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定积分的概念说课稿定积分的概念说课稿作为一名默默奉献的教育工作者，就有可能用到说课稿，说课稿有助于提高教师的语言表达能力。
说课稿要怎么写呢？下面是小编为大家整理的定积分的概念说课稿，仅供参考，大家一起来看看吧。
众所周知，高等数学是工科专业最重要的课程之一。
其重要的原因不仅在于可以学到一些数学概念、公式和结论，为其他数学课和专业课的学习打好基础，更重要的是通过学习数学可以培育人的理性思维品格和思辩能力，能启迪智慧，开发创造力。
下面，笔者将从教材、教法、设计理念以及教学设计四个方面，介绍“定积分的概念”这节课。
一、说教材分析课程定位：高等数学在高职（专）院校的教学计划中是一门重要的公共基础理论课。
通过本课程的学习，使学生获得够用的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法，为学习后续课程，特别是专业课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。
地位作用：本节课选自世纪数学教育信息化精品教材《高等数学》第五章第一节定积分的概念，是高等数学中最主要的经典理论，是学生进入“积分”世界必须跨过的第一道门槛。
这节课上承导数、不定积分，下接定积分在几何、物理、经济、电工学等其他学科中的应用。
教学内容：本节内容为定积分概念，主要包括三方面内容：两个引例——曲边梯形的.面积和变速直线运动的路程；定积分的定义及几何意义；定积分的性质。
教学目标：知识目标——通过探求曲边梯形的面积，使学生了解“分割、近似、求和、取极限”的思想方法；能力目标——通过类比“割圆术”，引导学生萌发“以直代曲”的想法，逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力；情感目标——从实践中创设情境，渗透“化整为零零积整”的辨证唯物观，培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神。
二、说教学方法学情分析：学生参加过高考，具备一定初等数学基础知识，但学生学高等数学的基础不扎实。
教学方法：数学课程对于高职学生来说，往往难度很大，教学时力求从学生已有知识和实际学习情况出发引入新课，启发、诱导学生参与教学活动，提出问题、分析问题、解决问题，适当采用自学辅导法（阅读教材）、通过以上方法的运用，让学生掌握重点知识，突破难点，提高应用知识的能力。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。
2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。
2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。
3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。
三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。
2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。
3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。
五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。
2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。
3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。
4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。
6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。
定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。
定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。
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下面我从课程标准、教材分析、教学目标、教法学法、教学过程、板书设计六方面谈一下自己的理解和认识。
一、说课程标准根据专科学校高等数学课程要求，结合我校学生实际，对定积分的概念这节课提出三点要求：1、让学生认识到学习定积分的重要性。
2、了解定积分的定义和几何意义。
3、使学生建立变量的思想。
二、说教材1、定积分的概念的地位、作用及前后联系定积分定义是从曲边梯形的面积及变速直线运动的路程引出的，抓住其数量关系上的共同本质与特征加以概括，就可以抽象出定积分的概念，进而给出可积的条件及定积分的几何意义．正确理解定积分的概念及几何意义有助于进一步讨论定积分的性质与计算方法。
2、知识结构定积分的经典背景是曲边梯形的面积，而定积分的定义是一种特定的极限模式，它分为任意分割区间、任意在各区间内取点、做和式、取极限四步，简称“四步构造法”。
３、重点、难点、关键重点是定积分的概念，难点是利用定义计算定积分，关键是理解定积分定义的“四步构造法”及定积分的几何意义。
三、说教学目标1、知识目标：理解定积分的定义与几何意义，掌握可积的条件，会用定义与几何意义求简单函数的定积分。
2、能力目标：培养学生的抽象思维能力,探索能力和高等数学语言表达能力。
3、情感、态度目标：培养学生勇于探索新知的科学态度,克服畏难心理。
四、说教法学法定积分的定义既抽象又难懂，为了克服学生学习中的畏难心理，我在教学中设计了由曲边梯形的面积引出定积分的定义的如下探索方案：教法：引导探究法与讲解法1、曲边梯形→ 若干窄曲边梯形→ 若干窄矩形。
2、曲边梯形的面积可近似用若干窄矩形的面积和来近似。
3、取和式的极限，引出定积分的定义。
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解定积分的概念，掌握定积分的几何意义。
2. 通过实例，让学生学会运用定积分求解实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 定积分的概念2. 定积分的几何意义3. 定积分的应用教学难点：1. 定积分的概念理解2. 定积分的几何意义与实际问题的联系教学过程：第一课时一、导入1. 回顾函数、导数等知识，引出定积分的概念。
