湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年初三第一学期期中考试数学试卷

2018-2019学年度上学期期中考试 九年级数学试题 （满分120分，时间120分钟）卷一（请将正确选项涂在答题卡上）一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四1. 下列图形中，旋转60°后可以和原图形重合的是( ) A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正方形 D ．正三角形 2．二次函数y ＝12x 2－4x ＋3的顶点坐标和对称轴分别是( )A ．(1，2)，x ＝1B ．(－1，2), x ＝－1C ．(－4，－5)，x ＝－4D ．(4，－5)，x ＝43．抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．将y ＝(2x －1)(x ＋2)＋1化成y ＝a(x ＋m)2＋n 的形式为( ) A ．y ＝2(x ＋34)2－2516 B ．y ＝2(x －34)2－178C ．y ＝2(x ＋34)2－178D ．y ＝2(x ＋34)2＋1785．抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A ．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度D ．先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度6．设A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(0，y 3)是抛物线y ＝(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 27．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的解析式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为( )A ．3 mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9 m,(第8题图)),(第10题图))8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有以下结论：①a ＋b ＋c<0；②a －b ＋c>1；③abc>0；④4a －2b ＋c<0；⑤c －a>1.其中所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤9．下列方程采用配方法求解较简便的是( ) A ．3x 2＋x －1＝0 B ．4x 2－4x －8＝0 C ．x 2－7x ＝0 D.()x －32＝4x 210．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应分别为( ) A ．x ＝10，y ＝14 B ．x ＝14，y ＝10 C ．x ＝12，y ＝15 D ．x ＝12，y ＝1211. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)．设t ＝a ＋b ＋1，则t 值的变化范围是( )A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜112. 如图，O 是等边三角形的旋转中心，∠EOF ＝120°，∠EOF 绕点O 进行旋转，在旋转过程中，OE 与OF 与△ABC 的边构成的图形的面积( )A ．等于△ABC 面积的13B ．等于△ABC 面积的12 C ．等于△ABC 面积的14 D ．不能确定13. 点P 1（-1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y =-x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A.y 3＞y 2＞y 1B.y 3＞y 1=y 2C.y 1＞y 2＞y 3D.y 1=y 2＞y 314. 如图，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中线段DF 的长与DB 相等，将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论． 甲：线段AF 与线段CD 的长度总相等；乙：直线AF 和直线CD 所夹的锐角的度数不变． 那么，你认为( )A ．甲、乙都对B ．乙对甲不对C ．甲对乙不对D ．甲、乙都不对15. 如图，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A ′OB ′.若点A 的坐标为(a ，b)，则点A ′的坐标为( )．A . (－b ，a) B. (b ，a) C. (－b ，-a) D. (b ，-a)16. 平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图建立直角坐标系，抛物线的函数解析式为y ＝－16x 2＋13x ＋32，绳子甩到最高处时刚好通过站在点(2，0)处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为( )m .A.1.6B.1.5C.1.4 D1.314题图 15题图12题图2018-2019学年度上学期期中考试九年级数学试题卷二2分.把答案写在题中横线上）17.如图，把抛物线y＝12x2平移得到抛物线m. 抛物线m经过点A(－6，0)和原点(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．(第17题图) (第19题图)18.在二次函数y＝2则m的值为．19.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为，∠APB＝．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）20. (本题8分）（1）用公式法解方程x2-3x-7=0．（2）解方程：4x（2x-1）=3（2x-1）21. (本题7分）如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（-1，-1），B（-4，-3），C（-4，-1）．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形△A’B’C’；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．22.(本题8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为点P′.(1)画出旋转后的三角形；(2)连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数．23. (9分)如图，一个二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y轴的正半轴上，且AB＝OC.(1)求点C的坐标；(2)求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．24. (10分)已知关于x的函数y＝ax2＋x＋1(a为常数)．(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．25. (本题12分）感知：如图①，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，D 是边BC 上一点(点D 不与点B ，C 重合)．连接AD ，将AD 绕着点D 逆时针旋转90°，得到DE ，连接BE ，过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ，可知△ADF ≌△EDB ，则∠ABE 的大小为________．并说明理由.探究：如图②，在△ABC 中，∠C ＝α(0°＜α＜90°)，AC ＝BC ，D 是边BC 上一点(点D 不与点B ，C 重合)，连接AD ，将AD 绕着点D 逆时针旋转α，得到DE ，连接BE ，求证：∠ABE ＝α. 应用：设图②中的α＝60°，AC ＝2.当△ABE 是直角三角形时，AE ＝________．并说明理由.26. (本题12分）某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，种植花卉的利润y 2与投资成本x 的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：(1)分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；(2)如果这位专业户计划用8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m 万元，种植花卉和树木共获利润w 万元，求出w 与m 之间的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？(3)若该专业户想获利不低于22万元，在(2)的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m 的范围．。

