高三数学复习单元试卷4-三角函数的图象和性质

专题2 三角函数的图象和性质【老师预测】（1） 三角函数的图象和性质是历年高考中的必考知识点，在高考中，客观题和解答题均会出现，大多以中、低档题为主，主要集中考查三角函数的周期、图象、单调性、值域或最值几个方面，解决此类问题，要求学生熟练地掌握三角函数的图象及其性质，避免失分。

（2）函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质是高考中的必考知识点，在高考中，主要集中考查图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正余弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换、向量结合起来综合考查，需多加强数形结合思想的应用意识。

【知识精讲】一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 二、正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 1．函数sin()y A x ωϕ=+的图象的画法与变换 （1）变换作图法由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y 取得最小值、最大值的点和曲线与x 轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T =2ωπ,在一个周期内作出图象；②令=X x ωϕ+,令X 分别取0，2π,π,322ππ,,求出对应的x 值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到sin()y A x ωϕ=+的简图. 2．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 【典例精练】考点一 三角函数的定义域例1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的定义域为________________． 【解析】由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，故所求定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 故答案为：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z 例2．求函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 【方法点睛】(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，要注意本身的要求； (2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式． 考点二 三角函数的值域或最值例3．．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．【解析】由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.故答案为：⎣⎡⎦⎤π3，π例4．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．【解析】令t ＝sin x . ∵|x |≤π4∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 【方法点睛】三角函数值域或最值的3种求法 (1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解；(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数来求． 考点三 三角函数的图象与性质例5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于原点对称，则角θ＝________. 【解析】∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称 ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0 ∴θ－π3＝k π(k ∈Z)，即θ＝π3＋k π(k ∈Z)．又|θ|＜π2∴θ＝π3.故答案为：π3例6．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． 【解析】由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.又∵x ∈[0，π]∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 故答案为：⎣⎡⎦⎤0，π4 例7．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 【解析】∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3. ∴ω＝32.故答案为：32【方法点睛】1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． 考点四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换例8．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数y ＝f (x )的图象过原点，则φ＝________.【解析】由题意可得f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，因为函数y ＝f (x )的图象过原点，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，所以π4＋φ＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π4(k ∈Z)，又因为0＜φ＜π，所以φ＝3π4. 故答案为：3π4.例9．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位长度后，所得函数为 3sin 2()3y x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ. ∵所得的函数为偶函数∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝－k π2－π12(k ∈Z) ∵0＜φ＜π2∴k ＝－1，得φ＝5π12.故答案为：5π12.【方法点睛】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种作法【注】 平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 考点五 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________.