全称命题与特称命题的否定

3.3 全称命题与特称命题的否定1、对于含有一个量词的全称命题p："∀"x∈M，p(x)的否定┐p是："∃"x∈M，┐p(x)。

2、对于含有一个量词的特称命题p："∃"x∈M，p(x)的否定┐p是："∀"x∈M，┐p(x)。

1.写出下面命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形（2）每一个素数都是奇数（3）x∀∈R，x2－2x＋1≥0问：这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？【解析】p x”的形式。

上面命题都是全称命题，即具有“x M∀∈，()其中，命题（1）的否定是：“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说“存在一个矩形不是平行四边形”。

注意区别：（1）的否定不是“所有的矩形都不是平行四边形”，是由于对于原命题，我们只要找到存在一个矩形不是平行四边形就可以否定原命题，而并不排除有其它的矩形是平行四边形。

所以同理，可以得出：命题（2）的否定是：“并非每一个素数都是奇数”，也就是“存在一个素数不是奇数”；命题（3）的否定是：“并非所有的x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说∃ x∈R，x2－2x＋1＜0。

发现：上述例子中的全称命题的否定都成立特称命题2．写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数（2）某些平行四边形是菱形（3）∃x∈R，x2＋1<0这些命题的否定是什么？【解析】p x”。

上述命题都是特称命题，即具有形式：“x M∃∈，()其中（1）的否定是：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数。

注意区别：（1）的否定不是“有些实数的绝对值不是正数”，而是“所有实数的绝对值都不是正数”，因为前者只否定了一部分，不确定是否排除有其它的实数的绝对值是正数，故应该是后者。

同理：（2）的否定是：“没有一个平行四边形是菱形”也就是说：“每一个平行四边形都不是菱形”（4）的否定是“不存在x∈R，x2＋1<0”，也就是说“x∀∈R，x2＋1>0”。

