第八章 若当标准形一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点矩阵的相似问题一直是高等代数中的重点研究对象，除了前面所谈到的化矩阵为对角形的方法外我们还可以从其他渠道探讨这个问题.比如，周知A ~⇔B 存在可逆矩阵P 使得1B P AP -=.但是寻找可逆矩阵P 往往是件比较困难的工作，因此我们可论证等价性成立：E A E B λλ-≅-（或论证它们有相同的标准形），那么就相当于A ~B ；此外，对不能对角化的矩阵我们也可以研究将其化成上（下）三角形或准对角形──若当（Jordan ）标准形.作为理论准备，-λ矩阵的标准形理论是本章的重点之一. 通过-λ矩阵的初等变换求其标准形是最基本的要求；了解-λ矩阵的不变因子、行列式因子以及初等因子这三个重要概念并掌握它们的性质、相互之间的关系和求法等技术方面的工作，是本章的关键.讨论矩阵的相似标准形是本章的主要目的.本章的难点有如下几个方面：掌握-λ矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子这三个重要概念以及它们的性质、关系和求法；● 理解并掌握两个数字矩阵A 与B 相似的充分必要条件，以及数字矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件；● 充分发挥最小多项式的性质在讨论矩阵的相似标准形中的作用；● 掌握矩阵的Jordan 标准形的求法、性质及其应用.三、本章的基本知识要点（一）λ-矩阵的概念和性质1.设F 是一个数域，λ是一个文字，如果n m ⨯矩阵()A λ的每个元素都是λ的多项式，即 ()A λ=(())ij m n a λ⨯，那么，()A λ就是一个关于λ的多项式矩阵，简称为-λ矩阵.如果 n m =，则称()A λ为n 阶-λ矩阵.2. 如果在-λ矩阵()A λ中，有一个(1)r r ≥阶子式不为零，一切1r +阶子式（如果存在）全为零，则称()A λ的秩为r ，记为(())r A r λ=.注意：① (())0r A λ=⇔()0A λ=；② 若A 是一个数字n 阶矩阵，则必有()r E A n λ-=.3. 设()A λ是n 阶-λ矩阵，若存在n 阶-λ矩阵()B λ使得()()()()A B B A E λλλλ==则称()A λ是可逆的，并称()B λ是()A λ的逆矩阵，记为1()()B A λλ-=.4．注意：（1）一个n 阶-λ矩阵()A λ是可逆的充要条件为行列式：()0A c λ=≠.（2）若()A λ是可逆时，则有)(|)(|1)(*1λλλA A A =-，其中()A λ*是()A λ伴随矩阵. （3）在数字矩阵中，n 阶矩阵A 是可逆的充分必要条件是行列式||0A ≠（即A 是满秩矩阵），但对于-λ矩阵来说，当矩阵的行列式|()|0A λ≠时，矩阵()A λ未必是可逆的，即满秩的-λ矩阵未必是可逆的.（二）初等λ-矩阵1、由n 阶单位矩阵E 经过一次-λ矩阵的初等变换得到的n 阶-λ矩阵称为初等-λ矩阵.其有三种不同的类型，分别是(,)P i j 、(())P i k 与(,(()))P i j ϕλ，而且都是可逆矩阵，且逆矩阵仍是同类的初等-λ矩阵.2、对m n ⨯的矩阵()A λ进行一次初等行变换，相当于在()A λ的左边乘上相应的m 阶初等-λ矩阵；而对()A λ进行一次初等列变换，就相当于在()A λ的右边乘上相应的n 阶初等-λ矩阵.3．-λ矩阵()A λ可逆的充分必要条件是()A λ可表成一系列初等-λ矩阵的乘积.4．注意：(1) 由于在-λ矩阵的第二类型的初等变换中，不允许用一个非常数的多项式()ϕλ去乘或除矩阵的某一行（列），这导致了λ-矩阵的初等变换与数字矩阵的初等变换在性质上有些区别，这请读者充分注意.(2) 等价的-λ矩阵具有相同的秩、行列式因子、不变因子和初等因子.（三）λ-矩阵的标准形1．λ-矩阵不变因子设m n ⨯的-λ矩阵()A λ的秩为r ，那么()A λ可经过一系列的初等变换化成对角矩阵()11()()(),,(),0,,000r r d d diag d d λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, ()* 即存在m 阶可逆矩阵()P λ和n 阶可逆矩阵()Q λ，使()()()P A Q λλλ=()1(),,(),0,,0r diag d d λλ= ，其中()i d λ是首一多项式(1,2,,)i r = ，且1()(),(1,2,,1)j j d d j r λλ+=- .并称※式为-λ矩阵()A λ的标准形.其中12(),(),,()r d d d λλλ 称为()A λ的不变因子.注意：若A 是一个n 阶数字矩阵，则A 的特征多项式必有（1）12()()()()A n f E A d d d λλλλλ=-= ；（2）1(())n ii d n λ=∂==∑所有不变因子的次数之和. 2、λ-矩阵的行列式因子（1）设m n ⨯的-λ矩阵()A λ的秩为r ，那么对于正整数,1,k k r ≤≤()A λ的全部k 阶子式的首项系数为1的最大公因式，称为()A λ的k 阶行列式因子，记为()k D λ.（2）不变因子12(),(),,()r d d d λλλ 与行列式因子12(),(),,()r D D D λλλ 之间的关系是： 11()()D d λλ=，212()()()D d d λλλ=，……，12()()()()r r D d d d λλλλ= （I ）（3）两个-λ矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的不变因子或相同的各阶行列式因子.（4）n 阶可逆-λ矩阵()A λ的各阶行列式因子是12()()()1n D D D λλλ==== ，进一步，()A λ的不变因子是12()()()1n d d d λλλ==== ，从而知道矩阵()A λ的标准形是单位矩阵E .即可逆的-λ矩阵的标准形是单位矩阵，反过来，如果-λ矩阵()A λ与单位矩阵等价，那么()A λ一定是一个可逆矩阵.3. λ-矩阵的初等因子与n 阶数字矩阵的初等因子（1）把-λ矩阵()A λ的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算），称为()A λ的初等因子.特别地，如果A 为n 阶数字矩阵，A 的特征矩阵E A λ-的初等因子习惯上称为A 的初等因子.（2）设A 为n 阶数字矩阵，若特征矩阵E A λ-等价于下列的对角形矩阵（不一定是标准形）1()()()n h B h λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()i h λ都是首一多项式. 那么将()i h λ分解成互不相同的一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）就是A 的全部初等因子.4. 