【解析】由题图知A ＝1，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π＝2πω，得ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，所以φ＝－2π3＋2k π(k ∈Z)或φ＝π3＋2k π(k ∈Z)(舍去，因为f (0)＜0)，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，故f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π3＝32. 故答案为：32. 例11．设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为______． 【解析】∵0＜x ＜π，ω＞0 ∴ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，ωπ＋π3， 又∵函数当且仅当x ＝π12时取得最大值∴⎩⎨⎧ωπ＋π3≤5π2，πω12＋π3＝π2，解得ω＝2.故答案为：2.【方法点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)中参数的方法（1）求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；（2）求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；（3）求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：作业：【名校新题】一、填空题1．（2019·常州第一中学高三月考）将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，得到函数()f x 的图像，若函数()f x 是偶函数，则ϕ的值为____． 【解析】由题意，将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，得到函数()()sin 2sin 2266f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，若函数()f x 是偶函数，则262k ππϕπ-+=+，即26k ππϕ=--，k Z ∈，所以3πϕ=， 故答案为：3π．2．（2019·南京二模）若函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______. 【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为2π，所以2==2.ππωω∴，所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 因为函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin(=10,36ππϕϕπϕ+<<∴=Q ），.所以()f x =2sin(2)6x π+，所以()2sin()426f πππ=+=3．（2019·高邮期初模拟）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【解析】0x πQ ≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点. 故答案为：3.4．（2018·江苏高考真题）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 故答案为：6π-. 5．（2019·启东中学开学考试）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____.【解析】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈， ∴362k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈， ∵0>ω， ∴ω的最小值等于32， 故答案为：32． 6．（2019·高邮开学考试）设*N ω∈且10ω≤则使函数sin y x ω=在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调的ω的个数是______.【解析】由于函数在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，故在区间(,)43ππ上有对称轴，由sin y x ω=，有πππ2π,(),()2k x k k Z x k Z ωω+=+∈=∈，故ππππ2,()43k k Z ω+<<∈，由于0>ω，故有42,()332k k Z k ωω<+⎧⎪∈⎨>+⎪⎩，即3342,()0102k k k Z ωω+<<+∈<≤∴Q 1,2k =，求得5,8,9ω=. 故答案为：3.7．（2019·苏锡常第二次调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为_______．【解析】因为函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称， 所以cos 123ππω⎛⎫⨯-=± ⎪⎝⎭，所以()23k k Z ππωπ⨯-=∈. 解得：()223k k Z ω=+∈，又0>ω， 所以当0k =时，ω最小且为23.故答案为：23.8．（2019·常州期末）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数，点(1,0)是函数y =f(x)图象的对称中心，则ω最小值为________.【解析】∵函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）是偶函数， ∴φ＝k 1π+π2,k 1∈Z ,∵点（1，0）是函数y ＝f （x ）图象的对称中心 ∴sin （ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k 2π，k 2∈Z ， ∴ω＝k 2π﹣φ＝（k 2﹣k 1）π﹣π2．又ω＞0，所以当k 2﹣k 1＝1时，ω的最小值为π2． 故答案为：π2．9．（2019·镇江考前模拟）若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点( 2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭故答案为：1.10．（2019·南通3月联考）已知角ϕ的终边经过点(12)P -，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则()π12f 的值为____．