数学精品课件第三章 第1节导数概念及运算.ppt.ppt

数还是周期函数．
2．熟记以下结论：
(1)1x′＝－x12；
(2)f
1x′＝－[ff
′x x]2(f
(x)≠0)；
(3)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f ′(x0)是函数 y＝f (x)在 x＝x0 附近的平均变化率． ( )
2．导数的几何意义
函数 f (x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)的几何意义是曲线 y＝f (x)在点 _(_x_0，__f_(_x_0_))__处的切线斜率 ．相应地，切线方程为_y_－__f_(_x_0)_＝__f_′(_x_0_)__ _(_x_－__x_0_) __．
提醒：(1)瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数． (2)曲线 y＝f (x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，斜率为 f ′(x0) 的切线，是唯一的一条切线． (3)曲线 y＝f (x)过点 P(x0，y0)的切线，点 P 不一定是切点，切线 可能有多条．
A．xsin x
B．－xsin x
C．xcos x
D．－xcos x
B [y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－
xsin x．]
1234 5
2．曲线 y＝x3＋11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
() A．－9
B．－3 C．9
极值求参数的取值范围，函数的零点等问题.
第一节 导数的概念及运算
[考试要求] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x ，y＝x2，y＝x3， y＝1x，y＝ x的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简 单函数的导数．

切线，则 k 的值是( )
A．e
B．－e
C．1e
D．－1e
解析：选 A.设切点的坐标为(x0，y0)，对于 y＝ex，y′＝ex，所以
ex0＝k，y0＝kx0，y0＝e x0，所以 kx0＝e x0＝k，易知 x0≠0，k＞0，
所以 x0＝1，所以 k＝e.
3．(2019·西安八校联考)曲线 y＝2ln x 在点(e2，4)处的切线与坐 标轴所围成的三角形的面积为____________．
A．139
B．136
C．133
D．130
解析：选 D.因为 f′(Байду номын сангаас)＝3ax2＋6x，所以 f′(－1)＝3a－6＝4，解
得 a＝130.故选 D.
(2018·高考天津卷)已知函数 f(x)＝exln x，f′(x)为 f(x)的导函 数，则 f′(1)的值为____________． 解析：由题意得 f′(x)＝exln x＋ex·1x，则 f′(1)＝e. 答案：e
答案：x－y－1＝0
求切点的坐标的思路 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数， 再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标 代入函数解析式求出切点的纵坐标．
角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线 y＝aex＋xln x 在点(1，
ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则( )
处 的 导 数 ， 记 作 f′(x0) 或 Δl_xim→__0f_（__x_0＋__Δ__Δx_）_x_－__f_（__x．0）
y′|x ＝ x0 ， 即
f′(x0) ＝ Δlxim→0
Δy Δx
＝
[提醒] f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数 值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常量，其导数一定为 0， 即(f(x0))′＝0. (2)导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上 点 P(x0，y0)处的___切__线__的__斜__率__ (瞬时速度就是位移函数 s(t)对 时间 t 的导数)．相应地，切线方程为__y_－__y_0＝__f_′_(x_0_)_(x_－__x_0_)_． (3)函数 f(x)的导函数

谨记结论·谨防易错 (1)f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导 数，且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是 周期函数． (3)f1x′＝－f[′fxx]2. (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线 相切只有一个公共点．
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么

3.若函数f(x)=ln(2x-1),则f′(2)=
解析:f′(x)=
答案:



,因此 f′(2)=
-

.

×-
= .
4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数
解析:由于 f′(x)=
故 f′(1)=
答案:1

(+)

f(x)= .若
+
(+)-


(+)

,
= ,解得 a=1.


f′(1)= ,则 a=
.
5.(2021·全国甲卷)曲线 y=
解析:y′=(
-
在点(-1,-3)处的切线方程为
+
-
(+)-(-)

)′=
=

,所以
+
(+)
(+)
为 y+3=5(x+1),即 y=5x+2.
答案:y=5x+2
y′|x=-1=
的数.这样,当 x 变化时,y=f′(x)就是 x 的函数,我们称它为 y=f(x)的导函数(简称导
数).y=f(x)的导函数有时也记作 y′,即 f′(x)=y′=
(+)-()
.

