初中数学锐角三角函数的知识点
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初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 CA 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性:当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性:当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,8、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。
依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。
(注意:尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例:(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示,即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。
如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结28锐角三角函数一、知识框架本文介绍了锐角三角函数的知识点和概念总结,包括特殊值的三角函数、互余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系以及三角函数值的变化情况。
二、知识点、概念总结1.锐角三角函数的定义:在锐角三角形中,对于角A,其对边、邻边、斜边分别为a、b、c,则有:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a2.特殊值的三角函数:对于30°、45°、60°这几个特殊角度,其三角函数值为:3.互余角的三角函数间的关系:对于角度α和其互余角90°-α,有以下关系:sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα4.同角三角函数间的关系:平方关系:sin²α+cos²α=1,tan²α+1=sec²α,cot²α+1=csc²α积的关系:sinα=tanα·cosα,cosα=cotα·sinα,tanα=sinα·secα,cotα=cosα·cscα,secα=tanα·cscα,cscα=secα·cotα倒数关系:tanα·cotα=1,sinα·cscα=1,cosα·secα=15.三角函数值:1)特殊角三角函数值2)0°~90°的任意角的三角函数值,可以查三角函数表。
3)锐角三角函数值的变化情况:i)锐角三角函数值都是正值ii)当角度在0°~90°间变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大),正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)iii)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,0≤sinα≤1,1≥cosA≥0,tanA>0,cotA>0。
考点29锐角三角函数考点总结1.锐角三角函数的意义:如图,在Rt △ABC 中,设∠C =90°,∠α为Rt △ABC 的一个锐角,则: ∠α的正弦sin α=∠α的对边斜边;∠α的余弦cos α=∠α的邻边斜边;∠α的正切tan α=∠α的对边∠α的邻边2.同角三角函数之间的关系: sin 2A +cos 2A = 1 ,tan A =s inA cos A .3.互余两角三角函数之间的关系:(1)sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α). (2)tan α·tan (90°-α)=1.(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大,锐角的余弦值随着角度的增大而减小.(4)对于锐角A 有0<sin A <1,0<cos A <1,tan A >0. 4.特殊的三角函数值:5.如图,直角三角形的三条边与三个角这六个元素中,有如下的关系:(1)三边的关系(勾股定理):a 2+b 2=c 2. (2)两锐角间的关系:∠A +∠B =90°. (3)边与角的关系:sin A =cos B =a c, cos A =sin B =b c ,tan A =a b ,tan B =b a.6.直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用,它经常涉及测量、工程、航海、航空等,其中包括了一些概念,一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题. (1)仰角:向上看时,视线与水平线的夹角,如图.(2)俯角:向下看时,视线与水平线的夹角, (3)坡角:坡面与水平面的夹角.(4)坡度:坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比),一般情况下,我们用h 表示坡的铅直高度,用l 表示坡的水平宽度,用i 表示坡度,即i =hl=tan α,显然,坡度越大,坡角就越大,坡面也就越陡,如图.(5)方向角:指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角,如图324.真题演练一、单选题1.(2021·浙江台州·中考真题)如图,将长、宽分别为12cm ,3cm 的长方形纸片分别沿AB ,AC 折叠,点M ,N 恰好重合于点P .若∠α=60°,则折叠后的图案(阴影部分)面积为( )A .(36-cm 2B .(36-cm 2C .24 cm 2D .36 cm 2【答案】A 【分析】过点C 作CF MN ⊥,过点B 作BE MN ⊥,根据折叠的性质求出60PAC α∠=∠=︒,30EAB PAB ∠=∠=︒,分别解直角三角形求出AB 和AC 的长度,即可求解.【详解】解:如图,过点C 作CF MN ⊥,过点B 作BE MN ⊥,∵长方形纸片分别沿AB ,AC 折叠,点M ,N 恰好重合于点P , ∵60PAC α∠=∠=︒, ∵30EAB PAB ∠=∠=︒,∵90BAC ∠=︒,6cm sin BE AB EAB ==∠,sin CFAC α==,∵12ABCSAB AC =⋅=∵(212336cm ABCS S S=-=⨯-=-阴矩形,故选:A .2.(2021·浙江金华·中考真题)如图是一架人字梯,已知2AB AC ==米,AC 与地面BC 的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC 为( )A .4cos α米B .4sin α米C .4tan α米D .4cos α米 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==,根据余弦的定义即可,得到答案. 【详解】过点A 作AD BC ⊥,如图所示:∵AB AC =,AD BC ⊥, ∵BD DC =, ∵DCco ACα=, ∵cos 2cos DC AC αα=⋅=, ∵24cos BC DC α==, 故选:A .3.(2021·浙江温州·中考真题)图1是第七届国际数学教育大会(ICME )的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC .若1AB BC ==.AOB α∠=,则2OC 的值为( )A .211sin α+ B .2sin 1α+ C .211cos α+ D .2cos 1α+【答案】A 【分析】根据勾股定理和三角函数求解. 【详解】∵在Rt OAB 中,AOB α∠=,1AB = ∵1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中,1BC =,2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选:A .4.(2021·浙江·中考真题)如图,已知在矩形ABCD 中,1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点,连结BP ,点C 关于直线BP 的对称点为1C ,当点P 运动时,点1C 也随之运动.若点P 从点A 运动到点D ,则线段1CC 扫过的区域的面积是( )A .πB .π+C D .2π【答案】B 【分析】先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动,再判断出点C 1在以B 为圆心,BC 为直径的圆弧上运动,找到当点P 与点A 重合时,点P 与点D 重合时,点C 1运动的位置,利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可. 【详解】解:设BP 与CC 1相交于Q ,则∵BQC =90°,∵当点P 在线段AD 运动时,点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动, 延长CB 到E ,使BE =BC ,连接EC , ∵C 、C 1关于PB 对称, ∵∵EC 1C =∵BQC =90°,∵点C 1在以B 为圆心,BC 为直径的圆弧上运动, 当点P 与点A 重合时,点C 1与点E 重合, 当点P 与点D 重合时,点C 1与点F 重合,此时,tanPC AB PBC BC BC ∠=== ∵∵PBC =30°,∵∵FBP =∵PBC =30°,CQ =12BC =BQ 32=,∵∵FBE =180°-30°-30°=120°,11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCFSππ⨯+=故选:B .5.(2021·浙江丽水·中考真题)如图,AB 是O 的直径,弦CD OA ⊥于点E ,连结,OC OD .若O 的半径为,m AOD α∠=∠,则下列结论一定成立的是( )A .tan OE m α=⋅B .2sin CD m α=⋅C .cos AE m α=⋅D .2sin CODSm α=⋅【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答. 【详解】解:∵AB 是O 的直径,弦CD OA ⊥于点E , ∵12DE CD =在Rt EDO ∆中,OD m =,AOD α∠=∠ ∵tan =DEOEα ∵=tan 2tan DE CDOE αα=,故选项A 错误,不符合题意; 又sin DEODα=∵sin DE OD α=∵22sin CD DE m α==,故选项B 正确,符合题意; 又cos OEODα=∵cos cos OE OD m αα== ∵AO DO m ==∵cos AE AO OE m m α=-=-,故选项C 错误,不符合题意; ∵2sin CD m α=,cos OE m α=∵2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=,故选项D 错误,不符合题意; 故选B .6.(2021·浙江宁波·中考真题)如图,在ABC 中,45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ,BD =E ,F 分别为AB ,BC 的中点,则EF 的长为( )A B C .1 D 【答案】C 【分析】根据条件可知∵ABD 为等腰直角三角形,则BD =AD ,∵ADC 是30°、60°的直角三角形,可求出AC 长,再根据中位线定理可知EF =2AC。
初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理:直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+ 在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B ):定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α=sin cos αα,cot α=cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意:(1)正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的,要避免应用时对任意的三角形随便套用定义;(2)sinA 不是sin 与A 的乘积,是三角形函数记号,是一个整体。
“sinA ”表示一个比值,其他三个三角函数记号也是一样的;(3)锐角三角函数值与三角形三边长短无关,只与锐角的大小有关。