不变因子、行列式因子与初等因子之间的关系-λ矩阵()A λ的不变因子、行列式因子与初等因子之间存在有密切关系，它们之间可以互相导出.（1）如果已知不变因子12(),(),,()r d d d λλλ ，直接使用定义可得到初等因子，利用上面的关系式（I ）可导出行列式因子12(),(),,()r D D D λλλ .（2）如果已知行列式因子12(),(),,()r D D D λλλ ，同样可以利用关系式（I ）导出不变因子12(),(),,()r d d d λλλ ，从而得出初等因子.（3）如果已知矩阵()A λ的秩r 及其初等因子，这时可以将全部初等因子按不可约因子的方幂降幂排列，同一个不可约因子的方幂排成一行.如果不可约因子的方幂的个数不足r 个，则在后面用1补足，这时全体不可约因子的方幂排成下列的形式：11121212221211122212(),(),,(),(),(),,(),0(1,2,,)(),(),,(),r r s s sr t t t t t t i i ir t t t s s s P P P P P P t t t i s P P P λλλλλλλλλ≥≥≥≥=那么，矩阵()A λ的不变因子是12112()()()()sr r r t t t s d P P P λλλλ= ，11121212()()()()s r r r tt t s d P P P λλλλ---= ， ………………1112112()()()()s t t t r s d P P P λλλλ=依此就可以得到矩阵的行列式因子12(),(),,()r D D D λλλ .下图列出了矩阵及其标准形，不变因子，行列式因子以及秩与初等因子之间的关系.在计算过程中，读者可以根据具体情况采用适当的步骤进行.（四）λ-矩阵的等价、数字方阵相似和对角化的条件1．设()A λ与()B λ都是m n ⨯的-λ矩阵，那么有下列等价条件：（1）()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的标准形；（2）()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的不变因子；（3）()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的行列式因子；（4）()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的秩和初等因子；（5）()A λ与()B λ等价⇔存在一系列初等-λ矩阵12,,,s P P P 和12,,,t QQ Q 使得1212()()s t PP P A QQ Q B λλ= ； （6）()A λ与()B λ等价⇔存在可逆-λ矩阵()P λ和()Q λ使得()()()()P A Q B λλλλ=. 注意：两个阶数一样的-λ矩阵仅是初等因子相同时，不能保证它们等价.例如矩阵10()01A λλλ-=+⎛⎫ ⎪⎝⎭如(1)(1)0()00B λλλ-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭的初等因子相同，但它们不等价. 2．设,A B 都是n 阶数字矩阵，那么有下列关于矩阵相似的等价条件：（1）A ~⇔B E A λ-与E B λ-等价；（2）A ~⇔B E A λ-与E B λ-有相同的标准形；（3）A ~⇔B E A λ-与E B λ-有相同的不变因子；（4）A ~⇔B E A λ-与E B λ-有相同的行列式因子；（5）A ~⇔B E A λ-与E B λ-有相同的初等因子（或者A 与B 有相同的初等因子）；（6）A ~⇔B A 与B 有相同的若当标准形.3．设A 是n 阶数字复矩阵，那么有下列等价条件：（1）A 与对角矩阵相似的充分必要条件是E A λ-的不变因子没有重根；（2）A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子都是一次的；（3）A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根；（4）A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 每个特征根的代数重数等于几何重数.（五）数字矩阵的若当标准形与有理标准形从前面所谈论的化矩阵为对角形矩阵可知，并不是所有的n 阶数字矩阵都能相似对角化，虽然如此，但对于实数域R 上的n 阶对称矩阵A ，即实对称矩阵A 是一定与一个实对角矩阵相似的.于是，我们自然会提出这样一个有待解决的重要问题：当一个矩阵不与对角矩阵相似时，能否退而求其次，使A 相似于一个比对角矩阵稍为复杂，但仍能给计算和研究带来便利的某种标准形呢？这就是我们下面要介绍的矩阵的若当标准形与有理标准形.1．矩阵的若当标准形（1）设0λ是一个复数，形式为0000000001000(,)00100001t t J t λλλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的矩阵称为若当（Jordan ）块. 而由若干个若当块(,)i i J t λ组成的准对角矩阵（分块对角矩阵）1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称为若当形矩阵，其中参数12,,,s λλλ 可以是相等，也可以是不相等.（2）由于若当块0(,)J t λ的特征矩阵0(,)E J t λλ-的各阶行列式因子是1210()()()1,()()t t t D D D D λλλλλλ-=====- ，因此，它的不变因子是1210()()()1,()()t t t d d d d λλλλλλ-=====- .由此即得，0(,)E J t λλ-的初等因子是0()t λλ-，也就是若当块0(,)J t λ的初等因子.由于若当块0(,)J t λ完全被它的级数t 与主对角线上的元素0λ所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子0()t λλ-中.因此，若当块是由它的初等因子唯一决定的.（3）类似地，我们可以求得若当形矩阵1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 的初等因子是1212(),(),,()s t t t s λλλλλλ--- .也就是说，每个若当形矩阵的全部初等因子是由它的全部若当块的初等因子构成的.而每个若当块是由其初等因子来决定的，由此可见，若当形矩阵除去其中的若当块排列的次序外，是被它的初等因子唯一决定的.