【解析】角ϕ终边经过点()1,2P -，则sin5ϕ==-，cos 5ϕ==∵()f x 两条相邻对称轴之间距离为3π∴23T π=，即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x ϕ=+sin sin cos cos sin 12444f ππππϕϕϕ⎛⎛⎫⎛⎫∴=+=+== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：. 11．（2019·南京一模）设函数π()sin()3f x x ω=+，其中0>ω．若函数()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．【解析】()f x 取零点时x 满足条件()3k x k Z ππωω=-+∈，当0x >时的零点从小到大依次为 123258,,333x x x πππωωω===，所以满足523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ ，解得：54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 12．（2018·无锡期中）已知定义在区间[,]44ππ-上的函数()2sin cos (0)f x a x x b a =+<的最大值为4，最小值为52，则________.a b ⋅= 【解析】因为()()2sin cos sin2f x a x x bf x a x b =+=+，x ,44ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 所以2x ,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()[],f x a b a b ∈+-+, 从而35394.2131644a a b ab a b b ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪∴=-⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎪⎩， 故答案为：3916-. 13．（2019·盐城期中）若函数()sin3(01)f x x m m =-<<的所有正零点构成公差为d (d ＞0)的等差数列，则d ＝_______．【解析】设第一个正零点为0x ，则第三个正零点为02x d +，由题意得00π3(2)3π.6x d x d +-=∴= 故答案为：6π.14．（2019·徐州期中）已知函数()sin()f x x π=-223，若12()()4f x f x ⋅=-，且[]12,,x x ππ∈-，则12x x -的最大值为______．【解析】1212()()2sin(2)2sin(2)433f x f x x x ππ⋅=-⨯-=-，12sin(2)sin(2)133x x ππ-⨯-=-令1sin(2)3x π-＝1，2sin(2)13x π-=-，则11(2)223x k πππ=++，21(2)223x n πππ=-+.∴12x x -＝1(22)2k n πππ-+＝1[2()]2k n ππ-+＝1(2)2m ππ+，m ，n ，k 都是整数∵[]12,,x x ππ∈- ∴[]122,2x x ππ-∈-， ∴12x x -的最大值为13(2)22πππ+=. 故答案为：32π. 15．（2019·苏北四市期末）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为：12．16．（2019·海门第二次调研）将函数f(x)=sin2x 的图像向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在区间[0，π2]上的值域为_____________. 【解析】由题得y=g （x ）=sin2(x −π6)=sin(2x −π3), 因为0≤x ≤π2,∴0≤2x ≤π,∴−π3≤2x −π3≤2π3，所以−√32≤sin(2x −π3)≤1.所以函数y=g(x)的值域为[−√32,1].故答案为：[−√32,1].17．（2018·江苏泰州中学高三月考）将sin 2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>），使得平移后的图像仍过点(3π，则ϕ的最小值为__________．【解析】将sin 2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>）得到sin 2()y x ϕ=-，代入点(3π得：2sin(2)23πϕ=- ，因为0ϕ>，所以当22=33ππϕ-时，第一个正弦值为2的角，此时6π=ϕ. 故答案为：6π. 18．（2019·常州期中）将函数f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x 1)−g(x 2)|=2的x 1、x 2有|x 1−x 2|min =π3，则φ=______． 【解析】因为函数f(x)=sin2x 的周期为π，函数f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后, 得到函数g(x)sin(2x −2φ)的图象．满足|f(x 1)−g(x 2)|=2的可知，f (x 1)、g(x 2)一个取最大值一个取最小值 因为x 1−x 2|min =π3， 若x 1=π4，x 2=7π12，f(x)在x 1=π4取最大值，g(x)在x 2=7π12取得最小值，sin(2×7π12−2φ)=−1， 此时φ=−π6，不合题意， x 1=3π4，x 2=5π12， f(x)在x 1=3π4取最小值，g(x)在x 2=5π12，取得最大值，sin(2×5π12−2φ)=1，此时φ=π6，满足题意．故答案为：π6．二、解答题19．（2019·扬州调研）已知函数f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . （1）求f (x )的最小正周期和单调递减区间；（2）若方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】（1）∵f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z. ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z)． （2）由题意知，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点． 由（1）知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，7π12上单调递减，在⎣⎡⎦⎤7π12，π上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－2， 又f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f (π)＝3，∴当－2＜m ≤1时，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解． ∴实数m 的取值范围为(－2,1]．20．