全称特称命题的否命题什么是命题？在逻辑学中，命题是可以判断为真或假的陈述句。

它是构成逻辑推理的基本单位。

命题可以识别为两类：全称命题和特称命题。

•全称命题：全称命题是对于某一集合中的每个元素而言，都满足某一条件的命题。

例如：“所有的猫都会喵喵叫。

”这是一个全称命题，因为对于猫这个集合中的每个猫而言，都满足“会喵喵叫”的条件。

•特称命题：特称命题是对于某一集合中的某个元素而言，满足某一条件的命题。

例如：“有一只猫会喵喵叫。

”这是一个特称命题，因为只需存在一个猫满足“会喵喵叫”的条件即可。

全称特称命题的否命题在逻辑学中，我们可以通过否定一个命题来形成它的否命题。

对于全称命题和特称命题而言，形成否命题的方式是不同的。

全称命题的否命题对于一个全称命题，我们可以通过否定其条件部分来形成它的否命题。

例如，假设我们有一个全称命题：“所有的学生都喜欢数学。

”我们可以否定它的条件部分，即“不是所有的学生都喜欢数学”，从而形成它的否命题。

在逻辑学中，全称命题的否命题是特称命题。

所以，通过否定一个全称命题，我们得到的是一个特称命题。

特称命题的否命题对于一个特称命题，我们可以通过否定其主语部分来形成它的否命题。

例如，假设我们有一个特称命题：“有一只猫是黄色的。

”我们可以否定它的主语部分，即“没有一只猫是黄色的”，从而形成它的否命题。

在逻辑学中，特称命题的否命题是全称命题。

所以，通过否定一个特称命题，我们得到的是一个全称命题。

总结全称特称命题的否命题是通过否定命题的条件部分（对于全称命题）或主语部分（对于特称命题）来形成的。

全称命题的否命题是特称命题，而特称命题的否命题是全称命题。

在逻辑推理中，理解命题及其否命题的概念是非常重要的。

它们可以帮助我们进行有效的推理和论证。

通过掌握全称特称命题的否命题的形成方法，我们可以更好地理解逻辑学中的命题逻辑，并应用于实际问题的推理过程中。

希望本文能够对读者理解全称特称命题的否命题提供帮助和指导。

全称命题与特称命题的否定广东 孙凤琴全称命题与特称命题是两类特殊的命题，也是两类新型命题，这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念，为使你较全面、较准确的掌握这一特殊概念,本文将谈下述四点,也许对你会有帮助.1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手,书写命题的否定例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：（1）:p 对任意的x ∈R ,210xx ++=都成立； （2）:p x ∃∈R ，2250x x ++>．分析：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，:p ⌝存在一个x ∈R ，使210x x ++≠成立，即x ∃∈R ，使210x x ++≠成立；（2）由于“x ∃∈R ”表示存在实数中的一个x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是特称命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，:p ⌝对任意一个x 都有2250xx ++≤，即x ∀∈R ,2250x x ++≤． 2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义 有些数学符号，表面看我们已非常熟悉，其实不一定；如：x ∈R ，谈到它的否定，很多同学会认为是:x ≠R ，其实不然．我们从一个例子看起：若x ∈R ，则方程2210x x ++=有解；这是个真命题,当然,它的逆否命题也是真命题；而它的逆否命题是什么呢？是“若方程2210++=无解，则x∉R”吗？这个命题是假命题．显然，它x x不是我们要的逆否命题．问题出在哪里？出在x∈R的否定并不是x∉R上,那么x∈R的否定到底是什么？其实，x∈R表示x是任意实数，其否定应该是：x不是任意实数;例2 判断命题“x∈R,则方程2210++=有解”是全称命题还是特x x称命题,并写出它的否定．分析：由于x∈R表示x是任意实数,即命题中含有全称量词“任意的”；因而是全称命题；其否定是：“x不是任意实数，则方程2210++=x x无解”．3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题;特称命题的否定一定是全称命题．4．命题的否定与否命题（1）命题的否定是针对仅含一个量词的全称命题与特称命题．显然，并非所有命题都有写出它的否定的必要;如“若x y=，则22=”x y不含量词；再如“[]11y∃∈，，使22x∀∈-，，[]01++≥"含有两个量词;这x xy y32些命题的否定可能存在,但不在我们学习的范围；而这些命题的否命题都在我们的学习范围内;（2）以量词为前提的命题．如命题：“x∀∈R，若0y>，则20+>”x y的否命题为“x∀∈R，若0y≤，则20+≤”；而此命题的否定为“x∃∈R,x y若0y>，则20+≤”；显然，两者的区别很大．x y。