（4）若当形矩阵的主要结论是：复数域C 上任一个n 阶矩阵A 都相似于一个若当形矩阵1122(,)(,)(,)s s J t J t J J t λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 这个若当形矩阵称为A 的若当标准形.（5）设A 是一个n 阶矩阵，J 是A 的若当标准形，那么● 存在可逆矩阵T ，使得1T AT J -=；●A 与J 有相同的秩与行列式； ● A 与J 有相同的特征多项式与最小多项式；● 特征矩阵E A λ-与E J λ-有相同的行列式因子；● E A λ-与E J λ-（或者A 与J ）有相同的不变因子与初等因子.（6）对于复数域C 上的n 维线性空间V 的任一个线性变换σ，在V 中必存在有一组基12,,,n ααα ，使得σ在此基下的矩阵是一个若当形的.（7）每个n 阶的复数矩阵A 都与一个下（或上）三角形矩阵相似，其主对角线上的元素刚好是矩阵A 的全部特征值. 即存在可逆矩阵T ，使110*n T AT λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（下三角形矩阵），其中1,,n λλ 是矩阵A 的全部特征值.如果()g λ是一个多项式，则()g A 的全部特征值是1(),,()n g g λλ ，即11()0()*()n g T g A T g λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.2．矩阵的有理标准形在上面我们讨论了复数域C 上任何一个n 阶矩阵可相似于一个若当形矩阵，下面我们将在任意一个数域F 上来讨论类似的问题，而且证明了F 上任意一个n 阶矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.（1）对于数域F 上的一个多项式12121(),1n n n n n f a a a a n λλλλλ---=+++++≥ ，称矩阵122100001000010000100001n n n a a a A a a ---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭是多项式()f λ的伴侣阵.多项式()f λ的伴侣阵A 的不变因子（即是E A λ-的不变因子）是121()()()1n d d d λλλ-==== ，()()n d f λλ=.（2）设n 阶矩阵A 的不变因子是121,,1,(),(),,()k k n d d d λλλ++其中()k i d λ+的次数大于等于1，并且假设12,,,n k N N N - 分别是12(),(),,()k k n d d d λλλ++ 的伴侣阵，这时我们称分块对角矩阵12n k N N F N -⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是矩阵A 的有理标准形. （3）数域F 上的任意一个n 阶矩阵A 必相似于它的有理标准形（因为它们具有相同的初等因子）.注意：若当标准形在复数域上是一定存在的，而有理标准形在任何数域上都是存在的.（六）最小多项式及其性质1．零化多项式与最小多项式设F 是一个数域，A 是F 上的n 阶数字矩阵，如果数域F 上的多项式()f x 使得()0f A =，则称()f x 以A 为根或()f x 为A 的零化多项式.在以A 为根的多项式中，次数最低且首一的多项式称为A 的最小多项式，记为()A m λ.2、哈密顿─凯莱定理设F 是一个数域，A 是F 上的n 阶数字矩阵，记A 的特征多项式为12121()n n n A n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++那么 12121()0n n n A n n f A A a A a A a A a E ---=+++++=即A 的特征多项式是A 的零化多项式.同时，还有*12231211211()()()()n n n n n n E A A a A a a A a a E λλλλλλ-------=++++++++++3、最小多项式的性质设A 是数域F 上的n 阶数字矩阵，()A m λ为A 的最小多项式.（1）最小多项式是唯一的；（2）设()[]g F λλ∈，则()0g A =的充分必要条件是()()A m g λλ；特别地，矩阵A 的最小多项式()A m λ是A 的特征多项式()A f E A λλ=-的一个因式.（3）若A 是一个n 阶数字矩阵，且A 的特征多项式为12()()()()A n f E A d d d λλλλλ=-= 那么()()A n m d λλ=1()()A n f D λλ-=； （4）A 的特征根都是()A m λ根.（5）设,A B 都是n 阶数字矩阵，如果,A B 相似，即A ~⇔B ()()A B m m λλ=；（6）设1s A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是准对角形，且()i m λ分别是i A 的最小多项式，那么()A m λ12[(),(),,()]s m m m λλλ= ；（7）t 阶若当块0000000001000(,)00100001t t J t λλλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 的最小多项式0()()t J m λλλ=-. （六）主要定理与结论定理1 假设,A B 都是n 阶数字矩阵，如果存在n 阶数字矩阵00,P Q 满足00()E A P E B Q λλ-=-则矩阵A 与B 相似.作为矩阵多项式，-λ矩阵也有下列的带余除法定理.定理2 设(),()A B λλ是数域F 上的两个n 阶-λ矩阵，其中1011(),(),0,1,,.m m m m i n B B B B B B M F i m λλλλ--=++++∈=如果0B 可逆，则存在-λ矩阵(),()L L Q R λλ及(),()R R Q R λλ，满足()()()()L L A B Q R λλλλ=+，()()()()R R A Q B R λλλλ=+，其中(),()L R R R λλ分别是零或者(())(()),(())(())L R R B R B λλλλ∂<∂∂<∂，且满足上述条件的(),()L L Q R λλ及(),()R R Q R λλ是唯一的.(())A λ∂表示矩阵()A λ中所有元素的最高次数.如果把定理2的矩阵()B λ分别改成数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-，那么定理2变成下列的定理.定理3 对于任何不是零的n 阶数字矩阵A ，以及-λ矩阵()U λ与()V λ，一定存在-λ矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使得0()()()U E A Q U λλλ=-+，0()()()V R E A V λλλ=-+.