→
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
f(x)=c(c为常数)
f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)
()
]′=
(g(x)≠0).

()
[()]
5.复合函数的导数
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函

7.(2009· 福建)若曲线 f(x)＝ax5＋ln x 存在垂直于 y 轴的切 线，则实数 a 的取值范围是(－∞，0).
1 解析 ∵f′(x)＝5ax ＋ ，x∈(0，＋∞)， x 1 4 ∴由题知 5ax ＋ ＝0 在(0，＋∞)上有解. x 1 即 a＝－ 5在(0，＋∞)上有解. 5x 1 ∵x∈(0，＋∞)，∴－ 5∈(－∞，0). 5x ∴a∈(－∞，0).
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f′(x)>0(或 f′(x)<0)解出在定义域内相应的 x 的范围； ③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其 次运用求导的方法来证明. (3)求可导函数的极值与最值 ①求可导函数极值的步骤 求导数 f′(x)→求方程 f′(x)＝0 的根→检验 f′(x)在方 程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则 f(x)在这 个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极 小值). ②求可导函数在［a，b］上的最值的步骤 求 f (x)在(a，b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、 f(b)的值和极值的大小.
第7讲
导
数
高考要点回扣
1.导数的概念及运算 (1)定义 f(x＋Δx)－f(x) Δy f ′(x)＝ lim ＝ lim . Δx Δx→0 Δx Δx→0 (2)几何意义 曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝ f′(x0)(其中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数).
解析 由条件知 g′(1)＝2， 又∵f′(x)＝［g(x)＋x2］′＝g′(x)＋2x， ∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
3.已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝(x＋1)2(x－1)(x－2)， 则函 数 f(x)的极值点的个数为 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ( B )

1 k a , 图所示.设直线f(x)=kx+1与曲线g(x)=ln x相切于点(a,b),则 b ln a, 解得 b ka 1,
k=e-2.∵对数函数g(x)=ln x的增长速度越来越慢,直线f(x)=kx+1过定点(0,
2 1 , 2 . 1),方程|ln x|=kx+1中取x=e 得k=2e ,∴实数k的取值范围是 3 e e
x
1
α-1
*
x
1 x ln a
f(x)=logax
x f '(x)= ( a>0且a≠1)
(a>0且a≠1)
f(x)=ln x f '(x)=
4.导数的运算法则
运算 和差 积 法则 [f(x)±g(x)]'= [f(x)· g(x)]'= = '
f (x) g(x)
2 2ln 2 = . 5
方法技巧
求切点坐标的方法 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先对函数求导,然后让导函 数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式 求出切点的纵坐标.
角度四 切线的应用
典例5 已知方程kx+1=|ln x|在(0,e3)上有三个不等的实根,则实数k的取 值范围是 答案
为1;若x0=2,则切线的斜率为4.
8 8 故所求的切线方程是y- =x-2或y- =4(x-2), 3 3
即3x-3y+2=0或12x-3y-16=0.
易错警示
“在某点的切线”与“过某点的切线”不同:“在某点的切线”问题, 该点一定在曲线上,而且一定是切点,求导后直接代入点的横坐标即可 求得切线的斜率;“过某点的切线”问题,该点不一定在曲线上,即使在 曲线上,该点也不一定是切点,这时可设切点坐标为(x0, f(x0)),求出切线的

C.若y=cos 5x,则y′=-sin 5x
D.若y=


xsin 2x,则y′=xsin 2x
)






解析:(1)对于 A,y=cos ,则 y′= sin ,故错误;
对于B,y=sin x2,则y′=2xcos x2,故正确;
对于C,y=cos 5x,则y′=-5sin 5x,故错误;
角度一
求切线方程
[例 2] (1)(2023·全国甲卷)曲线 y=
为(
)


A.y= x
B.y= x




C.y= x+
√





D.y= x+

+

在点(1, )处的切线方程

解析:(1)设曲线 y=
因为 y=





在点(1, )处的切线方程为 y- =k(x-1),
+
1.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正
负反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,
|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数
还是周期函数.
3.熟记以下结论:




(1)( )′=- ;
的三角形面积为(
A.

