第5讲-三阶Jordan标准型计算

关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中一个非常重要的概念，特别是在代数学和线性代数中经常会涉及到。

它的概念和性质在数学教学中有着非常重要的地位，因此本文将对Jordan标准形进行教学探讨，包括其基本概念、性质和相关的教学方法。

一、Jordan标准形的基本概念Jordan标准形是线性代数中对于方阵进行相似对角化的一种形式，它的基本定义是：如果一个矩阵A的特征多项式可分解成线性因子的乘积，即\[|A - \lambda I| = ( \lambda_1 - \lambda)^{m_1}( \lambda_2 -\lambda)^{m_2} ...( \lambda_k - \lambda)^{m_k},\]其中每个\( \lambda_i\)是A的不同特征根，而\(m_i\)是对应的特征根\( \lambda_i\)的重数。

那么A就可以相似对角化成Jordan标准形。

具体来说，一个n阶方阵A相似对角化成Jordan标准形的表示为：\[P^{-1}AP = J,\]其中P是可逆矩阵，J是Jordan标准形，它的形式为：\[J = \begin{pmatrix}J_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & J_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & J_k\end{pmatrix},\]其中每个J_i是形如下面的Jordan块：\[J_i = \begin{pmatrix}\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\0 & 0 & \lambda_i & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_i\end{pmatrix},\]特别地，如果\(m_i = 1\)，那么对应的Jordan块就是一个\(1 \times 1\)的矩阵，即只有一个特征值。

求矩阵的Jordan 标准形的两种方法方法1. 利用矩阵的初等因子原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.例. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.解: 方法1..)1(00010001120011000123101100014111102310411316212222)1(232132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为.11001000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J JJ 方法2.(1) 首先求A 的特征值.3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1.(2) 求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解:.000000311311311622⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-A E相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .可见131,V ∈ββ, 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足. 所以求解线性方程组 )()(132211V k k X E A ∈=+=-βαα. (*) 该方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---=-==0000000031126223113113113113622212121k k k k k k k k B k k k 取. 由于我们想要求一个向量122113V k k ∈+=ααβ使得线性方程组(*)有解, 所以可取任何使得该方程组有解的k 1,k 2. 我们取了k 1=k 2=k. 事实上, 还可以直接取k 1=k 2=k=1. 即)1,1,2(213=+=ααβ, 这样就得到了(*)的解=2β(1,0,0). 再取)0,1,1(11-==αβ. 于是我们有:11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .即.110010001),,(),,(321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββββββA A A令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100101211),,(321βββT ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-211110010001J J J AT T .。

第五讲 对角化与Jordan 标准形一、正规矩阵1. 实对称矩阵与厄米矩阵实对称矩阵：实矩阵A T A A = 厄米矩阵：复矩阵A H A A = 实反对称矩阵：实矩阵A T A A =- 反厄米矩阵：复矩阵A H A A =- 2. 正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵A T T A A AA I == （1T A A -=） 酉矩阵：复矩阵A H H A A AA I == （1H A A -=） 3. 正交相似变换和酉相似变换P 为正交矩阵，A 为实矩阵，1P AP -为对A 的正交相似变换； P 为酉矩阵，A 为复矩阵，1P AP -为对A 的酉相似变换。

4. 正规矩阵实矩阵A ，若满足T T A A AA =，则A 为实正规矩阵； 复矩阵A ，若满足H H A A AA =，则A 为复正规矩阵。

显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。

5. 相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。

11det(I P AP)det[P (I A)P]--λ-=λ-11det(P )det(I A)det(P)det(P )det(P)det(I A)det(I A)--=λ-=λ-=λ-（det(AB)det(A)det(B)=）二、酉对角化1. Schur 引理：设数12n ,,,λλλL 是n 阶方阵A 的特征值，则存在酉矩阵U ，使121n U AU 0-λ*⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦O[证明] 设1x 是A 的属于特征值1λ的特征向量，即111Ax x =λ，111x u x =，并由其扩充为一组标准正交向量12n u ,u ,,u L H ij 0i ju u 1i j≠⎧=⎨=⎩ 令[]012n U u u u =L，0U 为酉矩阵[]HH H H 111121n H H H H H221222n 0012n n H H H Hn n 1n 2n n u u u u u u u u u u u u u u U U u u u I u u u u u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L LM M M O M L对A 进行酉相似变换：[]()H 1H HH 20012n i jn nH n u u U AU A u u u u Au u ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦LM第一列：H H H i1i111i11i 1u Au u u u u i 1≠⎧=λ=λ=⎨λ=⎩()1H001(n1)(n1)U AUA-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M()[]HH H2222nH3123n(n1)(n1)H Hn2n nHnuu u u uuA A u u uu u u uu-⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦LL M O MML相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于1A，其特征值为2n,,λλL，与上相同，可得一个酉矩阵1U，使得()2H1112(n2)(n2)U A UA-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M依次类推，分别可找到酉矩阵23n2U,U,,U-L使()3H2223(n3)(n3)U A UA-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Mn1Hn2n2n2nU A U----λ*⎡⎤=⎢⎥λ⎣⎦令2n212n210I0I0U U0U0U0U--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LU是酉矩阵，HU U I=HU AU?=n 2n 2H H 00H H n 211n 2I 01010I 0U AU U AU 0U 0U 0U 0U ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L 1H 001U AU 0A λ*⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1112H H 1111112**10100*0U 0A 0U 0U A U 0A λ⎡⎤λ*λ*⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==λ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦12H n *U AU 0λ⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦O[得证]什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？2. 定理：n 阶方阵A ，酉相似于对角阵的充要条件是：A 为正规阵（实或复）。

求jordan标准型的步骤要求Jordan标准型的步骤如下：1. 给定一个矩阵A。

2. 计算A的特征多项式f(λ)。

3. 解特征多项式f(λ) = 0，找到A的特征值λ1, λ2, ..., λn。

4. 对于每一个特征值λi，计算特征值λi的几何重数g(λi)和代数重数d(λi)。

5. 对于每一个特征值λi，计算A - λiI的秩r(A - λiI)。

6. 计算若干个线性无关的特征向量v1, v2, ..., vm，其中m为A 的秩。

7. 令P = [v1 v2 ... vm]，得到一个由特征向量组成的矩阵P。

8. 计算P的逆矩阵P^-1。

9. 计算对角矩阵D，其中D = P^-1 * A * P。

10. 如果D是一个Jordan标准型矩阵，则停止；否则，继续进行以下步骤。

11. 对于每一个特征值λi，计算A - λiI的秩r(A - λiI)。

12. 找到A - λiI的所有零空间N(A - λiI)的非零向量。

13. 对于每一个非零向量x，找到一个满足(A - λiI) * x = y的向量y。

14. 如果y不是零向量，则y是一个Jordan块的向量。

将y加到矩阵P的最右边，并将y除以λi，并将结果加到矩阵P的最下面。

15. 重复步骤13和14，直到找到所有的Jordan块。

16. 令P = [v1 v2 ... vm]，其中v1, v2, ..., vm为矩阵P的列向量。

17. 计算P的逆矩阵P^-1。

18. 计算对角矩阵D，其中D = P^-1 * A * P。

19. 如果D是一个Jordan标准型矩阵，则停止；否则，返回步骤11。

20. 输出矩阵D，这即是A的Jordan标准型矩阵。