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D.2. 下列各数：π，√83，12，0，√3.其中无理数出现的频率是( )． A. 20% B. 40% C. 60% D. 80%3. 已知矩形的面积为20 cm 2，设该矩形的一边长为y cm ，另一边长为x cm ，则y 与x 之间的函数图像大致是( )A. B.C. D.4. 如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD 于E ，顺次连接AC ，CB ，BD ，则下列结论中错误的是( )A. AC⏜=BC ⏜ B. AE =EBC. CD 平分∠ACBD. BA 平分∠CBD5. 如图，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，若AE ⊥BC ，∠ADC =65°，则∠ABC的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6.若不等式组{3x≥5x−2x>m恰有三个整数解，则m的取值范围是()A. −2≤m<−1B. −2<m≤−1C. −2≤m≤−1D. −2<m<−17.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°8.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(1,2)，则菱形OABC的面积是()A. √5B. 2√5C. 2√3D. 2√5−19.如图，从一块直径为2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的面积是πA. 18B. 2ππC. 14πD. 16410.如图，已知正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定“把正方形ABCD绕原点O顺时针旋转90°，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为()A. (−3,−1)B. (−2,3)C. (−2017,2)D.(−2017,−2)11.方程x2+4x=2的正根为()A. 2−√6B. 2+√6C. −2−√6D. −2+√612.如图所示：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，且经过点(−1,0)，康康依据图象写出了四个结论：①如果点(−12,y1)和(2,y2)都在抛物线上，那么y1<y2；②b2−4ac>0；③m(am+b)<a+b(m≠1的实数)；④ca=−3．康康所写的四个结论中，正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.因式分解：ab2−2ab+a=______．14.化简：√x3=______ ．15.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球______个．16.正方形ABCD中，E为DC边上一点，且DE=1，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接AF，FC，则FC=______．17.如图，Rt△ABC中，AC=BC=8，⊙C的半径为2，点P在线段AB上一动点，过点P作⊙C的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______ ．18.如图，点A在反比例函数y1=1x (x>0)的图象上，点B在反比例函数y2=kx(x<0)的图象上，AB⊥y轴，若△AOB的面积为2，则k的值为______．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.|−3|+(−12)−3−(−3)2−110+√1620.化简：(xx−1−1x2−x)÷x2+2x+1x2，并从−1，0，1，2中选择一个合适的数求代数式的值．21.如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的转盘(转盘被等分成20个扇形)，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好对准红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券；如果不愿意，可直接获得30元的购物券．(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；(2)如果你在该商场消费210元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．22.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，将△ABO向左平移6个单位长度得到△A1B1O1；将△A1B1O1绕点B1按逆时针方向旋转90°后，得到△A2B2O2，请画出△A1B1O1和△A2B2O2，并直接写出点O2的坐标．23.如图，直线y=12x与双曲线y=kx(k>0,x>0)交于点A，将直线y=12x向上平移4个单位长度后，与y轴交点C，与双曲线y=kx(k>0,x>0)交于点B．(1)直接写出平移后的直线BC的函数表达式；(2)如果OA=3BC，求反比例函数的表达式．24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E是BD⏜上一点，连接DE，AE，CE，已知CE=AC(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明；(2)若AB=AC=4，求DE的长．x2+bx+c的图象经过A(2,0)，B(0,−6)两点．25.如图，二次函数y=−12(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．26.已知二次函数y=mx2+2(m+2)x+m+9．(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A(4,0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识，熟记概念是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C.是轴对称图形，也是中心对称图形；D.是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．2.答案：B解析：【分析】，正确掌握无理数的定义，是解决本题的关键．本题考查了频率的计算方法：频率=频数数据总和根据无理数的定义首先确定无理数的个数，然后利用频率的定义求解．【解答】解：无理数有π，√3共2个．×100%=40%．则无理数出现的频率是25故选B．3.答案：B解析：【分析】本题考查了反比例函数的应用，属于基础应用性题目，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据题意有：xy=20；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限，即可得出答案．【解答】解：∵xy=20，(x>0,y>0)．∴y=20x则图象为：．故选B．4.答案：D解析：【分析】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，熟知垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．直接根据垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一解答即可．【解答】解：A.∵CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB于E，∴CD垂直平分AB，∴AC⏜=BC⏜．故本选项正确；B.∵CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB于E，∴CD垂直平分AB，∴AE=EB．故本选项正确；C.∵CD是⊙O的直径，AB为弦，CD⊥AB于E，∴CD垂直平分AB，∴AC=BC．∴CD平分∠ACB，故本选项正确；D.当AB是直径时，BA平分∠CBD，故本选项错误；故选D．5.答案：B解析：【分析】先根据旋转的性质得AD=AC，∠BAE=∠CAD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD=50°，则∠BAE=50°，然后利用互余计算∠ABC的度数．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．【解答】解：∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴AD=AC，∠BAE=∠CAD，∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=65°，∴∠CAD=180°−65°−65°=50°，∴∠BAE=50°，∵AE⊥BC，∴∠ABC=90°−∠BAE=40°．故选：B．6.答案：A解析：【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法有关知识，先求出不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵{3x≥5x−2 x>m，∴该不等式组解集为m<x≤1，∵该不等式组有3个整数解，∴m的取值范围为−2≤m<−1．故选A．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查垂径定理与圆周角定理，属于基础题.掌握垂径定理与圆周角定理是解题关键．由题意，弦AC⊥直径BD，可得AD⏜=CD⏜(垂径定理)，再利用等弧所对的圆心角相等与同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解．【解答】∵⊙O的直径BD⊥AC，∴AD⏜=CD⏜，∴∠COD=∠AOD=60°，∴∠DBC=12∠COD=30°；故选A．8.答案：B解析：解：作CH⊥x轴于H．∵四边形OABC是菱形，∴OA=OC，∵C(1,2)，∴OH=1，CH=2，∴OC=√22+12=√5，∴菱形OABC 的面积=√5×2=2√5．故选：B ．作CH ⊥x 轴于H.利用勾股定理求出OA 的长即可解决问题；本题考查菱形的性质、勾股定理、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．连接BC ，如图，利用圆周角定理得到BC 为⊙O 的直径，则AB =AC =√2，设该圆锥底面圆的半径为r ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr =90⋅π⋅√2180，然后解方程求出r 的值，再根据圆的面积公式计算即可．【解答】解：连接BC ，如图，∵∠BAC =90°，∴BC 为⊙O 的直径，BC =2，∴AB =AC =√2，设该圆锥底面圆的半径为r ，∴2πr =90⋅π⋅√2180， 解得r =√24， ∴圆锥底面圆的面积是π⋅(√24)2=18π． 故选A ．10.答案：B解析：解：∵正方形ABCD ，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)．∴点M 的坐标为(2,2)，根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为(2−1,−2)，即(1,−2)，第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：(−2−1,−1 )，即(−3,−1)，第3次变换后的点M 的对应点的坐标为(−1−1,3)，即(−2,3)，第4次变换后的点M 的对应点的坐标为：(3−1,2)，即(2,2)，∵2019÷4=504余3，∴连续经过2019次变换后，点M 的坐标变为(−2,3)．故选：B．由正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)，然后根据题意求得第1次、2次、3次、4次变换后的点M的对应点的坐标，即可得规律：每4次变换后点M回到原来的位置，继而求得把正方形ABCD 连续经过2019次这样的变换得到点M的坐标．此题考查了点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：每4次变换为一个循环规律是解此题的关键．11.答案：D解析：解：∵x2+4x=2，∴(x+2)2=6，∴x1=−2+√6，x2=−2−√6；∴方程x2+4x=2的正根为−2+√6．故选：D．本题采用配方法解题，将方程左边配成完全平方式，再求方程的解．解此题的关键是选择适宜的解题方法，当二次项系数为1时，选择配方法较好．12.答案：D解析：解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，∴x=0与x=2时的函数值相等，由图象可知，x=0的函数值大于x=−1时的函数值．2,y1)和(2,y2)都在抛物线上，则y1<y2(故①正确)．∴点(−12∵y=0时，函数图象与x轴两个交点，∴ax2+bx+c=0时，b2−4ac>0(故②正确)．∵由图象可知，x=1时，y=ax2+bx+c取得最大值，∴当m≠1时，am2+bm+c<a+b+c．即m(am+b)<a+b(m≠1的实数)(故③正确)．∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，且经过(−1,0)点，∴当y=0时，x的值为−1或3．∴ax2+bx+c=0时的两根之积为：x1⋅x2=c，x1⋅x2=(−1)×3=−3.a=−3(故④正确)．∴ca故选：D．根据二次函数具有对称性，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，可知x=0和x=2时的函数值一样，由图象可以判断①；根据函数图象与x轴的交点可判断②；根据函数开口向下，可知y=ax2+bx+c具有最大值，可判断③；根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，且经过(−1,0)点，可知y=0时，x=−1或3，从而可以判断④．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是利用数形结合的思想将二次函数与函数图象结合在一起．13.答案：a(b−1)2解析：解：原式=a(b2−2b+1)=a(b−1)2；故答案为：a(b−1)2．原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.答案：x√x解析：解：√x3=x√x，故答案为：x√x．根据二次根式的性质(当x≥0时，√x2=x)求出即可．本题考查了二次根式的性质的应用，能运用性质进行计算是解此题的关键，注意：当x≥0时，√x2=x，当x<0时，√x2=−x．15.答案：3解析：解：设绿球的个数为x，根据题意，得：x9+3+x=0.2，解得：x=3，经检验x=3是原分式方程的解，即袋中有绿球3个，故答案为：3直接利用绿球个数÷总数=0.2，进而得出答案．此题主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率求法是解题关键．16.答案：√2解析：【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．作FH⊥CD于H，如图，利用正方形的性质得DA=CD，∠D=90°，再根据旋转的性质得EA=EF，∠AEF=90°，接着证明△ADE≌△EHF得到DE=FH=1，AD=EH，所以EH=DC，则DE=CH=1，然后利用勾股定理计算FC的长．【解答】解：作FH⊥CD于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴DA=CD，∠D=90°，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴EA=EF，∠AEF=90°，∵∠DAE+∠AED=90°，∠FEH+∠AED=90°，∴∠EAD=∠FEH，在△ADE和△EHF中{∠D=∠FHE∠EAD=∠FEH AE=EF，∴△ADE≌△EHF，∴DE=FH=1，AD=EH，∴EH=DC，即DE+CE=CH+EC，∴DE=CH=1，在Rt△CFH中，FC=√12+12=√2．故答案为√2．17.答案：2√7解析：【分析】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用，掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP，根据勾股定理知PQ2=CP2−CQ2，先求出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．【解答】解：连接CP，∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP=90°，根据勾股定理得：PQ2=CP2−CQ2，∴当PC⊥AB时，线段PQ最短，此时，PC=12AB=4√2，则PQ2=CP2−CQ2=28，∴PQ=2√7，故答案为：2√7．18.答案：−3解析：【解答】解：设点A坐标为(a,1a)，∵点B在反比例函数y2=kx(x<0)的图象上，AB⊥y轴，∴1a =kx，∴x=ak，∴点B(ak,1a)，∵△AOB的面积为2，∴12(a−ak)×1a=2，∴1−k=4，∴k=−3，故答案为：−3．【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，表示出AB的长是解决本题的关键．设点A坐标为(a,1a )，由AB⊥y轴，可得点B(ak,1a)，由三角形面积公式可求k的值．19.答案：解：原式=3−8−9−1+4=−11．解析：直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简各数得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.答案：解：原式=x2−1x(x−1)⋅x2(x+1)2=(x+1)(x−1)x(x−1)⋅x2(x+1)2=xx+1，由x不等于−1，0，1；所以当x=2时，原式=23．解析：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=2代入计算即可求出值．21.答案：解：(1)∵自由转动的转盘被等分成20个扇形，红色、黄色或绿色区域分别占1，3，6个区域，∴转动一次转盘获得购物券的概率为：1+3+620=12；(2)选择转转盘．理由：转转盘：200×120+100×320+50×620=40(元)，∵40>30，∴选择转转盘．解析：(1)由自由转动的转盘被等分成20个扇形，红色、黄色或绿色区域分别占1，3，6个区域，直接利用概率公式求解即可求得答案；(2)首先求得转转盘可能得到的购物券钱数，再比较即可求得答案．此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意掌握选择转转盘获得购物券的钱数的求解方法是关键．22.答案：解：如图所示，△A1B1O1、△A2B2O2即为所求：其中点O2的坐标为(−3,−3)．解析：分别作出平移变换和旋转变换后的对应点，再顺次连接即可得．本题主要考查作图−旋转变换、平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义、性质．23.答案：解：(1)∵将直线y=12x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，∴平移后直线的解析式为y=12x+4，(2)分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A(3x,32x)，∵OA=3BC，BC//OA，CF//x轴，∴△BCF∽△AOD，∴CF=13OD，∵点B在直线y=12x+4上，∴B(x,12x+4)，∵点A、B在双曲线y=kx上，∴3x⋅32x=x⋅(12x+4)，解得x=1，∴k=3×1×32×1=92．故反比例函数的表达式为：y=92x=92x．解析：(1)根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式；(2)分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A(3x,32x)，由于OA=3BC，故可得出B(x,12x+4)，再根据反比例函数中k=xy为定值求出k的值即可．本题考查的是反比例函数综合题.根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k=xy的特点求出k的值即可．24.答案：解：(1)CE与⊙O相切，理由：连接OE，∵OA=OE，AC=EC，∴∠OAE=∠OEA，∠CAE=∠CEA，∴∠CEA+∠OEA=∠CAE+∠OAE，∴∠CEO=∠CAO，∵∠BAC=90°，∴∠CEO=90°，∴CE是⊙O的切线；(2)连接OC，OB，∵AB=AC=4，∠BAC=90°，∴OA =2，BC =4√2，CE =AC =4，∴OC =√AC 2+OA 2=2√5，∵AC =CE ，OA =OE ，∴AE ⊥OC ，AF =EF ，∴AO 2=OF ⋅OC ，∴OF =AO 2OC =2√55， ∵OF ⊥AE ，BE ⊥AE ，∴OF//BE ，∵AO =OB ，∴BE =2OF =4√55，∵CE 是⊙O 的切线，∴∠CBE =∠DEC ，∵∠BCE =∠ECD ，∴△CDE∽△CEB ，∴DE BE =CE BC ，∴4√55=4√2， ∴DE =2√105．解析：(1)连接OE ，根据等腰三角形的性质得到∠OAB =∠OEA ，∠CAE =∠CEA ，求得∠CEO =∠CAO ，得到∠CEO =90°，于是得到结论；(2)连接OC ，OB ，解直角三角形得到OA =2，BC =4√2，CE =AC =4，根据勾股定理得到OC =√AC 2+OA 2=2√5，根据射影定理得到AO 2=OF ⋅OC ，求得OF =AO 2OC =2√55，得到BE =2OF =4√55，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 25.答案：解：(1)把A(2,0)、B(0,−6)代入y =−12x 2+bx +c ，得：{−2+2b +c =0c =−6， 解得{b =4c =−6， ∴这个二次函数的解析式为y =−12x 2+4x −6；(2)∵该抛物线对称轴为直线x =−42×(−12)=4，∴点C的坐标为(4,0)，∴AC=OC−OA=4−2=2，∴S△ABC=12×AC×OB=12×2×6=6．解析：本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．(1)二次函数图象经过A(2,0)、B(0,−6)两点，两点代入y=−12x2+bx+c，算出b和c，即可得解析式；(2)先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．26.答案：解：(1)根据题意得m≠0且△=4(m+2)2−4m⋅(m+9)>0，所以m<45且m≠0；(2)把A(4,0)代入y=mx2+2(m+2)x+m+9得16m+8(m+2)+m+9=0，解得m=−1，所以抛物线解析式为y=−x2+2x+8=−(x−1)2+9，所以抛物线的对称轴为直线x=1，当x=0时，y=−x2+2x+8=8，则B(0,8)，设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(4,0)，B(0,8)代入得{4k+b=0b=8，解得{k=−2b=8，所以直线AB的解析式为y=−2x+8，当x=1时，y=−2x+8=6，所以P点坐标为(1,6)．解析：(1)利用二次函数的定义和判别式的意义得到m≠0且△=4(m+2)2−4m⋅(m+9)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可；(2)先把A(4,0)代入y=mx2+2(m+2)x+m+9求出m=−1，则抛物线解析式为y=−x2+2x+8，配成顶点式得y=−(x−1)2+9，于是得到抛物线的对称轴为直线x=1，接着确定B(0,8)，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=−2x+8，再求自变量为1时的一次函数值即可得到P点坐标．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．。