例题:1.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,a =1,b =2,则cosA =________ ,tanA =_________.2. 在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AB =5,BC =3,则sinA =________ ,tanA =_________.3.在Rt △ABC 中,∠C 为直角, ∠A =300,b =4,则a =__________,c =__________4.(2008·威海中考)在△ABC 中,∠C =90°,tanA =31,则sinB =( ) A .1010B .23 C .34D .310105.在△ABC 中,∠C =90°,a, b, c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边,下列各式错误的是( )A .a =c ·sinAB .b =c ·cosBC .b =a ·tanBD .a =b ·tanA6.在△ABC 中,∠C =90°,(1)已知:c = 83,∠A =60°,求∠B .a .b . (2) 已知:a =36, ∠A =30°,求∠B .b .c .7.(2009·漳州中考)三角形在方格纸中的位置如图所示,则tan 的值是( )A .35B .43 C .34D .45练习:1.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,若sinA =53,则cosB =_________. 2.已知cosA =23,且∠B =900-∠A ,则sinB =__________. 3.∠A 为锐角,已知sinA =135,那么cos (900-A)=___________ . 4.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AC =4,BC =3,则sinA =( ) A .43 B .34 C . 53 D .54 5.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,sinA =22,则cosB 的值是( ) A .21 B .23 C .1D .22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意:记忆特殊角的三角函数值,可用下述方法:0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42,而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02;30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31,而它们的余切值分别是31.22.13。
初中数学锐角三角函数综合复习讲义一、研究概念1、产生的背景:直角三角形的边与角之间的关系2、明确概念:正弦阐述概念:在直角三角形中,锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦,记作sinA 3、本质:特殊的实数 4、知识点产生的条件: [直角三角形] 直角三角形中任意两边和任意一锐角5、特征: 正弦 [定义] 在△ABC 中,∠C 为直角,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 →[表示法] sinA=∠A 的对边斜边[特殊字母] sinA=a c sinB=bc(∠A+∠B=90°) 余弦 [定义] 在△ABC 中,∠C 为直角,我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦→[表示法] cosA=∠A 的邻边斜边[特殊字母] cosA=bccosB=a c (∠A+∠B=90°)sinA=ac = cosB= cos (90°—∠A) cosA=bc= sinB= sin (90°—∠A)定义] 在△ABC 中,∠C 为直角,我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切→[表示法] tanA=∠A 的对边邻边特殊字母] tanA=abtanB=b a (∠A+∠B=90°)余切 [定义] 在△ABC 中,∠C 为直角,我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切→[表示法] cotA=∠A 的邻边对边[特殊字母] cotA=b a cotB= ab(∠A+∠B=90°) tanA=ab= cotB= cot (90°—∠A) CBA c bacotA=ba= tanB= tan (90°—∠A) [文字] 一个角的正弦等于它余角的余弦 一个角的余弦等于它余角的正弦一个角的正切等于它余角的余切一个角的余切等于它余角的正切[勾股] sin 2 A+ cos 2A= 1 sin 2 B+ cos 2B= 1[运算] tanA ·cotA=1 tanB · cotB=1[正弦、余弦] tanA=sin A cosA cotA=cos AsinA tanB=cos A sinA cotB=sin AcosA[特殊值] sin30°=cos60°=12sin45°=cos45°=2若α、β是锐角,且α>β,则sin60°=cos30°α>sin β cos α<cos βtan30°=cot60°α>tan β cot α<cot β tan45°=cot45°= 1tan60°=cot30°6、系统找下位含有特殊角的斜三角形∍内角是特殊角∍15°,30°,45°,60°,90° 外角是特殊角∍15°,30°,45°,60°,90°二、应用、例题讲解(一)直角三角形中,已知两边求锐角三角函数 1、在中,∠C 为直角,已知a=3,b=4,则cos B= ( ) (A 级)对象:cos B 角度:cos B=a c分析:a=3,b=4 [勾股] c=5 cos B=a c =35(二)直角三角形中,已知一锐角的三角函数求锐角的其它三角函数 2、∠A 为锐角,且sinA=135,则tanA 的值为 ( ) (A 级) A 、512 B 、1213 C 、1312 D 、125对象:tanA 角度 : tanA=sin AcosA分析:sinA=135 [sin 2 A+ cos 2A= 1] cos 2A= 1- sin 2A cosA=1312 [tanA=sin A cosA ] tanA= 1253、设x 为锐角,且满足 sin x=3cos x ,则sin x ·cos x 等于 (B 级)对象:sin x ·cos x 角度:sin 2x+ cos 2x= 1分 析:sin x=3cos x [sin 2x+ cos 2x= 1] (3cos x)2+cos 2x= 1 cos 2x=101 sin x ·cos x= 3cos 2x=103 4、如果x= tanA+1,y=cotA+1(A 为锐角),那么y 等于 (B 级) 对象: y 角度:tanA · cotA=1分析:x= tanA+1,y=cotA+1 [tanA · cotA=1] (x-1)(y-1)=1y=1-x x 5、如果A 为锐角,且 sinA=54,那么 ( ) (B 级) A 、0°〈 A ≤30° B 、30°〈A ≤45° C 、45°〈A 〈60° D 、60°〈A 〈90°对象:A 角度:sinA=54 分析:22〈54〈23 sin 45°〈sinA 〈sin60° ∵A 为锐角 ~ 0°〈 A 〈90° 此时 sinA 是增函数 ∴ 45°〈A 〈60°6、已知A 为锐角,且2cos sin 2cos 2sin 3=-+AA AA ,那么tanA 的值等于 (B 级)对象:tanA 角度:tanA=sin AcosA分析:2cos sin 2cos 2sin 3=-+A A A A 3 sinA+2cosA=4sinA -2cosA sinA=4cosA sin AcosA=4=tanA7、在 中,c 为斜边,a 、b 为直角边,则a 3 cosA+b 3cosB 等于 (B 级)对象:a 3 cosA+b 3cosB 角度 :cosA=∠A 的邻边斜边勾股定理分析 :a 3cosA+b 3cosB = a 3·b c + b 3·a c =cabc 2 = abc8、计算: (A 级)对象: 角度 :特殊角的三角函数值分析:=213222∙+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231+ 9、计算:sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°= (B 级)对象:sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°角度:sinA= cos (90°—∠A) tanA= cot (90°—∠A)分析:sin48°=cos(90°-48°)=cos42° tan 44°=cot(90°-44°)=cot46°原式= cos 242°+ sin 242°-cot46°·tan46°·tan45°=1-1·1=010、如图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经CD 上点E 反射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC=3,BD=6,CD=11。
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是数学中的一个重要部分,是解决许多三角学问题的基础。
在初中数学课程中,我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数,它们都是锐角三角函数的一种形式。
下面将详细介绍锐角三角函数的相关知识点。
1. 正弦函数(sin函数):正弦函数是一个周期函数,它的定义域是整个实数集,值域是[-1,1]。
正弦函数的图像是一个波形,在一个周期内,函数的最大值是1,最小值是-1,中心对称于原点。
正弦函数的性质:- sin(0)=0,sin(90°)=1,sin(180°)=0,sin(270°)=-1,sin(360°)=0- sin(-θ)=-sin(θ),sin(θ±360°)=sin(θ)- sin(180°±θ)=-sin(θ),sin(90°±θ)=cos(θ),sin(θ+90°)=cos(θ)- sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ2. 余弦函数(cos函数):余弦函数也是一个周期函数,它的定义域是整个实数集,值域是[-1,1]。
余弦函数的图像也是一个波形,与正弦函数的图像是相似的,但是它们的相位有所不同。
余弦函数的性质:- cos(0)=1,cos(90°)=0,cos(180°)=-1,cos(270°)=0,cos(360°)=1- cos(-θ)=cos(θ),cos(θ±360°)=cos(θ)- cos(180°±θ)=-cos(θ),cos(90°±θ)=-sin(θ),cos(θ+90°)=-sin(θ)- cos(α±β)=cosαcosβ±sinαsinβ3. 正切函数(tan函数):正切函数是一个定义域是除去所有奇数π/2的实数集,值域是整个实数集的函数。
第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中,∠C=90°.(1)∠A的对边与斜边比,叫做∠A的正弦,记为sinA,即sinA=∠A的对边斜边=aa(2)∠A的邻边与斜边比,叫做∠A的余弦,记为cosA,即cosA=∠A的邻边斜边=aa(3)∠A的对边与邻边比,叫做∠A的正切,记为tanA,即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示:sin A 不是sin与A的乘积,而是一个整体,cosA和tanA同理;锐角三角函数的三种表示方法:sin A,sin 56°,sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值,它与三角形的大小无关,它没有单位.在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形大小如何,∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3(1)正弦值、正切值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小.(2)sin α=cos(90°-α)cos α=sin(90°-α)tan α·tan(90°-α)=1(3)锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为:0<sin A<1,0<cos A<1, (4)cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2(90°-α)=1(5)tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值,它只与角的度数有关,将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°,则sin α=cos α; 若α<45°,则sin α<cos α; 若α>45°,则sin α>cos α;28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中,由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中,三边之间的关系是a 2+b 2=c 2(勾股定理); 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边,cosA=∠A 的邻边斜边,tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素,就可以求出其余三个元素,其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若已知∠A=α,AB=c ,较简便的方法是用正弦求出BC ,用余弦求出AC ,也可用勾股定理求出AC ,根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角,且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图,在∠ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA的值为( )A.52B.12C.255D.554.