定理3的一个常用推论是下面的定理4 设()[],()n f F A M F λλ∈∈，则存在唯一的-λ矩阵()Q λ使得()()()()()()()f E E A Q f A Q E A f A λλλλλ=-+=-+.证明：存在性的验证. 假设多项式1011()m m m m f c c c c λλλλ--=++++那么，1011()m m m m f E c E c E c E c E λλλλ--=++++1011()m m m m f A c A c A c A c E --=++++取120121()m m m m Q D D D D λλλλ----=++++其中10110,0,1,, 1.kk i k k k i k k i D c A c A c A c A c k m ---===++++=-∑代入定理中，可以验证等式成立.唯一性的证明. 假设还存在有另一个-λ矩阵1()Q λ使得11()()()()()()()f E E A Q f A Q E A f A λλλλλ=-+=-+只要把两个等式相减，可以得到11(()())(()())Q Q A Q Q λλλλλ-=-再通过比较等式两边λ的次数，即可得到1()()Q Q λλ=. ■定理5 n 阶数字矩阵A 的最大不变因子()n d λ等于A 的所有初等因子的最小公倍式. 证明： 因为 ()r E A n λ-=，将矩阵A 全部初等因子按不可约因子的方幂降幂排列，同一个不可约因子的方幂排成一行，不足n 个的在后面用1补足. 排列的形式如下：11112221221*********(),(),,(),(),(),,(),0(1,2,,)(),(),,(),n n s s sn t t t t t t i i in t t t s s s P P P P P P t t t i s P P P λλλλλλλλλ≥≥≥≥=那么，不变因子 1112112()()()()s tt t n s d P P P λλλλ= ，也就是等于所有初等因子的最小公倍式. ■定理6 设n 阶矩阵A 的最小多项式为()m λ，证明：()()n m d λλ=，其中()n d λ是E A λ-的最后一个不变因子.证明：设A 的全部初等因子是1111211121111112112(),(),,(),(),(),,(),r sr s s s sn n n rn n n s s s s s sr n n n n n n λλλλλλλλλλλλ⎧---≤≤≤⎪⎪⎨⎪---≤≤≤⎪⎩其中12,,,s λλλ 两两不同.这时 121212()()()()sr r r sn n nn s d λλλλλλλ=--- .其次，由于A 相似于若当标准形1112srs n n n J J J J ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，1,1,2,,.1,2,,.1ij i i n s i J i s j r λλλ⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ 由于对角分块矩阵的最小多项式等于各分块矩阵最小多项式的最小公倍式，而且相似矩阵有相同的最小多项式，所以1111111()(),,(),,(),,()sr r s sn nn n s s m λλλλλλλλλ⎡⎤=----⎣⎦111()()()sr r s nns n d λλλλλ=--= . ■定理7 设1s A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是准对角形，且()i m λ分别是i A 的最小多项式，证明： ()A m λ1[(),,()]s m m λλ= ，其中1[(),,()]s m m λλ 表示1(),,()s m m λλ 的最小公倍式.证明：因为 1()()0()A A A s m A m A m A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1()()0A A s m A m A === ，即()A m λ是矩阵1,,s A A 零化多项式，因此)(|)(,,)(|)(1λλλλA s A m m m m ，故()A m λ是1(),,()s m m λλ 的一个公倍式.另一方面，任取1(),,()s m m λλ 的一个公倍式)(λh ，则有1()()0()s h A h A h A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，可见)(λh 是矩阵A 的一个零化多项式，所以，()|()A m h λλ. 再因为()A m λ的首项系数为1，因此()A m λ1[(),,()]s m m λλ= . ■定理8 相似矩阵具有相同的最小多项式.证明：设n 阶矩阵A 与B 相似，即存在可逆矩阵T ，使得1B T AT -=.又设12(),()m m λλ分别是矩阵A ，B 的最小多项式，且设12110()s s s m b b b λλλλ--=++++那么，我们有121100()s s s m B B b B b B b E --==++++1111102()().s s s T A b A b A b E T T m A T ----=++++=所以，2()0m A =，2()m λ是A 的零化多项式，而1()m λ是A 的最小多项式，因此，12()|()m m λλ.类似可以证明，21()|()m m λλ.再从12(),()m m λλ的首项系数为1，即可得到12()()m m λλ=.■四、基本例题解题点击1．λ-矩阵的基本概念与计算【例1】设有-λ矩阵2222123(),()1253A B λλλλλλλλλλλ⎛⎫-⎛⎫== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 计算：（1）()2()A B λλ-；（2）()()A B λλ⋅.【提示及点评】-λ矩阵的运算法则与数字矩阵的运算法则相同. 【例2】设21()12A λλλλλ⎛⎫=⎪+++⎝⎭，求1()A λ-. 【提示及点评】可以按数字矩阵求逆的方法进行计算.【例3】设00()1001A λλλλ=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求()nA λ.