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模糊系统理论一、主要内容(1)模糊数学，它用模糊集合取代经典集合从而扩展了经典数学中的概念；(2)模糊逻辑与人工智能，它引入了经典逻辑学中的近似推理，且在模糊信息和近似推理的基础上开发了专家系统；(3)模糊系统，它包含了信号处理和通信中的模糊控制和模糊方法；(4)不确定性和信息，它用于分析各种不确定性；(5)模糊决策，它用软约束来考虑优化问题。
当然，这五个分支并不是完全独立的，他们之间有紧密的联系。
例如，模糊控制就会用到模糊数学和模糊逻辑中的概念。
从实际应用的观点来看，模糊理论的应用大部分集中在模糊系统上，尤其集中在模糊控制上。
也有一些模糊专家系统应用于医疗诊断和决策支持。
由于模糊理论从理论和实践的角度看仍然是新生事物，所以我们期望，随着模糊领域的成熟，将会出现更多可靠的实际应用。
早在20世纪20年代，就有学者开始思考和研究如何描述客观世界中普遍存在的模糊现象。
1923年，著名的哲学家和数学家B．Russell在其有关“含模糊性”的论文中就认为所有的自然语言均是模糊的，如“年轻的”和“年老的”都不是很清晰的或准确的概念。
它们没有明确的内涵和外延，实际上是模糊的概念。
然而，在一个特定的环境中，人们用这些概念来描述某个具体对象时却又能让人们心领神会，很少引起误解和歧义。
与B．Russell同时代的逻辑学家和哲学家人Kasiewicz发现经典的：值逻辑只是理想世界的模型，而不是现实世界的模型，因为它在对待诸如“某人个子比较高”这一客观命题时不知所措。
他在1920年创立了多值逻辑，为建立正式的模糊模型走出了关键的第一步。
但是，多值逻辑本质不仍是精确逻辑，它只是二值逻辑的简单推广[9]。
1966年，P．N．Marinos发表了有关模糊逻辑的研究报告。
这一报告真正标志着模糊逻辑的诞生。
模糊逻辑和经典的二值逻辑的不同之处在于：模糊逻辑是一种连续逻辑。
一个模糊命题是一个可以确定隶属度的句子，它的真值可取[o，U区间中的任何数。
七种常见推理形式一、演绎推理演绎推理是从一般到特殊的推理过程。
它根据一般性的命题，推导出关于特定事物的结论。
例如，所有的猫都是动物（一般性命题），这只动物是猫（特定事物），所以这只动物是动物（结论）。
二、归纳推理归纳推理是从个别到一般的推理过程。
它通过观察和研究具体事实，总结出一般性的规律或原则。
例如，如果我们观察到许多猫都有毛（具体事实），我们可以归纳出所有的猫都有毛（一般性结论）。
三、溯因推理溯因推理是从结论出发，回溯到可能的原因的推理过程。
它通常用于解释某种现象或事件，并推断出可能的原因。
例如，如果我们发现一个物体在不受外力作用的情况下移动了，我们可能会溯因推理认为一定有某种力量导致了它的移动。
四、假言推理假言推理是根据一个假设的前提，推导出结论的推理过程。
这种推理形式通常用于逻辑论证和决策分析。
例如，如果A发生，那么B会发生（前提），现在A已经发生（条件），所以B会发生（结论）。
五、排除推理排除推理是通过排除不可能的情况，确定唯一可能性的过程。
它通常用于解决复杂的谜题或问题，通过排除错误的选项或条件，找到正确的答案或解决方案。
六、类比推理类比推理是根据两个或多个对象之间的相似性，推断出它们在其他方面也可能存在相似性的过程。
例如，如果我们知道猫和老虎在某些方面很相似（都是肉食性动物），我们可以推断出它们在其他方面也可能存在相似性（比如都有锋利的牙齿和爪子）。
七、反向推理反向推理，也被称为逆向推理，是通过已经知道的结果或者结论，推导出引发该结果或者结论的因素的过程。
例如，我们已知某化学反应的结果是生成了某种物质，反向推理就是找出能产生这种物质的化学反应。
以上七种推理形式在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
理解并掌握这些推理形式，可以帮助我们更好地理解问题，更有效地解决问题，以及做出更合理的决策。
深度学习（三）：推断问题（精确推断、近似推断、采样⽅法）⼀、引⼊之前说过推断问题主要是已知⼀些变量求别的变量的概率，在图模型中主要是求隐变量的后验概率会⽤到。
有⼀些隐变量之间的关系没那么复杂，可以精确计算出来，虽然⿇烦，但是好⽍是可计算的，这种⽅法就是精确推断，精确推断⽐较简单，不会多写；还有的是真的没法算出来的，⼜不可缺，就只能近似推断，⽽近似推断⼜主要有环路信念传播，引⼊变分分布的变分推断，通过模拟来采样符合某个分布的样本的采样⽅法。
采样⽅法⼜有直接采样和间接采样，如果能直接采样，说明概率分布⽐较简单；这⾥主要讨论间接采样，就是通过采样⼀个⽐较简单的分布，然后加上⼀些条件来采样的过程。