如图,在4×5 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图,在∠ABC中,∠C=90°,AB=15,sinB=35,则AC的长为( )A.3 B.9 C.4 D.127.如图,在离铁塔150米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图,在∠ABC 中,CA =CB =4,cosC =14 ,则sinB 的值为( )A.102 B .153 C .64 D .10410.如图,电线杆CD 的高度为h ,两根拉线 AC 与BC 相互垂直,∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A ,B ,C 都在格点上,以AB 为直径的圆经过点C ,D ,则cos∠ADC 的值为( )A .21313B .31313C .23D .53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图,在Rt∠ABC中,∠ACB=90°,CD∠AB,垂足为D,若AC= 5 ,BC =2,则sin∠ACD的值为_________.16.某物体沿着坡比为4:3的坡面上升了8米,那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2,设tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.三、解答题19.图1是一种三角车位锁,其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时,钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下),此时汽车可以进入车位;当车位锁上锁后,钢条按图1的方式立在地面上,以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图,经测量,钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长;(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm,当车位锁上锁时,问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据:aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动,当天,他们先从基地门口A处向正北方向走了450米,到达菜园B处锄草,再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果,再向南偏东37°方向走了300米,到达手工坊D处进行手工制作,最后从D处回到门口A处,手工坊在基地门口北偏西65°方向上,求菜园与果园之间的距离.(结果保留整数.参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)。
锐角三角函数:知识点一:锐角三角函数的定义: 一、 锐角三角函数定义:如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c , 则∠A 的正弦可表示为:sinA ∠A 的余弦可表示为:cosA∠A 的正切可表示为:tanA ,它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A =______,②斜边)(cos =A =______,③的邻边A A ∠=)(tan =______,【特别提醒:1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体,是两条线段的比,没有单位,这些比值只与 有关,与直角三角形的 无关。
2、取值范围 <sinA< , <cosA< ,tanA> 例1. 锐角三角函数求值:在Rt △ABC 中,∠C =90°,若a =9,b =12,则c =______,sin A =______,cos A =______,tan A =______, sin B =______,cos B =______,tan B =______.典型例题:类型一:利用直角三角形求值1.已知:如图,Rt △TNM 中,∠TMN =90°,MR ⊥TN 于R 点,TN =4,MN =3.求:sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR .2.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,⋅=∠43sin AOC 求:AB 及OC 的长.类型二. 利用角度转化求值:1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点.DE ∶AE =1∶2.求:sin B 、cos B 、tan B .2. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( ) A .12 B 3 C .35D .455.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .23 B .32 C .34 D .436. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =,AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )A.34 B.43C.35D.45A D ECB F7. 如图6,在等腰直角三角形ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,D 为AC 上一点,若1tan 5DBA ∠=,则AD 的长为( ) A 2.2 C .1 D .2D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB 的长.2.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 在BC 边上,且△ABD 是等边三角形.若AB=2,求△ABC 的周长.(结果保留根号)3. ABC 中,∠A =60°,AB =6 cm ,AC =4 cm ,则△ABC 的面积是 ( )A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四:利用网格构造直角三角形1.如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为( ) A .12B .55 C .1010D .2552.如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.3.如图,A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处,若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆,则'tan B 的值为 ( )A.41 B. 31 C.21D. 14.正方形网格中,AOB ∠如图放置,则tan AOB ∠的值是( )A .5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二:特殊角的三角函数值当 时,正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1.求下列各式的值.1.计算:︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算:3-1+(2π-1)0-33tan30°-tan45°3.计算:30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4.计算: tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2.求适合下列条件的锐角α . (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α(5)已知α 为锐角,且3)30tan(0=+α,求αtan 的值(6)在ABC ∆中,0)22(sin 21cos 2=-+-B A ,B A ∠∠,都是锐角,求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1.已知∠A 为锐角,且sin A <21,那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A <60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角,且030sin cos <A ,则 ( )A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型五:三角函数在几何中的应用1.已知:如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB 于E ,BE =16cm ,⋅=1312sin A 求此菱形的周长.2.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,3==BC AC ,作∠DAC =30°,AD 交CB 于D 点,求:(1)∠BAD ;(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD .3. 已知:如图△ABC 中,D 为BC 中点,且∠BAD =90°,31tan =∠B ,求:sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD .4. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,53sin =B ,点D 在BC 边上,DC= AC = 6,求tan ∠BAD 的值.5.(本小题5分)如图,△ABC 中,∠A=30°,3tan 2B =,43AC =.求AB 的长.DCBAACB知识点三:解直角三角形:1.在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下(如图所示): 在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =b ,BC =a ,AB =c ,①三边之间的等量关系:________________________________.②两锐角之间的关系:__________________________________. ③边与角之间的关系:==B A cos sin ______;==B A sin cos _______;==BA tan 1tan _____;==B A tan tan 1______.④直角三角形中成比例的线段(如图所示).在Rt △ABC 中,∠C =90°,CD ⊥AB 于D .CD 2=_________;AC 2=_________; BC 2=_________;AC ·BC =_________.例1.在Rt △ABC 中,∠C =90°.(1)已知:32=a ,2=b ,求∠A 、∠B ,c ; (2)已知:32sin =A ,6=c ,求a 、b ;(3).已知:△ABC 中,∠A =30°,∠B =60°,AC =10cm .求AB 及BC 的长.类型六:解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1.如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B 在同一直线上,则AB 两点的距离是( ) A . 200米 B . 200米 C . 220米 D . 100()米 2. 在一次数学活动课上,海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽,如图13所示,某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ,测得C 在A 北偏西31︒的方向上,沿河岸向北前行20米到达B 处,测得C 在B 北偏西45︒的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.(参考数值:tan31°≈53,sin31°≈21)图13ABCD 45° 30°3 .如图,小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距AB 为1.7米,求这棵树的高度.A BCD E4.一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高,在河岸边选择一点C ,从C 处测得树梢A 的仰角为45°,沿BC 方向后退10米到点D ,再次测得点A 的仰角为30°.求树高.(结果精确到0.11.414≈1.732≈)5.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离(AC )为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC=75°. (1)求B 、C 两点的距离;(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?