2. 提出问题：如何求解曲边图形的面积？二、新课讲解1. 定积分的概念（1）定义：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么积分∫[a, b]f(x)dx表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b、直线y=0所围成的平面图形的面积。
（2）性质：定积分与积分变量的字母无关，只与积分上、下限的大小有关。
2. 定积分的几何意义（1）几何直观：定积分表示由曲线y=f(x)、直线x=a、直线x=b、直线y=0所围成的平面图形的面积。
（2）应用：求解平面图形的面积、体积等实际问题。
三、例题讲解1. 例1：求由曲线y=x^2、直线x=0、直线x=1所围成的平面图形的面积。
2. 例2：求由曲线y=sin(x)、直线x=0、直线x=π所围成的平面图形的面积。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调定积分的概念和几何意义。
2. 强调定积分在实际问题中的应用。
第二课时一、复习1. 回顾定积分的概念和几何意义。
2. 回顾定积分在实际问题中的应用。
二、新课讲解1. 定积分的计算方法（1）牛顿-莱布尼茨公式：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
（2）换元积分法：通过适当的换元，将定积分转化为基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分。
2. 定积分的应用（1）求解平面图形的面积（2）求解立体图形的体积三、例题讲解1. 例1：求由曲线y=x^2、直线x=0、直线x=2所围成的平面图形的面积。
高中数学教学定积分教案1. 理解定积分的概念；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的概念；2. 定积分的计算方法。
教学难点：1. 定积分计算中的技巧问题；2. 定积分的应用问题。
教学内容：一、定积分的概念1. 定积分的定义；2. 定积分的性质。
二、定积分的计算方法1. 定积分的基本性质；2. 定积分的计算公式；3. 定积分的计算方法。
三、定积分的应用1. 定积分的几何意义；2. 定积分的物理意义；3. 定积分的应用举例。
教学过程：一、导入教师引入积分的概念，介绍定积分的定义及意义，激发学生对定积分的兴趣。
二、讲解1. 讲解定积分的性质和基本概念；2. 分步讲解定积分的计算方法，包括不定积分的转换和定积分的计算公式。
三、示范教师展示一些定积分的计算例题，让学生跟随计算步骤进行练习。
四、练习学生进行练习，巩固定积分的计算方法，提高解题能力。
五、应用教师介绍定积分在几何和物理问题中的应用，引导学生进行实际问题的解决。
六、总结对本节课的内容进行总结，强调定积分的重要性和应用价值。
七、作业布置相关的定积分作业，检验学生对定积分的掌握程度。
教学反思：本节课针对高中学生的实际情况，通过梳理定积分的基本概念、计算方法和应用，帮助学生理解和掌握定积分的内容，提高解题能力和问题应用能力。
应灵活运用多种教学方法，引导学生参与课堂互动，激发学生的学习兴趣，达到教学目标。
高中数学定积分讲义一、理解定积分的概念1、产生背景：2、曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．yi记n 个小曲边梯形的面积分别为：△S 1, △S 2,…, △S n ， 则曲边梯形的面积S=△S 1+△S 2+…+△S n 第二步 近似代替在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(,n i i =ξ 则i i i x f s ∆⋅≈∆)(ξ, 第三步 求和 i i ni x f s ∆⋅≈∑=)(1ξ第四步 取极限∑=∞→∆⋅=ni ii n x f s1)(lim ξ阿基米德问题：求由抛物线y=x 2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．°分割：将区间[0,1]分成n 等份： △s1,,,1n n -⎡⎡⎢⎢⎣⎣2°近似代替：x n i xn i f s s ii ∆-=∆-='∆≈∆2)1()1(),,2,1(1)1(2n i nn i =⋅-=3°求和： S n =n n i x n i f s sni ni ni i ni i1)1()1(21111⋅-=∆-='∆≈∆∑∑∑∑====nn n n n n n n 1)1(1)2(1)1(10222⋅-+⋅+⋅+⋅= ])1(321[122223-++++=n n6)12()1(13--⋅=n n n n )211)(11(31nn --= 4°取极限： 31)211)(11(31lim lim 1=--='∆=∞→=∞→∑n n s s n ni i n 求曲边梯形面积的“四步曲”：1°分割 化整为零以直代曲3°求和积零为整刨光磨平1、定积分的概念：例2、已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，直线2:1=x l ,直线t t y l 8:22+-=（其中0≤t ≤2,t 为常数）。
高中数学定积分内容教案一、教学内容分析：定积分是微积分中的一个重要概念，通过定积分的学习，可以帮助学生深入理解积分的概念和原理，掌握定积分的计算方法，以及应用定积分解决实际问题的能力。
在高中数学中，定积分主要包括定积分的定义、定积分的计算方法、定积分的性质和定积分的应用等内容。
二、教学目标设定：1. 理解定积分的定义和意义；2. 掌握定积分的计算方法，包括不定积分、定积分的性质和定积分的应用；3. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学建模能力。
三、教学步骤安排：第一步：定积分的定义和意义1. 定积分的概念和意义；2. 定积分的定义及其几何意义；3. 定积分的性质和计算方法。
第二步：定积分的计算方法1. 不定积分与定积分的关系；2. 定积分的计算方法；3. 定积分的性质和公式。
第三步：定积分的性质和应用1. 定积分的性质及其应用；2. 定积分在实际问题中的应用；3. 综合练习和解题训练。