长沙市长郡中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发时，点P和点Q之间的距离是10cm；（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q 两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？【答案】（1）85s或245s（2）62cm；213cm（3）4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E，得到AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，利用勾股定理得到方程，故可求解；（2）根据运动时间求出EQ、PE，利用勾股定理即可求解；(3) 分当点P在AO上时，当点P在OC上时和当点P在CB上时，根据三角形的面积公式列出方程即可求解．【详解】解：（1）设运动时间为t秒时，如图，过点P作PE⊥BC于E，由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，PE＝6，EQ＝16﹣3t﹣2t＝16﹣5t，∵点P和点Q之间的距离是10 cm，∴62+（16﹣5t）2＝100，解得t1=85，t2=245，∴t＝85s或245s.故答案为85s或245s（2）t=2时，由运动知AP ＝3×2＝6 cm ，CQ ＝2×2＝4 cm ，∴四边形APEB 是矩形，∴PE ＝AB ＝6，BE ＝6，∴EQ ＝BC ﹣BE ﹣CQ ＝16﹣6﹣4＝6，根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=,∴当t ＝2 s 时，P ，Q 两点的距离为62 cm ；当t ＝4 s 时，由运动知AP ＝3×4＝12 cm ，CQ ＝2×4＝8cm ，∴四边形APEB 是矩形，∴PE ＝AB ＝6，BQ ＝8，CE=OP=4∴EQ ＝BC ﹣CE ﹣BQ ＝16﹣4﹣8＝4，根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=,P ，Q 两点的距离为213cm .（3）点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ，当点P 在AO 上时，S △POQ ＝2PO CO ⋅＝(163)62t -⋅＝12， 解得t ＝4．当点P 在OC 上时，S △POQ ＝2PO CQ ⋅＝(316)22t t -⋅＝12， 解得t ＝6或﹣23（舍弃）． 当点P 在CB 上时，S △POQ ＝2PQ CO ⋅＝(2223)62t t +-⨯＝12， 解得t ＝18＞8（不符合题意舍弃），综上所述，经过4 s 或6 s 时，△POQ 的面积为12 cm 2．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用，根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解．2．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017． （2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21x x -÷（1+211x -） =2221111x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x+-⋅- =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和（2）见解析,2【解析】【分析】 （1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有， 由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-，2即AM的解析式为112y x=--．4．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，所以EF＝FG＝GH＝HE2EB＝x，则BF2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF＝AE2﹣x在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+2﹣x）2＝12解得，x1＝x2＝2 2∴BE＝BF，即点B是EF的中点．同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD，一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．5．如图1，已知△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P由B出发沿BA方向向点A 匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm /s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）.解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由.（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当BF PC⊥s时，PQ∥BC．（2）不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC 的面积平分．（3）存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为137-cm2．【解析】（1）证△APQ∽△ABC，推出APAB=AQAC，代入得出10210t-=28t，求出方程的解即可；（2）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程-5 6t2+6t=12×12×8×6，求出此方程无解，即可得出答案.（3）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、OD、和PD的长度；然后在Rt△PQD中，根据勾股定理列出方程（8-185t）2-（6-65t）2=（2t）2，求得时间t的值；最后根据菱形的面积等于△AQP的面积的2倍，进行计算即可.解：（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴APAB=AQAC，即10210t-=28t，解得：t=20 9,∴当t=209时，PQ∥BC.（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．∴PD∥BC，∴F ，即B ，解得6PD 6-5t =． 216625S PD AQ t t =⨯=-， 假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则有S △AQP = C S △ABC ，而S △ABC =12AC•BC=24，∴此时S △AQP =12． 而S △AQP 2665t t =-， ∴266125t t -=，化简得：t 2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（3）假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ．如答图2所示，过P 点作PD⊥AC 于点D ，则有PD∥BC，∴D ，即COD ∆，解得：OC ，h ，∴QD=AD﹣AQ=t ．在Rt△PQD 中，由勾股定理得：QD 2+PD 2=PQ 2，即h ，化简得：13t 2﹣90t+125=0，解得：t 1=5，t 2=t ，∵t=5s 时，AQ=10cm ＞AC ，不符合题意，舍去，∴t=52． 由（2）可知，S △AQP =54∴S 菱形AQPQ′=2S △AQP =2×258=3372+cm 2． 所以存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为137-cm 2． “点睛”本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx +b 1经过点A ，C ，连接CD ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式：（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【解析】【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A （3，0），B （﹣1，0）代入y ＝﹣x 2+bc +c 中，得93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩， ∴23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，当x ＝0时，y ＝3，∴点C的坐标是（0，3），把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得11303k bb+=⎧⎨=⎩，∴113kb=-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图，连接BC，∵点D是抛物线与x轴的交点，∴AD＝BD，∴S△ABC＝2S△ACD，∵S△ACP＝2S△ACD，∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，即：P（﹣1，0），过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，联立①②解得，1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩，∴P（4，﹣5），∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求，②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），代入y＝﹣x2+2x+3中，解得，m＝﹣3或m＝2（舍），∴Q的坐标为（1，﹣3），∴点Q的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．7．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当123625SS时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+23E'B的最小值．【答案】（1）抛物线y ＝﹣34 x 2+94 x +3，直线AB 解析式为y ＝﹣34x +3；（2）P （2，32）；（3）4103【解析】【分析】（1）由题意令y ＝0，求出抛物线与x 轴交点，列出方程即可求出a ，根据待定系数法可以确定直线AB 解析式；（2）根据题意由△PNM ∽△ANE ，推出65PN AN =，以此列出方程求解即可解决问题； （3）根据题意在y 轴上 取一点M 使得OM′＝43，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+23E′B 的最小值． 【详解】 解：（1）∵抛物线y ＝mx 2﹣3mx+n （m≠0）与x 轴交于点C （﹣1，0）与y 轴交于点B （0，3），则有330n m m n ⎧⎨⎩++＝＝，解得433m n ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴抛物线239344y x x =-++， 令y ＝0，得到239344x x -++＝0， 解得：x ＝4或﹣1，∴A （4，0），B （0，3），设直线AB 解析式为y ＝kx+b ，则340b k b +⎧⎨⎩＝＝， 解得334k b ⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线AB 解析式为y ＝34-x+3． （2）如图1中，设P （m ，239344m m -++），则E （m ，0），∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN ＝∠AEN ，∵∠PNM ＝∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∵△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，123625S S ＝， ∴65PN AN =， ∵NE ∥OB ， ∴AN AE AB OA=， ∴AN ＝54545454（4﹣m ）， ∵抛物线解析式为y ＝239344x x -++， ∴PN ＝239344m m -++﹣（34-m+3）＝34-m 2+3m ， ∴2336455(4)4m m m -+=-， 解得m ＝2或4（舍弃），∴m ＝2，∴P （2，32）． （3）如图2中，在y 轴上 取一点M′使得OM′＝43，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．∵OE′＝2，OM′•OB ＝43×3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB ， ∴OE OB OM OE '=''， ∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB ， ∴M E OE BE OB '''='＝23， ∴M′E′＝23BE′， ∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+23BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线时）， 最小值＝AM′2244()3+410． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+23BE′的最小值，属于中考压轴题．8．在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的14时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）22y x x =-++；（2）存在，（23，209）或（103，529-）；（3）105或2 【解析】【分析】（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．【详解】解：（1）∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为22y x x =-++；（2）存在，理由是：在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，在22y x x =-++中，令y=0，解得：x=2或-1，∴点B 坐标为（-1，0），∴点E 坐标为（1，0），可知：点B 和点E 关于y 轴对称，∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ，∵D （0，2），∴=，在△BDE 中，有12×BE ×OD=12×BD ×EF ，即2×EF ，解得：，∴，∴tan ∠BDE=EF DF =55÷=43， 若∠PBC=2∠BDO ，则∠PBC=∠BDE ，∵BE=2，则BD 2+DE 2＞BE 2，∴∠BDE 为锐角，当点P 在第三象限时，∠PBC 为钝角，不符合；当点P 在x 轴上方时，∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++），过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ，则BG=c+1，PG=22c c -++，∴tan ∠PBC=PG BG =221c c c -+++=43， 解得：c=23， ∴22c c -++=209， ∴点P 的坐标为（23，209）；当点P 在第四象限时， 同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，tan ∠PBC=PG BG =221c c c --+=43， 解得：c=103， ∴22c c -++=529-， ∴点P 的坐标为（103，529-）， 综上：点P 的坐标为（23，209）或（103，529-）；（3）设EF 与AD 交于点N ，∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ，则422m n n -=-+⎧⎨=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 表达式为y=3x+2，设点M 的坐标为（s ，3s+2），∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，则11114202m n m n -=-+⎧⎨=+⎩，解得：1112m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 表达式为y=x-2，令x=0，则y=-2，∴点E 坐标为（0，-2），可得：点E 是线段AC 中点，∴△AME 和△CME 的面积相等，由于折叠，∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ，由题意可得：当点F 在直线AC 上方时，∴S △MNE =14S △AMC =12S △AME =12S △FME ， 即S △MNE = S △ANE = S △MNF ，∴MN=AN ，FN=NE ，∴四边形FMEA 为平行四边形，∴CM=FM=AE=12AC=221442⨯+=22， ∵M （s ，3s+2）， ∴()()2223222s s -++=，解得：s=45-或0（舍）， ∴M （45-，25-）， ∴AM=22422455⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6105，当点F 在直线AC 下方时，如图，同理可得：四边形AFEM 为平行四边形，由于折叠可得：CE=EF，∴AM=EF=CE=22，综上：AM的长度为6105或22．【点睛】本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．9．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．【解析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．【详解】（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得：3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；∵点A在点B的右边，∴B（1，0），A（3，0）；∴P1（1，0）；②当点A为△AP2D2的直角顶点时；∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD2=45°；当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，∴AO 平分∠D 2AP 2； 又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称；设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得：303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩；∴y=﹣x+3；设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；解得x 1=2，x 2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时， 平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1）， ∴可设F （x ，1）； ∴x 2﹣4x+3=1，解得x 1=2﹣2，x 2=2+2； ∴符合条件的F 点有两个，即F 1（2﹣2，1），F 2（2+2，1）．【点睛】此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.10．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数2y ax bx c=++（其中a、b、c 是常数，且a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果:3:2ABD BCDS S∆∆=，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．【答案】（1）243y x x=-+-；（2）32；（3）E（2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到32ADDC=，然后求出DH和BH，即可得到答案；（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∽△OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20y ax bx c a=++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y 轴，∴25CH DC DH OC AC OA ===． ∵OA=OC=3，则∠ACO=45°， ∴△CDH 为等腰直角三角形， ∴26355CH DH ==⨯=． ∴64255BH BC CH =-=-=． ∴tan ∠DBC=32DH BH =. （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ， ∵∠BAC=∠FAC ， ∴∠OAB=∠OFA ．∴△OAB∽△OFA，∴13OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73-）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．如图，在矩形ABCD中，6AB cm=，8AD cm=，连接BD，将ABD△绕B点作顺时针方向旋转得到A B D'''△（B′与B重合），且点D'刚好落在BC的延长上，A D''与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与A B D'''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE''）的面积；（2）将A B D'''△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与A B D'''△重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AA B''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）2452cm；（2）22331624(0)22588020016(4)3335x x xyx x x⎧--+≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（3）存在，使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、95． 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理求出BD 的长，再根据旋转的性质得出10B D BD cm ''==，2CD B D BC cm '=''-=，利用B D A ∠'''的正切值求出CE 的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；（2）分类讨论，当1605x ≤<时和当1645x ≤≤时，分别列出函数表达式； （3）分类讨论，当AB A B '=''时；当AA A B '=''时；当AB AA '='时，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：（1）6AB cm =，8AD cm =， 10BD cm ∴=，根据旋转的性质可知10B D BD cm ''==，2CD B D BC cm '=''-=，tan A B CEB D A A D CD'''''∠=='''，682CE ∴=， 32CE cm ∴=，()28634522222A B CE A B D CED S S S cm ''''''⨯∴==-⨯÷=-；（2）①当1605x ≤<时，22CD x '=+，32CE x =，233+22CD E S x x '∴=△，22133368242222y x x x ∴=⨯⨯-=--+；②当1645x ≤≤时，102BC x =-，()41023CE x =- ()221488020010223333y x x x ∴=⨯-=-+．（3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+，245A M NB '==，2236AN A N +'=，222418623655x ⎛⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：6695x -=秒，（6695x --=舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+，245A M NB '==， 2222AB BB AN A N +'=+'22224183646255x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：32x =秒． 综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、6695-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．12．我们定义：如图1，在△ABC 看，把AB 点绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC 的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD= BC ； ②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD 长为 ． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD ，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，3DA=6．在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【答案】（1）①12；②4；（2）AD=12BC，证明见解析；（3）存在，证明见解析，39．【解析】【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=12AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=12BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可；【详解】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=12AB′=12BC，故答案为12．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=12B′C′=12BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=12 BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵3，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=1BM=7，2∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵3CF=6，∴tan∠3∴∠CDF=60°=∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，3，∴2222++39．=(3)6DN PD【点睛】本题考查四边形综合题．13．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．（延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．（深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．【答案】(1)证明参见解析；(2)HE=HF；(3)成立，证明参见解析；(4)证明参见解析，MN最小值为1.【解析】试题分析：(1)特例发现：易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，得到PE=AG，FQ=AG，∴PE=FQ，然后证明△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(3)深入探究：判断△PEA∽△GAB，得到PE=AG，△AQF∽△CGA，FQ=，得到FQ=AG，再判断△EPH≌△FQH，即可得出HE=HF；(4)应用推广：由前一个结论得到△AEF为正三角形，再依次判断△MHN∽△HFN∽△MEH，即可得出结论．试题解析：(1)特例发现，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∵∠EPA=∠AGB，AE=AB，∴△PEA≌△GAB，∴PE=AG，同理，△QFA≌△GAC，∴FQ=AG，∴PE=FQ；(2)延伸拓展，如图：∵∠PEA+∠PAE=90°，∠GAB+∠PAE=90°，∴∠PEA=∠GAB，∴∠EPA=∠AGB，∴△PEA∽△GAB，∴，∵AB=kAE，∴，∴PE=AG，同理，△QFA∽△GAC，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴PE=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(3)深入探究,如图2，在直线AG上取一点P，使得∠EPA═∠AGB，作FQ∥PE，∵∠EAP+∠BAG=180°﹣∠AGB，∠ABG+∠BAG=180°﹣∠AGB，∴∠EAP=∠ABG，∵∠EPA=∠AGB，∴△APE∽△BGA，∴，∵AB=kAE，∴PE=AG，由于∠FQA=∠FAC=∠AGC=180°﹣∠AGB，同理可得，△AQF∽△CGA，∴，∵AC=kAF，∴FQ=AG，∴EP=FQ，∵EP∥FQ，∴∠EPH=∠FQH，∵∠PHE=∠QHF，∴△EPH≌△FQH，∴HE=HF；(4)应用推广,如图3，在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，∴AE=AF，∵∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC∴∠EAB+∠FAC=180°∴∠EAF=360°﹣（∠EAB+∠FAC）﹣∠BAC=60°，∴△AEF为正三角形．又H 为EF 中点，∴∠EHM+∠IHJ=120°，∠IHJ+∠FHN=120°，∴∠EHM=∠FHN ．∵∠AEF=∠AFE ，∴△HEM ∽△HFN ，∴，∵EH=FH ，∴，且∠MHN=∠HFN=60°，∴△MHN ∽△HFN ，∴△MHN ∽△HFN ∽△MEH ，在△HMN 中，∠MHN=60°，根据三角形中大边对大角，∴要MN 最小，只有△HMN 是等边三角形，∴∠AMN=60°，∵∠AEF=60°，MN ∴MN ∥EF ，∵△AEF 为等边三角形，∴MN 为△AEF 的中位线，∴MN min =EF=×2=1．考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.14．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现（1）某小组做了有一个角是120︒的等腰三角形DAC 和等边三角形GEB 纸片，DA DC =，让两个三角形如图①放置，点C 和点G 重合，点D ，点E 在AB 的同侧，AC 和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________；数学思考（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90︒，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由；类比探索（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.【答案】（1）3EF DF =，DFEF ； （2）3EF DF =，DF EF ,理由见解析;。

