全称命题与特称命题的否定(用)

选修2-1 第一章编写蒋兴安班级姓名课题：§3.2 全称命题与特称命题的否定学习目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.学习重点：全称量词与存在量词命题间的转化；学习难点：隐蔽性否定命题的确定。

【自主学习】预习教材第12～13页，完成下列问题．∃1.全称命题的否定是命题.即全称命题p: ∀x∈M,p(x),它的否定非p: ∃x∈M,非p(x).2.特称命题的否定是命题.即特称命题p: ∃x∈M,p(x),它的否定非p: ∀x∈M,非p(x)..关键词否定词关键词否定词等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一个一个都没有至多有一个至少有两个都是不都是是不是没有至少有一个属于不属于4、要判定一个特称命题为真，只要在给定集合中找到一个元素x，使命题p(x)为；否则命题为．要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合中每一个元素x，p(x)都为；要判定一个全称命题为假只要在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)为即可．【预习自测】完成课本第14页练习题．1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x∈R，x2-2x+1≥0．2：写出命题的否定（1）p：∃x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．【合作探究】探究1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：∃x∈R，x2－x+1＝0。

探究2 写出下列命题的否定。

（1） 所有自然数的平方是正数；（2） 任何实数x 都是方程5x-12=0的根；（3） 存在实数x ，使x 2+1<0；（4） 有些质数是奇数。

探究3 写出下列命题的否定。

全称命题与特称命题的否定广东 孙凤琴全称命题与特称命题是两类特殊的命题，也是两类新型命题，这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念，为使你较全面、较准确的掌握这一特殊概念,本文将谈下述四点,也许对你会有帮助.1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手,书写命题的否定例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：（1）:p 对任意的x ∈R ,210xx ++=都成立； （2）:p x ∃∈R ，2250x x ++>．分析：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，:p ⌝存在一个x ∈R ，使210x x ++≠成立，即x ∃∈R ，使210x x ++≠成立；（2）由于“x ∃∈R ”表示存在实数中的一个x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是特称命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，:p ⌝对任意一个x 都有2250xx ++≤，即x ∀∈R ,2250x x ++≤． 2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义 有些数学符号，表面看我们已非常熟悉，其实不一定；如：x ∈R ，谈到它的否定，很多同学会认为是:x ≠R ，其实不然．我们从一个例子看起：若x ∈R ，则方程2210x x ++=有解；这是个真命题,当然,它的逆否命题也是真命题；而它的逆否命题是什么呢？是“若方程2210++=无解，则x∉R”吗？这个命题是假命题．显然，它x x不是我们要的逆否命题．问题出在哪里？出在x∈R的否定并不是x∉R上,那么x∈R的否定到底是什么？其实，x∈R表示x是任意实数，其否定应该是：x不是任意实数;例2 判断命题“x∈R,则方程2210++=有解”是全称命题还是特x x称命题,并写出它的否定．分析：由于x∈R表示x是任意实数,即命题中含有全称量词“任意的”；因而是全称命题；其否定是：“x不是任意实数，则方程2210++=x x无解”．3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题;特称命题的否定一定是全称命题．4．命题的否定与否命题（1）命题的否定是针对仅含一个量词的全称命题与特称命题．显然，并非所有命题都有写出它的否定的必要;如“若x y=，则22=”x y不含量词；再如“[]11y∃∈，，使22x∀∈-，，[]01++≥"含有两个量词;这x xy y32些命题的否定可能存在,但不在我们学习的范围；而这些命题的否命题都在我们的学习范围内;（2）以量词为前提的命题．如命题：“x∀∈R，若0y>，则20+>”x y的否命题为“x∀∈R，若0y≤，则20+≤”；而此命题的否定为“x∃∈R,x y若0y>，则20+≤”；显然，两者的区别很大．x y。

