高中数学导数与定积分知识点

积分导数知识点总结高中积分和导数的概念最初来源于求解曲线的斜率和面积的问题。

导数描述了曲线在某一点的斜率，而积分则描述了曲线下的面积。

接下来，我们将深入探讨积分和导数的相关知识点，包括它们的定义、性质和求解方法等。

一、导数的概念和性质导数是函数在某一点处的斜率，它描述了函数在该点附近的变化率。

导数可以用以下极限形式来定义：\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]其中，\( f'(x) \) 表示函数 \( f(x) \) 在点 \( x \) 处的导数。

导数的性质包括：1. 可导性：如果函数在某点处有导数，那么它在该点处是可导的。

2. 导数的基本性质：- 两个函数的和（差）的导数等于它们各自的导数的和（差）；- 两个函数的积的导数等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以第一个函数的导数；- 两个函数的商的导数等于分母函数乘以分子函数的导数减去分子函数乘以分母函数的导数再除以分母函数的平方。

3. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为该函数的二阶导数，类推，可以得到更高阶的导数。

二、积分的概念和性质积分描述了函数下的面积，或是曲线的长度。

积分的概念最初来源于求解面积问题，它可以用以下定积分的形式来定义：\[ \int_{a}^{b} f(x) dx \]其中，\( \int \) 表示积分，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分的上下限，\( f(x) \) 是要积分的函数。

积分的性质包括：1. 可积性：如果函数在闭区间上是有界的，则它在该区间上是可积的。

2. 积分的基本性质：- 根据可积性，定积分是存在的；- 定积分的几何意义是曲线与 \( x \) 轴之间的面积；- 定积分满足可加性和线性性质。

3. 不定积分：不定积分表示求解函数的原函数的过程，它是积分的逆运算。

三、积分和导数的关系积分和导数是微积分中最重要的两个概念，它们之间存在着密切的关系。

高中数学微积分知识点一、导数的概念与运算。

1. 导数的定义。

- 函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)定义为f^′(x_0)=limlimits_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}。

- 函数y = f(x)的导数f^′(x)，y^′或(dy)/(dx)，f^′(x)=limlimits_Δ x→0(f(x + Δ x)-f(x))/(Δ x)。

2. 导数的几何意义。

- 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)的几何意义是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。

- 曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y - f(x_0)=f^′(x_0)(x - x_0)。

3. 基本初等函数的导数公式。

- C^′=0（C为常数）- (x^n)^′=nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′=-sin x- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′=e^x- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)（x>0）4. 导数的运算法则。

- (u± v)^′=u^′± v^′- (uv)^′=u^′v + uv^′- ((u)/(v))^′=frac{u^′v - uv^′}{v^2}(v≠0)二、导数的应用。

1. 函数的单调性。

- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，则y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，则y = f(x)在这个区间内单调递减。

2. 函数的极值。

- 设函数y = f(x)在点x_0处可导，且在x_0处取得极值，那么f^′(x_0) = 0。

大一高数知识点总结大一高等数学是一门基础课程，重点讲解一元函数的极限、连续性、导数以及定积分等内容。

以下是对大一高等数学知识点的总结：一、函数及极限1. 函数的概念：定义域、值域、对应关系2. 极限的概念：数列极限和函数极限的定义3. 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、保序性、夹逼定理4. 无穷大与无穷小：无穷大的定义与性质、无穷小的定义与性质、等价无穷小5. 极限运算法则：四则运算、复合函数、极限的存在准则6. 常用极限：基本极限、反函数极限、三角函数极限、指数函数和对数函数极限、洛必达法则二、连续性与间断点1. 连续函数的定义：初等函数的连续性、反函数的连续性、复合函数的连续性2. 间断点的分类：第一类间断点、第二类间断点、可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点3. 连续函数的性质：介值定理、零点定理、连续函数的保号性、闭区间上连续函数的最值定理三、导数与微分1. 导数的概念：导数的定义、几何意义、物理意义2. 导数的性质：四则运算法则、复合函数求导、反函数求导、常用函数的导数3. 高阶导数：二阶导数、高阶导数4. 导数的几何应用：切线与法线、函数图形的凹凸性、极值与变曲率5. 微分的概念：微分的定义、微分的性质、微分近似计算四、函数的应用1. 泰勒公式与函数展开：泰勒公式及其应用、函数展开与近似计算、求极限与展开2. 极值问题：最值问题的转化、最大最小值的判断方法、约束最值问题的求解3. 曲线的拟合与函数模型：最小二乘法及其应用、曲线拟合的方法与模型选择五、定积分1. 定积分的概念：黎曼和、不定积分与原函数、定积分的定义与性质2. 定积分的计算：定积分的基本性质、定积分的换元法、分部积分法、换限积分法、参数方程与极坐标下的定积分3. 定积分的应用：定积分的几何应用、物理应用、平均值与积分中值定理、变限积分与定积分的微分学应用总之，大一高等数学是培养学生逻辑思维和分析问题的能力的基础课程。