(计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒)坡度与坡角1.如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是13,堤坝高BC=50m ,则应水坡面AB 的长度是( )A .100mB .3mC .150mD .3m2.数学活动课上,老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图,老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:1035m (即CE =35m )处的C 点,测得旗杆顶端B 的仰角为α,已知tan α=37,升旗台高AF =1m ,小明身高CD =1.6m ,请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图,有两条公路OM ,ON 相交成30°角,沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ,当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时,在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响,且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大,若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°OMNP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC =4米,AB =6米,中间平台宽度DE =1米,EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱,垂足分别为N 、M 、B ,∠EAB =31°,αABCF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ,∠CDF =45°.求DM 和BC 的水平距离BM 的长度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)5.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º,已知原滑滑板AB 的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上.(1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由。
一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx:对于任意实数x,将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。
2. 余弦函数cosx:对于任意实数x,将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。
3. 正切函数tanx:对于任意实数x,将sinx除以cosx就是tanx。
4. 余切函数cotx:对于任意实数x,将cosx除以sinx就是cotx。
5. 正割函数secx:对于任意实数x,将1除以cosx就是secx。
6. 余割函数cscx:对于任意实数x,将1除以sinx就是cscx。
二、三角函数的性质1. 基本关系式:sin^2x + cos^2x = 12. 周期性:sin(x+2kπ) = sinx,cos(x+2kπ) = cosx,其中k为任意整数。
3. 奇偶性:奇函数有sinx、tanx和cotx,偶函数有cosx、secx和cscx。
4. 正函数和负函数:在单位圆上,sinx和cscx为正函数,cosx和secx为负函数。
5. 三角函数的范围:sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1],cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。
三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。
2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。
四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换:π弧度=180°,1°=π/180弧度。
2.角度的换算:1°=60',1'=60''。
五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式:sin2x = 2sinxcosx,cos2x = cos^2x - sin^2x,tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。
2. 半角公式:sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2],cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2],tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是初中数学中的一个重要知识点。
本文将系统地介绍锐角三角函数的概念、性质和应用。
一、概念1.边长比在直角三角形中,我们可以定义三角函数。
对于锐角三角形,也可以把边长比看作三角函数的定义。
定义如下:- 正弦函数(sin):指的是对边比斜边的比值,即sinA = 对边AB / 斜边AC。
- 余弦函数(cos):指的是邻边比斜边的比值,即cosA = 邻边BC / 斜边AC。
- 正切函数(tan):指的是对边比邻边的比值,即tanA = 对边AB / 邻边BC。
2.三角函数值的取值范围在锐角三角形中,三角函数的取值范围是(0,1)。
具体来说-正弦函数的值在0到1之间变化。
-余弦函数的值在0到1之间变化。
-正切函数的值在0到正无穷之间变化。
二、性质1.互余关系在锐角三角形中,对于同一个角的正弦和余弦函数,它们的数值互为倒数。
即sinA = 1 / cosA,cosA = 1 / sinA。
证明:由定义可知sinA = 对边AB / 斜边AC,cosA = 邻边BC / 斜边AC。
所以sinA / cosA = (对边AB / 斜边AC) / (邻边BC / 斜边AC) = 对边AB / 邻边BC = tanA。
又由于tanA = sinA / cosA,所以sinA = 1 / cosA。
同理可证cosA = 1 / sinA。
2.正切函数的性质在锐角三角形中,正切函数具有以下性质:-任何一个角的正切函数的值是唯一的。
- 对于锐角A和其补角(即90°-A),它们的正切值互为相反数。
(tanA = -tan(90°-A))。
三、应用锐角三角函数在实际生活和学习中有着广泛的应用,以下是一些常见的应用:1.三角函数在测量中的应用例如,在建筑和工程中,我们经常需要测量高度、角度等,锐角三角函数可以帮助我们计算和测量。
2.角度的计算通过使用正弦函数、余弦函数和正切函数,我们可以根据已知的边长比计算出对应的角度。
锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点,它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。
本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式,以及它们在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 锐角:角度小于90度的角。
2. 直角三角形:一个角为90度的三角形。
3. 边的命名:- 对边(Opposite side):锐角所对的边。
- 邻边(Adjacent side):锐角旁边的边,但不包括斜边。
- 斜边(Hypotenuse):直角三角形中最长的边,对直角的两边进行闭合。
4. 锐角三角函数:- 正弦(Sine, sin):锐角的对边与斜边的比值。
- 余弦(Cosine, cos):锐角的邻边与斜边的比值。
- 正切(Tangent, tan):锐角的对边与邻边的比值。
三、基本公式1. 定义公式:- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系:- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式:- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值:- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题:- 利用三角函数求解边长。
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是一个重要的数学概念,通常在初中数学学习中进行详细讲解。
下面是一个1200字以上的介绍锐角三角函数的知识点:一、角的概念角是由两条射线共同确定的形状。
有三种表示方法:度、弧度和均分。
1.度表示法度是一种角的度量单位,用符号°表示。
一个圆共有360度,一个直角是90度。
当角小于直角时,角的度数为锐角,大于直角角度且小于平角角度的为钝角。
2.弧度表示法弧度是另一种角的度量单位,用符号rad表示。
一个圆的周长等于2π,所以一个圆有2π弧度。
弧度与角度的转化公式为:角度 = 弧度/π * 180,弧度 = 角度* π/180。
3.均分表示法角的均分表示法将圆分为360个等份,每一份都称为一分。
角的度数可以用分数表示。
二、三角函数的定义锐角三角函数包括正弦、余弦和正切。
它们的定义如下:1. 正弦函数(Sine Function)正弦函数是个周期性函数,用sin表示,定义为对于任意锐角A,正弦函数的值为:sin A = 对边/斜边。
2. 余弦函数(Cosine Function)余弦函数也是个周期性函数,用cos表示,定义为对于任意锐角A,余弦函数的值为:cos A = 邻边/斜边。
3. 正切函数(Tangent Function)正切函数也是个周期性函数,用tan表示,定义为对于任意锐角A,正切函数的值为:tan A = 对边/邻边。
三、三角函数的性质锐角三角函数具有一些重要的性质:1.正弦和余弦的平方和为1对于任意锐角A,有sin^2 A + cos^2 A = 1、这一性质又被称为三角恒等式。
2.三角函数的周期性正弦、余弦和正切函数都是周期函数,它们的周期都是2π。
所以,对于任意锐角A,有sin(A+2πn) = sinA,cos(A+2πn) = cosA和tan(A+2πn) = tanA,其中n是任意整数。
3.正弦、余弦和正切的对称性正弦与余弦函数关于y轴对称,即sin(-A) = -sinA,cos(-A) = cosA。
初中锐角三角函数知识点总结一、角的定义和性质1.角的定义:角是由两条共线的射线组成的图形。
2.角的顶点:射线的交点称为角的顶点。
3.角的度量:以角的顶点为圆心,角的一条射线为始边,另一条射线顺时针旋转到与始边重合所形成的弧所对应的圆心角度数称为角的度量。
4.角的正负:顺时针旋转的角度为负,逆时针旋转的角度为正。
5.角的平分:若一条射线把一个角分成两个相等的角,称为角的平分线。
6.角的补角:两个角的度数之和等于180度,称这两个角互为补角。
7. 角的弧度制:角的弧度制定义为以角所对的圆弧的长度与半径之比。
(1圆周角 = 2pi弧度)二、三角函数的定义和性质1. 正弦函数(sin):在直角三角形中,对于一个锐角A,正弦函数的值等于A的对边长度与斜边长度的比值。
sinA = 对边/斜边。
2. 余弦函数(cos):在直角三角形中,对于一个锐角A,余弦函数的值等于A的邻边长度与斜边长度的比值。
cosA = 邻边/斜边。
3. 正切函数(tan):在直角三角形中,对于一个锐角A,正切函数的值等于A的对边长度与邻边长度的比值。
tanA = 对边/邻边。
4.三角函数的定义域:正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域都是锐角的集合,即0到90度之间的角度。
5.三角函数的值域:正弦函数和余弦函数的值域是[-1,1],正切函数的值域是全体实数。
三、三角函数的性质和关系1. 三角函数的周期性:正弦函数和余弦函数的周期都是360度或2pi弧度,正切函数的周期是180度或pi弧度。
2. 三角函数的和差公式:sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinB,cos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinB。
3. 三角函数的对称性:正弦函数是奇函数,即sin(-A) = -sinA;余弦函数是偶函数,即cos(-A) = cosA。
4. 三角函数的倒数关系:tanA = 1/cotA,cotA = 1/tanA,sinA/cosA = 1/tanA。
