若尔当标准形介绍

矩阵的若尔当标准型及简单应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。

矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。

每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。

对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。

本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。

关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ1000..................00 (1000)...0100 (00)，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k B B B 0021这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i =证： 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值，kr r r ,...,,21是正整数。

又iV =kerVi r i ∈=-ξλσ{)(｜)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块。

由特征多项式求若尔当标准型的技术报告一、引言若尔当标准型是一种线性变换的重要性质，它在矩阵理论、线性代数和微分方程等领域有着广泛的应用。

对于给定的矩阵，我们可以通过特征多项式来求解其若尔当标准型。

本文将详细介绍这一过程。

二、特征多项式特征多项式是矩阵的特征值与特征向量之间的关系的一种表达方式。

对于给定的矩阵A，其特征多项式定义为：f(λ) = det(A - λI)，其中I是单位矩阵。

特征多项式可以帮助我们找到矩阵的特征值和特征向量。

三、求若尔当标准型1.找到矩阵的特征值和特征向量。

根据特征多项式的定义，我们可以求解出矩阵的特征值和对应的特征向量。

2.将特征向量正交化。

为了得到正交化的特征向量，我们需要将特征向量进行正交化处理。

这一步可以通过施密特正交化方法实现。

3.构建若尔当标准型。

根据正交化的特征向量，我们可以构建出矩阵的若尔当标准型。

若尔当标准型是一种特殊的标准型，它的形式是J= diag(j_1,j_2, ..., j_n)，其中j_i是矩阵的特征值。

四、实例分析为了更好地理解这一过程，我们可以通过一个具体的例子进行分析。

假设有一个2x2的矩阵A，其特征多项式为f(λ) = (λ - 1)^2 - 1。

首先，我们可以通过求解特征多项式得到矩阵的特征值和对应的特征向量。

然后，我们将特征向量进行正交化处理，得到正交化的特征向量。

最后，我们根据正交化的特征向量构建出矩阵的若尔当标准型。

五、结论通过特征多项式求解若尔当标准型是一种有效的方法，可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和结构。

在实际应用中，我们可以利用这一方法对矩阵进行分析和处理，从而解决各种实际问题。

若尔当标准型例：求矩阵的若尔当标准型。

STEP1：求的初等因子注:定理陈述了矩阵的特征矩阵()可以通过初等变换转化为上述标准型，称为矩阵的标准型。

初等因子:矩阵标准对角线上的次数大于0且第一项是1的一次幂。

本例题中，初等因子为，。

注:以上两个初等因子虽然有相同的特征值，但代表两个不同的Jordan块。

STEP2：写出每个初等因子对应的若尔当块初等因子对应的特征值是对应Jordan块的对角元素，初等因子的阶是对应Jordan块的阶。

对应的若尔当块为：；对应的若尔当块为：若尔当标准型 4和的顺序可以改变，但一般是按初等因子的顺序。

方法二：求特征值法例：求矩阵的若尔当标准型。

STEP1：求矩阵的特征值令，解得；STEP2：求每个特征值的几何重数（相同特征值求一次即可）几何重数：代表该特征值对应的若尔当块的个数；几何重数=特征矩阵的列数-rank(特征矩阵)。

本题中：对应的几何重数==3-1=2。

STEP3：求每个特征值对应的若尔当块的最大阶数设每个特征值对应的Jordan块的最大阶为，并且是成立的最小正整数。

引用本题中，由于为零矩阵，所以k=2，即对应的若尔当块的最大阶数为2，所以有两个若尔当块，一个一阶的，一个二阶的，即：若尔当标准型 9与的顺序可以变。

方法三：求Q矩阵（特征值均互异可用）STEP1：求矩阵的特征值STEP2：求矩阵的特征值对应的特征向量p1,p2,p3STEP3：由特征向量组成Q矩阵STEP4：求JJ=Q-1*A*Q参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2013:342-348.。

mathematica 求若尔当标准型若尔当标准型（Jordan Canonical Form）是线性代数中的一个重要概念，用于描述一个线性变换在一组合适的基下的矩阵形式。

Mathematica是一种强大的数学软件，可以用来计算和处理线性代数相关的问题，包括求解若尔当标准型。

下面是一个详细的步骤，使用Mathematica求解若尔当标准型的示例：1. 首先，打开Mathematica软件并创建一个新的笔记本文件。

2. 定义一个矩阵A，表示线性变换的矩阵形式。

可以使用MatrixForm函数将矩阵以可视化的方式显示出来。

例如，可以使用以下代码定义一个3x3的矩阵A：A = {{2, 1, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 3}};MatrixForm[A]3. 使用JordanDecomposition函数对矩阵A进行若尔当标准型的分解。