⼆、精确推断（⼀）变量消除法这种就是变量消除法求边际概率的⼀种⽅式，可以看见，我们把条件较多的，⽐如上图的x1，先进⾏计算，然后再计算x2的和，x3的和，保证了当我们算到⽐较⾼级的部分的时候，涉及的算式较少（⼆）信念传播法信念传播（Belief Propagation，BP）算法，也称为和积（Sum-Product）算法或消息传递（Message Passing）算法，是将变量消除法中的和积（Sum-Product）操作看作是消息（Message），并保存起来，这样可以节省⼤量的计算资源。
通俗来说，变量消除法的缺点是，当我们计算X3的边际概率P(x_{3})和X4的边际概率P(x_{4})时，很有可能出现⼀些式⼦的重复计算。
按上⼀个截图的式⼦来说，我们⾄少需要在分别计算P(x_{3})和P(x_{4})时重复计算P(x_{2}\mid x_{1})和P(x_{1})，聪明的⼈就会⼼想，如果我把每个⽤到的式⼦都先计算出来，放进我的表格⾥，然后要算什么，就按需拿出来合并计算就好了。
下图就展⽰了链式⽆向图上，信念传播⽅法。
链式⽆向图的最⼤团中节点数⽬为2，也就是每相邻两个节点构成⼀个最⼤团，⼀共有T-1个团，即T-1个势能函数。
判断推理常用公式在逻辑学和推理学中，有一些常用的公式和原则可用于进行正确的推理和论证。
这些公式和原则可能包括数学逻辑和形式逻辑中的规则，以及哲学推理和日常生活中的一般原则。
下面将介绍一些常用的推理公式和原则。
1. 矛盾法（Reductio ad absurdum）：矛盾法是一种常用的推理方法，用于证明一些论断的否定。
它通过假设论断的否定，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明了原论断的正确性。
这个方法的基本形式是：假设 ~A，然后从这个假设中推出一个矛盾的结论，如B ∧ ~B。
因此可以推断出原论断 A 的正确性。
2. 归谬法（Modus tollens）：归谬法是一种推理方法，通过否定一个推理的结论而否定其前提。
这个方法的基本形式是：如果 A 导致 B，而 ~B 是真的，则可以推断出 ~ A 是真的。
例如，如果一个论断是“如果下雨，那么地面湿”，而地面并不湿，则可以推断出“下雨”这个前提是错误的。
3. 假设法（Modus ponens）：假设法是一种推理方法，通过证明一个条件语句的前提为真来推断出结论的真实性。
这个方法的基本形式是：如果 A 导致 B，而 A 是真的，则可以推断出 B 是真的。
例如，如果一个论断是“如果下雨，那么地面湿”，而已知“下雨”是真的，则可以推断出“地面湿”是真的。
4. 经验归纳（Inductive reasoning）：经验归纳是一种通过观察和实践中的具体事实和例子来得出一般性结论的推理方法。
它基于经验和概率，通过发现一系列的具体案例来推断出普遍性规律或趋势。
但是，经验归纳并不具有绝对的确定性，因为它的结论基于有限的观察。
5. 演绎推理（Deductive reasoning）：演绎推理是从已知前提出发，通过逻辑规则和推理方式得出结论的方法。
它的结论是绝对确定的，因为它基于已知的真实前提和逻辑规则。
例如，如果已知“所有人都会死亡”，以及“张三是一个人”，则可以演绎出“张三将会死亡”的结论。
文章编号:1001-7402(2010)05-0001-07计量逻辑学中的近似推理韩邦合1,2,李永明1,3(1.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安 710062;2.西安电子科技大学理学院数科系,陕西西安 710162;3.陕西师范大学计算机科学学院,陕西西安 710062)摘 要:在多值逻辑系统中给出了计量逻辑学中单个公式到 结论集的距离公式,在此基础上,给出发散度的简化形式,讨论了计量逻辑学中三种近似推理模式之间的关系。
关键词:真度;相似度;伪度量;发散度;计量逻辑学;近似推理中图分类号:O 141 文献标识码:A1 引言众所周知,数理逻辑是以符号化为特点的形式化理论,它注重形式推理而不重视数值计算。
与此相反,数值计算的目的则在于借助各种计算手段,采用插值、迭代、差分或概率估算方法研究各类计算问题,它关注问题的求解以及误差估算而很少使用形式推理方法。
王国俊教授将数值逻辑与概率计算相结合,提出了一个新的研究分支计量逻辑学[1-3]。
其主要内容为:在多值逻辑系统中提出了公式的真度概念。
基于此,提出了公式间的相似度与伪度量,研究了所得逻辑度量空间的基本性质,提出并研究了逻辑理论的发散度与相容度概念,给出了三种近似推理模式。
