性、旋转对称性和镜像对称性。

1. 平移对称性平移对称性是指物理系统在空间平移下保持不变。

例如，一个理想的无限大平面是具有平移对称性的，因为无论我们在平面上的哪个位置进行平移，物理规律都不会发生变化。

2. 旋转对称性旋转对称性是指物理系统在空间旋转下保持不变。

例如，一个球体是具有旋转对称性的，因为无论我们如何旋转球体，物理规律都不会发生变化。

3. 镜像对称性镜像对称性是指物理系统在空间镜像变换下保持不变。

例如，一个理想的平面镜是具有镜像对称性的，因为无论我们如何在镜子前面进行镜像变换，物理规律都不会发生变化。

二、时间对称性时间对称性是指物理系统在时间反演下保持不变。

时间反演是指将时间进行反向运动，即将过去变成未来，未来变成过去。

在自然界中，许多物理定律在时间反演下是不变的，例如牛顿力学中的运动定律。

三、粒子对称性粒子对称性是指物理系统在粒子变换下保持不变。

粒子变换是指将一个粒子变成另一个粒子，例如将一个电子变成一个中子。

在粒子物理学中，粒子对称性是非常重要的，它帮助我们理解了基本粒子的性质和相互作用。

四、规范对称性规范对称性是指物理系统在规范变换下保持不变。

规范变换是指改变物理系统的规范场，例如电磁场的规范变换。

规范对称性在量子场论中起着重要的作用，它帮助我们理解了基本粒子的相互作用和守恒定律。

五、对称性破缺尽管对称性在物理学中起着重要的作用，但在某些情况下，对称性会被破缺。

对称性破缺是指物理系统在某些条件下失去了原有的对称性。

例如，在自然界中，电磁力和弱力在高能量下是统一的，具有电弱对称性。

然而，在低能量下，电磁力和弱力分离开来，电弱对称性被破缺。

谈谈量子力学中的时间反演算子
张永德;杨德田
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】1996(015)001
【摘要】用概念辨析法对时间反演算子作了较全面深入的讨论澄清和指明在反演算子的基本性质问题上常见的含混和错误。

【总页数】6页(P9-13,17)
【作者】张永德;杨德田
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.谈谈量子力学中的状态叠加原理 [J], 喀兴林
2.谈谈量子力学里的动量算符 [J], 关洪
3.谈谈量子力学学习中应注意的几个问题 [J], 田毛提
4.量子力学中坐标平移算子的性质及其应用 [J], 郁华玲
5.谈谈时间反演 [J], 张玫
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时间反演算法时间反演算法是一种假设物理系统在时间上演化的过程是可逆的算法。

具体来说，时间反演算法涉及到以下几个关键点：1. 状态的时间反演：如果一个质点按照一定的运动规律\(\bm{r}(t))和速度\(\bm{v}(t)\)运动，那么在时间反演过程中，质点应该沿着相同的轨迹运动，但其运动规律变为\(\bm{r}_R(\tau)\)，速度变为(\bm{v}_R(\tau)\)。

这里的\(\tau)代表反演后的时间变量。

在某一瞬间\(t)和对应的\(tau\)时刻，位置和速度的关系满足\(\bm{r}(t) = \bm{r}_R(\tau)\) 且\(\bm{v}(t) = -\bm{v}_R(\tau)\)。

2. 时间反演算符：在量子力学中，时间反演对称性通常涉及一个时间反演算符\(hat{\Theta}\)。

假定通过这个算符可以得到一个量子态的时间反演态\(\hat{Theta}|\psi\rangle)。

按照时间反演对称性的要求，这个态在经过时间(dt\)的演化之后，应当等同于原态\(|\psi\rangle)回溯\(dt\)时间或者向前演化(-dt\)时间后再进行时间反演的结果。

3. 物理系统的对称性：时间反演算法的核心在于物理系统对于时间的反演具有对称性。

这意味着，如果一个物理过程在正向时间内是合法的，则其时间反演过程也应该是合法的。

这种对称性在宏观尺度上可能不明显，但在微观尺度上，特别是在量子系统中，时间反演对称性是一个基本的原则。

4. 实际应用：在物理学的某些领域中，如粒子物理学、凝聚态物理学和光学等，时间反演算法可以用来研究系统随时间的演变行为，以及在特定条件下系统的行为是否显示出对时间反演的不变性。

这有助于深入理解基本的物理原理和现象。

时间反演算法基于时间反演对称性的原理，通过将系统状态进行时间上的倒置来研究系统的动态行为。

这种算法不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实验物理学中也有广泛的应用，尤其是在需要考察系统在极端条件下行为的场合。