3.3全称命题与特称命题的否认明目标、知要点经过实例总结含有一个量词的命题与它们的否认在形式上的变化规律，能正确地对含有一个量词的命题进行否认．1．要说明一个全称命题是错误的，只要找出一个反例即可，说明这个全称命题的否认是正确的．2．全称命题的否认是特称命题．3．要说明一个特称命题是错误的，就要说明全部的对象都不知足这一性质，说明这个特称命题的否认是正确的．4．特称命题的否认是全称命题．研究点一全称命题的否认思虑 1你能试试写出下边含有一个量词的命题的否认吗？(1)全部矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)三个给定产品都是次品．答 (1) 存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)三个给定产品中起码有一个是正品．思虑 2 全称命题的否认有什么特色？答全称命题的否认是特称命题．例 1 写出以下全称命题的否认：(1)全部能被 3 整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个极点共圆；(3) 对随意 x∈ Z ， x2的个位数字不等于 3.解 (1) 存在一个能被 3 整除的整数不是奇数．(2) 存在一个四边形，它的四个极点不共圆．(3) 存在 x ∈ Z ， x2的个位数字等于3.00反省与感悟全称命题的否认是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．追踪训练1写出以下命题的否认：(1)数列 {1,2,3,4,5} 中的每一项都是偶数；(2)随意 a， b∈ R，方程 ax＝ b 都有唯一解；(3) 能够被 5 整除的整数，末位是0.解 (1) 是全称命题，其否认：数列 {1,2,3,4,5} 中起码有一项不是偶数．(2)是全称命题，其否认：存在a， b∈ R ，使方程 ax＝ b 的解不唯一．(3) 是全称命题，其否认：存在被 5 整除的整数，末位不是0.研究点二特称命题的否认思虑如何对特称命题进行否认？答对特称命题进行否认时，第一把存在量词改为全称量词，而后对判断词进行否认，能够联合命题的实质意义进行表述．例 2写出以下特称命题的否认，并判断其否认的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3) 存在 x， y∈ Z，使得2x＋ y＝ 3.解 (1)命题的否认：“不存在一个实数，它的绝对值是正数” ，也即“ 全部实数的绝对值都不是正数”．因为 |－ 2|＝ 2，所以命题的否认为假命题．(2)命题的否认：“ 没有一个平行四边形是菱形” ，也即“ 每一个平行四边形都不是菱形”．因为菱形是平行四边形，所以命题的否认是假命题．(3)命题的否认：“随意 x，y∈ Z， 2x＋y≠ 3”．因为当 x＝ 0， y＝ 3 时，2x＋ y＝ 3，所以命题的否认是假命题．反省与感悟特称命题的否认是全称命题，否认的要点是量词的否认形式和判断词的改变．追踪训练2写出以下特称命题的否认：(1) 存在一个2＋2≤0；x ∈ R， x ＋ 2x000(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．解(1) 对随意的x∈ R ，x2＋ 2x＋ 2>0.(2) 全部的三角形都不是等边三角形．(3) 每一个素数都不含三个正因数．研究点三特称命题、全称命题的综合应用例 3 已知函数 f(x)＝ 4x 2－2(p － 2)x － 2p 2－ p ＋1 在区间 [－ 1,1]上起码存在一个实数c ，使得f(c)>0. 务实数 p 的取值范围．解在区间 [－1,1] 中起码存在一个实数c ，使得 f(c)>0 的否认是在 [ －1,1] 上的全部实数 x ，都有 f(x)≤ 0 恒建立．又由二次函数的图像特色可知，f － 1 ≤ 0， 4＋ 2 p － 2 － 2p 2－ p ＋ 1≤ 0，f 1 ≤ 0，即4－2 p － 2 － 2p 2－ p ＋ 1≤ 0，1p ≥1或 p ≤ －2，即3p ≥2或 p ≤ －3.3∴ p ≥ 2或 p ≤ － 3.3故 p 的取值范围是－ 3<p<2.反省与感悟往常关于 “ 至多 ”“ 起码 ”的命题， 应采纳逆向思想的方法办理， 先考虑命题的否认，求出相应的会合，再求会合的补集，可防止烦杂的运算．