2018 — 2019学年度初二第一学期期中考试数学试卷注意事项：考试时间：2018 年11 月13 日8:00 — 10:001.答题前，请考生将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意个大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面整洁；5.答题卡上不得使用涂改液、修改胶和贴纸；6.本学科试卷共27 个小题，考试时量120 分钟，满分120 分一、选择题（共12 小题，每小题 3 分，共36 分）1.下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（）2.下列计算正确的是（）A. a4 +a3 =a7B. a4 •a3 =a12C.(a4)3=a7D. a4 ÷a3 =a3.整式x2 +kx + 25为某完全平方式展开后的结果，则k 的值为（）A.5B. -5C. ±5D. ±104.下列各式中不能用平方差公式计算的是( ）A. (2x -y)(x + 2 y)C. (-x -2 y)(x -2 y) B. (- 2x +y)(- 2x -y)D. (2x +y)(- 2x +y)5.当x 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（）1 1A. B.x2 x2 -11C.x2 +11D.x + 56.已知x m = 2, x n = 8 ，则x m+n =（）A.4B.8C.16D.647.若点A(m, n)和点B(-5,7)关于x 轴对称，则m +n 的值是（）A.2B. - 2C.12D. -128.下列由左到右的变形中，是因式分解的是（）C. x2 - 4 + 3x =(x + 2)(x - 2)+ 3xD. x2 -4 =(x + 2)(x -2)A.1B.-1C.0D.199710.若等腰三角形的两边长分别是3厘米和7厘米，则这个三角形的周长为（）A.13厘米B.17厘米C.13厘米或17厘米D.以上结论均不对11.如图，下列条件不能推出△ABC 是等腰三角形的是（）A. ∠B =∠CB. AD ⊥BC, ∠BAD =∠CADC. AD ⊥BC, BD =CDD. AD ⊥BC,∠BAD =∠ACD第11 题图第16 题图第17 题图12.在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC 的顶点A、、的坐标分别为(0, 0)、(2, 2)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C 有（）个.A.5B.6 C .7 D.8二、填空题（共6 小题，每小题 3 分，共18 分）13.分解因式：a2 -1=.414. (-a -b)(a -b)=.15.若x + 2 y - 2 = 0 ，则5x ⋅25 y =.16.如图，△ABC 中，AB=8,AC= 6,BC=5 ，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE // BC ，则△ADE 的周长为.17.如图，等腰ABC 底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm2 ，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长最小值为cm . 18.设S =(1+ 2)(1+ 22 )(1+ 24 )(1+ 28 )(1+ 216 )，则S +1 =.22三、解答题（共 66 分）19.（本题满分 8分，每小题 4分） 计算：（1） (12a 3 - 6a 2 + 3a )÷ 3a（2） (x - y )(x 2 + xy + y 2 )20.（本题满分8分，每小题4分） 计算：21.（本题满分8分，每小题4分） 因式分解： （1） 4x 2 - 8x + 4（2） (x + y )2 - 4 y (x + y )222.（本题满分8分，每小题4分）已知：x +y= 5, xy =-3，求：（1）x2 +y 2 的值；（2）(1-x)(1-y)的值.23.（本题满分6分）如图，方格子的边长为1，ABC 的顶点在格点上.24.（本题满分6分）如图，已知△ABC 中。