[1],[2],[3]中提出了以下几个问题:(1)如何刻画单个公式到 结论集的距离?(2)当 无限时,如何计算理论 的发散度?(3)计量逻辑学中三种近似推理模式之间的关系是什么?文献[12]在二值情形下指出了问题(3)的解。
本文在更一般的多值逻辑系统中解决以上这些问题。
下面首先给出本文需要的预备知识。
2 预备知识设F (S )是全体命题(公式)之集,即F (S )是由原子公式之集S 生成的( ,∨,→)型自由代数,A=A (p 1,p 2,…,p m )是含有m 个原子公式p 1,…,p m 的公式。
赋值域W =W n ={0,1n -1,2n -1,…,n -2n -1,1}。
分别用x 1,…,x m 取代p 1,…,p m ,并把A 中的逻辑连接词 ,∨,→换为W 中的运算 ,∨,→,则得一m 元函数A -(x 1,…,x m ):W m →W ,称A -为A 所诱导的函数。
W 中的 ,∨运算为线性补和取大运算,→取决于我们所考虑的n 值逻辑系统。
在Lukasiew icz n 值逻辑系统L n 和R 0型n 值逻辑系统第24卷第5期2010年10月 模 糊 系 统 与 数 学Fuzzy Sy stems and M athematicsV ol.24,N o.5Oct.,2010收稿日期:2009-04-30;修订日期:2009-06-15基金项目:国家自然科学基金资助项目(60873119);博士学科点专项基金资助项目(20080718000)作者简介:韩邦合(1981-),男,博士研究生,研究方向:计算智能,软约束与赋值代数,不确定性推理;李永明(1966-),男,教授,博士生导师,研究方向:非经典计算理论,计算智能,模糊系统分析,量子逻辑与量子计算,格上拓扑学。
L*n中,→分别为Lukasiewicz蕴涵算子→L和R0蕴涵算子→0.这里 a,b∈[0,1],a→L b=(1-a+ b)∧1;a≤b时,a→0b=1,否则a→0b=(1-a)∨b.定义2.1[1] 设A=A(p1,p2,…,p m)是含有m个原子公式p1,…,p m的公式,A-(x1,…,x m)为A 所诱导的函数,令n(A)=1n m ∑n-1i=1in-1A--1(in-1)这里, E 表示集合E中元素的个数,称 n(A)为公式A在n值逻辑系统中的真度。
定义2.2[1] 设A,B∈F(S),令(A,B)= n((A→B)∧(B→A))称 (A,B)为A与B之间的相似度。
设 :F(S)×F(S)→[0,1]是相似度函数,令(A,B)=1- (A,B), A,B∈F(S)由[1]可知 是F(S)上的伪度量,称(F(S), )为逻辑度量空间。
定义2.3[1] 设 是F(S)中的理论,即 F(S),令div( )=sup{ (A,B) A,B∈D( )}称div( )为 的发散度。
定理2.1[1] 设A,B,C∈F(S),则以下性质成立:(i) n(A∨B)= n(A)+ n(B)- n(A∧B);(ii)若 A→B,则 n(A)≤ n(B);(iii)在Lukasiewicz n值逻辑系统中, (A,B)= n(A∨B)- n(A∧B)。
证明 (iii)不妨设A和B中都含有m个原子公式p1,p2,…,p m,以下记A∨B,A∧B, (A→B)∧(B→A)分别为A∨B、A∧B、(A→B)∧(B→A)在[0,1]m上诱导的阶梯函数[1-2]。
分别把[0,1]m、dy1…dy m简记为 和dw,则由文献[1]、文献[2]可知 n((A→B)∧(B→A))=∫ (A→B)∧(B→A)dw, n(A∨B)=∫ A∨Bd w, n(A∧B)=∫ A∧B dw.容易验证1-(a→b)∧(b→a)=a∨b-a∧b, a,b∈[0,1]所以∫ 1dw-∫ (A→B)∧(B→A)dw=∫ A∨Bdw-∫ A∧Bdw,即1- n((A→B)∧(B→A))= n(A∨B)- n(A∧B),证毕。
定义2.4[2] 设 是F(S)中的理论,即 F(S),B∈F(S), >0,若(B,D( ))<则称B为 的I-型误差小于 的结论,简记为B∈D1 ( )。
定义2.5[2] 设 F(S),B∈F(S), >0,若1-sup{ n(A→B) A∈D( )}<则称B为 的II-型误差小于 的结论,简记为B∈D2 ( )。
定义2.6[2] 设 F(S),B∈F(S), >0,若inf{H(D( ),D( )) F(S), B}<则称B为 的III-型误差小于 的结论,简记为B∈D3 ( )。
这里H(D( ),D( ))为D( )与D( )之间的Hausdorff距离[8]。