追踪训练 3 若随意 x ∈ R ，f(x)＝ (a 2－ 1)x 是单一减函数， 则 a 的取值范围是 ________________ ．答案(－ 2，－ 1)∪ (1， 2)依题意有 0<a 2－ 1<1?a 2－ 1>0，a<－1或 a>1，分析??a 2－ 1<1－ 2< a< 2－ 2< a<－ 1 或 1<a< 2.1．以下 4 个命题：p 1：存在 x ∈ (0，＋∞ )， (12)x<(13)x ；11p 2：存在 x ∈ (0,1)， log 2x>log 3x ；p 3：随意 x ∈ (0，＋∞ )， (12)x>log 12x ；1 1 x1 p 4：随意 x ∈ (0， ) ，() <log x.32 3此中的真命题是 ( )A ． p 1， p 3B ． p 1， p 4C ． p 2， p 3D ． p 2， p 4答案D11 1分析取 x ＝2，则 log 2x ＝ 1， log 3x ＝ log 32<1.p 2 正确．当 x ∈ (0，13)时， (12)x <1 ，而 log 13x>1， p 4 正确．2．对以下命题的否认说法错误的选项是()A ．命题：能被 2 整除的数是偶数；命题的否认：存在一个能被2 整除的数不是偶数B ．命题：有些矩形是正方形；命题的否认：全部的矩形都不是正方形C ．命题：有的三角形为正三角形；命题的否认：全部的三角形不都是正三角形D ．命题：存在 x ∈ R ，x 2＋ x ＋ 2≤ 0；命题的否认：随意 x ∈ R ， x 2＋ x ＋ 2>0答案C分析 “ 有的三角形为正三角形 ” 为特称命题， 其否认为全称命题： “ 全部的三角形都不是正三角形 ”，应选项 C 错误．3．命题“对任何 x ∈R ， |x － 2|＋ |x － 4|>3”的否认是 ____________________________ ．答案存在 x ∈ R ，使得 |x － 2|＋ |x － 4|≤ 3分析由定义知命题的否认为“存在 x ∈ R ，使得 |x － 2|＋ |x － 4|≤ 3”．4．命题“零向量与随意愿量共线”的否认为________________________________________ ．答案 有的向量与零向量不共线分析 命题 “ 零向量与随意愿量共线 ” 即“ 随意愿量与零向量共线 ”，是全称命题， 其否认为特称命题： “ 有的向量与零向量不共线 ”．[呈要点、现规律 ]对含有一个量词的命题的否认要注意以下问题：(1) 确立数题种类，是全称命题仍是特称命题．(2) 改变量词：把全称量词改为适合的存在量词；把存在量词改为适合的全称量词．(3) 否认结论：原命题中的 “ 是 ”“ 有 ”“ 存在 ”“ 建立 ” 等改为 “ 不是 ”“ 没有 ”“ 不存 在”“ 不建立 ” 等．(4) 无量词的全称命题要先补回量词再否认．一、基础过关1．命题“随意x∈ R， x2－ x＋ 2≥ 0”的否认是 ()A ．存在 x∈ R， x2－ x＋ 2≥0B．随意 x∈ R， x2－ x＋ 2≥ 0C．存在 x∈ R， x2－ x＋ 2<0D．随意 x∈ R， x2－ x＋ 2<0答案C分析“≥”的否认是“ <”，全称命题的否认是特称命题．2．对命题：“存在实数m，使方程x2＋ mx＋ 1＝ 0 有实数根”的否认为()A ．存在实数m，使方程x2＋ mx＋ 1＝ 0 无实根B．不存在实数m，使方程x2＋ mx＋ 1＝ 0 无实根C．对随意的实数m，方程 x2＋ mx＋ 1＝ 0 无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋ mx＋1＝ 0 有实根答案C分析若命题是特称命题，其否认形式为全称命题，即对随意的实数m，方程 x2＋ mx＋ 1＝0无实根．3．“命题‘存在x∈R ， x2＋ ax－ 4a<0’为假命题”是“－16≤ a≤ 0”的 ()A．充要条件B．必需不充足条件C．充足不用要条件D．既不充足也不用要条件答案A分析因为“存在 x∈R ，x2＋ax－ 4a<0”为假命题，所以“随意 x∈ R， x2＋ ax－ 4a≥0”为真命题．所以＝ a2＋ 16a≤0，即－ 16≤ a≤ 0.所以“命题‘存在 x∈R ，x2＋ax－ 4a<0’为假命题”是“ － 16≤ a≤ 0”的充要条件．4．命题“一次函数都是单一函数”的否认是()A．一次函数都不是单一函数B．非一次函数都不是单一函数C．