（2019·连云港调研）函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，点P ⎝⎛⎭⎫π6，2为其图象上一个最高点． （1）求f (x )的解析式；（2）将函数f (x )图象上所有点都向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上的值域．【解析】（1）∵函数f (x )的最小正周期为π. ∴2πω＝π，解得ω＝2. 又点P ⎝⎛⎭⎫π6，2为其图象上一个最高点， ∴A ＝2，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. （2）由题意得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，2x ＋5π6∈⎝⎛⎭⎫11π6，17π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1，2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∈(－1,2]， 故g (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上的值域为(－1,2]．。

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是( )A．6B．C．D．【答案】D【解析】将f(x)＝sinωx的图象向左平移个单位，所得图象关于x＝，说明原图象关于x＝－对称，于是f(－)＝sin(－)＝±1，故(k∈Z)，ω＝3k＋(k∈Z)，由于ω＞0，故当k＝0时取得最小值.选D考点:三角函数的图象与性质2.已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先由辅助角公式将化为一个的三角函数，利用最大值为2求出A，再利用列出关于的方程，解出的值；（2）由（1）可得的解析式，由可求得和，再由同角三角函数基本关系式求出，将2C代入将用C表示出来，利用三角形内角和定理及诱导公式，将化为A，B的函数，再利用两角和与差的三角公式，化为A,B的三角函数，即可求出.试题解析：（1）∵函数的最大值是2，，∴ 2分∵又∵，∴ 4分（2）由（1）可知 6分，∴ 8分∵∴， 10分∴12分考点: 辅助角公式；三角函数图像与性质；诱导公式；两角和与差的三角公式；运算求解能力3.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足，故，，∴，∵，∴，∴，∴，∴.【考点】由三角函数图象确定函数解析式.4.设则A．B．C．D．【答案】C．【解析】故选C．【考点】1.三角函数基本关系式（商关系）；2. 三角函数的单调性．5.设函数.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期。

（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用领个角的和的余弦公式、二倍角化简整理得，由可求得函数的最大值，根据求出函数的最小正周期；（2）将代入，再利用倍角公式求得，从而得到角，由，根据，求得，由结合诱导公式、两个角的和的正弦公式求出结论.（1）.∴当，即(k∈Z)时，，（4分）f(x)的最小正周期，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.（6分）（2）由，即，解得.又C为锐角，∴.（8分）∵，∴.∴.（12分）【考点】三角函数的和差公式、二倍角公式.6.（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【答案】（1）﹣1（2）【解析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解：（1）f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．7.已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，故命题为真命题；结合正切函数图象可知，正切函数在区间上是增函数，因此函数在区间上是增函数，故命题为假命题，因此命题、、为假命题，为真命题，故选D.【考点】1.三角函数的基本性质；2.复合命题8.（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B9.已知函数,.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围是．【解析】（1）求函数的最小正周期，需对函数化简，把它化为一个角的一个三角函数，利用来求，因此本题的关键是化简，由形式，需对三角函数降次，因此利用二倍角公式将函数化为，由，即可得，即可求出周期；（2）若函数有零点，即，有解，移项得，因此，方程有解，只要在函数的值域范围即可，因此只需求出即可．（1） 4分6分∴周期 7分（2）令，即， 8分则， 9分因为， 11分所以， 12分所以，若有零点，则实数的取值范围是. 13分【考点】三角恒等变化，三角函数的周期，值域．10.已知向量，设函数．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．【答案】(1)π(2)最大值是1，最小值是－【解析】(1)f(x)=a·b=(cosx，－)·(sinx，cos2x)=cosxsinx－cos2x=sin2x－cos2x=sin(2x－)f(x)的最小正周期为T=π，(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．由正弦函数的性质知，sin(2x－)∈[－，1]当2x－=，即x=时，f(x)取得最大值1．当2x－=－，即x=0时，f(0)=－，因此， f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－．11.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.函数的最小正周期为．【答案】π【解析】因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为【考点】三角函数的周期2.已知函数，下面结论错误的是（）A．函数的最小正周期为2B．函数在区间［0，］上是增函数C．函数的图象关于直线＝0对称D．函数是奇函数【答案】D.【解析】A：最小正周期，∴A正确；B：当时，，∴B正确；C：∵，∴C正确；D：∵，∴是偶函数，∴D错误.【考点】三角函数的图象和性质.3.已知函数f(x)＝4sinxcos(x－)－1(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当x∈[－π，]时，求函数f(x)的取值范围．【答案】(1)π；(2)[－2，1]【解析】(1)先化简函数表达式，利用T＝求周期；(2)根据已知条件，先确定出整体变量(2x－)的范围，然后根据正弦函数的性质求出f(x)的取值范围．试题解析：(1)∵函数f(x)＝4sinxcos(x－)－1＝4sinx(cosxcos＋sinxsin)－1＝2sinxcosx＋2sin2x－1＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，∴T＝，∴函数f(x)的最小正周期π；(2)∵x∈[－，]，∴2x∈[－，]，∴2x－∈[－π，]，∴f(x)∈[－2，1]．