【解】因为00100000()1001010001001010A E B λλλλλλ==+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而EB BE B ==，所以可以应用牛顿二项式定理来进行计算.01112220()()nnnk n k k n n n n n n n k A E B C E B C E C B C B λλλλλλ---==+=⋅=++∑ 1(1)21200n n n n n n n n n n λλλλλλ----⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. ■ 【知识扩展提示】题目可以扩充为对任意阶数的若当块00000001000(,)00100001t t J t λλλλλ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭,求0(,)n J t λ.【例4】设有-λ矩阵2221211111()2211,()2131221023A B λλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+-+--+=-+++=---+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭试求矩阵(),()L L Q R λλ使得()()()()L L A B Q R λλλλ=+，其中()0L R λ=或者(())(())L R B λλ∂<∂.【提示及点评】此例子主要介绍-λ矩阵的带余除法定理. 【解】首先把矩阵(),()A B λλ表示成矩阵多项式的形式：22012100120111()010121211002101012A A A A λλλλλ---=++-=++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 01101111()010*********B B B λλλ--=+--=+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后借助于多项式除以多项式的运算，我们有 01B B λ+ 2012A A A λλ++100()L Q B A λλ-= 210100A B B A λλ-+1101100()B A B B A --+-111002()A B B A A λ--+1111100101100()()A B B A B B A B B A λ----+-112101100()()L R A B B A B B A λ--=--所以，1110001100211()()134002L Q B A B A B B A λλλλλ-----⎛⎫ ⎪=+-=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭，112101100250()()169205L R A B B A B B A λ--⎛⎫ ⎪=--= ⎪ ⎪-⎝⎭. ■【知识扩展提示】题目如果是求-λ矩阵(),()R R Q R λλ使得()()()()R R A Q B R λλλλ=+，则在做多项式除法的时候，注意矩阵01B B λ+与()R Q λ相乘时的左右方向即可.2．求λ-矩阵的标准形、行列式因子、不变因子与初等因子 （1）行列式因子的计算方法一：直接使用行列式因子的定义进行计算. 【例5】设有-λ矩阵2221211()2211122A λλλλλλλλλλλ⎛⎫-+-+- ⎪=-+++ ⎪ ⎪-+-⎝⎭，试求其行列式因子.【解】由于矩阵()A λ的元素中含有非零常数1，所以一阶行列式因子1()1D λ=.或者是由于下列所有多项式{}2221,21,1,2,21,1,,1,22λλλλλλλλλλ-+-+--+++-+-的最大公因式是1，所以1()1D λ=.对于二阶行列式因子2()D λ. 由于()A λ的2阶子式一共有9个，一一计算比较麻烦，我们只要找出特别的几个出来，看它们是否互素即行. 由于2阶子式22211λλλλ-++- 与 2211211λλλλ-+-+++是互素的，即最大公因式是1，所以二阶行列式因子2()1D λ=.最后计算三阶行列式因子3()D λ，由于矩阵()A λ的3阶子式只有1个，所以65432311()|()|(2338385)2D A a λλλλλλλλ==++--+-. ■ 【注意】由于使用定义的方法求行列式因子的计算过程比较麻烦，因此一般很少用，除非是矩阵()A λ比较简单.方法二：先用初等变换化简-λ矩阵，一般情况是化简成为标准形或者对角形，再对简化后的-λ矩阵求行列式因子.【例6】设有-λ矩阵111()2131023B λλλλλ+--+=----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭试求其行列式因子.【解】由于(1)(3)1111023()2132131023111B λλλλλλλλλ↔+--+--=------+--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32100010002447λλλ-→→--+-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此，所求的行列式因子是12()()1D D λλ==，3237()222D λλλλ=-+-. ■ 方法三：对于特殊类型的-λ矩阵（如对角形、上下三角形等等），可以先求出阶数大的行列式因子，再利用1()|()k k D D λλ-的关系，求出阶数低的行列式因子.【例7】设有下列-λ矩阵①1221000100010()0000001n n n a a a A a a λλλλλλ--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭；②31104101()0021001A λλλλλ--⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+- ⎪⎝⎭ 试求它们的行列式因子.【解】① 由于矩阵()A λ的行列式12121|()|n n n n n A a a a a λλλλλ---=+++++所以， 12121()nn n n n n D a a a a λλλλλ---=+++++ ,又由于在()A λ中有一个1n -阶的子式110001(1)0000001n λλλ---=--，故1()1n D λ-=，于是，231()()()1n n D D D λλλ--==== .② 显然 2243121()(1)(1)411D λλλλλλλ--+-==-++，又其中的一个3阶子式 1110123021λλλ-+=++-， 由于三阶行列式因子3()|(23)D λλ+并且还有34()|()D D λλ，因此可见3()1D λ=，于是21()()1D D λλ==. ■（2）-λ矩阵的标准形、不变因子与初等因子的计算方法一：直接使用矩阵的初等变换，求-λ矩阵的标准形，进而可以得到不变因子. 【例8】用初等变换求下列-λ矩阵的标准形、不变因子与初等因子.222223222213()2322A λλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫-⎪=--+-- ⎪ ⎪+++⎝⎭. 