有些一次函数是单一函数D．有些一次函数不是单一函数答案D分析命题的否认只对结论进行否认，“都是” 的否认是“不都是”，即“ 有些”．5．命题“对随意 x∈R ，都有 x2≥ 0”的否认为 ________．答案存在 x0∈R ，使得 x02<0分析22“对随意 x∈ R，都有 x ≥ 0”的否认是“存在 x00”．∈ R，使得 x <06．若命题“存在实数x，使得 x2＋ (1 － a)x＋ 1<0 ”是真命题，则实数 a 的取值范围是____________．答案(－∞，－ 1)∪ (3，＋∞ )分析由题意可知，＝(1－ a)2－4>0 ，解得 a<－ 1 或 a>3.7．判断以下命题的真假，并写出这些命题的否认：(1)三角形的内角和为 180 °；(2)每个二次函数的图像都张口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解 (1) 是全称命题且为真命题．命题的否认：三角形的内角和不全为180 °即存在一个三角形其内角和不等于，180 °.(2)是全称命题且为假命题．命题的否认：存在一个二次函数的图像张口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否认：随意一个四边形都是平行四边形．二、能力提高8．以下命题中的假命题是()x －2 014>02A ．随意 x∈ R,2B．随意 x∈N ＋， (x－ 1) >0 C．存在 x0∈R ， lg x0<1D．存在 x0∈R ， tan x0＝ 2答案B分析 A 中命题是全称命题，易知2x－2 014>0 恒建立，故是真命题；B 中命题是全称命题，当x＝ 1时， (x－ 1)2＝ 0，故是假命题；C 中命题是特称命题，当x＝ 1时， lg x＝ 0，故是真命题；D中命题是特称命题，依照正切函数定义，可知是真命题．9．已知命题“三角形有且仅有一个外接圆”，则命题的否认为“__________________________________________ ”．答案存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆分析全称命题的否认是特称命题．10．已知 p(x)： x2＋ 2x－ m>0 ，假如 p(1)是假命题， p(2) 是真命题，则实数m 的取值范围是__________．答案3≤m<8分析因为 p(1) 是假命题，所以1＋2－ m≤ 0，解得 m≥3.又因为 p(2)是真命题，所以4＋ 4－m>0，解得 m<8 ，故实数 m 的取值范围是3≤ m<8.11．命题 p 是“对某些实数x，有 x－ a>0 或 x－ b≤ 0”，此中 a、 b 是常数．(1)写出命题 p 的否认；(2) 当a、b 知足什么条件时，命题p 的否认为真？解(1) 命题p 的否认：对随意实数x，有x－ a≤ 0 且 x－ b>0.x－ a≤ 0，(2) 要使命题p 的否认为真，需要使不等式组的解集不为空集，x－ b>0经过画数轴可看出，a、 b 应知足的条件是b<a.12．已知命题p：“起码存在一个实数x∈ [1,2] ，使不等式x2＋ 2ax＋ 2－ a>0建立”为真，试求参数 a 的取值范围．解由已知得命题p 的否认：随意x∈ [1,2] ， x2＋ 2ax＋ 2－ a≤ 0 建立．f 1 ≤ 0，∴设 f( x)＝ x2＋ 2ax＋ 2－ a，则f 2 ≤ 0，1＋ 2a＋ 2－a≤ 0，∴解得 a≤－ 3，4＋ 4a＋ 2－a≤ 0，∵命题 p 的否认为假，∴ a>－3，即 a 的取值范围是(－ 3，＋∞ )．三、研究与拓展13．已知命题 p：存在 x∈ R，使得 x2－ 2ax＋ 2a2－5a＋ 4＝ 0；命题 q：随意 x∈ [0,1] ，都有(a2－ 4a＋3)x－ 3＜ 0.若 p 和 q 中拥有一个真命题，务实数 a 的取值范围．解若命题 p 为真命题，则有＝4a2－4(2a2－5a＋4)≥0，解得1≤ a≤ 4.关于命题q，令 f(x)＝ (a2－ 4a＋ 3)x－ 3，若命题 q 为真命题，则有f(0) ＜ 0 且 f(1) ＜0，可得 0＜a＜ 4.由题设知命题p 和 q 中有且只有一个真命题，1≤ a≤4，所以a≤ 0或a≥ 4a＜ 1或 a＞4，或0＜ a＜ 4，解得 0＜ a＜ 1 或 a＝4，故所求 a 的取值范围是0＜ a＜1 或 a＝ 4.。