锐角三角函数及其应用XX 第六中学高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 为△ABC 中的一锐角,则有 ∠A的正弦:斜边的对边A A ∠=sin c a=∠A 的余弦:斜边的邻边A A ∠=cos cb=∠A的正切:的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba =2、特殊角的三角函数值(1)图表记忆法(2)规律记忆法:30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1、2、3;30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值。
对边b a c(3)口诀记忆法口诀是:“一、二、三,三、二、一,三、九、二十七,弦比二,切比三,分子根号不能删.”前三句中的1,2,3;3,2,1;3,9,27,分别是30°,45°,60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2,正切的分母为3.最后一句,讲的是各函数值中分子都加上根号,不能丢掉.如tan60°=273=,tan45°=91=.这种方法有趣、简单、易记.考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程,叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的类型和解法如下表:考点三、锐角三角函数的实际应用(高频考点)仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角。
坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角,方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.注意:东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向.我们一般画图的方位为上北下南,左西右东.二、锐角三角函数常见考法(一)、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、(2016•XX)已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC,则tan∠CAB的值为()A.B.C.D.2【考点】抛物线与x轴的交点;锐角三角函数的定义.【解析】先求出A、B、C坐标,作CD⊥AB于D,根据tan∠ACD=即可计算.lhi==αtan【解答】解:令y=0,则﹣x2﹣2x+3=0,解得x=﹣3或1,不妨设A(﹣3,0),B(1,0),∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,∴顶点C(﹣1,4),如图所示,作CD⊥AB于D.在RT△ACD中,tan∠CAD===2,故答案为D.(二)、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、(2016•XX)请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.A.一个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是8.B.运用科学计算器计算:3sin73°52′≈11.9.(结果精确到0.1)【考点】计算器—三角函数;近似数和有效数字;计算器—数的开方;多边形内角与外角.【解析】(1)根据多边形内角和为360°进行计算即可;(2)先分别求得3和sin73°52′的近似值,再相乘求得计算结果.【解答】解:(1)∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为:360°÷45°=8(2)3sin73°52′≈12.369×0.961≈11.9故答案为:8,11.9例3、(2015•XX)如图,有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3米,铅直高度BC为2.8米,则∠A的度数约为27.8°(用科学计算器计算,结果精确到0.1°).【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可.【解答】解:∵tan∠A==≈0.5283,∴∠A=27.8°,故答案为:27.8°.【点评】本题考查了坡度坡角的知识,解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值,难度不大.例4、(2014•XX)用科学计算器计算:+3tan56°≈10.02(结果精确到0.01)【考点】计算器—三角函数;计算器—数的开方.【分析】先用计算器求出′、tan56°的值,再计算加减运算.【解答】解:≈5.5678,tan56°≈1.4826,则+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02故答案是:10.02.【点评】本题考查了计算器的使用,要注意此题是精确到0.01.例5、(2014•XX)如图,在正方形ABCD中,AD=1,将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′,此时A′D′与CD交于点E,则DE的长度为2﹣.【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E,进而利用勾股定理得出BD的长,进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可.【解答】解:由题意可得出:∠BDC=45°,∠DA′E=90°,∴∠DEA′=45°,∴A′D=A′E,∵在正方形ABCD中,AD=1,∴AB=A′B=1,∴BD=,∴A′D=﹣1,∴在Rt△DA′E中,DE==2﹣.故答案为:2﹣.【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识,得出A′D的长是解题关键.(三)、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、(12分)(2015•XX)如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.(1)如图①,点M是四边形ABCD边AD上的一点,则△BMC的面积为24;(2)如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长的最小值;(3)如图③,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC 的值最小?若存在,求出此时cos∠BPC的值;若不存在,请说明理由.【考点】四边形综合题..【专题】综合题.【解析】(1)如图①,过A作AE⊥BC,可得出四边形AECF为矩形,得到EC=AD,BE=BC﹣EC,在直角三角形ABE中,求出AE的长,即为三角形BMC 的高,求出三角形BMC面积即可;(2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C′,连接C′N,C′D,C′B 交AD于点N′,连接′,则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+′,可得出△BNC 周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+′+BC=BC′+BC,求出即可;(3)如图③所示,存在点P,使得cos∠BPC的值最小,作BC的中垂线PQ 交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接圆O,圆O与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心O在PN上,根据AD与BC平行,得到圆O 与AD相切,根据PQ=DC,判断得到PQ大于BQ,可得出圆心O在BC上方,在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆O于点M,连接MC,可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,即∠BPC最小,cos∠BPC的值最小,连接OB,求出即可.【解答】解:(1)如图①,过A作AE⊥BC,∴四边形AECD为矩形,∴EC=AD=8,BE=BC﹣EC=12﹣8=4,在Rt△ABE中,∠ABE=60°,BE=4,∴AB=2BE=8,AE==4,则S △BMC=BC•AE=24;故答案为:24;(2)如图②,作点C关于直线AD的对称点C′,连接C′N,C′D,C′B 交AD于点N′,连接′,则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+′,∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+′+BC=BC′+BC,∵AD∥BC,AE⊥BC,∠ABC=60°,∴过点A作AE⊥BC,则CE=AD=8,∴BE=4,AE=BE•tan60°=4,∴CC′=2CD=2AE=8,∵BC=12,∴BC′==4,∴△BNC周长的最小值为4+12;(3)如图③所示,存在点P,使得cos∠BPC的值最小,作BC的中垂线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连接BP,CP,作△BPC的外接圆O,圆O与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心O在PN上,∵AD∥BC,∴圆O与AD相切于点P,∵PQ=DC=4>6,∴PQ>BQ,∴∠BPC<90°,圆心O在弦BC的上方,在AD上任取一点P′,连接P′B,P′C,P′B交圆O于点M,连接MC,∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C,∴∠BPC最大,cos∠BPC的值最小,连接OB,则∠BON=2∠BPN=∠BPC,∵OB=OP=4﹣OQ,在Rt△BOQ中,根据勾股定理得:OQ2+62=(4﹣OQ)2,解得:OQ=,∴OB=,∴cos∠BPC=cos∠BOQ==,则此时cos∠BPC的值为.【点评】此题属于四边形综合题,涉及的知识有:勾股定理,矩形的判定与性质,对称的性质,圆的切线的判定与性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握定理及性质是解本题的关键.例7、(10分)(2014年XX省)已知抛物线C:y=﹣x2+bx+c经过A(﹣3,0)和B(0,3)两点,将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.(1)求抛物线C的表达式;(2)求点M的坐标;(3)将抛物线C平移到C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x 轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?【考点】二次函数图象与几何变换;二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式;平行四边形的性质.菁优网所有【分析】(1)直接把A(﹣3,0)和B(0,3)两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c,求出b,c的值即可;(2)根据(1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标;(3)根据平行四边形的定义,可知有四种情形符合条件,如解答图所示.需要分类讨论.【解答】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣3,0)和B(0,3)两点,∴,解得,故此抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3;(2)∵由(1)知抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3,∴当x=﹣=﹣=﹣1时,y=4,xKb 1.C om∴M(﹣1,4).(3)由题意,以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′,∴MN∥M′N′且MN=M′N′.∴MN•NN′=16,∴NN′=4.i)当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时,将抛物线C 向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′;ii)当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时,将抛物线C 先向左或向右平移4个单位,再向下平移8个单位,可得符合条件的抛物线C′.∴上述的四种平移,均可得到符合条件的抛物线C′.【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点.第(3)问需要分类讨论,避免漏解.例8、(12分)(2014•XX)问题探究(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长;问题解决(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.【考点】圆的综合题;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;勾股定理;三角形中位线定理;矩形的性质;正方形的判定与性质;直线与圆的位置关系;特殊角的三角函数值.