湖南省长沙市实验中学2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一．选择题（满分36分，每小题3分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6 2．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6 B．m＜6 C．m≤6且m≠2 D．m＜6且m≠2 3．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 4．下列解方程中，解法正确的是（）A．x2＝4x，两边都除以2x，可得x＝2B．（x﹣2）（x+5）＝2×6，∴x﹣2＝2，x+5＝6，x1＝4，x2＝1C．（x﹣2）2＝4，解得x﹣2＝2，x﹣2＝﹣2，∴x1＝4，x2＝0D．x（x﹣a+1）＝a，得x＝a5．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣66．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）7．下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点（0，0），其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为x＝﹣3C．其最大值为1D．当x＜3时，y随x的增大而减小9．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根为1，则另一个根是（）A．5 B．4 C．3 D．210．二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．b＜0，c＞0 B．b＜0，c＜0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞0 11．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 12．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2＝2500B．200（1+x）+200（1+x）2＝2500C．200（1﹣x）2＝2500D．200+200（1+x）+2000（1+x）2＝250二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．14．方程x2﹣5x＝4的根是．15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，C3是函数的图象，则阴影部分的面积是平方单位（结果保留π）．16．若二次函数y＝x2﹣3x+2m的最小值是2，则m＝．17．某厂去年的产值为a元，今年比去年增长x%，则今年的产值为．18．设A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）解方程：x2+6x﹣2＝0．20．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，6），（2，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求y随x的增大而减小时x的取值范围．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．22．（8分）已知抛物线y＝3（x+1）2﹣12如图所示（1）求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；（2）求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；（3）如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．23．（9分）我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？24．（9分）出租车给市民出行带来了极大便利，某市某县现有出租车约400辆，为了提高每辆出租车的运营效益，一般每辆车是24小时运营，司机“三班倒”轮换，经过调查，每个司机有两种运营方案．方案一：部分出租车司机愿意在火车站、汽车站、码头、宾馆等固定的出租点接客，他们认为这样比在路上跑车接客相对轻松并且效益好些，这些司机平均每天可接4趟长途客，每次120元，总共花时约4小时，长途每次往返平均60千米．在剩余的20小时，在市内固定出租点营业，平均每次等客5分钟，送客20分钟，返回15分钟，一次市内生意为12元，市内每次往返平均8千米．方案二：部分司机愿意全部在市内跑车接客，调查结果为平均每次空载跑车（或等客）5分钟，接送客15分钟，一次市内生意为10元，市内每次往返平均5千米．（1）每辆出租车按方案一在固定站接客一天的营业额是元，每辆出租车按方案二在市内接客一天的营业额是元．（2）已知出租车每千米平均耗油0.32元，出租车在固定站接客需交停车费8元/天，跑长途平均每次（含往返）过境费10元，请比较出租车一天在固定站接客和在市内短途接客的纯收入大小（市内空载跑车行程忽略不计）．25．（10分）如图，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A与点O 重合），点M（1，2）是抛物线上的点，且满足∠AMB＝90°（1）求出抛物线C的解析式；（2）点N在抛物线C上，求满足条件S△ABM＝S△ABN的N点（异于点M）的坐标．26．（10分）某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？（2）根据物价不门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？参考答案一．选择题1．解：A、x2﹣y＝1是二元二次方程，不合题意；B、x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不合题意；D、x﹣5y＝6是二元一次方程，不合题意，故选：B．2．解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6且m≠2，故选：A．3．解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．4．解：A、根据等式的性质，两边同除以一个不为0的数，等式仍然成立，在x未知的情况下，不能同除以2x，因为2x可能等于0，所以不对；B、两个式子的积是2×6＝12，这两个式子不一定是2和6，还可能是其它值，故计算方法不对；C、利用直接开平方法求解，正确；D、两个数的积是a，这两个数不一定是a，故错误．故选：C．5．解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选C．6．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．7．解：①二次函数的图象是抛物线，正确；②因为a＝﹣＜0，抛物线开口向下，正确；③因为b＝0，对称轴是y轴，正确；④顶点（0，0）也正确．故选：D．8．解：∵y＝2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，1），∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选：D．9．解：设方程的另一个根为m，则1+m＝4，∴m＝3，故选：C．10．解：如图，抛物线的开口方向向下，则a＜0．如图，抛物线的对称轴x＝﹣＜0，则a、b同号，即b＜0．如图，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．综上所述，b＜0，c＞0．故选：A．11．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0∴k＞﹣1∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数∴k≠0则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．12．解：由题意可得，200（1+x）+200（1+x）2＝2500，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴22﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．14．解：∵x2﹣5x＝4，∴x2﹣5x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．15．解：抛物线y＝x2与抛物线y＝﹣x2的图形关于x轴对称，直线y＝x与x轴的正半轴的夹角为60°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150°，半径为2，所以：S阴影＝＝．故答案为：．16．解：由y＝x2﹣3x+2m，得y＝（x﹣）2+2m﹣，∴y最小＝2m﹣＝2，解得，m＝；故答案是：．17．解：∵今年比去年增长x%，∴今年相对于去年的增长率为1+x%，∴今年的产值为a×（1+x%）．故答案为a×（1+x%）．18．解：∵A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，∴y1＝1，y2＝2，y3＝﹣2．∵﹣2＜1＜2，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：∵x2+6x﹣2＝0，∴x2+6x＝2，则x2+6x+9＝2+9，即（x+3）2＝11，∴x+3＝±，∴x＝﹣3±．20．解：（1）将点（﹣2，6），（2，2）代入y＝ax2+bx+2中，得，∴a＝，b＝﹣1，∴y＝x2﹣x+2；（2）∵抛物线y＝x2﹣x+2对称轴为直线x＝﹣＝1，∵a＝＞0，则抛物线开口向上，∴y随x的增大而减小时x＜1．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．22．解：（1）当x＝0时，y＝3（x+1）2﹣12＝﹣9，则C点坐标为（0，﹣9）；（2）当x＝0时，3（x+1）2﹣12＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A（﹣3，0），B（1，0）；（3）D点坐标为（﹣1，﹣12），所以四边形ABCD的面积＝×2×12+×（9+12）×1+×1×9＝27．23．解：设每件纪念品应降价x元，则：化简得：x2﹣30x+200＝0解得：x1＝20，x2＝10∵商店要尽快减少库存，扩大销量而降价越多，销量就越大∴x＝20答：每件纪念品应降价20元．24．解：（1）方案一在固定站接客一天的营业额是：4×120+20×60÷（5+20+15）×12＝840（元），案二在市内接客一天的营业额是：24×60÷（5+15）×10＝720（元）；（2）方案一的综合费用为：0.32×[60×4+20×60÷（5+20+15）×8×2]+8+10×4＝278.4（元），其纯收入为840﹣278.4＝561.6（元）；方案二的综合费用为：0.32×[24×60÷（5+15）×5×2]＝230.4（元），其纯收入为720﹣230.4＝489.6（元）；561.6＞489.6，所以一辆出租车一天在固定站接客比在市内短途接客的纯收入大．25．解：（1）过点M作MH⊥AB于H，∵∠OMB＝90°，MH⊥OB，∴△OMH∽△MBH，∴MH2＝OH•HB，∴BH＝4，∴B（5，0）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，把M（1，2），B（5，0）代入得到，交点，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）由题意可知点N的纵坐标为±2时，当y＝2时，2＝﹣x2+，解得x＝1或4，可得N（4，2），当y＝﹣2时，﹣2＝﹣x2+，解得x＝，可得N（，﹣2）或（，﹣2）；26．解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）×y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元；（2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000＝2000，解得：x1＝30，x2＝40，又∵单价不得高于32元，∴销售单价应定为30元．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．。

