第八章 -λ矩阵§1 -λ矩阵设P 是数域，λ是一个文字，作多项式环][λP ，一个矩阵如果它的元素是λ的多项式，即][λP 的元素，就称为-λ矩阵.在这一章讨论-λ矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.因为数域P 中的数也是][λP 的元素，所以在-λ矩阵中也包括以数为元素的矩阵.为了与-λ矩阵相区别，把以数域P 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以下用Λ),(),(λλB A 等表示-λ矩阵.我们知道，][λP 中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义-λ矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个n n ⨯的-λ矩阵的行列式.一般地，-λ矩阵的行列式是λ的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质.定义1 如果-λ矩阵)(λA 中有一个)1(≥r r 级子式不为零，而所有1+r 级子式（如果有的话）全为零，则称)(λA 的秩为r .零矩阵的秩规定为零.定义 2 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 称为可逆的，如果有一个n n ⨯的-λ矩阵)(λB 使E A B B A ==)()()()(λλλλ, (1)这里E 是n 级单位矩阵.适合(1)的矩阵)(λB (它是唯一的)称为)(λA 的逆矩阵，记为)(1λ-A ..定理1 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 是可逆的充要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数.§2 -λ矩阵在初等变换下的标准形-λ矩阵也可以有初等变换定义3 下面的三种变换叫做-λ矩阵的初等变换：(1) 矩阵的两行（列）互换位置；(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c ；(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的)(λϕ倍，)(λϕ是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第j 行的)(λϕ倍加到第i 行上得行行列列j i j i P j i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11)(11))(.(O M O ΛO λϕϕ 仍用),(j i P 表示由单位矩阵经过第i 行第j 行互换位置所得的初等矩阵，用))((c i P 表示用非零常数c 乘单位矩阵第i 行所得的初等矩阵.同样地，对一个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 作一次初等变换就相当于在)(λA 的左边乘上相应s s ⨯的初等矩阵；对)(λA 作一次初等列变换就相当于)(λA 在的右边乘上相应的n n ⨯的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有))(,())(,(,))(())((,),(),(1111ϕϕ-===----j i P j i P c i P c i P j i P j i P .由此得出初等变换具有可逆性：设-λ矩阵)(λA 用初等变换变成)(λB ，这相当于对)(λA 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘)(λB 就变回)(λA ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由)(λB 可用初等变换变回)(λA .定义4 -λ矩阵)(λA 称为与)(λB 等价，如果可以经过一系列初等变换将)(λA 化为)(λB .等价是-λ矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (!) 反身性：每一个-λ矩阵与它自身等价.(2) 对称性：若)(λA 与)(λB 等价，则)(λB 与)(λA 等价.(3) 传递性：若)(λA 与)(λB 等价，)(λB 与)(λC 等价，则)(λA 与)(λC 等价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件为有一系列初等矩阵t l Q Q Q P P P ,,,,,,,2121ΛΛ，使t l Q Q Q B P P P A ΛΛ2121)()(λλ=. (2)这一节主要是证明任意一个-λ矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵. 引理 设-λ矩阵)(λA 的左上角元素0)(11≠λa ，并且)(λA 中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与)(λA 等价的矩阵)(λB ，它的左上角元素也不为零，但是次数比)(11λa 的次数低.定理2 任意一个非零的n s ⨯的-λ矩阵)(λA 都等价于下列形式的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00)()()(21O O λλλr d d d , 其中),,2,1)((,1r i d r i Λ=≥λ是首项系数为1的多项式，且)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i Λλλ.这个矩阵称为)(λA 的标准形.例 用初等变换化-λ矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++---=232211121)(λλλλλλλλλλλA 为标准形.§3 不 变 因 子现在来证明，-λ矩阵的标准形是唯一的.定义5 设-λ矩阵)(λA 的秩为r ，对于正整数,1,r k k ≤≤，)(λA 中必有非零的k 级子式. )(λA 中全部k 级子式的首项系数为1的最大公因式)(λk D 称为)(λA 的k 级行列式因子.由定义可知，对于秩为r 的-λ矩阵，行列式因子一共有r 个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.定理3 等价的-λ矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00)()()(21O O λλλr d d d (1) 其中)(,),(),(21λλλr d d d Λ是首项系数为1的多项式，且)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i Λλλ.不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个k 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k 级子式一定为零.因此，为了计算k 级行列式因子，只要看由k i i i ,,,21Λ行与k i i i ,,,21Λ列组成的k 级子式就行了，而这个k 级子式等于)(,),(),(21λλλk i i i d d d Λ显然，这种k 级子式的最大公因式就是)()()(21λλλk d d d Λ定理4 -λ矩阵的标准形是唯一的.证明 设(1)是)(λA 的标准形.由于)(λA 与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，)(λA 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r ;)(λA的k 级行列式因子就是),,2,1()()()()(21r k d d d D k k ΛΛ==λλλλ. (2)于是)()()(,,)()()(,)()(112211λλλλλλλλ-===r r r D D d D D d D d Λ. (3) 这就是)(λA 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被)(λA 的行列式因子所唯一决定的，所以)(λA 的标准形是唯一的.定义6 标准形的主对角线上非零元素)(,),(),(21λλλr d d d Λ称为-λ矩阵)(λA 的不变因子.