第5讲-三阶Jordan标准型计算

关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中一个非常重要的概念，特别是在代数学和线性代数中经常会涉及到。

它的概念和性质在数学教学中有着非常重要的地位，因此本文将对Jordan标准形进行教学探讨，包括其基本概念、性质和相关的教学方法。

一、Jordan标准形的基本概念Jordan标准形是线性代数中对于方阵进行相似对角化的一种形式，它的基本定义是：如果一个矩阵A的特征多项式可分解成线性因子的乘积，即\[|A - \lambda I| = ( \lambda_1 - \lambda)^{m_1}( \lambda_2 -\lambda)^{m_2} ...( \lambda_k - \lambda)^{m_k},\]其中每个\( \lambda_i\)是A的不同特征根，而\(m_i\)是对应的特征根\( \lambda_i\)的重数。

那么A就可以相似对角化成Jordan标准形。

具体来说，一个n阶方阵A相似对角化成Jordan标准形的表示为：\[P^{-1}AP = J,\]其中P是可逆矩阵，J是Jordan标准形，它的形式为：\[J = \begin{pmatrix}J_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & J_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & J_k\end{pmatrix},\]其中每个J_i是形如下面的Jordan块：\[J_i = \begin{pmatrix}\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\0 & 0 & \lambda_i & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_i\end{pmatrix},\]特别地，如果\(m_i = 1\)，那么对应的Jordan块就是一个\(1 \times 1\)的矩阵，即只有一个特征值。

求矩阵的Jordan 标准形的两种方法方法1. 利用矩阵的初等因子原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.例. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.解: 方法1..)1(00010001120011000123101100014111102310411316212222)1(232132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为.11001000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J JJ 方法2.(1) 首先求A 的特征值.3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1.(2) 求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解:.000000311311311622⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-A E相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .可见131,V ∈ββ, 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足. 所以求解线性方程组 )()(132211V k k X E A ∈=+=-βαα. (*) 该方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---=-==0000000031126223113113113113622212121k k k k k k k k B k k k 取. 由于我们想要求一个向量122113V k k ∈+=ααβ使得线性方程组(*)有解, 所以可取任何使得该方程组有解的k 1,k 2. 我们取了k 1=k 2=k. 事实上, 还可以直接取k 1=k 2=k=1. 即)1,1,2(213=+=ααβ, 这样就得到了(*)的解=2β(1,0,0). 再取)0,1,1(11-==αβ. 于是我们有:11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .即.110010001),,(),,(321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββββββA A A令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==100101211),,(321βββT ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-211110010001J J J AT T .。

第五讲 对角化与Jordan 标准形一、正规矩阵1. 实对称矩阵与厄米矩阵实对称矩阵：实矩阵A T A A = 厄米矩阵：复矩阵A H A A = 实反对称矩阵：实矩阵A T A A =- 反厄米矩阵：复矩阵A H A A =- 2. 正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵A T T A A AA I == （1T A A -=） 酉矩阵：复矩阵A H H A A AA I == （1H A A -=） 3. 正交相似变换和酉相似变换P 为正交矩阵，A 为实矩阵，1P AP -为对A 的正交相似变换； P 为酉矩阵，A 为复矩阵，1P AP -为对A 的酉相似变换。

4. 正规矩阵实矩阵A ，若满足T T A A AA =，则A 为实正规矩阵； 复矩阵A ，若满足H H A A AA =，则A 为复正规矩阵。

显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。

5. 相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。

11det(I P AP)det[P (I A)P]--λ-=λ-11det(P )det(I A)det(P)det(P )det(P)det(I A)det(I A)--=λ-=λ-=λ-（det(AB)det(A)det(B)=）二、酉对角化1. Schur 引理：设数12n ,,,λλλL 是n 阶方阵A 的特征值，则存在酉矩阵U ，使121n U AU 0-λ*⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦O[证明] 设1x 是A 的属于特征值1λ的特征向量，即111Ax x =λ，111x u x =，并由其扩充为一组标准正交向量12n u ,u ,,u L H ij 0i ju u 1i j≠⎧=⎨=⎩ 令[]012n U u u u =L，0U 为酉矩阵[]HH H H 111121n H H H H H221222n 0012n n H H H Hn n 1n 2n n u u u u u u u u u u u u u u U U u u u I u u u u u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L LM M M O M L对A 进行酉相似变换：[]()H 1H HH 20012n i jn nH n u u U AU A u u u u Au u ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦LM第一列：H H H i1i111i11i 1u Au u u u u i 1≠⎧=λ=λ=⎨λ=⎩()1H001(n1)(n1)U AUA-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M()[]HH H2222nH3123n(n1)(n1)H Hn2n nHnuu u u uuA A u u uu u u uu-⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦LL M O MML相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于1A，其特征值为2n,,λλL，与上相同，可得一个酉矩阵1U，使得()2H1112(n2)(n2)U A UA-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M依次类推，分别可找到酉矩阵23n2U,U,,U-L使()3H2223(n3)(n3)U A UA-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Mn1Hn2n2n2nU A U----λ*⎡⎤=⎢⎥λ⎣⎦令2n212n210I0I0U U0U0U0U--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LU是酉矩阵，HU U I=HU AU?=n 2n 2H H 00H H n 211n 2I 01010I 0U AU U AU 0U 0U 0U 0U ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L 1H 001U AU 0A λ*⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1112H H 1111112**10100*0U 0A 0U 0U A U 0A λ⎡⎤λ*λ*⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==λ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦12H n *U AU 0λ⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦O[得证]什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？2. 定理：n 阶方阵A ，酉相似于对角阵的充要条件是：A 为正规阵（实或复）。