四、教学方法和手段：1. 讲解教学法：通过教师讲解、示范和分析，引导学生理解和掌握定积分的概念和计算方法；2. 互动探究法：通过问题探讨、讨论和实例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；3. 实践演练法：通过课堂练习、作业布置和实际问题解答，提高学生的运用能力和实际应用能力。
五、评估方法：1. 定期考试和小测验；2. 作业评订和讲评；3. 课堂互动和问题解答。
六、教学资源准备：1. 教材和教辅资料；2. 多媒体教学设备；3. 实例和练习题。
七、教学反馈和改进：1. 定期组织教学反馈和讨论；2. 定期总结和评估学生学习情况；3. 结合学生实际情况，适时调整和改进教学方法和手段。
定积分的概念说课稿xxxx各位专家：大家好！我今天说课的题目是定积分的概念。
下面我从课程标准、教材分析、教学目标、教法学法、教学过程、板书设计六方面谈一下自己的理解和认识。
一、说课程标准根据专科学校高等数学课程要求，结合我校学生实际，对定积分的概念这节课提出三点要求：1、让学生认识到学习定积分的重要性。
2、了解定积分的定义和几何意义。
3、使学生建立变量的思想。
二、说教材1、定积分的概念的地位、作用及前后联系定积分定义是从曲边梯形的面积及变速直线运动的路程引出的，抓住其数量关系上的共同本质与特征加以概括，就可以抽象出定积分的概念，进而给出可积的条件及定积分的几何意义．正确理解定积分的概念及几何意义有助于进一步讨论定积分的性质与计算方法。
2、知识结构定积分的经典背景是曲边梯形的面积，而定积分的定义是一种特定的极限模式，它分为任意分割区间、任意在各区间内取点、做和式、取极限四步，简称“四步构造法”。
３、重点、难点、关键重点是定积分的概念，难点是利用定义计算定积分，关键是理解定积分定义的“四步构造法”及定积分的几何意义。
三、说教学目标1、知识目标：理解定积分的定义与几何意义，掌握可积的条件，会用定义与几何意义求简单函数的定积分。
2、能力目标：培养学生的抽象思维能力,探索能力和高等数学语言表达能力。
3、情感、态度目标：培养学生勇于探索新知的科学态度,克服畏难心理。
四、说教法学法定积分的定义既抽象又难懂，为了克服学生学习中的畏难心理，我在教学中设计了由曲边梯形的面积引出定积分的定义的如下探索方案：教法：引导探究法与讲解法1、曲边梯形→若干窄曲边梯形→若干窄矩形。
2、曲边梯形的面积可近似用若干窄矩形的面积和来近似。
3、取和式的极限，引出定积分的定义。
4、对定积分的概念提出四个注意点。
学法：实践法观察法协作法(自主学习分组讨论归纳总结)5、请学生通过定理1、2来理解两个可积的充分条件。
6、请学生用图形直观地揭示定积分的本质。
第五章 定积分的概念教学目的与要求：1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。
2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。
3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。
5.1定积分概念 一． 定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=i ni i x f 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰badx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。
注1． 定积分还可以用δε-语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=⎰badx x f )(和S=⎰21)(T T dt t v3有定义知道⎰badx x f )(表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰b adu u f )(=⎰badt t f )(4定义中的0→λ不能用∞→n 代替5如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。
定积分的概念说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用本节课选自二十一世纪普通高等教育系列教材《高等数学》第三章第二节定积分的概念与性质，是上承导数、不定积分，下接定积分在水力学、电工学、采油等其他学科中的应用。
定积分的应用在高职院校理工类各专业课程中十分普遍。
2、教学目标根据教材内容及教学大纲要求，参照学生现有的知识水平和理解能力，确定本节课的教学目标为：（1）知识目标：掌握定积分的概念，几何意义和性质（2）能力目标：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，培养逻辑思维能力和进行知识迁移的能力，培养创新能力。
（3）思想目标：激发学习热情，强化参与意识，培养严谨的学习态度。
3、教学重点和难点教学重点：定积分的概念和思想教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想二、学情分析一般来说，学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受很快，有的接受很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，综合教材内容，我以板书教学为主，多媒体课件为辅，把概念性较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探究性学习。
三、教法和学法1、教法方面以讲授为主：案例教学法（引入概念）问题驱动法（加深理解）练习法（巩固知识）直观性教学法（变抽象为具体）2、学法方面：板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点）（1）发现法解决第一个案例（2）模仿法解决第二个案例（3）归纳法总结出概念（4）练习法巩固加深理解四、教学程序1、组织教学2、导入新课：我们前面刚刚学习了不定积分的一些基本知识，我们知道不定积分的概念、几何意义和性质，今天我们要学习定积分的概念、几何意义和性质。