定理2.2[2] 设 F(S),A,B∈F(S),则(i)在Lukasiewicz n值逻辑系统中,若 ∪{A} B,则 m∈Z+,使得 A m→B;2模 糊 系 统 与 数 学 2010年(ii)在R 0型n 值逻辑系统中, ∪{A } B 当且仅当 A 2→B .这里A 2=A A ,A m +1=A A m ,A B = (A → B ),m =1,2,…注记2.1 像[2]一样,在本文当中,Lukasiew icz n 值逻辑系统中的公理体系和连续值情形下一样,需要指出的是此时Lukasiew icz n 值逻辑系统不完备。
3 主要结果引理3.1 设a ∈W n ={0,1n -1,2n -1,…,n -2n -1,1},W 中的运算→为→L , 为与→L 相伴随的三角模, a ,b ∈[0,1],a b =(a +b -1)∨0,记a 2=a a ,a k +1=a a k ,k =1,2…,若k ≥n ,则a k =0当且仅当a ≠1。
证明 显然有a k =1当且仅当a =1。
根据三角模的单调递增性可知,只须证明(n -2n -1)n =0。
事实上(n -2n -1)n =n -3n -1 (n -2n -1)n -2=n -4n -1 (n -2n -1)n -3=n -(n -1)n -1 (n -2n -1)n -(n -2)=1n -1 (n -2n -1)2=1n -1 (n -3n -1)=(1n -1+n -3n -1-1)∨0=0。
引理3.2 设A ∈F (S )且A 中含有m 个原子公式,在Lukasiewicz n 值逻辑系统中,若k ≥n ,则n (A k )= n (A n )=1n mA --1(1) (1) 证明 由引理3.1可知 i ∈{1,2,…,n -2}, A k -1(i n -1) =0,且A k -1(1)=A --1(1),所以 n (A k )=1n m ∑n -1i =1i n -1 A k -1(i n -1) =1n m A --1(1) 引理3.3 设A ,B ∈F (S ),在Lukasiew icz n 值逻辑系统中,则 k ≥n ,(i)n (B ∧A k )= n (B ∧A n);(ii)n (B ∨A k )= n (B ∨A n );(iii ) n (A k →B )= n (A n →B )。
证明 (i)不妨设A 和B 中含有相同的原子公式,由引理3.1易证n (B ∧A k)=1n m ∑n -1i =1i n -1 B --1(i n -1)∩A --1(1) 所以当k ≥n 时, n (B ∧A k )为定值与k 无关,即n (B ∧A k )= n (B ∧A n )。
(ii)由定理2.4(i)可知n (B ∨A k )= n (B )+ n (A k )- n (B ∧A k ),由引理3.2和(i)易得 n (B ∨A k )= n (B )+ n (A n )- n (B ∧A n )= n (B ∨A n );(iii )在Lukasiewicz n 值逻辑系统中,一方面 (B ,B ∨A k )= n (B ∨A k )- n (B );另一方面 (B ,B ∨A k )=1- (B ,B ∨A k )=1- n ((B ∨A k →B )∧(B →B ∨A k ))=1- n (B ∨A k →B )=1- n (A k →B ),所以 n (A k →B )=1- n (B ∨A k )+ n (B ),由(ii )可得 n (A k →B )=1- n (B ∨A n )+ n (B )= n (A n →B )。
定理3.1 设B ∈F (S ), ={A 1,A 2,…} F (S ),则(i )在Lukasiewicz n 值逻辑系统中,(B ,D ( ))=inf{ (B ,B ∨( m )n ) m ∈Z +}(2) (ii)在R 0型n 值逻辑系统中,(B ,D ( ))=inf{ (B ,B ∨( m )2) m ∈Z +}(3)这里 m =A 1 … A m .证明 (i )即要证明inf{ (B ,A ) A ∈D ( )}=inf{ (B ,B ∨( m )n ) m ∈Z +}。
A ∈D ( ),3第5期 韩邦合,李永明:计量逻辑学中的近似推理A i1,…,A it∈ ,使得{A i1,…,A it} A,记m=max{i1,…,i t},那么{A1,…,A m} A.根据定理2.8(i), k i,i=1,…,m,使得 A k11→(A k22→(…(A k m m→A)…),即 A k11 A k22 … A k m m→A[4-5].记k=max{k1,…,k m,n},那么 A k1 A k2 … A k m→A.即 ( m)k→A.所以 B∨( m)k→B∨A.根据定理2.4(ii)可知 n(B∨( m)k)≤ n(B∨A)。