求jordan标准型的步骤要求Jordan标准型的步骤如下：1. 给定一个矩阵A。

2. 计算A的特征多项式f(λ)。

3. 解特征多项式f(λ) = 0，找到A的特征值λ1, λ2, ..., λn。

4. 对于每一个特征值λi，计算特征值λi的几何重数g(λi)和代数重数d(λi)。

5. 对于每一个特征值λi，计算A - λiI的秩r(A - λiI)。

6. 计算若干个线性无关的特征向量v1, v2, ..., vm，其中m为A 的秩。

7. 令P = [v1 v2 ... vm]，得到一个由特征向量组成的矩阵P。

8. 计算P的逆矩阵P^-1。

9. 计算对角矩阵D，其中D = P^-1 * A * P。

10. 如果D是一个Jordan标准型矩阵，则停止；否则，继续进行以下步骤。

11. 对于每一个特征值λi，计算A - λiI的秩r(A - λiI)。

12. 找到A - λiI的所有零空间N(A - λiI)的非零向量。

13. 对于每一个非零向量x，找到一个满足(A - λiI) * x = y的向量y。

14. 如果y不是零向量，则y是一个Jordan块的向量。

将y加到矩阵P的最右边，并将y除以λi，并将结果加到矩阵P的最下面。

15. 重复步骤13和14，直到找到所有的Jordan块。

16. 令P = [v1 v2 ... vm]，其中v1, v2, ..., vm为矩阵P的列向量。

17. 计算P的逆矩阵P^-1。

18. 计算对角矩阵D，其中D = P^-1 * A * P。

19. 如果D是一个Jordan标准型矩阵，则停止；否则，返回步骤11。

20. 输出矩阵D，这即是A的Jordan标准型矩阵。

Jordan标准型和Jordan块是线性代数中的重要概念，它们在矩阵理论和特征值分解中起着关键的作用。

在本文中，我们将讨论Jordan标准型中Jordan块的阶数和个数的确定方法。

1. Jordan标准型简介Jordan标准型是一个对角矩阵，它是一个矩阵相似于一个特定形式的矩阵，形式为分块对角，每个对角块都是Jordan块。

对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶非奇异矩阵P，使得P^-1AP为Jordan标准形式，那么P的列向量就是A的一个Jordan基。

2. Jordan块的定义对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶向量空间V和一个向量v∈V，使得A(v)=λv，A(v_i)=λv_i+v_i-1(i=2,...， n)，v_1=v，那么由向量v_i组成的矩阵：\begin{bmatrix} λ & 1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & λ & 1 & 0 & ... \\ 0 &0 & λ & 1 & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & λ\end{bmatrix}就是A的一个Jordan块。

3. Jordan块的阶数和个数的确定对于一个矩阵A的Jordan标准型，Jordan块的阶数和个数可以通过以下步骤确定：3.1 计算A的特征值和几何重数。

对于A的特征值λ，其几何重数为m，即A的特征值λ的重数。

3.2 确定每个特征值对应的Jordan块的个数和阶数。

对于每个特征值λ，其对应的Jordan块的个数和阶数可以通过以下步骤确定：- 计算A-λI的秩r。

- 判断r和m的大小关系：- 如果r=m，即A-λI的秩等于λ的几何重数，那么λ对应的Jordan 块的个数为1，阶数为r；- 如果r<m，即A-λI的秩小于λ的几何重数，那么λ对应的Jordan 块的个数为n-r，阶数为r；- 如果r=m-1，即A-λI的秩等于λ的几何重数减1，那么λ对应的Jordan块的个数为2，阶数为r。