全称命题与特称命题【教学目标】知识目标能力目标情感目标【教学重、难点】教学重点：教学难点：【教学模式】【技术运用】【教学过程与情境设计】1、全称命题：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∀含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号：(),x M p x ∀∈2、特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∃含有存在量词的命题，叫做特称命题. 符号：()00,x M p x ∃∈3、全称命题与特称命题的否定：全称命题P ：(),x M p x ∀∈，它的否定P ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝；特称命题()00:,P x M P x ∃∈，它的否定():,P x M P x ⌝∀∈⌝.2. 例1 判断下列全称命题的真假.⑴所有的素数（质数）都是奇数；（假，反例：2）⑵2,11x x ∀∈+≥R ；（真）⑶对每一个无理数x ，2x 也是无理数；）⑷每个指数函数都是单调函数. （真）（教师分析——学生回答——教师点评）3. 思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？⑴213x +=；⑵x 能被2 和3 整除；⑶存在一个0x ∈R ，使0213x +=；⑷至少有一个0x ∈Z ，0x 能被2 和3 整除.（1）（2）不是命题，而（3）（4）是命题，其原因是加入了量词（学生回答——教师点评——引入新课）4. 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∃特称命题：含有存在量词的命题. 符号：()00,x M p x ∃∈例如：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数.5. 例2 判断下列全称命题的真假.⑴有一个实数0x ，使200230x x ++=； ⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线； ⑶有些整数只有两个正因数；⑷00,0x R x ∃∈≤；⑸有些数的平方小于0.（教师分析——学生回答——教师点评）6.思考：写出下列命题的否定：⑴所有的矩形都是平行四边形；⑵每一个素数都是奇数.7.全称命题P ：(),x M p x ∀∈，它的否定P ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝；特称命题()00:,P x M P x ∃∈，它的否定():,P x M P x ⌝∀∈⌝.8.例3写出下列命题的否定.⑴所有能被3整除的整数都是奇数；⑵每一个四边形的四个顶点共圆；⑶对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3；⑷有一个素数含有三个正因数；⑸有的三角形是等边三角形. （教师分析——学生回答——教师点评）下列全称命题的否定中，假命题的个数是（ B ）(1)所有能被3整除的数能被6整除 ；(2)所有实数的绝对值是正数；(3) x ∀∈Z ，2x 的个位数字不是2A.0B.1C.2D.4（07琼、宁）已知命题p ：x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A. p ⌝：x ∃∈R ，sin 1x ≥B. p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x ≥C. p ⌝：x ∃∈R ，sin 1x >D. p ⌝：x ∀∈R ，sin 1x >（07鲁）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）A. 不存在x ∈R ，3210x x -+≤B. 存在x ∈R ，3210x x -+≤C. 存在x ∈R ，3210x x -+>D. 对任意的x ∈R ，3210x x -+>（2009天津卷理）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 （A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。

8.全称命题和特称命题的否定
教学目标 班级____姓名________
1.掌握全称命题和特称命题否定的写法.
2.能熟练运用全称命题和特称命题的否定解题.
教学过程
一、全称命题的否定：
1.全称命题p ：)(,x p M x ∈∀.
2.全称命题的否定p ⌝：)(,00x p M x ⌝∈∃.
3.规律：全称命题的否定是特称命题，并将结论否定.
4.应用：恒成立问题.
二、特称命题的否定：
1.特称命题p ：)(,00x p M x ∈∃.
2.特称命题的否定p ⌝
：)(,x p M x ⌝∈∀.
3.规律：特称命题的否定是全称命题，并将结论否定.
4.应用：存在性问题或恒成立问题.
三、例题分析.
1.全称命题和特称命题否定的写法.
例1：写出下列命题的否定.
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每个质数都是奇数；
（3）012,2≥+-∈∀x x R x ；
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
（6）01,200<+∈∃x R x .
2.含一个量词命题的否定的应用.
例2：已知命题p ：02,0200≤++∈∃a ax x R x .若命题p 是假命题，求a 的取值范围.
练2：已知命题“]2,1[0∈∃x ，使02020≥++a x x ”为真命题，求a 的取值范围.
作业：已知命题)(x p ：m x x >+cos sin ；)(x q ：012>++mx x .如果对R x ∈∀，)(x p 为假命题且)(x q 为真命题，求m 的取值范围.。

否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定是只对原命题的结论做否定（否定一次），即.如：命题: 若，则．命题的否命题：若，则．命题的否定即:若，则．全称命题与特称命题的否定（1）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题：，的否定：，；（2）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题：，的否定：，；（3）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定；“p且q”的否定3．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假.（1）：在整数范围内，、都是偶数，则是偶数（2）：若且，则．解析：(1) ：在整数范围内，、都是偶数，则不是偶数（假命题）；的否命题是：在整数范围内，若、不都是偶数，则不是偶数（假命题）；(2) ：若且，则（假命题）；的否命题是：若或，则（假命题）.5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假。

（1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）；（5）。

解析：（1）是全称命题且为真命题。

命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题。

（2）是全称命题且为假命题。

命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题。

（3）是特称命题且为真命题。

命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题。

（4）是全称命题且为真命题。

由于都有，故，为真命题；：，为假命题（5）是特称命题且为假命题。

因为不存在一个实数，使成立，为假命题；6．已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

解析：q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0又∵m＞0∴不等式的解为1-m≤x≤1+m∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m＞0)的解集的子集。