3、讲授新课（分为三个时段）第一时段讲授概念：案例1：曲边梯形的面积如何求？首先用多媒体演示一个曲边梯形，然后提出问题（1）什么是曲边梯形？（2）有关历史：简单介绍割圆术及微积分背景（3）探究：提出几个问题（注意启发与探究）a、能否直接求出面积的准确值？b、用什么图形的面积来代替曲边梯形的面积呢？三角形、矩形、梯形？采用一个矩形的面积来近似与二个矩形的面积来近似，一般来说哪个值更接近？二个矩形与三个相比呢？……探究阶段、概念引入阶段、创设情境、抛砖引玉（4）猜想:让学生大胆设想，使用什么方法，可使误差越来越小，直到为零？（5）论证：多媒体图像演示，直观形象模拟,让学生逐步观察到求出面积的方法.（6）教师讲解分析:“分割成块、近似代替、积累求和、无穷累加”的微积分思想方法。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义方法和性质。
2. 学会利用定积分解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力、创新能力和合作能力。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分的定义、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：定积分的概念、性质，定积分的计算方法。
2. 难点：定积分的理解和运用，定积分的计算技巧。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究定积分的概念和性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为定积分问题。
3. 运用讨论法，培养学生的合作能力和创新思维。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考如何求解曲边图形的面积。
2. 探究定积分的概念：讲解定积分的定义，让学生理解定积分的基本思想。
3. 学习定积分的性质：引导学生通过举例，总结定积分的性质。
4. 定积分的计算：讲解牛顿-莱布尼茨公式，教授换元法和分部积分法。
5. 应用定积分解决实际问题：让学生分组讨论，选取实例进行分析。
6. 总结与反馈：对所学内容进行总结，收集学生反馈，及时调整教学方法。
六、教学评价1. 评价学生对定积分概念的理解程度，通过课堂提问、作业批改等方式进行。
2. 评价学生对定积分性质的掌握情况，通过课后练习、小测验等方式进行。
3. 评价学生运用定积分解决实际问题的能力，通过分组讨论、课堂展示等方式进行。
七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，展示定积分的概念、性质和计算方法。
2. 教学案例：收集与生活实际相关的案例，用于引导学生运用定积分解决实际问题。
3. 练习题库：编写一定数量的练习题，用于巩固学生对定积分的理解和运用。
八、教学进度安排1. 第1周：导入定积分的概念，讲解定积分的定义和性质。
高二数学《定积分的概念》教案【小编寄语】查字典数学网小编给大伙儿整理了高二数学《定积分的概念》教案，期望能给大伙儿带来关心!学习目标1、知识与技能目标明白得并把握定积分的概念和定积分的几何意义。
2、过程与方法目标通过学生自主探究、合作交流，培养学生分析、比较、概括等思维能力,形成良好的思维品质。
3、情感态度与价值观目标通过学生积极参与课堂活动，让学生体验制造的激情和成功的欢乐，教学过程中及时地夸奖鼓舞学生，让学生领会到实实在在的成就感。
教学重点定积分的概念，定积分的几何意义。
教学难点定积分的概念。
一、创设情境，引入新课创设情境：请大伙儿闭上眼睛，回忆曲边图形面积的求法，求与直线=1，=0所围成的平面图形的面积。
教师口述：分割→近似代替→求和→取极限引入新课：定积分的概念假如函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为( )，在每个小区间上取一点，作和式：【问题】假如时，上述和式无限趋近于一个常数，那么称该常数为___________________________，记为：___________________________，即：___________________________。
注意：①称为______________，叫做_____________，为_______ ______，与分别叫做________________与________________。
②定积分是一个常数，只与积分上、下限的大小有关，与积分变量的字母无关，。
二、自主探究合作交流探究一：在求积分时要把等分成个小区间，是否一定等分?探究二：在每个小区间上取一点，是否一定选左端点?探究三：分组讨论定积分的几何意义是什么?探究四：分组讨论依照定积分的几何意义，用定积分表示图中阴影部分的面三、例题剖析，初步应用例1 利用定积分的定义，运算的值引导：如何样用定积分法求简单的定积分呢?解：令定积分的性质依照定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 (定积分的线性性质)性质2 (定积分的线性性质)摸索(用定积分的概念说明)：性质3 (其中)(定积分对积分区间的可加性)摸索(用定积分的几何意义说明)：_四、课堂练习巩固提高1、从几何上说明：表示什么?2、运算的值。
微专题 25定积分一、基础知识1、相关术语：对于定积分bf x dx a（1）a,b :称为积分上下限，其中 a b（2）f x：称为被积函数（3）dx：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例b22b2如：中的被积函数为f x x tx ，而x的被积函数为a x t x d x t x d taf t xt x22、定积分bf x dx 的几何意义：表示函数f x 与x轴，x a, x b 围成的面积（ x 轴上a方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当f x图像在a,b 完全位于x轴上方时，bx dx 才表示面积。
b x dx 可表示数f x与 x 轴， x a, x b 围成的面积的总和，f fa a但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有 2 种：（ 1）微积分基本定理：如果 f x 是区间 a,b上的连续函数，并且 F ' x f x ，那么bf x dx F x |b a F b F aa使用微积分基本定理，关键是能够找到以f x为导函数的原函数F x 。