(+)

C.
√
( +)

)
B.
D.

+

+
解析:(2)设切点为(x0,y0),y′=1+

(4)sin
π3′＝
23′＝0.
(5)(2x)′＝2xln 2.
究函数的极
Ⅱ，11,22
求参数范围 运算求解
值、最值
综合性
逻辑推理 数学运算
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
利用导数研 2022新高考 究函数的单 比较大小
Ⅰ，7 调性
逻辑思维
数学运算
综合性
运算求解
逻辑推理
2022新高考 利用导数研
Ⅰ，22；
求 值 ； 研 究 不 逻辑思维
究函数的零
2021新高考
逻辑思维
综合性
数学运算 逻辑推理
2022新高考 导数的概念 由 切 线 条 数 求 运算求解 综合性 数学运算
Ⅰ，15 和运算 取值范围
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高考
Ⅰ，7； 导数的概念 求切线方程
2022新高考 和运算
运算求解 创新性 数学运算
Ⅱ，14
求解函数的单 2021新高考 利用导数证 调 性 、 极 值 点 逻辑思维
第一讲 导数的概念及运算
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数 y＝f(x)，把式子fxx22－－fx1x1称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，还可以表示为ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
2．导数的概念
导数及其应用
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2023新课标 利用导数研 讨 论 函 数 的 单
Ⅰ，19；
调 性 ； 由 单 调 逻辑思维 究函数的单

1
1
(7)(logax)′＝□11 _x_l_n_a__；(8)(ln x)′＝□12 __x____．
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5
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝□13 ________f_′__(x_)_±__g_′__(_x_)____． (2)[f(x)·g(x)]′＝□14 ______f_′(_x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′(_x_)_________． 特别地：[C·f(x)]′＝□15 ______C_f_′(_x_)______(C 为常数)． (3)gfxx′＝□16 __f_′___x_g__[xg_－_x_f_]2_x_g_′___x__(g_(_x_)_≠__0_)____．
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7
5．两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”：曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定 为切点． (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定 只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
fx0＋ΔΔxx－fx0．
(2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时，f′(x)即为 f(x)的导函数，简称导数， fx＋Δx－fx
即 y′＝f′(x)＝□02 _Δl_ix_m→_0 ______Δ_x______．
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3
2．导数的几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点□03 __P_(_x_0_，__f(_x_0_))____处
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(2)函数 f(x)在 x＝x0 处的导数
①定义：称函数
f(x) 在
x ＝ x0 处 的 瞬 时 变 化 率
lim
△x→0
Δy Δx
＝
___△lix_m→_0 _f_（__x_0＋__Δ __xΔ_）_x_－__f_（__x_0）____为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，记
作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝_△l_ixm→_0__f（__x_0_＋__Δ__xΔ_）_x_－__f（__x_0_）__．
f(x)＝ex
f′(x)＝__e_x _
f(x)＝logax f(x)＝ln x
1 f′(x)＝_x_l_n__a_ (a>0，且 a≠1)
1 f′(x)＝_x__
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(2)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝__f′_(x_)_g_(_x_)＋__f_(x_)_g_′(_x_)_； ③gf（（xx））′＝___f_′__（__x_）_g_（ __[gx_（）__x－_）_f_（]_2_x_）__g_′（__x_）___ (g(x)≠0)．
原函数 f(x)＝C(C 为常数)
导函数 f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝__α__x_α_－_1 __
f(x)＝sin x
f′(x)＝__c_o_s_x__
f(x)＝cos x
f′(x)＝__-_si_n__x__
f(x)＝ax
f′(x)＝_a_x_l_n_a_(_a_>_0_)_
何等有关知识的综
导数求切线的方程
＝x3，y＝，y＝的导数.