2 2注意事项：长郡教育集团初中课程中心 2018—2019 学年度初三第一次模拟考试数学 编辑：秋老师1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2. 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3. 答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5. 答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6. 本学科试卷共 26 个小题，考试适量 120 分钟，满分 120 分.一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）1. 在-1、 - 、1、0 这四个实数中，最小的是（）A. -1B. -C. 1D. 02. 下列计算正确的是（ ） A. (x2 )3= x 6B.a 3 ⋅ a 2 = a6C.(ab 2)2= ab 4D. (x 3 )2= x 53. 正多边形内角和为540︒，则该正多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6D. 74. 在平面直角坐标系中，有一点 M 坐标为(-4, 5)，点 M 向右平移3个单位后的坐标是（ ）A. (-4, 2)B. (-4,8)C. (-1, 5)D. (-7, 5)5. 若三角形的三边长分别为3、 x 、8 ，则 x 的取值范围是（ ） A. 5 < x < 8 B. 3 < x < 8 C. 3 < x < 5 D. 5 < x < 116. 如图， ∆ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC = 70︒，则∠AOC 的度数等于（ ） A. 110︒ B. 120︒ C. 130︒ D. 140︒第 6 题图第 7 题图7. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(3, 4)，那么sin α的值是（ ） 3 3 4 4 A.B.C.D.5453- = 8. 某小组5名同学一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于劳动时间这组数据，下列说法正确的是（）劳动时间（小时） 1 2 3 4人数1 12 1A. 众数是2 ，平均数是 2.6B. 中位数是3，平均数是 2C. 众数和中位数都是3D. 众数是 2 ，中位数是3 9. 如图，在∆ABC 和∆DEF 中， AB = DE ， AB / / D E ，添加下列条件可以证明∆ABC ≅ ∆DEF 的是（ ）A. ∠A = ∠DB. AC = EFC. AC = DFD. BC = DF第 9 题图 第 10 题图 第 12 题图10. “折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是： 一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4 尺远，则折断后竹子的高度为多少尺？（1丈= 10 尺）（ ） A. 3 B. 5 C. 4.2 D. 411. 某校九年级毕业时，每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550 张相片， 如果全班有 x 名学生，根据题意列出方程为（ ）12. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 、F 分别是 BC 、DC 边上的两点，且∠EAF = 45︒， AE 、AF 分别交 BD 于M 、N ，下列结论：① BE + DF = EF ；② AF 平分∠DFE ；③ AM ⋅ AE = AN ⋅ AF ；④ AB 2 = BN ⋅ DM . 其中正确的结论是（ ） A. ②③④B. ①④C. ①②③D. ①②③④二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18分） 13. 二次函数 y = -x 2+ 2x - 3 的顶点坐标为；S 2 =0.50， S 2=0.45 ，则射击成绩最稳定的是（填“甲”、“乙”、“丙”、或“丁”）丙丁⎧x - y = 3 15.二元一次方程组 ⎨ ⎩3x 8 y 14的解为；16.下列图形中，其中是中心对称图形的有个：①圆；②平行四边形；③长方形；④等腰三角形17.如图，在∆AEF 中，尺规作图如下：分别以点E 、点F 为圆心，大于1EF 的长为半径作弧，两弧相交于G 、2H 两点，作直线GH ，交EF 于点O ，交AF 于点C ，若EC = 8 cm ，则FC =cm ;18.已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是cm2 .第17 题图第18 题图三、解答题（本大题共8 个小题，第19 、20 题每小题6 分，第21、22 题每小题8 分，第23、24 题每小题9 分，第25 、26 题每小题10 分）19.计算： 2 tan 60︒- 3-2+(-1)201920.先化简，再求代数式3 6421.为了解某中学学生课余活动情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计，现从该校随机抽取n 名学生作为样本，采用问卷调查的方式收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中提供的信息，解答下列问题：（1）n =，直接补全条形统计图；（2）若该校共有学生3200名，试估计该校喜爱看课外书的学生人数；（3）若被调查喜爱体育活动的4 名学生中有3名男生和1名女生，现从这4 名学生中任意抽取2 名，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到2 名男生的概率.22.如图，一勘测人员从山脚B 点出发，沿坡度为1: 3 的坡面BD 行至D 点处时，他的垂直高度上升了15米，然后再从D 点沿坡角为45︒的坡面DA ，以20 米/分钟的速度到达山顶A 点时，用了10分钟.（1）求D 点到B 点之间的水平距离；（2）求山顶A 点处的垂直高度AC 是多少米？（≈ 1.414 ，结果保留整数）.223.如图，在Rt∆ABC 中，∠C =90︒，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ，以AB 上某一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点D ，与AB 边的另一个交点为E .（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若 O的半径为4，∠B=30︒，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积（结果保留根号）.24.某科技有限公司用160万元作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4 元/件，在销售过程中发现，每年的年销售量y （万件）与销售价格x （元/件）的关系如图所示，其中AB 为反比例函数图象的一部分，BC 为一次函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）.（注意：第一年年利润=电子产品销售收入-电子产品生产成本-研发费用）（1）分别写出图中AB 段、BC 段y （万件）与x （元/件）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s （万元）与x （元/件）之间的函数关系式；（3）求该公司第一年年利润的最大值，并说明利润最大时是盈利还是亏损，盈利或亏损多少万元？25.如图，抛物线y =ax2 + 6x +c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线y =x - 5 经过点B 、C .（1）求抛物线的解析式；（2）若点N 为抛物线上的动点，当∠NBA =∠OAC 时，求点N 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P（不与点B 、C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 与点Q ，若以点A 、M 、Q 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标.备用图26.设等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，平面内任意一点P 到等边三角形中心的距离为d ，若满足r ≤d ≤R ，则称点P 叫做等边三角形的中心关联点.3, -1)、C ( 3, -1).在平面直角坐标系xOy 中，等边∆ABC 的三个顶点的坐标分别为A (0, 2)、B (-（1）①等边∆ABC 的中心的坐标为；是；（2）如图1，过点A 作直线交x 轴正半轴于M ，使∠AMO = 30︒.①若线段AM 上存在等边∆ABC 的中心关联点P (m, n )，求m 的取值范围；②将直线AM 向下平移得到直线y =kx +b ，当b 满足什么条件时，直线y =kx +b 上总存在等边∆ABC 的中心关联点；（3）如图2，点Q 为直线y =-1上一动点，⊙Q 的半径为，当Q 从点(-4, -1)出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒，是否存在某一时刻t ，使得⊙Q 上所有点都是等边∆ABC 的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t 的值，如果不存在，请说明理由.。