菁优网所有【专题】压轴题;存在型.【分析】(1)由于△PAD是等腰三角形,底边不定,需三种情况讨论,运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.(2)以EF为直径作⊙O,易证⊙O与BC相切,从而得到符合条件的点Q唯一,然后通过添加辅助线,借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.(3)要满足∠AMB=60°,可构造以AB为边的等边三角形的外接圆,该圆与线段CD的交点就是满足条件的点,然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识,就可算出符合条件的DM长.【解答】解:(1)①作AD的垂直平分线交B C于点P,如图①,则PA=PD.∴△PAD是等腰三角形.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠B=∠C=90°.∵PA=PD,AB=DC,∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).∴BP=CP.∵BC=4,∴BP=CP=2.②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P′,如图①,.则DA=DP′.∴△P′AD是等腰三角形.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°.∵AB=3,BC=4,∴DC=3,DP′=4.∴CP′==.∴BP′=4﹣.③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P″,如图①,则AD=AP″.∴△P″AD是等腰三角形.同理可得:BP″=.综上所述:在等腰三角形△ADP中,若PA=PD,则BP=2;若DP=DA,则BP=4﹣;若AP=AD,则BP=.(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点,∴EF∥BC,EF=BC.∵BC=12,∴EF=6.以EF为直径作⊙O,过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.∵AD⊥BC,AD=6,∴EF与BC之间的距离为3.∴OQ=3∴OQ=OE=3.∴⊙O与BC相切,切点为Q.∵EF为⊙O的直径,∴∠EQF=90°.过点E作EG⊥BC,垂足为G,如图②.∵EG⊥BC,OQ⊥BC,∴EG∥OQ.∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,∴四边形OEGQ是正方形.∴GQ=EO=3,EG=OQ=3.∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,∴BG=.∴BQ=GQ+BG=3+.∴当∠EQF=90°时,BQ的长为3+.(3)在线段CD上存在点M,使∠AMB=60°.理由如下:以AB为边,在AB的右侧作等边三角形ABG,作GP⊥AB,垂足为P,作AK⊥BG,垂足为K.设GP与AK交于点O,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,过点O作OH⊥CD,垂足为H,如图③.则⊙O是△ABG的外接圆,∵△ABG是等边三角形,GP⊥AB,∴AP=PB=AB.∵AB=270,∴AP=135.∵ED=285,∴OH=285﹣135=150.∵△ABG是等边三角形,AK⊥BG,∴∠BAK=∠GAK=30°.∴OP=AP•tan30°=135×=45.∴OA=2OP=90.∴OH<OA.∴⊙O与CD相交,设交点为M,连接MA、MB,如图③.∴∠AMB=∠AGB=60°,OM=OA=90..∵OH⊥CD,OH=150,OM=90,∴HM===30.∵AE=400,OP=45,∴DH=400﹣45.若点M在点H的左边,则DM=DH+HM=400﹣45+30.∵400﹣45+30>340,∴DM>CD.∴点M不在线段CD上,应舍去.若点M在点H的右边,则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30.∵400﹣45﹣30<340,∴DM<CD.∴点M在线段CD上.综上所述:在线段CD上存在唯一的点M,使∠AMB=60°,此时DM的长为(400﹣45﹣30)米.X|k | B| 1 . c |O |m【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识,考查了操作、探究等能力,综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容,三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数,这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度,下面就三角函数教学中容易出现的几种“错误”进行分析: 1.对应关系混淆【1】如图9,先进村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为a 米,那么这两树在坡面上的距离AB 为() A. a a cos 米B. αcos a米 C. a a sin 米D.αsin a米 解析:分别过点B ,A 作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C 。
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)知识点一:锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A =∠A 的对边斜边=ac余弦: cos A =∠A 的邻边斜边=bc正切: tan A =∠A 的对边∠A 的邻边=ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。
xx 。
]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时,(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 变式练习1:如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为注意:根据定义求三角函数值时,一定根据题目图形来理解,严格按照三角函数的定义求解,有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4,3),那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,∵A (4,3),∴OB =4,AB =3,∴OA =32+42=5,∴cos α=OB OA =45.变式练习2:在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =3,BC =4,则sinA =________. 【解析】∵在Rt △ABC 中,由勾股定理得AC =22AB BC +=32+42=5,∴sin A =BC AC =45. 变式练习3:在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =35,BC =6,则AB =( D )A .4B .6C .8D .10变式练习4:如图,若点A 的坐标为(1,3),则sin ∠1=__32__. ,知识点二 :解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2;(2)锐角之间的关系:∠A +∠B =90°; (3)边角之间的关系:,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======(sinA==cosB=ac,c osA=sinB=bc,tanA=ab.)变式练习1:在Rt△ABC中,已知a=5,sinA=30°,则c=10,b=5.变式练习2:如图,Rt△ACB中,∠B=30°,∠ACB=90°,CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC,满足∠E=30°,∠DCE=90°,再用同样的方法作Rt△FGC,∠FCG=90°,继续用同样的方法作Rt△HIC,∠HCI =90°.若AC=a,求CI的长.解:在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠A=60°,∵AC=a,∴CD=AC·sin60°=32a,依此类推CH=(32)3a=338a,在Rt△CHI中,∵∠CHI=60°,∴CI=CH·tan60°=338a×3=98a.变式练习3:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( D )A.433B.4 C.8 3 D.4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜:已知斜边求直边,正弦、余弦很方便;已知直边求直边,理所当然用正切;已知两边求一边,勾股定理最方便;已知两边求一角,函数关系要记牢;已知锐角求锐角,互余关系不能少;已知直边求斜边,用除还需正余弦.变式练习4:如图,一山坡的坡度为i=1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了__100__米., ,变式练习5:一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处,则该船行驶的速度为___40+4033___海里/小时.知识点三:解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角:视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角.(如图①)(2)坡度:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比),用字母i表示.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用α表示,则有i=tanα.(如图②)(3)方向角:平面上,通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向),则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角,叫做观测的方向角.(如图③)2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型;(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形问题;(3)选择合适的边角关系式,使运算简便、准确;(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解.注意:解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型:(1)叠合式(2)背靠式解题方法:这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等,列方程求解变式练习1:如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度,他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°,然后沿AD 方向前行10 m ,到达B 点,点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:2≈1.414,3≈ 1.732)解:如解图,由题意可知∠CAB =30°,∠CBD =60°,AB =10 m ,∵∠CBD =∠CAB +∠BCA ,∴∠BCA =∠CBD -∠CAB =60°-30°=30°=∠CAB , ∴BC =AB =10 m . 在Rt △BCD 中,∵sin ∠CBD =CDBC,∴CD =BC ·sin ∠CBD =10×sin60°=10×32=53≈5×1.732≈8.7 m . 答:这棵树CD 的高度大约是8.7 m .变式练习2:如图,小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α=34,在与山脚C 距离200米的D 处,测得山顶A 的仰角为26.6°,求小山岗的高AB (结果取整数;参考数据:sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50).解:设AB =x 米,在Rt △ABD 中,∠D =26.6°,∴BD =tan 26.6x≈2x ,在Rt △ABC 中,tan α=AB BC =34,∴BC =43x ,∵BD -BC =CD ,CD =200,∴2x-43x=200,解得x=300.答:小山岗的高AB约为300米.变式练习3:如图,小明所在教学楼的每层高度为3.5 m,为了测量旗杆MN的高度,他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°,他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°,已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m,求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)解:如解图,过点M的水平线交直线AB于点H,由题意,得∠AMH=∠MAH=45°,∠BMH=30°,AB=3.5 m,设MH=x m,则AH=x m,BH=x·tan30°=33x≈0.58x m,∴AB=AH-BH=x-0.58x=0.42x=3.5 m,解得x≈8.3,则MN=x+1=9.3 m.答:旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4:小明去爬山,如图,在山脚看山顶的角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米,此时小明看山顶的角度为60°,则山高为( )A. (600-2505)米B. (6003-250)米C. (350+3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图,∵BE∶AE=5∶12,∴设BE=5k,AE=12k,∴AB=2()5K+(12k)2=13k,∴BE∶AE∶AB=5∶12∶13,∵AB=1300米,∴AE=1200米,BE =500米,设EC=FB=x米,∵∠DBF=60°,∴DF=3x米,则DC=(3x+500)米,又∵∠DAC=30°,∴AC=3CD,即1200+x=3(3x+500),解得x=600-2503,∴DF=3x=(6003-750)米,∴CD=DF+CF=(6003-250)米,即山高CD为(6003-250)米.变式练习5:某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)解:如解图,过点A作AD⊥BC交BC于点D,过点B作BH⊥水平线交水平线于点H,由题意∠ACH=75°,∠BCH=30°,AB∥CH,∴∠ABC=30°,∠ACB=45°,∵AB=4×8=32米,∴CD=AD=AB·sin30°=16米,BD=AB·cos30°=32×32=163米,∴BC=CD+BD=(16+163)米,∴BH=BC·sin30°=(16+163)×12=(8+83)米.答:这架无人飞机的飞行高度为(8+83)米.变式练习6:如图,我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上,随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上,求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位,其中3≈1.732) 解:∵CD∥BE,∴∠EBC+∠DCB=180°.∵∠ABE=60°,∠DCB=30°,∴∠ABC=90°.…………(4分)由题知,BC=80×12=40(海里),∠ACB=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·tan60°=403≈40×1.732≈69.3(海里).答:此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里.。
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是高中数学的重要内容,它涉及到三角函数的定义、性质以及与三角函数相关的常见解题方法。
以下将详细介绍锐角三角函数的知识点。
一、锐角三角函数的定义1. 正弦函数(sine function):在锐角ABC中,以角A为自变量,以对边AB与斜边AC的比值作为函数值。
记作sinA = AB/AC。
2. 余弦函数(cosine function):在锐角ABC中,以角A为自变量,以邻边BC与斜边AC的比值作为函数值。
记作cosA = BC/AC。
3. 正切函数(tangent function):在锐角ABC中,以角A为自变量,以对边AB与邻边BC的比值作为函数值。
记作tanA = AB/BC。
4. 余切函数(cotangent function):在锐角ABC中,以角A为自变量,以邻边BC与对边AB的比值作为函数值。
记作cotA = BC/AB。
5. 正割函数(secant function):在锐角ABC中,以角A为自变量,以斜边AC与邻边BC的比值作为函数值。
记作secA = AC/BC。
6. 余割函数(cosecant function):在锐角ABC中,以角A为自变量,以斜边AC与对边AB的比值作为函数值。
记作cscA = AC/AB。
二、锐角三角函数的性质1. 正弦函数的定义域为[0, π/2],值域为[0, 1],是一个奇函数,即sin(π/2 - A) = cosA。
2. 余弦函数的定义域为[0, π/2],值域为[0, 1],是一个偶函数,即cos(π/2 - A) = sinA。
3.正割函数和余割函数的定义域为(0,π/2)∪(π/2,π),值域为R^+∪R^-。
4.正弦函数和余弦函数的图像是一条周期为2π的曲线,对称于直线x=π/25.正切函数和余切函数的定义域为(0,π/2)∪(π/2,π),值域为R^+∪R^-。
6.正切函数和余切函数的图像是一条周期为π的曲线,对称于直线x=π/2三、常用的锐角三角函数解题方法1. 利用定义求函数值:根据三角函数的定义,利用已知信息计算出函数值。
初中数学锐角三角函数的知识点一、选择题1.如图,AB 是垂直于水平面的建筑物.为测量AB 的高度,小红从建筑物底端B 点出发,沿水平方向行走了52米到达点C ,然后沿斜坡CD 前进,到达坡顶D 点处,DC BC =.在点D 处放置测角仪,测角仪支架DE 高度为0.8米,在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27︒(点A ,B ,C ,D ,E 在同一平面内).斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4i =,那么建筑物AB 的高度约为( )(参考数据sin 270.45︒≈,cos270.89︒≈,tan 270.51︒≈)A .65.8米B .71.8米C .73.8米D .119.8米【答案】B【解析】【分析】 过点E 作EM AB ⊥与点M ,根据斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4i =可设CD x =,则2.4 CG x =,利用勾股定理求出x 的值,进而可得出CG 与DG 的长,故可得出EG 的长.由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形,故可得出EM BG =,BM EG =,再由锐角三角函数的定义求出AM 的长,进而可得出结论.【详解】解:过点E 作EM AB ⊥与点M ,延长ED 交BC 于G ,∵斜坡CD 的坡度(或坡比)1:2.4i =,52BC CD ==米,∴设DG x =,则 2.4 CG x =.在Rt CDG ∆中,∵222DG CG DC +=,即222(2.4)52x x +=,解得20x =,∴20DG =米,48CG =米,∴200.820.8EG =+=米,5248100BG =+=米.∵EM AB ⊥,AB BG ⊥,EG BG ⊥,∴四边形EGBM 是矩形,∴100EM BG ==米,20.8BM EG ==米.在Rt AEM ∆中,∵27AEM ︒∠=,∴•tan 271000.5151AM EM ︒=≈⨯=米,∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米.故选B .【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.2.如图,4个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点,己知菱形的一个内角为60°,A 、B 、C 都是格点,则tan ABC ∠=( )A .3B .36C .3D .3 【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角,结合锐角三角函数关系得出EF,的长,进而利用EC tan ABC BE∠=得出答案. 【详解】解:连接DC ,交AB 于点E . 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF,设EC=x,则EF=x 3x tan 30︒, ∴BF AF 2EF 23x === EC 3tan ABC BE 923x 3x 33====+∠,故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形,正确得出EF 的长是解题关键.3.如图,在ABC ∆中,4AC =,60ABC ∠=︒,45C ∠=︒,AD BC ⊥,垂足为D ,ABC ∠的平分线交AD 于点E ,则AE 的长为( )A .22B .223C .23D .322【答案】C【解析】【分析】在Rt △ADC 中,利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度,在Rt △ADB 中,由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度,在Rt △EBD 中,由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度,再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度.【详解】∵AD ⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90︒在Rt △ADC 中,AC=4,∠C=45︒∴AD=CD=22在Rt △ADB 中,AD=22ABD=60︒∴326. ∵BE 平分∠ABC ,∴∠EBD=30°.在Rt △EBD 中,BD=263,∠EBD=30° ∴3223 ∴AE=AD −DE=22223=23 故选:C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,以及利用特殊角三角函数解直角三角形.4.在课外实践中,小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ,采取了如下措施:如图在江边D 处,测得信号塔A 的俯角为40︒,若55DE =米,DE CE ⊥,36CE =米,CE 平行于AB ,BC 的坡度为1:0.75i =,坡长140BC =米,则AB 的长为( )(精确到0.1米,参考数据:sin 400.64︒≈,cos400.77︒≈,tan 400.84︒≈)A .78.6米B .78.7米C .78.8米D .78.9米【答案】C【解析】【分析】 如下图,先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长,再利用Rt △ADG 求AG 的长,进而得到AB 的长度【详解】如下图,过点C 作AB 的垂线,交AB 延长线于点F ,延长DE 交AB 延长线于点G∵BC 的坡度为1:0.75∴设CF 为xm ,则BF 为0.75xm∵BC=140m∴在Rt △BCF 中,()2220.75140x x +=,解得:x=112∴CF=112m ,BF=84m∵DE ⊥CE ,CE ∥AB ,∴DG ⊥AB ,∴△ADG 是直角三角形∵DE=55m ,CE=FG=36m∴DG=167m ,BG=120m设AB=ym∵∠DAB=40°∴tan40°=1670.84120DG AG y ==+ 解得:y=78.8故选:C本题是三角函数的考查,注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.5.如图,△ABC内接于半径为5的⊙O,圆心O到弦BC的距离等于3,则∠A的正切值等于()A.35B.45C.34D.43【答案】C【解析】试题分析:如答图,过点O作OD⊥BC,垂足为D,连接OB,OC,∵OB=5,OD=3,∴根据勾股定理得BD=4.∵∠A=12∠BOC,∴∠A=∠BOD.∴tanA=tan∠BOD=43 BDOD=.故选D.考点:1.垂径定理;2.圆周角定理;3.勾股定理;4.锐角三角函数定义.6.如图,点E从点A出发沿AB方向运动,点G从点B出发沿BC方向运动,同时出发且速度相同,DE GF AB=<(DE长度不变,F在G上方,D在E左边),当点D到达点B时,点E停止运动.在整个运动过程中,图中阴影部分面积的大小变化情况是()A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小【答案】B【解析】连接GE,过点E作EM⊥BC于M,过点G作GN⊥AB于N,设AE=BG=x,然后利用锐角三角函数求出GN和EM,再根据S阴影=S△GDE+S△EGF即可求出结论.【详解】解:连接GE,过点E作EM⊥BC于M,过点G作GN⊥AB于N设AE=BG=x,则BE=AB-AE=AB-x∴GN=BG·sinB=x·sinB,EM=BE·sinB=(AB-x)·sinB∴S阴影=S△GDE+S△EGF=12DE·GN+12GF·EM=12DE·(x·sinB)+12DE·[(AB-x)·sinB]=12DE·[x·sinB+(AB-x)·sinB]=12 DE·AB·sinB∵DE、AB和∠B都为定值∴S阴影也为定值故选B.【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积,掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键.7.