特征根(按重数计Jordan 标准形定理 每个n 阶复数矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似：121;00s J J P AP J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭除了Jordan 块的排列次序可以改变外，Jordan 矩阵J 是唯一的， 称它为A 的Jordan 标准形.注意 A 的Jordan 标准形J 的主对角元就是A 的全部 例1 求矩阵2111213211011122 A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪----⎝⎭的Jordan 标准形J .解 求出A 的特征多项式()31I A λλλ-=+，全体特征值为 0,1,1,1 ---.若A 与相似于Jordan 标准形J ： A ∽J ，则它们有相同的特征值，从而有0111J ⎛⎫ ⎪-* ⎪= ⎪-* ⎪-⎝⎭其中的*等于1或0.特别注意 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 由相似关系A I+∽100J I ⎛⎫⎪*⎪+= ⎪* ⎪⎝⎭可得秩数1111232()()21111121 2 1 r J I r A I rank ----⎛⎫ ⎪ ⎪+=+== ⎪ ⎪----⎝⎭可知J I +中的2个*只有一个等于1，另一个为0，因此011101J ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭或010111J ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭这两个J 本质上是相同的(都含有3个Jordan 块)，只是Jordan 块的排列次序不同.注意 如果两个Jordan 矩阵只是Jordan 块的次序不同，则认为它们本质上相同. 在这个意义上，本题中的J 由A 唯一决定.可写A∽01111 J ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭.另外，可找到一个可逆阵1011310010102101P -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭使得01111AP P PJ ⎛⎫⎪- ⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭即1P AP J-=.例2 设 110430102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1)求Jordan 标准形J ，并判断A 可否对角化；(2)求相似变换阵P ，使1P AP J -=.解 A 的特征多项式为：2||(2)(1)I A λλλ-=--,特征值为2,1,1 .所以A∽ 200011001J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注意， 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 由于J 含有2阶Jordan 块，可知A 不能对角化.令123(,,)P X X X =，(1,2,3)i X i =为列向量，则 AP=PJ ，即123123200(,,)(,,)011001A X X X X X X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即 11223232,,AX X AX X AX X X ===+.所以1X 为A 的关于2λ=的特征向量；2X 为A 的关于1λ=的特征向量；3X 是非齐次方程32()A I X X -=的解（广义特征向量）.由1(2)0I A X -= 解出1(0,0,1)T X =， 由2()0I A X -= 解出2(1,2,1)T X =-，由32()A I X X -= 解出3(1,1,0)T X =--，或3(0,1,1)T X =-令123011(,,)021110P X X X -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，或010021111P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭可知 200011 001AP P P J ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭即 1P AP J -=.例3 试证：每个Jordan 块k J 都相似于它的转置T k J . 证 计算可知11001011111001001λλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 注 由此例可知，每个Jordan 矩阵J 都相似于它的转置：J ∽T J (下三角矩阵).利用此例3与Jordan 标准形定理可得：推论3 每个方阵A 都相似于它的转置T A ： A ∽TA .例4 设k 为自然数，0kA =，试证：||1A I +=证 由0kA =知A 的特征值全为零， 从而Jordan 标准形J 的主对角线元素全为零. 利用1A PJP -=，可知 11||||||||||1A I PJP I P J I P --+=+=+=.小结 两个看上去很不相同的矩阵可以相似，因此，一条确定两个矩阵是否相似的途径是，设想有某个具有指定简单形式的矩阵集合，然后看这两个已知矩阵是否可以通过相似化成这些简单形式中的一个.如果它们能做到，那么它们必定是相似的（因为相似关系是传递的和对称的），Jordan 标准形就是符合这个要求的简单形式. 本节的主要结果是，每个复矩阵都相似于一个实质上是唯一的Jordan 矩阵.Jordan 标准形定理可以说是矩阵相似理论的一个制高点. 有了Jordan 标准形许多问题就很清楚了.注 相应于每个单独的Jordan 块()m J λ，恰好有矩阵J 的一个特征向量：它是属于矩阵J 中每个()m J λ的第一个对角元素. 从而J 中Jordan 块的个数就是A 的线性无关特征向量个数.补充若干论断和应用利用参考书：R .Horn and C.Johnson. Matrix Analysis, 1985 . 我们不加证明给出下列补充结论.(1) 给定Jordan 标准形J ，可以得到如下几点结论： (2).每个Jordan 块()k J λ恰好对应着属于λ的一个特征向量；(3) 每个值λ，其对应Jordan 块()k J λ的个数等于它的几何重数：()n r A I λ--； (3).Jordan 块的总数(按重复计)等于J 的线性无关特征向量个数利用相似关系 A ∽J 对应的秩数公式: ()()k k rank A bI rank J bI -=-， 可建立以下差分格式，求出方阵A 的Jordan 标准形J. 给定特征值λ(1) 计算秩数 ：()kr A I λ- 1, 2,k =规定 0r n = ， 1()r r A I λ=-， 22()r r A I λ=-，(2) 计差：1k k k d r r +=-，0, 1, 2,k =01d n r =-， 112d r r =-， 223d r r =- ，(3) 计差：1k k k l d d -=-，1, 2,k =101l d d =-，212l d d =-，323l d d =-，则(1) J 中含有λ的Jordan 块共有 0()d n r A I λ=-- 个； (2) J 中含λ的k 阶Jordan 块恰有 k l 个，1, 2,k= .注1 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 注2 可以证明：必有一个自然数k 使得，1()()kk r A I r A I λλ+-=-==常数.从而有 10k k d d +===.补充例子例5 用求秩法求以下矩阵的Jordan 标准形3411451100320021A --⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-⎪-⎝⎭. 解 特征多项式为：223432||(1)(1)4521I A λλλλλλλ---==+--+-+.计算秩数令1:λ=-()3r A I +=，2()2r A I +=，3()2r A I +=. 令 01234, 3, 2, 2r r r r ====，按差分格式，有124103 1 1202l l •== 得知，1λ=-恰有1个2阶Jordan 块1101 -⎛⎫⎪-⎝⎭； 同理可知，含有1λ=的Jordan 块为1101 -⎛⎫⎪-⎝⎭，从而可得A∽ 1100010000110001J -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭.习 题 1. 如果A 与B 相似，C 与D 相似，试证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛C O O A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D O O B 相似. 2. 若A 与B 都是方阵，证明 00 A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭与00 B A ⎛⎫⎪⎝⎭相似.3. n 阶矩阵A 叫做幂零的，如果存在一个自然数m 使A m =0. 证明: (1) A 是幂零矩阵当且仅当它的特征多项式的根全是0；(2) 如果一个幂零矩阵A 可以对角化，那么A 一定是零矩阵； (3) 如果A 是幂零阵，且0A ≠，则A 不能对角化；(4) 如果A 是幂零阵，则 ||1A I +=.4. 证明: 每个阶数大于1的Jordan 块都不能对角化.5. 设0ε>，证明：下列两个矩阵A 与B 不能相似101011100b b A bb ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 10101110b bB bb ε⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ . 6. 求下列矩阵的Jordan 标准形J 及其相似变换阵P .(1) 301121103⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2) 170250109013-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(3)120020221⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦(4) 460350361⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(5) 211212112--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7. 用求秩方法求下列矩阵的Jordan 标准形.(1) 1231123123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (2)3131131331311313 --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎪--⎝⎭ (3)3411451100320021--⎛⎫⎪--⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭(4) 111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ (5)308316205⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(6) 142034043⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7) 211221121-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(8)131011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (9) 126103114--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. (10)4000040030400304⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(11)1110110100240012-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭，(12)(0)n na a a a a aa A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭8. 试写出两个矩阵，它们的Jordan 标准形都是200011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 9. 设1221A --⎛⎫=⎪-⎝⎭，求00A B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0A I C A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的Jordan 标准形.10. 利用Jordan 标准形证明： 每个方阵A 都相似于它的转置T A ： A ∽TA .11. 已知A 的Jordan 标准形J ，b 为复数. 证明：()()k k rank bI A rank bI J -=-. 12. 已知5阶方阵A 适合条件223, 2, ()4, ()3rankA rankA rank A I rank A I ==+=+=.求A 的Jordan 标准形J . 13. 已知n 阶方阵A 满足10nn A A-=≠，求其Jordan 标准形为J .14. 利用方阵A 的Jordan 标准形证明：如果1()()k k rank A rank A r +==，则对任何自然 数l 必有 ()k l rank A r +=.15. 设b 是n 阶方阵A 的k 重特征值，证明：()k rank A bI n k -=-.16. 设n 阶上三角阵0A ≠，且主对角元都是0.则A 的Jordan 标准形不是对角阵.∽∽∽例 已知8阶方阵A 适合：23(2)4, (2)1, (2)0rank A I rank A I A I -=-=-=， 求A 的Jordan 标准形J .解 按差分格式， 有 1284143 211l l •==2100210022102210202J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.另外可知100001000012,00010000J I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦200100000000(2)00000000J I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 3(2)0J I -=例 求以下矩阵的Jordan 标准形，并求变换阵P ，使1P AP J -=.111111201232011212202A ⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 特征多项式为5||(1)(2)I A λλλ-=-- 令2λ=1111110012300112012000A I -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭， 2111033000120000()000000A I --⎛⎫⎪⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3111021000000000()000000A I ---⎛⎫⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)4r A I -=， 2(2)2r A I -=， 3(2)1r A I -=， 4(2)1r A I -=令 012346, 4, 2, 1, 1r r r r r =====，按差分格式，有 123620421 21111l l l •===得知2λ=共有2个Jordan 块（1个2阶块，1个3阶块）： 2102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 210021002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭另外1λ=是单根，它对应1阶的Jordan 块为 1(1) J =，可知Jordan 标准形为 1210212212J ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 另外可求得变换矩阵为 131040034010003033003000000102000201P --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭， 它满足AP JP =，即 1P AP J -=。