最小作用量原理与相位注：为了方便不同层次读者，本文不强调积分概念，但严格说一些乘积（如vt，Lt）应该理解为积分。

1.牛顿力学经典力学中的牛顿力学，以牛顿的三个实验定律为基础和中心，建立实际物理场景的数学模型之后，通过微积分等数学工具加以处理，以得到各种结论。

具体点说，我们首先通过牛顿第一定律建立了惯性的概念；其后，牛顿第二定律在引入m表征惯性的基础上定义了力F，并指出了F=ma的关系，形成了自洽的理论体系。

牛顿第三定律补充说明了自然界中力的性质，当然我们后来发现，牛顿第三定律在很多情况下不适用，但因为牛一、牛二自成体系，即便是牛三不成立的问题中也可以用来解决问题。

对于要解决的问题，往往在实际中可以分为两类：条件与力有关，而问题与运动有关；或者条件与运动有关，问题则与力有关。

前一种问题从牛顿力学的角度看是正问题，因为牛顿力学的基本精神就在于：力的条件决定运动情况。

后一种问题则是反问题，是要用运动情况反推出作用的力。

正问题有如下例子：1.合外力为0。

由于合外力为0，加速度为0，故而做运动中速度v保持不变，即匀速直线运动。

2.质点在平衡位置附近，距离平衡位置x时，受力指向平衡位置，写为F=-kx。

这种情况下，理论上可以证明物体运动x~t关系为三角函数关系x=Acos(wt+fi)，这种运动称为简谐振动，A称为振幅，w为圆频率，wt+fi称为相位。

3.质点与某中心相距r，则作用力F=k/r^2，方向沿质点与中心连线。

当k<0时，表示力指向中心，这时这种力最典型的有球对称电荷、质量分布产生的静电引力（库伦定律）或万有引力（万有引力定律）。

这时根据质点能量不同，轨道划分为E<0椭圆（圆），E=0抛物线，E>0双曲线。

k>0时，表示力背离中心，典型的有静电斥力，质点轨道只能是双曲线。

以上列出了三种常见的最简单的运动形式，实际上物理世界中有各种不同的运动，也都可以从牛顿第二定律列出的方程出发加以解决。

理论物理中的对称性原则对称性原则是理论物理领域中的重要概念之一，它在解释自然现象和推导物理定律中起着至关重要的作用。

在理论物理的研究中，对称性原则被广泛应用于描述和解释基本粒子的相互作用、宇宙的起源、能量转换等方面。

本文将介绍理论物理中的对称性原则的基本概念和几个重要的应用。

首先，我们要理解对称性的概念。

在物理学中，对称性是指在某种变换下，系统的性质保持不变。

换句话说，如果将系统进行某种变换后，系统的表现不发生改变，那么我们就说该系统具有对称性。

对称性可以包括平移对称性、旋转对称性、时间反演对称性等。

物理定律的基本思想是，自然界中的过程应该具有不变的特征，而对称性原则正是用来描述和解释这种不变性。

对称性原则在粒子物理学中扮演着非常重要的角色。

粒子物理学研究了物质的构成以及基本粒子之间的相互作用。

通过对粒子物理的研究，科学家发现了多种对称性原则，例如，电荷守恒对称性、轻子数守恒对称性、色荷守恒对称性等等。

这些对称性原则对我们解释基本粒子相互作用的规律起到了至关重要的作用，它们不仅帮助我们理解了宇宙的起源和演化，也为我们创造了现代科技的基础。

一个具体的例子是电荷守恒对称性。

电荷守恒对称性指的是在任何相互作用中，总的电荷量不会发生改变。

这意味着在一个反应过程中，反应物的总电荷量等于生成物的总电荷量。

这个对称性原则的重要性在电磁相互作用理论中得到了显著体现。

通过对电荷守恒对称性的研究，科学家们发现了电磁相互作用的规律，并制定了麦克斯韦方程组等电磁定律，为我们理解和应用电磁现象提供了重要的理论基础。

另一个重要的对称性原则是时间反演对称性。

时间反演对称性是指在物理过程中，如果将时间进行颠倒，物理现象的规律依然成立。

这个对称性原则对于解释无所不在的时间流逝现象起着重要的作用。

通过对时间反演对称性的研究，科学家们发现了许多有关宇宙起源和演化的重要定律。

例如，通过时间反演对称性研究宇宙膨胀模型，我们得知了宇宙大爆炸理论，从而对宇宙的起源和演化进行了深入的研究。