2018-2019湖南长沙长郡集团期中考试九年级 数学试卷总分：120 分时量：120 分钟.一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分. 在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2018的倒数是（）A. 2018B. - 2018 1C.2018D. -1 2018 2. 若(2x -1)0= 1，则（）11 11 A. x ≥ -2B. x ≠ - 2C. x ≤ -2D. x ≠23. 用代数式表示“ a 的3倍与b 的平方的差”，正确的是（ ）A. (3a - b )2B. 3(a - b )2C. (a - 3b )2D. 3a - b24. 如图，已知 AB // CD ， ∠A = 80︒，则∠1的度数是（）A. 100︒ C. 80︒B. 110︒ D. 120︒5. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A. 三条中线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条高的交点6. 若关于 x 的一元二次方程 m 2 x 2- (2m -1)x +1 = 0有两个实数根，则 m 的取值范围是（）A.m <1 4B.m ≤1 4C.m ≥1 4D. m ≤ 1且 m ≠ 047. 现给出四个命题：①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；③菱形的面积等于两条对角线的积；④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60︒. 其中不正确的命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4 个3 18. 一个不透明布袋里装有1个白球、 2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同，从中任意摸出一个球， 则是红球的概率为（ ） 1 1 A. B.631 2 C.D.239.二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象如图所示，则一次函数 y = bx + b 2- 4ac 与反比例函数 y =a +b + cx在同一坐标系内的图象大致为（）A B CD10. 圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（）A. 36B. 48C. 72D. 14411. 如图，点 P (3a , a )是反比例函数 y = k (k > 0)与ΘO 的一个交点，图中阴影部分的面积为10，则反x比例函数的解析式为（ ）12. 如图，正∆ABC 的边长为 2，过点 B 的直线l ⊥ AB ，且∆ABC 与∆A 'BC '关于直线l 对称， D 为线段BC '上一动点，则 AD + CD 的最小值是（）A. 4B. 3C. 2D. 2 +二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）13. 函数 y = ，当 x = 2时没有意义，则 a = ； x - 2a14. 因式分解： m 2- mn + mx - nx =；15. 已知有理数 m ， n 满足⎛m + ⎝n ⎫2⎪ ⎭ + n 2 - 4 = 0，则 m 3n 3的值为；23416.如图，在∆ABC中，∠C = 90︒，∠B = 24︒，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP，射线AP交BC 于点D，则∠ADB =；17.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的度数分别为86︒、30︒，则∠ACB的大小为；18.在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45︒，再作出旋转后的点关于原点的对称点，这称为一次变换，已知点A的坐标为(-1,0)，则点A经过连续2018次这样的变换得到的点A2018的坐标是.三、解答题（本大题共8 小题，第19、20 题每题6 分，第21、22 题每题8 分，第23、24 题每题9 分，第25、26 题每题10 分）⎧2x - 6 ≤ 3x - 5，并把解集表示在数轴上.19.（6 分）解不等式组⎨⎩6x - 3 < 6 - 3x20. （6 分）已知x = 2017，y = 2018，求代数式21.（8 分）湖南省博物馆自2017年11月29日重新开放以来，收到市民的广泛关注，十月初，八年级（1）班学生小颖对全班同学这十个多月来去省博物馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表.八年级（1）班学生去省博物馆的次数统计表请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）填空： a =，b =；（2）求扇形统计图中“ 0次”的扇形所占圆心角的度数；（3）从全班去过省博物馆的同学中随机抽取1人，谈谈对博物馆的印象和感受，求恰好抽中去过“ 4次及以上”的同学的概率.22.（8 分）如图，平行四边形 ABCD 中， BD ⊥ AD ， ∠A = 45︒， E 、 F 分别是 AB 、CD 上的点， 且 BE = DF ，连接 EF 交 BD 于O . （1）求证： BO = DO ；（2） 若 EF ⊥ AB ，延长 EF 交 AD 的延长线于G ，当 FG = 1时，求 AE 的长.去省博物馆的次数0 次1 次2 次3 次4 次 及以上 人数812a10423.（9 分）如图 1，已知在⊙O 中，点C 为劣弧 AB 上的中点，连接 AC 并延长至 D ，使CD C A ，连接 DB 并延长交⊙O 于点 E ，连接 AE . （1）求证： AE 是⊙O 的直径；（2）如图 2，连接 EC ， ⊙O 的半径为5， AC 的长为4，求阴影部分的面积之和.图 1图 224.（9 分）随着生活水平的提高，人们越来越注重营养健康，有一种有机水果 A 在市场上特别受欢迎，某大型超市以10元/千克的价格在产地收购了6000千克 A 水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题：①水果 A 的市场价每天每千克上涨0.1元； ②平均每天有10千克的该水果损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④该水果最多保存110天；（1）若将这批 A 水果存放 x 天后一次性出售，则 x 天后这批水果的销售单价为 元； （2）将这批 A 水果存放多少天后一次性出售所得利润为9600元？（3） 将这批 A 水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？1 25.（10 分）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P(t, t )，则称点P为函数图象上的“郡点”，例如：y = 2x -1上存在“郡点” P(1,1).（1）直线（填写直线解析式）上的每一个点都是“郡点”，双曲线y = 上的“郡点”x是；重合）的坐标为A(x , y )、B(x , y )，求x2 +x2的最小值.1 12 2 1 2（3）若函数y =1x2 +(n -k +1)x +m +k -1的图象上存在唯一的一个“郡点”，且当- 2 ≤n ≤1时，4m的最小值为k，求k的值.26.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x + 3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y =-x2 +bx +c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A.（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P(x, y)是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l ⊥x轴于点M，交直线BC于点N.①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值，若不存在，请说明理由；②求以BC为底边的等腰∆BPC的面积.。