【提示及点评】在使用初等变换来求-λ矩阵的标准形时，第一步应将矩阵左上角的元素变成能够整除矩阵的所有元素，第二步才能消去矩阵的第一行与第一列的其余元素，重复这个过程即可把-λ矩阵化其标准形. 关键的一步是在矩阵的所有元素中直接找出一个或者经过加减运算后找出一个元素，使其能够整除矩阵的所有元素.【解】2222222322232(1)(2)(1)2222212112()23222322022A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+⋅-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪=--+--−−−−→--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭1000(1)000(1)(1)λλλλλ⎛⎫⎪→→+ ⎪ ⎪+-⎝⎭于是，()A λ的不变因子123()1,()(1),()(1)(1)d d d λλλλλλλλ==+=+-，从而得出矩阵的初等因子是,,1,1, 1.λλλλλ++-. ■方法二：对于一些形如上（下）三角形、对角形等特殊的-λ矩阵，可以先求其行列式因子（或者初等因子），再利用不变因子与行列式因子的关系，求出不变因子，进而得到矩阵的标准形.【例9】求下列-λ矩阵的标准形与不变因子.①21000210()00210002A λλλλλ+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭；②22220(1)00(1)000()000100(1)0A λλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭ 【解】① 显然，行列式因子44()|()|(2)D A λλλ==+，而且矩阵)(λA 有一个3阶子式1002101021λλ+=+，所以有321()()()1D D D λλλ===，故)(λA 的不变因子是123()()()1d d d λλλ===，44()(2)d λλ=+，即)(λA 的标准形是410000100001000(2)λ⎛⎫⎪⎪⎪⎪+⎝⎭.② 虽然矩阵)(λA 不是对角形，但可用初等变换化成对角形：2222(1)(2)(3)(4)22220(1)00(1)000(1)0000(1)00()000100(1)000(1)00001A λλλλλλλλλλλλλλλ↔↔⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪=−−−−→ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭由此可得矩阵)(λA 的初等因子是222,,,(1),(1),1,1,1λλλλλλλλ+++--，而矩阵的秩= 4，据此可知不变因子是2123()1,()(1),()(1)(1)d d d λλλλλλλλ==+=+-，224()(1)(1)d λλλλ=+-，故矩阵的标准形是22210000(1)0000(1)(1)0000(1)(1)λλλλλλλλ⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+- ⎪+-⎝⎭. ■（3）有关数字矩阵的初等因子的计算【例10】求下列数字矩阵的初等因子（以及不变因子，相应特征矩阵的行列式因子）.308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭..【提示及点评】对于计算数字矩阵的初等因子，其实其过程与求矩阵的若当标准形一样. 计算方法与求一般-λ矩阵的初等因子是一样的.【解】因为(2)(3)1308308316111205205E A λλλλλλλλ+⋅----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-−−−−→-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭210002(1)000(1)/2λλ-⎛⎫⎪→→+ ⎪ ⎪-+⎝⎭因此，所求的初等因子是2(1),1λλ++，不变因子是2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ==+=+，行列式因子是3123()1,()1,()(1)D D D λλλλλ==+=+. ■3．有关λ-矩阵等价的判断与证明 【例11】判断下列两个矩阵是否等价？010001()000000A λαλαλλαλα+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭，010100()000000B λαλαλλαλα+⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪+⎝⎭ 【提示及点评】利用-λ矩阵等价的6个方法之一进行判断. 【解】易见，矩阵)(λA 与)(λB 的行列式因子都是241234()()1,()(),()()D D D D λλλλαλλα===+=+因此，矩阵)(λA 与)(λB 是等价的. ■【例12】对于任意的n 阶-λ矩阵)(λA ，证明)(λA 与)(/λA 等价. 【提示及点评】可以证明它们有相同的行列式因子或者有相同的标准形. 【解】假设矩阵)(λA 的标准形是()1()(),,(),0,,0r D diag d d λλλ=因此，存在可逆矩阵)(,)(λλQ P 使得)()()()(λλλλD Q A P =，两边取转置得到)()()()()(////λλλλλD D P A Q ==，从而知道)(λA 与)(/λA 有相同的标准形，所以)(λA 与)(/λA 等价. ■4．有关数字矩阵A 的特征矩阵（特征多项式、凯莱定理）E A λ-的应用【例13】设有矩阵130240121A -=---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求nA ，其中n 是正整数.【提示及点评】利用哈密顿-凯莱定理及带余除法进行计算. 【解】设()||f E A λλ=-是矩阵A 的特征多项式，那么计算可得322()452(2)(1)f λλλλλλ=-+-=--再根据计算nA 的要求，取多项式()ng λλ=，并令（带余除法）2()()()n g f q a b c λλλλλλ==+++分别把2,1λλ==代入，得到 422,1na b c a b c ++=++=.又因为1λ=是特征多项式()f λ的2重根，所以，对上式两边求导后有///1()()()()()2n g f q f q a b n λλλλλλλ-=+++=再代入1λ=得到，2a b n +=.