定理5 两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.由(3)可以看出，在-λ矩阵的行列式因子之间，有关系式)1,,2,1()(|)(1-=+r k D D k k Λλλ. (4)在计算-λ矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了.例如，可逆矩阵的标准形.设)(λA 为一个n n ⨯可逆矩阵，由定理1知d A =|)(|λ,其中d 是一非零常数，这就是说1)(=λn D于是由(4)可知，),,2,1(1)(n k D k Λ==λ从而),,2,1(1)(n k d k Λ==λ因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵E .反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件是有一系列初等矩阵t l Q Q Q P P P ,,,,,,,2121ΛΛ，使t l Q Q Q B P P P A ΛΛ2121)()(λλ=特别是，当时E B =)(λ，就得到定理6 矩阵)(λA 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积. 推论 两个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件为，有一个s s ⨯可逆矩阵与一个n n ⨯可逆矩阵)(λQ ，使)()()()(λλλλQ A P B =.§4 矩阵相似的条件在求一个数字矩阵A 的特征值和特征向量时曾出现过-λ矩阵A E -λ,我们称它A 为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个n n ⨯数字矩阵A 和B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.引理1 如果有n n ⨯数字矩阵00,Q P 使00)(Q B E P A E -=-λλ, (1)则A 和B 相似.引理2 对于任何不为零的n n ⨯数字矩阵A 和-λ矩阵)(λU 与)(λV ，一定存在-λ矩阵)(λQ 与)(λR 以及数字矩阵0U 和0V 使0)()()(U Q A E U +-=λλλ, (2)0))(()(V A E R V +-=λλλ. (3)定理7 设A ，B 是数域P 上两个n n ⨯矩阵. A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.矩阵A 的特征矩阵A E -λ的不变因子以后简称为A 的不变因子.因为两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论 矩阵A 与B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子.应该指出，n n ⨯矩阵的特征矩阵的秩一定是n .因此，n n ⨯矩阵的不变因子总是有n 个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.§5 初等因子一、初等因子的概念定义7 把矩阵A （或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A (或线性变换A )的初等因子.例 设12级矩阵的不变因子是222229)1)(1()1(,)1()1(,)1(,1,,1,1++-+--λλλλλλ43421Λ个. 按定义，它的初等因子有7个，即22222)(,)(,)1(,)1(,)1(,)1(,)1(i i +-++---λλλλλλλ.其中2)1(-λ出现三次，1+λ出现二次.现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设n 级矩阵A 的不变因子)(,,)(,)(21λλλn d d d Λ为已知.将),,2,1)((n i d i Λ=λ分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：r k r k k d 11211)()()()(211λλλλλλλ---=Λ,r k r k k d 22221)()()()(212λλλλλλλ---=Λ,nr n n k r k k n d )()()()(2121λλλλλλλ---=ΛΛΛΛΛΛΛ,则其中对应于1≥ij k 的那些方幂)1()(≥-ij k j k ij λλ就是A 的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即)1,,2,1()(|)(1-=+n i d d i i Λλλ,从而),,2,1;1,,2,1()(|)(,1r j n i j i ij k j k j ΛΛ=-=--+λλλλ.因此在)(,,)(,)(21λλλn d d d Λ的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即),,2,1(21r j k k k nj j j ΛΛ=≤≤≤.这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在)(λn d 的分解中，方次次高的必定出现在)(1λ-n d 的分解中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.二、初等因子与不变因子的求法上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法.设一个n 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式),,2,1)((r j j Λ=-λλ的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足n 时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成n 个.设所得排列为),,2,1(,)(,,)(,)(1,1r j j j n nj kj k j k j ΛΛ=----λλλλλλ. 于是令 ),,2,1()()()()(2121n i d ir i i k r k k i ΛΛ=---=λλλλλλλ,则)(,,)(,)(21λλλn d d d Λ就是A 的不变因子.这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.综上所述，即得定理8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些.如果多项式)(,)(21λλf f 都与)(,)(21λλg g 互素，则.))(,)(())(,)(())()(),()((21212211λλλλλλλλg g f f g f g f ⋅=.引理 设)()(00)()()(2211λλλλλg f g f A =,)()(00)()()(2112λλλλλg f g f B =,如果多项式)(,)(21λλf f 都与)(,)(21λλg g 互素，则)(λA 和)(λB 等价.定理9 首先用初等变换化特征矩阵A E -λ为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A 的全部初等因子.§6 若尔当(Jordan)标准形的理论推导我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标准形的初等因子.不难算出若尔当块nn J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001000010001000λλλΛM M M M ΛΛΛ 的初等因子是n )(0λλ-.事实上，考虑它的特征矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-00001000010001000λλλλλλλΛM M M M ΛΛΛJ E显然n J E )(00λλλ-=-，这就是0J E -λ的n 级行列式因子.由于0J E -λ有一个1-n 级子式是100)1(100100001001--=------n ΛΛM MM M ΛΛλλλλ,所以它的1-n 级行列式因子是1，从而它以下各级的行列式因子全是1.因此它的不变因子n n n d d d )()(,1)()(011λλλλλ-====-Λ.由此即得，0J E -λ的初等因子是n )(0λλ-.