长郡教育集团初中课程中心2018-2019学年度初二第一学期期中考试数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。

）1.下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）。

2. 下列计算中，正确的是（ ）。

A 734a a a =+B 4312a a a =C 1234a a =）（D a a a =+343. 整式252++kx x 为某完全平方式展开后的结果，则k 的值为（ ）。

A 5B -5C 5±D 10±4. 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）。

A ()()y x y x 22+-B ()()y x y x --+-22C ()()y x y x 22---D ()()y x y x +-+22 5. 当x 为任意有理数时，下列分式中一定有意义的是 A 21x B 112-x C 112+x D51+x 6. 已知2=m x ，8=n x 。

则=+n m x（ ） A 4 B 8 C 16 D 647. 若点A （m ，n ）和点B （5，-7）关于x 轴对称，则m+n 的值是（）A 2B -2C 12D -128. 下列由左到右的变形中，是因式分解的是（ ）。

A ()()4222-=+-x x xB ）（xx x x 112-=-C x x x x x 3)2)(2(342+-+=+-D )2)(2(42-+=-x x x9.计算2018201885531）（）（-⨯-的结果为（ ）。

A 1 B -1 C 0 D 199710.若等腰三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，则这个三角形的周长为（ ）。

A 13厘米 B 17厘米 C 13厘米或17厘米 D 以上答案都不对11. 如图，下列条件不能推出△ABC 是等腰三角形的是（ ）。

A 、∠B=∠CB 、AD ⊥BC ，∠BAD=∠CADC 、AD ⊥BC ，BD=CDD 、AD ⊥BC ，∠BAD=∠AC D12.在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC 的顶角A 、B 的坐标分别为（0，0），（2，2）。