所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：f x C f 'x0 f x x f 'x x 1f x sin x f 'x c o sx f x cosx f 'x s i n xf x a xf'xxln a f xxf'xxa e ef x log a x f 'x1f x ln x f 'x1xln a x① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如： f x x3，则判断属于幂函数类型，原函数应含x4，但 x4'4x3，而f x x 3，所以原函数为 F x1 x 4 C （ C 为常数）4② 如果只是求原函数， 则要在表达式后面加上常数 C ，例如 fx 2x ，则 F x x 2 C，但在使用微积分基本定理时，会发现 F b F a 计算时会消去 C ，所以求定积分时， F x不需加上常数。
1定积分的概念如图，阴影部分是由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝1以及x 轴所围成的平面图形． 问题1：通常称这样的平面图形为什么？ 提示：曲边梯形．问题2：如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和． 问题3：你能求出近似值吗？提示：能．不妨将区间[0,1]五等分，如图所示．求出图甲或图乙所有阴影小矩形的面积和S 1或S 2，即为曲边梯形面积S 的近似值． 问题4：如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确． 1．定积分的概念给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b ，记Δx i 为第i 个小区间[x i －1，x i ]的长度，ξi 为这个小区间上一点，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋ f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，就称A 是函数y ＝f (x )在区间 [a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝A ，其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是x ＝a 与x ＝b ，y ＝0和y ＝f (x )所围成曲边梯形的面积．(2)当f (x )(f (x )≥0)表示速度关于时间x 的函数时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是运动物体从x ＝a 到x ＝b 时所经过的路程．3．定积分的性质 (1)⎠⎛a b1d x ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x ；(3)⎠⎛a b[f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ； (4)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .1．由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .2．性质3对于有限个函数(两个以上)也成立．性质4对于把区间[a ，b ]分成有限个(两个以上)区间也成立．3．利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为零、积零为整”的过程．过剩估计值和不足估计值的应用[例1] )＝－t 2＋5(单位：km/h)．试估计这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程．[思路点拨] 将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过求矩形面积问题即可解决．[精解详析] 将区间[0,2]10等分，如图：S ＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72，s ＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2＝6.92，∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km 与7.72 km 之间．[一点通] 解决这类问题，是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值．1．把区间[0,1]n 等分，所得n 个小区间，每个小区间的长度为( ) A.1nB.2nC.3nD.12n解析：选A 区间[0,1]的长度为1，被n 等分，所以每个小区间的长度为1n.2．求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝12x 2所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差．解：将区间[1,2]5等分，分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s 和过剩估计值S .s ＝⎝ ⎛ 12×12＋12×1.22＋12×⎭⎪⎫1.42＋12×1.62＋12×1.82×0.2＝1.02， S ＝⎝ ⎛12×1.22＋12×1.42＋12×⎭⎪⎫1.62＋12×1.82＋12×22×0.2＝1.32， 估计误差不会超过S －s ＝1.32－1.02＝0.3.利用定积分的几何意义求定积分[例2] (1) ⎠⎛－1 14－x 2d x ；(2)⎰522ππ(1＋sin x )d x .[思路点拨] 定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x 轴上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．[精解详析] (1)由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为π3的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3， S 矩形＝AB ·BC ＝23，∴⎠⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)函数y ＝1＋sin x 的图像如图所示，⎰522ππ(1＋sin x )d x 表示阴影部分的面积，由图像的对称性可知：⎰522ππ(1＋sin x )d x ＝S 矩形ABCD ＝2π.