1.3.3 全称命题与特称命题的否定一、创设情境“所有”、“任意”、等与“存在着”、“有”、“至少有一个”等的词语，分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x R，x2-2x+1≥0分析：（1），否定：存在一个矩形不是平行四边形；（2），否定：存在一个素数不是奇数；（3），否定：x R，x2-2x+1<0；这些命题和它们的否定在形式上有什么变化结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.三、师生探究问题2：写出命题的否定（1）p：$ x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1） x R，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：,四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P：x M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。

存在性命题P：x M，使P（x）成立；其否定命题┓P为： x M,有P（x）不成立。

用符号语言表示：P:M, p(x ）否定为 P: M, P（x）P:M, p(x ）否定为 P: M, P（x）2.关键量词的否定词语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立五、巩固运用例1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：x R，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：$ x∈R，x2－x+1＝0；解：（1）P：有的人不晨练；（2）$ x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）x R，x2－x+1≠0；例2写出下列命题的否定。

1.3.3 全称命题与特称命题的否定一、创设情境“所有”、“任意”、等与“存在着”、“有”、“至少有一个”等的词语，分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x R，x2-2x+1≥0分析：（1），否定：存在一个矩形不是平行四边形；（2），否定：存在一个素数不是奇数；（3），否定：x R，x2-2x+1<0；这些命题和它们的否定在形式上有什么变化结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.三、师生探究问题2：写出命题的否定（1）p：$ x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1） x R，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：,四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P：x M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。

存在性命题P：x M，使P（x）成立；其否定命题┓P为： x M,有P（x）不成立。

用符号语言表示：P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）2.关键量词的否定词语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立五、巩固运用例1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：x R，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：$ x∈R，x2－x+1＝0；解：（1）P：有的人不晨练；（2）$ x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）x R，x2－x+1≠0；例2写出下列命题的否定。

第一章 常用逻辑用语1.3.2 全称命题与特称命题的否定教学目标：1．理解全称量词与存在量词的意义.2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学过程：一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x)（3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.三、师生探究问题2：写出命题的否定（1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：()U U U A B A B =,()U U U A B A B =四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题p ⌝为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。

编写：梁山海组长审核：年级审核：时间：班组：学生姓名：3.3全称命题与特称命题的否定学习目标：理解全称命题、特称命题的含义，能正确地对全称命题和特称命题进行否定．学习重点：能全称量词与存在量词命题进行否定。

学习难点：含有一量词的命题进行否定。

第一部分阅读导学1．要说明一个全称命题是错误的，只需找出__________就可以了．2．全称命题的否定是______________．3．要证明一个特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是__________．4．特称命题的否定是____________．第二部分自学检测1．完成教材P14练习2．“a和b都不是偶数”的否定形式是()A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是()A．某些平行四边形不是矩形B．任何平行四边形是矩形C．每一个平行四边形都不是矩形D．以上都不对4．命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是()A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称C．存在一个原函数与反函数的图像不关于y＝x对称D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称5．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0>0B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x>06．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为()A．任意四边形都没有外接圆B．任意四边形不都有外接圆C．有的四边形没有外接圆D．有的四边形有外接圆第三部分合作探究1. 已知命题“存在x0∈R，ax20－2ax0－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．2. 命题p：对任意x∈R，使f(x)≥m成立，则命题p的否定是______________．3.完成下列表格.否定命题时,常见关键词及其否定形式如下表：。