【考点】两角和与差的三角函数，正弦型函数的性质，最小正周期，值域4.函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由周期公式，又,所以函数的周期，故选B.【考点】三角函数的最小正周期.5.设函数f(x)＝3sin(x＋)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．【答案】2【解析】f(x)＝3sin(x＋)的最小正周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2．6.已知函数(1)求的值；（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）2 ；（2）.【解析】本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数值域等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用倍角公式和两角和的正弦公式化简表达式，使之化简成的形式，将代入解析式，用诱导公式化简得到数值；第二问，利用第一问化简的表达式，将代入，先得到角的范围，再利用数形结合得到函数的值域.（1） .2分4分6分（2）， 8分， 10分，即的值域是 12分【考点】倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数值域.7.江西高考设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)【解析】由于f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin，则|f(x)|＝2≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，则a≥2.8.已知函数的部分图象如图所示，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：，又，，所以.【考点】三角函数图像与性质9.已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的图象在轴右侧的第一个对称轴为，所以，关于对称的直线为，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为的点平移到，所以，故应选A.10.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.关于函数f（x）＝sinx（sinx－cosx）的叙述正确的是A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在内单调递增C．f（x）的图像关于对称D．f（x）的图像关于对称【答案】D【解析】f（x）＝sin2x－sinxcosx＝（1－cos2x－sin2x）＝－sin（2x＋）于是，f（x）的最小正周期为π，A错误；由2kπ＋<2x＋<2kπ＋（k∈Z）解得kπ＋<x<kπ＋（k∈Z），可知在上，函数不是单调函数，B错误；当时，函数取得最小值，根据正弦型函数图象的特征，可知C错误，D正确.【考点】三角函数的化简，正弦型函数的图象与性质2.方程在区间上的所有解的和等于.【答案】【解析】原方程可变形为，即，，由于，所以，，所以.【考点】解三角方程.3.已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数图像上相邻两个最高点的距离为求出周期，再利用公式求出的值；由函数的图像关于直线对称，可得，然后结合，求出的值.（2）由（1）知，由结合利用同角三角函数的基本关系可求得的值，因为可由两角和与差的三角函数公式求出从而用诱导公式求得的值.解：（1）因的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而.又因的图象关于直线对称，所以因得所以.（2）由（1）得所以.由得所以因此=【考点】1、诱导公式；2、同角三角函数的基本关系；3、两角和与差的三角函数公式；4、三角函数的图象和性质.4.若函数在区间是减函数，则的取值范围是 .【答案】．【解析】时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．【考点】1.三角函数的单调性；2.导数的应用．5.若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数在区间上单调递减，由于，，，即，而，而，由于，，即，因此有，故选A.【考点】1.三角函数单调性；2.比较大小6.在平面直角坐标系中，点，，其中.（1）当时，求向量的坐标；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）；（2）取到最大值．【解析】（1）求向量的坐标，由向量坐标的定义可知，，即可写出，再把代入求出值即可；（2）求的最大值，先求向量的最大值，由于是三角函数，可利用三角函数进行恒等变化，把它变化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的性质，即可求出的最大值，从而可得的最大值．（1）由题意，得， 2分当时，， 4分，所以. 6分（2）因为，所以 7分8分9分. 10分因为，所以. 11分所以当时，取到最大值， 12分即当时，取到最大值. 13分【考点】向量的坐标，向量的模，三角恒等变化．7.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于．【答案】6【解析】函数的图像向右平移个单位长度后得函数式为，它和相同，则，，最小值为6．【考点】三角函数图象平移，诱导公式．8.已知函数f(x)=3cos(2x-)在[0,]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()A．0B．3+C．3-D．【答案】C【解析】由x∈[0,]得2x-∈[-,],故M=f()=3cos0=3,m=f()=3cos=-,故M+m=3-.9.若函数f(x)＝sin(x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则cos ＝________.【答案】【解析】因为函数f(x)＝sin(x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，所以φ＝，故cos ＝cos ＝.10.函数的周期是 .【答案】2【解析】函数的周期为．【考点】三角函数的周期．11.已知函数的最小正周期是，则．【答案】1【解析】要把函数式化简为或的形式，本题中，因此其最小正周期为，.【考点】三角函数的周期.12.若函数（）的图象关于直线对称，则θ=．【答案】【解析】研究三角函数的对称性，可从图像理解.因为三角函数的对称轴经过最值点，所以当时，取最值，即，又所以【考点】三角函数性质：对称轴.13.设平面向量，，函数。