[一点通] 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．3．据定积分的几何意义比较大小，并用“>”“<”或“＝”号连接下列各式：(1) ⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ； (2) ⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x .解析：(1)如图：⎠⎛01x d x 表示△OAP 的面积，⎠⎛01x 2d x 表示阴影部分的面积，显然⎠⎛01x d x >⎠⎛01x 2d x .(2)如图：⎠⎛01x d x 表示△OAB 的面积，∫21x d x 表示梯形ABDC 的面积，故⎠⎛01x d x <∫21x d x .答案：(1)> (2)<4.利用定积分的几何意义，说明下列等式．(1) ⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛011－x 2d x ＝π4. 解：(1)如图1，⎠⎛012x d x 表示由曲线y ＝2x ，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，由S △＝12×2×1＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)如图2，⎠⎛011－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的面积．由S 圆＝π，得⎠⎛011－x 2d x ＝π4. 利用定积分的性质求定积分[例3] (1)若⎠⎛01[f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛01[f (x )－g (x )]d x ＝－5，则∫10f (x )d x ＝________.(2)若⎠⎛a b 2f (x )d x ＝5，则13⎠⎛a b[2－f (x )]d x ＝____________.[思路点拨] 涉及定积分的线性运算时，可考虑用定积分的性质进行求解． [精解详析] (1)依题意知⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛01g (x )d x ＝3， ⎠⎛01f (x )d x －⎠⎛01g (x )d x ＝－5， 两式相加，得2⎠⎛01f (x )d x ＝－2， 故⎠⎛01f (x )d x ＝－1.(2)∵⎠⎛a b 2f (x )d x ＝2⎠⎛a bf (x )d x ＝5，∴⎠⎛abf (x )d x ＝52. 于是13⎠⎛a b [2－f (x )]d x ＝13⎣⎡⎦⎤⎠⎛ab2d x －⎠⎛a bf x d x＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －2a －52＝23b －23a －56.[答案] (1)－1 (2)23b －23a －56[一点通] 利用定积分的性质可将被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分，将未知的定积分转化为已知的定积分；对于分段函数类型的定积分，可以利用定积分的性质分解求值．5．若⎠⎛a b f (x )d x ＝3，⎠⎛a b g (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝________. 解析：⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝3＋2＝5.答案：56．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )d x .解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛12(－2x ＋4)d x .又由定积分的几何意义得⎠⎛01(x ＋1)d x ＝12(1＋2)×1＝32，⎠⎛12(－2x ＋4)d x ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )d x ＝32＋1＝52. (1)定积分⎠⎛a bf (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同． (2)利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f (x )所表示的图形以及积分上、下限．1．下列等式不成立的是( )A. ⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a bg (x )d x B. ⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋b －a C. ⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛a bg (x )d x D. ⎠⎛－2π 2πsin x d x ＝⎠⎛－2π 0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x解析：选C 由定积分的性质知选项A ，B ，D 正确，故选C. 2．定积分⎠⎛13(－3)d x ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A ⎠⎛133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.3．求由曲线y ＝e x，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分上限和积分下限分别为( )A ．e 2,0 B ．2,0 C ．2,1D ．1,0解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝e 2.所以积分上限为2，积分下限为0.4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125 C.127D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1， 各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝981＝19.5．