再利用§5的定理9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s J J J J O21 是一个若尔当形矩阵，其中),,2,1(100010001000s i J ii k k i i ii ΛΛM M M M ΛΛΛ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯λλλ. 既然i J 的初等因子是),,2,1()(s i i k i Λ=-λλ，所以i J E -λ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-i k i )(11λλO 等价.于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-s k k k J E J E J E J E s λλλλO2121 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---s k s k k )(11)(11)(112121λλλλλλOOO 等价.因此，J 的全部初等因子是：s k s k k )(,,)(,)(2121λλλλλλ---Λ.这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数n 与主对角线上元素0λ所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子n )(0λλ-中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定.定理10 每个n 级的复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.例1 §5的例中，12级矩阵的若尔当标准形就是1212101011110111011101⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----i i i i 例2 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A的若尔当标准形.定理10换成线性变换的语言来说就是：定理11 设A 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A 唯一决定的.应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得定理12 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是A 的初等因子全为一次的.根据若尔当形的作法，可以看出矩阵A 的最小多项式就是A 的最后一个不变因子.因此有定理13 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是A 的不变因子都没有重根.虽然我们证明了每个复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体求矩阵A 的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵T ，使AT T 1-成若尔当标准形的问题. T 的确定牵涉到比较复杂的计算问题.最后指出，如果规定上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000100000100001λλλλΛΛM M M M M ΛΛ为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理10，定理11的结论也成立.§7 矩阵的有理标准形前一节中证明了复数域上任一矩阵A 可相似于一个若尔当形矩阵.这一节将对任意数域P 来讨论类似的问题.我们证明了P 上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.定义8 对数域P 上的一个多项式n n n a a d +++=-Λ11)(λλλ称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=--12110010001000a a a a A n n n ΛM M M M ΛΛΛ (1)为多项式)(λd 的伴侣阵.容易证明，A 的不变因子(即A E -λ的不变因子)是)(,1,,1,11λd n 43421Λ个-.（见习题3）定义9 下列准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A O21, (2) 其中i A 分别是数域P 上某些多项式),,2,1()(s i d i Λ=λ的伴侣阵，且满足)(||)(|)(21λλλs d d d Λ，A 就称为P 上的一个有理标准形矩阵.引理 (2)中矩阵A 的不变因子为)(,,)(,)(,1,,1,121λλλs d d d ΛΛ，其中1的个数等于)(,,)(,)(21λλλs d d d Λ的次数之和n 减去s .定理14 数域P 上n n ⨯方阵A 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A 的有理标准形.把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为定理15 设A 是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中存在一组基，使A 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A 唯一决定的，称为A 的有理标准形.例 设33⨯矩阵A 的初等因子为)1(,)1(2--λλ，则它的不变因子是1，2)1(,)1(--λλ，它的有理标准形为.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210100001.第八章 -λ矩阵(小结)一、基本概念-λ矩阵，可逆的-λ矩阵，秩；-λ矩阵的初等变换及标准形，-λ矩阵的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形.二、主要结论1. 一个n n ⨯的-λ矩阵)(λA 是可逆的充要条件为行列式|)(|λA 是一个非零的数.2. 任意一个非零的n s ⨯的-λ矩阵)(λA 都等价于其唯一的标准形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00)()()(21O O λλλr d d d , 其中),,2,1)((,1r i d r i Λ=≥λ是首项系数为1的多项式，且)1,,2,1()(|)(1-=+r i d d i i Λλλ.3. 两个-λ矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.4. 矩阵)(λA 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.5. 两个n s ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件为，有一个s s ⨯可逆矩阵与一个n n ⨯可逆矩阵)(λQ ，使)()()()(λλλλQ A P B =.6. 设A ，B 是数域P 上两个n n ⨯矩阵. A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价.7. 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.8. 首先用初等变换化特征矩阵A E -λ为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A的全部初等因子.9. 每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.10. 设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.11. 复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的(或A的不变因子都没有重根).12. 数域P上nn 方阵A在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A的有理标准形.13. 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A 的有理标准形.。