求解上面关于,,a b c 的联立方程组，我们可以得到121,223,22n n n a n b n c n +=--=-+=-因此，12323(12)02(12)23206(12)799271n n n n n n n A aA bA cE n n +⎛⎫--+ ⎪=++=--+-+⋅ ⎪ ⎪-+--⋅+⎝⎭. ■【注意】关键是如何利用矩阵A 的特征值，找到关于,,a b c 的联立方程组.【例14】设有矩阵130240121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，及多项式119653()461f λλλλλλλ=-+--+-，求1()f A -.【提示及点评】利用哈密顿-凯莱定理及带余除法进行计算. 【解】因为特征多项式32()||452g E A λλλλλ=-=-+-，再由带余除法得到2()()()(759933)f g q λλλλλ=+-+-因此，由哈密顿—凯莱定理得到22433780()75993325238703997779f A A A E -⎛⎫ ⎪=-+-=- ⎪ ⎪--⎝⎭,再求其逆，得到431413545128151********13590()0f A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭. ■ 【注意】此题型的计算量比较大，关键是掌握其计算的方法与技巧.【例15】如果A 是一个n 阶可逆矩阵，导出使用哈密顿—凯莱定理求逆矩阵1-A 的公式. 【解】假定矩阵A 的特征多项式是12121()||n n n n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++则由凯莱定理知道，121210n n n n n A a A a A a A a E ---+++++=而(1)||0n na A =-≠，因此，1231211()n n n n nA A a A a A a E E a -----⋅++++= 即矩阵A 的逆矩阵11231211()n n n n nA A a A a A a E a ------=++++ . ■ 【知识扩展提示】题目可以改成：证明存在一个实系数多项式)(x g ，使得)(1A g A =-.【例16】设A 是任意一个n 阶矩阵，且12121()||n n n n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++证明：A 的伴随矩阵*A 是A 的多项式，并且*1123121(1)()n n n n n A A a A a A a E -----=-++++ .【证明】由上例知道，123121(1)()n n n n n A A a A a A a E a E ----⋅-++++=而||(1)||n n a A A =-=-，代入上述，可以得到1123121(1)()||n n n n n A A a A a A a E A E -----⋅-++++=所以，*1123121(1)()n n n n n A A a A a A a E -----=-++++ . ■5．相似矩阵的判断与证明 【例16】判断下列矩阵3253212610,222123365A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭是否相似.【提示及点评】要判断两个矩阵是否相似，通常的方法是先求出它们的不变因子（或行列式因子、或初等因子），如果它们相同，则相似，否则不相似.当然，如果两个矩阵的秩，行列式，特征多项式或最小多项式有一个不相等，则它们一定不相似.要注意的是，即使它们的秩，行列式，特征多项式或最小多项式都相等，仍然不能确定它们是否相似.许多学生往往根据两个矩阵的特征多项式相同，就断定这两个矩阵相似，这是初学者常犯的一个错误，请读者给予充分的注意.【解】由于2325100261002012300(2)E A λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭232110022202036500(2)E B λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭从而，A 与B 有相同的不变因子，故A 与B 相似. ■【例17】假设多项式12121()n n n n nf a a a a λλλλλ---=+++++ 有n 个不同的根12,,,n λλλ ，证明矩阵1210000100001000001n n n a a A a a ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭与 12n B λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 相似. 【提示及点评】验证两个矩阵的不变因子相同即行. ■【例18】下列形式的矩阵112231000,,*i j n n a b a b H a a b C b a -⎛⎫ ⎪⎪⎪=∈ ⎪⎪⎪⎝⎭（其中j b 称为上对角元素）称为海森伯格矩阵.试证明：两个上对角元素全非零的海森伯格矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的特征多项式.【提示及点评】计算特征矩阵H E -λ的行列式因子，再依此进行证明. 【证明】由于特征矩阵112231000*n n a b a b E H a b a λλλλλ---⎛⎫⎪--⎪⎪-=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭如果0(1,2,,1)jb j n ≠=- ，由于HE -λ有一个1-n 阶的子式12211211000(1)00n n n b a b b b b b λ------=-≠-所以H E -λ的行列式因子1()1n D λ-=.由此得，H E -λ的行列式因子是121()()()1,()()||n n H D D D D f E H λλλλλλ-======- .于是，两个上对角元素全非零的海森伯格矩阵1H 相似于2H ⇔1H E -λ与2H E -λ有相同的行列式因子⇔)()(21λλH H f f =. ■6．求矩阵的Jordan 标准形和有理标准形【例19】求下列数字矩阵的若当（Jordan ）标准形和有理标准形.（1）308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭； （2）2300020000420013A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 【提示及点评】可以先求出矩阵的初等因子，然后由初等因子写出矩阵的若当标准形及有理标准形.