已知⎠⎛a bf (x )d x ＝6，则⎠⎛a b6f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛a b 6f (x )d x ＝6⎠⎛a bf (x )d x ＝36.答案：366．计算⎠⎛124－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB ＝3，∠AOB ＝π3，故S 阴＝16×4π－12×1×3＝2π3－32. 答案：2π3－327．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563， 求：(1) ⎠⎛023x 3d x ；(2) ⎠⎛146x 2d x ；(3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x . 解：(1) ⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2) ⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x＝3×73－2×154＝－12.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．解：由定积分的几何意义知⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1， ∴⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92.。
数学选修2-2知识点总结一、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，()用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9．求曲边梯形的思想和步骤:分割→近似代替→求和→取极限 （“以直代曲”的思想）10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1a b dx ba-=⎰1性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥⎰b adx x f①推广：1212[()()()]()()()bbbbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。
（2）力的积分为功。
二、推理与证明知识点13.归纳推理的定义： 从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．．的推理。
14.归纳推理的思维过程大致如图：15.归纳推理的特点:实验、观察概括、推广猜测一般性结论①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
类比推理是由特殊．．的推理。
．．到特殊17.类比推理的思维过程18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
演绎推理是由一般．．的推理。
．．到特殊19．演绎推理的主要形式：三段论20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确．．．，即所求证命题正确。
26常见的“结论词”与“反义词”27.反证法的思维方法:正难则反．．．．28.归缪矛盾 （1）与已知条件．．．．矛盾: （2）与已有公理、定理、定义．．．．．．．．．．矛盾； （3）自相．．矛盾．29．数学归纳法（只能证明与正整数．．．有关的数学命题）的步骤 (1)证明：当n 取第一个值．．．．()00n n N *∈时命题成立；(2)假设当n=k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1．．．．．时命题也成立. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 [注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
三、数系的扩充和复数的概念知识点30.复数的概念：形如a+bi ．．．．的数叫做复数，其中i 叫虚数单位，a 叫实部， b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
规定：a bi c di +=+⇔a=c ．．．且．b=d ．．．， 强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。
31．数集的关系：0000b Z a b a =⎧⎪≠⎧⎨⎪≠⎨⎪=⎪⎩⎩实数 ()复数一般虚数()虚数 ()纯虚数()32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=，都可以由一个有序实数对),(b a 唯一确定。
由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作bi a z +或。
由模的定义可知：22b a bi a z +=+=35.复数的加、减法运算及几何意义①复数的加、减法法则：12z a bi c di =+=+与z ，则12()z z a c b d i ±=±+±。
注：复数的加、减法运算也可以按向量．．的加、减法来进行。
②复数的乘法法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++。
③复数的除法法则：2222()()()()a bi a bi c di ac bd bc adi c di c di c di c d c d++-+-==+++-++其中c di -叫做实数化因子 36.共轭复数:两复数a bi a bi +-与互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律(1);(2)2,2;z z z z a z z bi =+=-=2222(3);(4);(5)z z z z a b z z z z z R ⋅===+==⇔∈41424344(6),1,,1;n n n n ii iii i++++==-=-=()2211(7)1;(8),,11i i i i i i i i i +-±=±==-=±-+)9(设231i +-=ω是1的立方虚根，则012=++ωω，1,,332313===+++n n n ωωωωω。