时间平移和时间反演概述时间平移和时间反演是物理学中常用的两个概念，它们都与时间的变化有关，但有着不同的含义和应用。

时间平移是指在时间上进行整体的移动或平移。

在物理学中，我们通常关注某个系统、现象或过程在不同时间点上的变化。

时间平移是指将这些时间点整体向前或向后移动，以便进行更详细或全面的观察和研究。

通过时间平移，我们可以在不同的时间点上观察和比较物理量的变化，以了解系统的演化规律、发展趋势或特性。

时间反演是指将一个物理现象或过程的时间轴倒置。

即，将时间向前的方向转换为时间向后的方向，以便研究物理现象的对称性、逆向演化或关联性。

时间反演是物理学中的基本操作之一，它常常应用于求解物理问题、理解系统行为和预测未来的发展趋势。

例如，在天体物理学中，通过时间反演可以研究宇宙的起源和演化；在热力学中，时间反演可以揭示系统的热传导规律和热平衡状态等。

时间平移和时间反演在物理学的研究中具有重要的应用价值。

它们不仅可以帮助我们理解物理现象的规律和本质，还可以推动科学技术的发展和应用。

例如，通过时间平移和时间反演的分析，我们可以预测和追溯地震、气候变化、流体动力学和量子力学等领域的发展趋势和演化规律。

同时，时间平移和时间反演还在工程、生物、经济等领域中发挥着重要作用，为我们解决实际问题和改善生活提供理论和方法支持。

总之，时间平移和时间反演是物理学研究中常用的两个概念。

它们通过调整时间轴的位置和方向，帮助我们更好地理解系统的演化和规律，预测未来的发展趋势和态势，以及解决实际问题和改善生活。

它们的应用广泛，是推动科学技术进步和实现可持续发展的重要工具和方法之一。

时间平移和时间反演作为物理学中常用的两个概念，在各个领域都具有广泛的应用。

接下来，我们将进一步探讨这两个概念在各个学科和实践领域中的应用和重要性。

在经典物理学中，时间平移和时间反演的应用非常广泛。

在力学中，时间平移可以帮助我们观察和比较物体的运动情况。

通过比较不同时间点上的位置和速度，我们可以了解到物体在不同时间段内的运动规律和变化趋势。

浅谈物理学中的对称性摘要:本文通过对物理学中对称性的探讨得出一些隐含条件，使复杂问题简单化，并推出对称性与守恒量之间的一些关系。

对称性普遍存在于自然界中，对称现象是物质世界某种本质和内在规律的体现。

物理学以研究物质世界规律为对象，研究物理学中的对称性对于探索物质世界有着十分重要的意义，本文从三个方面对物理学中的对称性进行讨论：(1) 空间对称性(2) 时间对称性(3 对称性与守恒律之间的对应关系。

最后，对对称性在物理世界中的一些问题做简要论述。

1:空间对称性在物理学中存在着很多空间对称，如单摆的左右对称，正多边体的转动对称，球体的中心对称，一些物理规律的空间平移对称等。

下面分别给予简单介绍：a：左右对称性首先我们给出左右对称操作的定义：“设x轴垂直于镜面，原点就在镜面上，将一半图形的坐标值x变成-x，就得到了另一半图形。

这x坐标的变号就叫做左右对称操作。

”由于它与人们照镜子这一反射后成虚像的现象相同，所以又叫镜像对称操作，或空间反射操作。

最直观的例子就是人体对称结构中的所有左右部分，可以经过平面镜成像左右对称操作而互换；另外还有等腰三角形、等要梯形、平时见到的很多建筑等都是左右对称的。

那么能不能把左右操作定义扩展一下，使的运用它能解决一些复杂的物理问题呢？很显然是可以的，只要把其中的…图形的坐标值x（-x）‟和…另一半图形‟分别换成…物理现象‟和…另一半物理现象‟就可以了。

这样在处理一些物理问题时考虑一下左右对称，常常会使得我们可以不必精确地去求解就可以获得一些知识，使问题得以简化，甚至使得某些颇难解的问题迎刃而解。

举个比较简单的例子，如一个无阻力的单摆运动，其左右是对称的，不必求解就可以知道，向左边摆动的高度与右边摆边的高度一定是相等的，从中间平衡位置向左摆到最高点的时间一定等于从中间平衡位置向右摆到最高点的时间，平衡位置两边等当位置斯处摆球的速度和加速度的大小必定是相等的等一些条件；又如光的反射，其中光的入射线和反射线关于法线左右对称，这样我们就很容易得出入射角等于反射角，等等。