3.3 全称命题与特称命题的否定明目标、知重点通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1.要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，说明这个全称命题的否定是正确的．2.全称命题的否定是特称命题．3.要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，说明这个特称命题的否定是正确的．4.特称命题的否定是全称命题．探究点一全称命题的否定思考1 你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)三个给定产品都是次品．答(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)三个给定产品中至少有一个是正品．思考2 全称命题的否定有什么特点？答全称命题的否定是特称命题．例1 写出下列全称命题的否定：(1)所有能被3 整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)对任意x∈Z，x2 的个位数字不等于3.解(1)存在一个能被3 整除的整数不是奇数．(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)存在x0∈Z，x 20的个位数字等于3.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否跟踪训练1 写出下列命题的否定：(1)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(2)任意a，b∈R，方程ax＝b 都有惟一解；(3)可以被5 整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(2)是全称命题，其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b 的解不惟一．(3)是全称命题，其否定：存在被5 整除的整数，末位不是0.探究点二特称命题的否定思考怎样对特称命题进行否定？答对特称命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定：“任意x，y∈Z，2x＋y≠3”．由于当x＝0，y＝3 时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．反思与感悟特称命题的否定是全称命题，否定的关键是量词的否定形式和判断词的改变．跟踪训练2 写出下列特称命题的否定：(1)存在一个x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．解(1)对任意的x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)每一个素数都不含三个正因数．探究点三特称命题、全称命题的综合应用例3 已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p 的取值范围．在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0 的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0 恒成立．又由二次函数的图像特征可知，Error! 即Error!3即Error!∴p≥ 或p≤－3.23故p 的取值范围是－3<p< .2反思与感悟通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免烦杂的运算．跟踪训练 3 若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x 是单调减函数，则 a 的取值范围是．答案(－2，－1)∪(1，2)解析依题意有0<a2－1<1⇔Error!⇔Error!⇔－2<a<－1 或1<a< 2.1.下列4 个命题：1 1p1：存在x∈(0，＋∞)，( )x<( )x；2 31 1p2：存在x∈(0,1)，log x>log x；2 31 1p3：任意x∈(0，＋∞)，( )x>log x；2 21 1 1p4：任意x∈(0，)，( )x<log x.3 2 3其中的真命题是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D1 1 1解析取x＝，则log x＝1，log x＝log32<1.p2正确．2 2 31 1 1当x∈(0，)时，( )x<1，而log x>1，p4正确．3 2 32.对下列命题的否定说法错误的是( )A.命题：能被2 整除的数是偶数；命题的否定：存在一个能被2 整除的数不是偶数B.命题：有些矩形是正方形；命题的否定：所有的矩形都不是正方形C．命题：有的三角形为正三角形；命题的否定：所有的三角形不都是正三角形D．命题：存在x∈R，x2＋x＋2≤0；命题的否定：任意x∈R，x2＋x＋2>0答案 C解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 错误．3．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是．答案存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3解析由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为．答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．[呈重点、现规律]对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．一、基础过关1.命题“任意x∈R，x2－x＋2≥0”的否定是( )A．存在x∈R，x2－x＋2≥0B.任意x∈R，x2－x＋2≥0C.存在x∈R，x2－x＋2<0D.任意x∈R，x2－x＋2<0答案 C解析“≥”的否定是“<”，全称命题的否定是特称命题．2.对命题：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 有实数根”的否定为( )A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 无实根B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 无实根C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0 无实根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0 有实根答案 C解析若命题是特称命题，其否定形式为全称命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0 无实根．3．“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为“存在x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，所以“任意x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题．所以Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.所以“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件．4.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数答案 D解析命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．5.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．答案存在x0∈R，使得x02<0解析“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．6.若命题“存在实数x，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得a<－1 或a>3.7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．二、能力提升8.下列命题中的假命题是( )A．任意x∈R,2x－2 014>0 B．任意x∈N＋，(x－1)2>0C．存在x0∈R，lg x0<1 D．存在x0∈R，tan x0＝2答案 B解析 A 中命题是全称命题，易知2x－2 014>0 恒成立，故是真命题；B 中命题是全称命题，当x＝1 时，(x－1)2＝0，故是假命题；C 中命题是特称命题，当x＝1 时，lg x＝0，故是真命题；D 中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．9.已知命题“三角形有且仅有一个外接圆”，则命题的否定为“”．答案存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆解析全称命题的否定是特称命题．10.已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m 的取值范围是．答案3≤m<8解析因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，故实数m 的取值范围是3≤m<8.11.命题p 是“对某些实数x，有x－a>0 或x－b≤0”，其中a、b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解(1)命题p 的否定：对任意实数x，有x－a≤0 且x－b>0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组Error!的解集不为空集，通过画数轴可看出，a、b 应满足的条件是b<a.12.已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0 成立”为真，试求参数a 的取值范围．解由已知得命题p 的否定：任意x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0 成立．∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则Error!∴Error!解得a≤－3，∵命题p 的否定为假，∴a>－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．三、探究与拓展13．已知命题p：存在x∈R，使得x2－2ax＋2a2－5a＋4＝0；命题q：任意x∈[0,1]，都有(a2－4a ＋3)x－3＜0.若p 和q 中具有一个真命题，求实数a 的取值范围．解若命题p 为真命题，则有Δ＝4a2－4(2a2－5a＋4)≥0，解得1≤a≤4.对于命题q，令f(x)＝(a2－4a＋3)x－3，若命题q 为真命题，则有f(0)＜0 且f(1)＜0，可得0＜a＜4.由题设知命题p 和q 中有且只有一个真命题，所以Error!或Error!解得0＜a＜1 或a＝4，故所求a 的取值范围是0＜a＜1 或a＝4.。