3.3 全称命题与特称命题的否定明目标、知重点通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1.要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，说明这个全称命题的否定是正确的．2.全称命题的否定是特称命题．3.要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，说明这个特称命题的否定是正确的．4.特称命题的否定是全称命题．探究点一全称命题的否定思考1 你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)三个给定产品都是次品．答(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)三个给定产品中至少有一个是正品．思考2 全称命题的否定有什么特点？答全称命题的否定是特称命题．例1 写出下列全称命题的否定：(1)所有能被3 整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)对任意x∈Z，x2 的个位数字不等于3.解(1)存在一个能被3 整除的整数不是奇数．(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)存在x0∈Z，x 20的个位数字等于3.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否跟踪训练1 写出下列命题的否定：(1)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(2)任意a，b∈R，方程ax＝b 都有惟一解；(3)可以被5 整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(2)是全称命题，其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b 的解不惟一．(3)是全称命题，其否定：存在被5 整除的整数，末位不是0.探究点二特称命题的否定思考怎样对特称命题进行否定？答对特称命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定：“任意x，y∈Z，2x＋y≠3”．由于当x＝0，y＝3 时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．反思与感悟特称命题的否定是全称命题，否定的关键是量词的否定形式和判断词的改变．跟踪训练2 写出下列特称命题的否定：(1)存在一个x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．解(1)对任意的x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)每一个素数都不含三个正因数．探究点三特称命题、全称命题的综合应用例3 已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p 的取值范围．在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0 的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0 恒成立．又由二次函数的图像特征可知，Error! 即Error!3即Error!∴p≥ 或p≤－3.23故p 的取值范围是－3<p< .2反思与感悟通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免烦杂的运算．跟踪训练 3 若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x 是单调减函数，则 a 的取值范围是．答案(－2，－1)∪(1，2)解析依题意有0<a2－1<1⇔Error!⇔Error!⇔－2<a<－1 或1<a< 2.1.下列4 个命题：1 1p1：存在x∈(0，＋∞)，( )x<( )x；2 31 1p2：存在x∈(0,1)，log x>log x；2 31 1p3：任意x∈(0，＋∞)，( )x>log x；2 21 1 1p4：任意x∈(0，)，( )x<log x.3 2 3其中的真命题是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D1 1 1解析取x＝，则log x＝1，log x＝log32<1.p2正确．2 2 31 1 1当x∈(0，)时，( )x<1，而log x>1，p4正确．3 2 32.对下列命题的否定说法错误的是( )A.命题：能被2 整除的数是偶数；命题的否定：存在一个能被2 整除的数不是偶数B.命题：有些矩形是正方形；命题的否定：所有的矩形都不是正方形C．命题：有的三角形为正三角形；命题的否定：所有的三角形不都是正三角形D．命题：存在x∈R，x2＋x＋2≤0；命题的否定：任意x∈R，x2＋x＋2>0答案 C解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 错误．3．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是．答案存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3解析由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为．答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．[呈重点、现规律]对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．一、基础过关1.命题“任意x∈R，x2－x＋2≥0”的否定是( )A．存在x∈R，x2－x＋2≥0B.任意x∈R，x2－x＋2≥0C.存在x∈R，x2－x＋2<0D.任意x∈R，x2－x＋2<0答案 C解析“≥”的否定是“<”，全称命题的否定是特称命题．2.对命题：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 有实数根”的否定为( )A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 无实根B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 无实根C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0 无实根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 有实根答案 C解析若命题是特称命题，其否定形式为全称命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0 无实根．3．“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为“存在x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，所以“任意x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题．所以Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.所以“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件．4.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数答案 D解析命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．5.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．答案存在x0∈R，使得x02<0解析“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．6.若命题“存在实数x，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得a<－1 或a>3.7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．二、能力提升8.下列命题中的假命题是( )A．任意x∈R,2x－2 014>0 B．任意x∈N＋，(x－1)2>0C．存在x0∈R，lg x0<1 D．存在x0∈R，tan x0＝2答案 B解析 A 中命题是全称命题，易知2x－2 014>0 恒成立，故是真命题；B 中命题是全称命题，当x＝1 时，(x－1)2＝0，故是假命题；C 中命题是特称命题，当x＝1 时，lg x＝0，故是真命题；D 中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．9.已知命题“三角形有且仅有一个外接圆”，则命题的否定为“”．答案存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆解析全称命题的否定是特称命题．10.已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m 的取值范围是．答案3≤m<8解析因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，故实数m 的取值范围是3≤m<8.11.命题p 是“对某些实数x，有x－a>0 或x－b≤0”，其中a、b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解(1)命题p 的否定：对任意实数x，有x－a≤0 且x－b>0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组Error!的解集不为空集，通过画数轴可看出，a、b 应满足的条件是b<a.12.已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0 成立”为真，试求参数a 的取值范围．解由已知得命题p 的否定：任意x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0 成立．∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则Error!∴Error!解得a≤－3，∵命题p 的否定为假，∴a>－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．三、探究与拓展13．已知命题p：存在x∈R，使得x2－2ax＋2a2－5a＋4＝0；命题q：任意x∈[0,1]，都有(a2－4a ＋3)x－3＜0.若p 和q 中具有一个真命题，求实数a 的取值范围．解若命题p 为真命题，则有Δ＝4a2－4(2a2－5a＋4)≥0，解得1≤a≤4.对于命题q，令f(x)＝(a2－4a＋3)x－3，若命题q 为真命题，则有f(0)＜0 且f(1)＜0，可得0＜a＜4.由题设知命题p 和q 中有且只有一个真命题，所以Error!或Error!解得0＜a＜1 或a＝4，故所求a 的取值范围是0＜a＜1 或a＝4.。