该函数的输入参数是一个矩阵，返回值是一个包含两个元素的列表，第一个元素是若尔当标准型矩阵，第二个元素是相应的变换矩阵。

可以使用以下代码进行计算：{J, P} = JordanDecomposition[A];4. 使用MatrixForm函数将计算得到的若尔当标准型矩阵J和变换矩阵P以可视化的方式显示出来。

例如，可以使用以下代码显示J和P：MatrixForm[J]MatrixForm[P]5. 运行代码，Mathematica将计算并显示矩阵A的若尔当标准型矩阵J和变换矩阵P。

以上是使用Mathematica求解若尔当标准型的基本步骤。

需要注意的是，Mathematica还提供了许多其他函数和工具，用于处理线性代数问题，如求解特征值和特征向量等。

可以根据具体的问题和需求，灵活运用这些功能来完成更复杂的计算任务。

矩阵的若尔当标准型及简单应用矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。

矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。

每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。

对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。

主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P 的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。

关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：????1?0??...?0?00??0??...00??.... ........?001???，其中主对角上0...00...0?1...0设?是一个复数，矩阵的元素都是?，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的?一个若尔当.当?=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设?是n维向量空间V的一个线性变换，?1,?2,...,?k都是?的一切互不相同特征值，那么存在V的一个基，?关于这个基的矩阵有形式?B1?????0?B20??????Bk???Ji1?????0?Ji2这里Bi=0??????Jisi??，而Ji1,Ji2,...,Jisi都是属于?i的若尔当块，i?1,2,...,k. r1rkP(x)?(x??)...(x??)?1k证：设的最小多项式是，而P(x)在复数域上是不可约的因式分解，这里?1,?2,...,?k是互不相同的特征值，r1,r2,...,rk是正整数。

ririV(???)?{??V(???)??0 }，i?1,2,...,k,所以空间iii又=ker｜V有直和分解V=V1?...?Vk. 1 对于每一i，令?i是?—?i在Vi上的限制，那么?i 是子空间Vi的一个幂零线性变换，而子空间Vi可以分解为?i一循环子空间的直和：Vi?Wi1?...?Wisi. 在每一循环子空间Wij?(j?1,2,...si)里，取一个循环基，凑成Vi的?Ni1??Ni????0??i一个基，那么关于这个基的矩阵有形状Ni20??????Nisi?? 这里Nij(j?1,2,...,si)是幂零若尔当块。

若尔当标准形的研究中文摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。

矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用。

每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。

对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。

本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若尔当标准形的几种求解方法，对若尔当标准形进行探讨。

关键字：若尔当标准形、相似矩阵、初等因子、循环向量目录目录 (2)第一章：绪论 (1)第二章：若尔当标准形 (2)2.1若尔当标准形的定义 (2)2.2矩阵最小多项式 (3)2.3定理的证明 (6)本章小结： (10)3.1利用初等因子求矩阵的若尔当标准型 (11)3.2利用矩阵的秩 (13)3.3用循环向量法求若尔当形 (17)本章小结： (19)第四章若尔当标准形的应用 (20)4.1可逆矩阵P的求法 (20)4.2常系数齐次线性微分方程的解 (24)本章小结： (27)结论： (28)参考文献： (30)致谢： (29)第一章：绪论矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。

矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用，因此矩阵的若尔当标准形和过度矩阵的研究成为一个重要的研究课题。

在线性代数中，若尔当标准型（或称若尔当正规型）是矩阵的一类。

若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域的方块矩阵如果特征值都在中，那么必然和某个若尔当标准型相似。

或者说，如果一个线性空间上的自同态特征值都在系数域中，那么它可以在某个基底下表示成若尔当标准型。

若尔当标准型几乎是对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方的对角线外系数都是零。

第一章：绪论（2）第二章: 若尔当典范性的定义（3）定义：上三角矩阵000000()000000def k c c J c c c ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 称为若尔当块（jordan block ）。

由若尔当块构成的对角矩阵112233()0000()0000()00000()k k k ks s J J J J λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为若尔当矩阵。