高中数学微积分知识点总结微积分是数学中重要的分支之一，涵盖了许多关键的概念和技巧。

在高中数学教育中，微积分被广泛教授，并且是进入大学数学学习的基础。

本文将总结高中数学微积分的关键知识点，帮助学生巩固学习成果，并为他们进一步深入研究提供基础。

1. 导数导数是微积分的核心概念之一。

它描述了函数在某一点上的变化率。

导数的计算方法包括使用基本的求导法则，如常数规则，幂函数规则，指数函数规则和三角函数规则。

在计算导数时，我们还可以使用链式法则和隐式微分法。

2. 函数的极值函数的极值是函数图像上的最大值和最小值。

根据导数的性质，我们可以通过求导来找到函数的极值点。

具体来说，函数在导数为零或导数不存在的点可能具有极值。

然后，我们可以通过二阶导数的符号来确定这些点是极大值还是极小值。

3. 定积分定积分是微积分中的另一个关键概念，用于计算曲线下的面积或曲线长度。

定积分的计算需要求出积分上下限之间的函数的面积。

我们使用不定积分来计算定积分，并使用积分上下限来确定曲线的范围。

4. 微分方程微分方程是关于未知函数及其导数的方程。

高中数学中，主要学习了一阶微分方程。

求解微分方程的一般步骤包括分离变量，积分，以及解释常数。

解方程时，需要根据给定初始条件来求解常数。

5. 泰勒展开泰勒展开是将一个函数在某点周围展开为幂级数的表达式。

它可以用来近似计算复杂函数的值。

泰勒展开的基本思想是使用函数值及其各阶导数的信息来逼近函数的形式。

具体的展开公式取决于所考虑的阶数。

以上是高中数学微积分的一些关键知识点的总结。

通过掌握这些知识，学生们将能够更好地理解微积分的基本概念和方法，并为进一步深入研究打下坚实的基础。

希望本文对高中数学学生的学习有所帮助，并激发他们对微积分的兴趣和探索精神。

让我们一起享受微积分带来的挑战和成就吧！。

定积分和微积分要点讲解一、定积分的概念教材上从求曲边梯形的面积和变速运动的路程出发引入了定积分的概念：如果函数()f x 在区间[],a b 上是连续的，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ（1,2,,i n =），作和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即()()1li m nbi an i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰． 对这个概念我们应从如下几个方面进行理解１．对区间[],a b 分割的绝对任意性：在定义中我们将区间[],a b 进行等分是为了计算上的方便，实际上对区间[],a b 的分割是任意的，这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即可．２．在每个小区间[]1,i i x x -上取点的绝对任意性：在教材上的两个例题是为了计算的方便将点取小区间[]1,i i x x -的端点，实际上我们可以在区间[]1,i i x x -上任意取点，如取中点等．３．当n →∞时，和式()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑无限接近某个常数的唯一确定性．它不依赖于对区间[],a b 的分割方法，也不依赖于在每个小区间[]1,i i x x -上取点的方式．即()baf x dx ⎰是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和被积函数的唯一确定的常数．同时它也与积分变量无关，即()()b baaf x dx f t dt =⎰⎰．４．数学思想上的划时代意义．产生定积分概念的＂以直代曲＂＂以匀速代变速＂和＂无限逼近＂的数学思想，使人类在认识数学世界的观念上有了重大突破，在数学的发展史上具有重大意义．我们要仔细理解体会这种思想，可以说这才是我们在高中阶段学习定积分的真正目的．例如在求曲边梯形的面积的课本例１中，我们把区间[]0,1等分成n 个小区间，在每个小区间上＂以直代曲＂就将曲边问题转化为直边问题，随着n 的增大这些小区间的宽度越来越小，这时在每个小区间上直边形的面积已经和曲边形的面积非常接近，我们就可以以这些小直边形的面积之和近似代替曲边形的面积，而当n →∞时这些小直边形就几乎变成了线段，这时小直边形的面积几乎就等于小曲边形的面积，这无穷个几乎变成了线段的直边形的面积之和就是所求的曲边形的面积了．我们常说＂线动成面＂，对课本例１，我们也可以这样形象的理解：就将小直边形的宽度变成零，使其成为线段，这时小直边形和小曲边形的就完全重合了，而将这些线段从0到1运动就形成了()2f x x =，1x =， x 轴所围成的曲边形，将这些线段的＂面积＂积累起来就是所求的曲边形的面积． 