【解】（1）由于2308308100316112401020520500(1)E A λλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-+-→++→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，初等因子是21,(1)λλ++，因此矩阵A 的若当标准形J 与有理标准形F 分别是100010011J -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，100001012F -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.（2）容易算得，矩阵A 的初等因子是25,2,(2)λλλ---，所以，若当标准形J 与有理标准形F 分别是52212J ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，520414F ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ■ 【知识扩展提示】从上面的例子可以看出，矩阵A 的若当标准形J = 有理标准形F 的充分必要条件是：矩阵A 的初等因子都是一次的.【例20】设308316205A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭. 求可逆矩阵T ，使得1T AT -成为若当标准形.【提示及点评】这是求相似变换矩阵的问题. 可先求出若当标准形，然后通过求解线性方程组来求可逆矩阵T .【解】由例19知道，矩阵A 的若当标准形是100010011J -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.设有可逆矩阵T ，使得1T AT J -=，则AT TJ =. 令()123,,T ααα=，其中123,,ααα是列向量组，那么1122333,,,A A A ααααααα=-=-+=-所以，13,αα是A 的属于特征值1λ=-的特征向量，且23,αα满足23()A E αα+=.下面先求向量2α，因223()()0A E A E αα+=+=，所以2α是齐次线性方程组2()0A E X +=的非零解，并且满足()0A E X +≠又因为2()0A E +=，所以每一个非零向量都是2()0A E X +=的非零解. 取()/21,1,1α=，则/32()(12,9,6)0.A E αα=+=-≠再从齐次线性方程组()0A E X +=求出一个属于特征值1λ=-的特征向量/1(2,0,1)α=-，此时取矩阵()1232112,,019116T ααα-==-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则T 可逆，且1100010011.T AT J --==--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭■ 7．矩阵最小多项式的计算及在证明中的应用求n 阶方阵A 的最小多项式()A m λ，通常采用如下三种方法：方法一 试探法：首先求出A 的特征多项式()||f E A λλ=-，然后写出()f λ中包含A 的所有互异特征值的因式，最后验证这些因子是否是A 的零化多项式，其中次数最低的首一多项式即是()A m λ.方法二 求出A 的若当标准形，再利用1212()()()()t r r r A t m λλλλλλλ=---其中i r 是A 的若当标准形J 中以i λ为对角元的若当块的最高阶数.方法三 当A 的1-n 阶行列式因子1()n D λ-易于求得，利用1()()()A n f m D λλλ-=求最小多项式.【例21】求下列矩阵的最小多项式.(1)2300020000420013A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭； (2)2123021200210002A ⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎝⎭；(3)308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 【解】(1) 因为3()||(2)(5)f E A λλλλ=-=--，其包含A 的所有互异的特征值的因式有：23(2)(5),(2)(5),(2)(5)λλλλλλ------，直接计算有(2)(5)0A E A E --≠，2(2)(5)0A E A E --=从而A 的最小多项式2()(2)(5)A m λλλ=--.(2) 显然可以求得E A λ-的三阶行列式因子3()1D λ=，而特征多项式4()(2)f λλ=-，所以最小多项式443()()()(2)()A f m d D λλλλλ===-.(3) 由例19知道，矩阵A 的不变因子是2123()1,()1,()(1)d d d λλλλλ==+=+，所以最小多项式是2()(1)A m λλ=+. ■【例22】求指定的数字矩阵A 的最小多项式 (1) 4阶矩阵A 的元素均是1；(2) 123331313;3;31333J J J ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (3) 已知3阶矩阵B 的特征值分别是1，-1，2，325A B B =- (4) ()()A A f m λλ=的充分必要条件是什么？(5) 若A 的特征值都是单根，那么()()A A f m λλ=对吗？【解】(1) 由于3()||(4)A f E A λλλλ=-=-，而计算知道(4)0A E A -=，所以最小多项式是()(4)A m λλλ=-.【知识扩展提示】题目可扩充为如果n 阶矩阵A 的所有元素都是a 且不为零，求其最小多项式. (2) 可以把矩阵看作若当标准形矩阵，其最小多项式由各个若当块的最小多项式的最小公倍式组成. 因此，3个矩阵的最小多项式分别是1()[3,3,3]3J m λλλλλ=---=-；222()[(3),3](3)J m λλλλ=--=-；333()[(3)](3)J m λλλ=-=-(3) 由于325A B B =-，而且矩阵B 的特征值分别是1，-1，2，由此，可以求得矩阵A 的特征值分别是-4，-6，-12.故A 的特征多项式()(4)(6)(12)A f λλλλ=+++，由此得到A 的最小多项式是()(4)(6)(12)A m λλλλ=+++.(4) 对于n 阶数字矩阵A ，()()A A f m λλ=的充分必要条件是E A λ-的行列式因子1()1n D λ-=. 这可从计算公式1()()()A n f m D λλλ-=得到.(5) 若A 的特征值都是单根，那么矩阵A 与一对角矩阵相似，从而知道最小多项式()A m λ没有。