引理1：如果存在数字矩阵,()n P Q M K ∈使得对矩阵A 与B 的特征矩阵有：()E A P E B Q λλ-=-则矩阵A 与B 相似。

定理1：任意的复数域矩阵()n A M c ∈都与一个若尔当矩阵相似，这个若尔当矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，被矩阵A 唯一确定，称为矩阵A 的若尔当典范型。

证明：如果矩阵A 的初等因子组是()11k λλ-，()22k λλ-，……，()kss λλ-则若尔当矩阵112233()0000()0000()00000()k k k ks s J J J J λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭有同样的初等因子组，因此A 与J 相似，如果A 又与另一个若尔当矩阵1J 相似，则J 与1J 有相同的初等因子组，因而有相同的若尔当块，它们之间的差别只是块的排列次序不同。

例1.求矩阵131614676687A ⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦的若尔当典范型。

解：先求A 的初等因子，然后由初等因子写出A 的若尔当标准形。

1316141214676016687117E A λλλλλλλλλ-+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-+-−−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+---++⎣⎦⎣⎦()()212141016100711λλλλλ⎡⎤+--⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→+−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+-⎢⎥⎣⎦ 其中最后一步又行列式因子而得到。

从而A 的初等因子为()1λ-，()21λ+， 它们所对应的若尔当块分别为1(1)J =与211()01J -=- 所以A 的若尔当典范形为100011001J ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第二章：矩阵最小多项式第二章：矩阵相似的条件（3）第三章：初等因子（3）第三章:可逆矩阵P 的算法（3）由定理1可知，对于任意n nA C⨯∈，存在可逆矩阵n nP C⨯∈，满足1P AP J -=。

求矩阵的若尔当标准型例题矩阵的若尔当标准型是指一个矩阵经过有限次初等行变换和初等列变换，化为一个标准型矩阵。

若尔当标准型有若干种，其中最常用的是若尔当型和双角型。

以下是一个求矩阵的若尔当标准型的例题：给定矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$，求其若尔当标准型。

首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将其化为上三角矩阵。

通过交换第1行和第3行，得到新矩阵$B = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$。

接下来，对矩阵$B$进行初等列变换，将其化为标准型矩阵。

将第2列乘以$-2$加到第1列，得到新矩阵$C = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 0 & -3 \end{bmatrix}$。

再将第2列乘以$-4$加到第3列，得到新矩阵$D = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & -9 \end{bmatrix}$。

最后，对矩阵$D$进行初等行变换，将其化为双角型矩阵。

将第1行加到第2行，得到标准型矩阵$E = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 3 \\ 0 & 10 & -2 \\ 0 & 0 & -9 \end{bmatrix}$。

因此，矩阵$A$的若尔当标准型为$E$。

1。

若尔当标准型摩的分解定理若尔当标准型摩的分解定理是指，如果一个标准型摩为若尔当标准型摩（RU），那么它可以被分解成若尔当标准型摩和另外两个标准型摩。

这条定理表明了若尔当标准型摩可以通过若尔当标准型摩与其他两个标准型摩相互作用来构造出新的标准型摩。

例如，如果我们有一个标准型摩RU，它由若干个标准型摩构成：1.标准型摩R，其中R是一个固定不变的标准型摩；2.标准型摩S，其中S是一个随机选择的标准型摩；3.标准型摩T，其中T是一个随机选择的标准型摩；4.标准型摩U，其中U是一个随机选择的标准型摩；5.标准型摩W，其中W是一个随机选择的标准型摩；6.标准型摩X，其中X是一个随机选择的标准型摩。

下面我们假设这些标准型摩都已经知道了各自的概率分布，并且每个标准型摩都有一个独立的期望值和方差。

我们现在要求若尔当标准型摩的分解定理，即求出若尔当标准型摩的分解公式。

首先，我们需要找到一种算法来确定若尔当标准型摩的分解公式。

这里，我们使用了若尔当标准型摩的期望值和方差来计算分解公式。

我们将给定的标准型摩看做是一组点集，它们满足若尔当标准型摩的分解定理。

然后，我们从这些点集中随机选取一个点，称之为“源”。

接着，我们考虑所有的点的期望值和方差，并根据这些数据来确定分解公式。

我们假设有一个初始状态，包括源、点集和分解公式。

接着，我们对这个初始状态进行迭代运算，直到达到目标状态为止。

最终，我们得到了若尔当标准型摩的分解公式。

注意，上述步骤只适用于标准型摩为若尔当标准型摩的情况。

对于其他类型的标准型摩，比如标准型摩为标准型摩的情况，则无法按照上述方法来获得分解公式。