二、微积分基本定理的应用作变速直线运动的物体如果其运动方程是()S t ，那么该物体在时间区间[],a b 内通过的路程是()()S b S a -，另一方面由导数的物理意义，该物体在任意时刻的瞬时速度为()()'S t s t =，我们把该物体运动的时间区间[],a b 无限细分，在每个小时间段上，将其速度看作匀速，就能求出该物体在每个小时间段上通过的路程，将这无限个小时间段上的路程加起来，就是该物体在时间区间[],a b 上通过的路程，由定积分的定义可知，这个数值是()bas t dt ⎰．由此可知()()()()'b baaS t dt s t dt S b S a ==-⎰⎰．一般地有如下结论：如果()f x 是[],a b 上的连续函数，并且有()()F x f x '=，则()()()baf x dx F b F a =-⎰．这就是微积分基本定理，是微积分学最为辉煌的定理，是数学发展史的一个重要里程碑，利用这个定理可以很方便的计算定积分，其关键是找到一个函数使其导数等于被积函数，下面举例说明它在计算定积分上的应用．例１ 计算定积分()1xx ee dx --⎰分析：()'x x e e =，()'x x e e --=-，故()'x x x x e e e e --+=-．解：()()11'112xxxx xx eedx eedx ee e e---⎡⎤-=+=+=+-⎣⎦⎰⎰．点评：关键是找()F x ，使()'x xF x e e -=-，可以通过求导运算求探求．例２ 计算定积分220cos sin 22x x dx π⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰．分析：被积函数比较复杂，我们可以先化简，再探求．由于222cos sin cos 2cos sin sin 1sin 222222x x x x x x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，而'1x =，()cos 'sin x x =-，故()2cos '1sin cos sin 22x x x x x ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．解：()()[]2'2222000cos sin 1sin cos cos 2212x x dx x dx x x dx x x πππππ⎛⎫-=-=+=+ ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰点评：被积函数较为复杂时要先化简在求解． 掌握如下的定积分计算公式对解题是有帮助的．①111bm m ab x dx xa m +=+⎰（,1m Q m ∈≠-），②1ln bab dx x a x =⎰，③b x x a b e dx e a =⎰，④ln x n xm n a a dx ma =⎰，⑤cos sin bab xdx xa=⎰，⑥()sin cos babxdx x a=-⎰．例如 例３ 计算定积分()1223x x dx -⎰．分析：先展开再利用上面的定积分公式． 解：()1223xx dx -⎰=()104269xxxdx -⋅+⎰=146920ln 4ln 6ln 9x x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 3108ln 4ln 6ln 9=-+． 点评：根据定积分公式结合定积分的运算性质是计算定积分的根本．从上面不难看出利用微积分基本定理计算定积分比用定义计算要方便的多，在实际解题中要注意对被积函数的化简展开以及有意识的利用定积分的三条运算性质，以起到化难为易的作用．三、定积分的三条性质根据定积分的定义不难得到定积分的三条性质 性质1．常数因子可提到积分号前，即：()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰（k 为常数）；性质2．代数和的积分等于积分的代数和： 即：()()()()bb bx aa a f x g x dx f x d g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰；性质3．（定积分的可加性）如果积分区间[],a b 被点c 分成两个小区间[],a c 与[],c b ， 则：()()()bc daacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。

第6节导数与函数的最值【基础知识】函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【规律技巧】设函数f(x)在[a ，b]上连续，在(a ，b)内可导，求f(x)在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a ，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【典例讲解】例1已知函数f(x)＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．【解析】由f(x)＝e x －ax 2－bx －1，有g(x)＝f ′（x)＝e x －2ax －b.所以g ′（x)＝e x－2a.因此，当x ∈[0,1]时，g ′（x)∈[1－2a ，e －2a]．当a ≤12时，g ′（x)≥０，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′（x)≤０，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b ；当12<a<e 2时，令g ′（x)＝0得x ＝ln(2a)∈(0,1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b.综上所述，当a ≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b ；当12<a<e 2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b ；当a ≥e 2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b.【拓展提升】(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f(x)在(a ，b)内所有使f ′（x)＝0的点，再计算函数y ＝f(x)在区间内所有使f ′（x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．【变式探究】已知函数f (x)＝(x －k)e x .(1)求f (x)的单调区间；(2)求f (x)在区间[0,1]上的最小值．【针对训练】1、已知函数32()1f x x bxcx 有两个极值点12,x x 且12[2,1],[1,2]x x ，则(1)f 的取值范围是（）A ．[3,12]B ．3[,6]2C ．3[,3]2D ．3[,12]2【答案】A 2、已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R)．(1)若函数f(x)在x ＝1处有极值10，求b 的值；(2)若对于任意的a ∈[－4，＋∞)，f(x)在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值．【答案】（1）b ＝－11；（2）163.【综合点评】求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．【练习巩固】1、设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x 2－x 3，其中a ＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．2、若不等式29ln bx c x x 对任意的0+x ，，03b ，恒成立，则实数c 的取值范围是．【答案】9ln 3，3、已知函数()ln()x f x e x m ．x ＝0是f(x)的极值点，则m= ，函数的增区间为，减区间为.【答案】1,(0,),(1,0).4、已知函数f(x)＝(x 2＋bx ＋b)1－2x(b ∈R)．(1)当b ＝4时，求f(x)的极值；(2)若f (x)在区间0，13上单调递增，求b 的取值范围．5、设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1，0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．【解析】(1)设f(x)＝ln x x ，则f ′(x)＝1－ln xx 2.所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于，x ≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g ′(x)＝1－f ′(x)＝x 2－1＋ln xx 2.当0<x<1时，x 2－1<0，ln x<0，所以g ′(x)<0，故g(x)单调递减；当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g ′(x)>0，故g(x)单调递增．所以g(x)>g(1)＝，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．6、已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．易错分析：解答本题时，易于忽视对k－1不同取值情况的讨论，而错误得到f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)．温馨提醒：1．求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.2．极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．。

专题11 导数与定积分考点22 导数的几何意义考场高招1 导数的几何意义应用规律1.解读高招2.典例指引1(1)(2017河南百校联盟质检)设曲线f(x)=e x sin x在(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行,则m= .(2)若点P是函数y=e x-e-x-3x图象上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为α,则α的最小值是.【答案】(1)-1(2)3.亲临考场1.(2014课标Ⅱ,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-.∴y'|x=0=a-1=2,得a=3.2.(2016课标Ⅱ,理16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .ln 2【答案】 1-3.(2017广西河池二模)已知曲线f(x)=a cos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b 的值为.【答案】 1【解析】∵两曲线的交点为(0,m), ∴m=a cos 0,m=02+b×0+1.∴m=1,a=1.∵曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线, ∴f'(0)=g'(0).∴-sin 0=2×0+b.∴b=0,∴a+b=1.考场高招2 求曲线y=f(x)的切线方程看清“在”与“过”1.解读高招y-y1=f'(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程2.典例指引2(1)(2017山西临汾五校三联)已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x ln(-x)+x+2,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为()A.y=2x+3B.y=2x-3C.y=-2x+3D.y=-2x-3(2)经过原点(0,0)作函数f(x)=x3+3x2的图象的切线,则切线方程为.【答案】 (1)B(2)y=0或9x+4y=03.亲临考场1.(2016课标Ⅲ,理15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.【答案】y=-2x-1【解析】当x>0时,-x<0, 则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=1x-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1.2.(2014江西,理13)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【答案】 (-ln 2,2)【解析】设点P的坐标是(x0,),则由题意知,y'=-=-2,得x0=-ln2,又=e ln2=2,故点P的坐标是(-ln2,2).3.(2017北京,理19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.考点23 定积分的计算与应用考场高招3 求定积分的常用方法1.解读高招2.典例指引3(1)(2017中原名校三评)已知函数f(x)=f(x)d x= .(2)sin2d x= .(3)定积分(|x|-1)d x= .(4)计算:(x3cos x)d x= .【答案】(1)6+(2)(3)-1(4)03.亲临考场1.(2014陕西,理3)定积分(2x+e x)d x的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1【答案】C【解析】因为(x2+e x)'=2x+e x,所以(2x+e x)d x=(x2+e x)=(1+e1)-(0+e0)=e.2. (2015湖南,理11)(x-1)d x= .【答案】0【解析】(x-1)d x==0.3.(2017湖北荆州模拟)计算:d x= .【答案】【解析】因为F'(x)= '=2x-,所以d x=F(3)-F(1)=9+-1-1=.考场高招4 利用定积分求平面图形面积的步骤1.解读高招2.典例指引4求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积.3.亲临考场1.(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为. 【答案】故所求面积S=(x-x2)d x=.2.(2017河北唐山模拟)曲线y=x3与y=所围成的封闭图形的面积为.【答案】5 12【解析】由题意,知所围成的封闭图形的面积为-x3)d x=.。