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且AB=BD,则tan D的值为()A.3B.33C.23D.23【答案】D【解析】【分析】设AC=m,解直角三角形求出AB,BC,BD即可解决问题.【详解】在Rt △ABC 中,∵∠C =90°,∠ABC =30°,∴AB =2AC =2m ,BC =3AC =3m ,∴BD =AB =2m ,DC =2m+3m ,∴tan ∠ADC =AC CD =23m m m+=2﹣3. 故选:D .【点睛】本题考查解直角三角形,直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.8.如图,从点A 看一山坡上的电线杆PQ ,观测点P 的仰角是45︒,向前走6m 到达B 点, 测得顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60︒和30°,则该电线杆PQ 的高度( )A .623+B .63+C .103-D .83+【答案】A【解析】【分析】 延长PQ 交直线AB 于点E ,设PE=x 米,在直角△APE 和直角△BPE 中,根据三角函数利用x 表示出AE 和BE ,列出方程求得x 的值,再在直角△BQE 中利用三角函数求得QE 的长,则问题求解.【详解】解:延长PQ 交直线AB 于点E ,设PE=x .在直角△APE 中,∠A=45°,AE=PE=x ;∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中,BE=33PE=33x,∵AB=AE-BE=6米,则x-3x=6,解得:x=9+33.则BE=33+3.在直角△BEQ中,QE=3BE=3(33+3)=3+3.∴PQ=PE-QE=9+33-(3+3)=6+23.答:电线杆PQ的高度是(6+23)米.故选:A.【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用,解答关键是根据题意构造直角三角形解决问题.9.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若∠B=60°,则c aa b c b+++的值为()A.12B.22C.1 D2【答案】C 【解析】【分析】先过点A作AD⊥BC于D,构造直角三角形,结合∠B=60°,利用3sin60︒=cos60°=12,可求13,,2DB c AD==把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中,化简可得即a2+c2=b2+ac,再把此式代入通分后所求的分式中,可求其值等于1.【详解】解:过A点作AD⊥BC于D,在Rt△BDA中,由于∠B=60°,∴13,,22 DB c AD c ==在Rt△ADC中,DC2=AC2﹣AD2,∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 即a 2+c 2=b 2+ac , ∴()()2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b++++++++++====++++++++++ 故选C .【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容.在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法.10.某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求,游客可以乘坐垂直升降电梯AB 自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC 的坡度(或坡比)为i =1:2,BC =12米,CD =8米,∠D =36°,(其中点A 、B 、C 、D 均在同一平面内)则垂直升降电梯AB 的高度约为( )米.(精确到0.1米,参考数据:tan36°≈0.73,cos36°≈0.81,sin36°≈0.59)A .5.6B .6.9C .11.4D .13.9【答案】C【解析】【分析】 根据勾股定理,可得CE ,BE 的长,根据正切函数,可得AE 的长,再根据线段的和差,可得答案.【详解】解:如图,延长DC 、AB 交于点E ,,由斜坡轨道BC 的坡度(或坡比)为i =1:2,得BE :CE =1:2.设BE =xm ,CE =2xm .在Rt △BCE 中,由勾股定理,得BE2+CE2=BC2,即x2+(2x)2=(12)2,解得x=12,BE=12m,CE=24m,DE=DC+CE=8+24=32m,由tan36°≈0.73,得=0.73,解得AB=0.73×32=23.36m.由线段的和差,得AB=AE﹣BE=23.36﹣12=11.36≈11.4m,故选:C.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,利用勾股定理得出CE,BE的长是解题关键,又利用了正切函数,线段的和差.11.如图1,在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动,两点同时到达点C,设△BPQ的面积为y(cm2).运动时间为x(s),y与x之间关系如图2所示,当点P 恰好为AC的中点时,PQ的长为()A.2 B.4 C.3D.3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x=2,y=3P、Q运动的速度,即可求解.【详解】解:设AB=a,∠C=30°,则AC=2a,BC3a,设P、Q同时到达的时间为T,则点P的速度为3aT,点Q3a,故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为:3v3,由图2知,当x=2时,y=3P到达点A的位置,即AB=2×3v=6v,BQ =2×3v =23v , y =12⨯AB ×BQ =12⨯6v ×23v =63,解得:v =1, 故点P 、Q 的速度分别为:3,3,AB =6v =6=a ,则AC =12,BC =63,如图当点P 在AC 的中点时,PC =6,此时点P 运动的距离为AB +AP =12,需要的时间为12÷3=4,则BQ =3x =43,CQ =BC ﹣BQ =63﹣43=23,过点P 作PH ⊥BC 于点H ,PC =6,则PH =PC sin C =6×12=3,同理CH =33,则HQ =CH ﹣CQ =33﹣23=3,PQ =22PH HQ +=39+=23,故选:C .【点睛】本题考查的是动点图象问题,此类问题关键是:弄清楚不同时间段,图象和图形的对应关系,进而求解.12.如图,正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边CD ,AD 上,BE 与CF 交于点G .若4BC =,1DE AF ==,则GF 的长为( )A .135B .125C .195D .165【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得5BE CF ==,证明BCE CDF ∆≅∆,根据全等三角形的性质可得CBE DCF ∠=∠,继而根据cos cos BC CG CBE ECG BE CE∠=∠==,可求得CG 的长,进而根据GF CF CG =-即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是正方形,4BC =,∴4BC CD AD ===,90BCE CDF ∠=∠=︒,∵1AF DE ==,∴3DF CE ==,∴5BE CF ==,在BCE ∆和CDF ∆中, BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()BCE CDF SAS ∆≅∆,∴CBE DCF ∠=∠,∵90CBE CEB ECG CEB CGE ∠+∠=∠+∠=︒=∠,cos cos BC CG CBE ECG BE CE ∠=∠==, ∴453CG =,125CG =, ∴1213555GF CF CG =-=-=, 故选A.【点睛】本题考查了正方形的性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,三角函数等知识,综合性较强,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.13.如图,Rt △AOB 中,∠AOB=90°,AO=3BO ,OB 在x 轴上,将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至△RtA'OB',其中点B'落在反比例函数y=﹣2x的图象上,OA'交反比例函数y=k x 的图象于点C ,且OC=2CA',则k 的值为( )A.4 B.72C.8 D.7【答案】C【解析】【详解】解:设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α,OB=a,则OA=3a,由题意可得,点B′的坐标为(acosα,﹣asinα),点C的坐标为(2asinα,2acosα),∵点B'在反比例函数y=﹣2x的图象上,∴﹣asinα=﹣2acosα,得a2sinαcosα=2,又∵点C在反比例函数y=kx的图象上,∴2acosα=k2asinα,得k=4a2sinαcosα=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题,解此题的关键在于先设旋转角为α,利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标,再通过反比例函数的性质求解即可.14.如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点C和点D为圆心,大于12 CD为半径作弧,两弧交于点M,N;②作直线MN,且MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE,则下列说法错误的是()A .60ABC ∠=︒B .2ABE ADE S S ∆=VC .若AB=4,则47BE =D .21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ,则∠AED=90°,CE=DE ,于是可判断∠DAE=30°,∠D=60°,从而得到∠ABC=60°;利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ;作EH ⊥BC 于H ,如图,若AB=4,则可计算出CH=12CE=1,EH=3CH=3,利用勾股定理可计算出BE=27 ;利用正弦的定义得sin ∠CBE=2114EH BE =. 【详解】解:由作法得AE 垂直平分CD ,∴∠AED=90°,CE=DE ,∵四边形ABCD 为菱形,∴AD=2DE ,∴∠DAE=30°,∠D=60°,∴∠ABC=60°,所以A 选项的说法正确;∵AB=2DE ,∴S △ABE =2S △ADE ,所以B 选项的说法正确;作EH ⊥BC 于H ,如图,若AB=4,在Rt △ECH 中,∵∠ECH=60°,CH=12CE=1,33,在Rt △BEH 中,BE=22(3)527+=,所以C 选项的说法错误;sin ∠CBE=3211427EH BE ==,所以D 选项的说法正确. 故选C .【点睛】本题考查了基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的性质和解直角三角形.15.如图,在正方形ABCD 中,3AB =,点M 在CD 的边上,且1DM =,AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称,将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆,连接EF ,则cos EFC ∠的值是 ( )A 171365B 61365C 71525D .617【答案】A【解析】【分析】 过点E 作//HG AD ,交AB 于H ,交CD 于G ,作EN BC ⊥于N ,首先证明AEH EMG V :V ,则有13EH AE MG EM == ,设MG x =,则3EH x =,1DG AH x ==+, 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值,进而可求,,,EH BN CG EN 的长度,进而可求FN ,再利用勾股定理求出EF 的长度,最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解. 【详解】 过点E 作//HG AD ,交AB 于H ,交CD 于G ,作EN BC ⊥于N ,则90AHG MGE ∠=∠=︒,∵四边形ABCD 是正方形,∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ,∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形.由折叠可得,90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====,90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ,AEH EMG ∴∠=∠,AEH EMG ∴V :V ,13EH AE MG EM ∴== . 设MG x =,则3EH x =,1DG AH x ==+在Rt AEH V 中, 222AH EH AE +=Q ,222(1)(3)3x x ∴++= ,解得45x =或1x =-(舍去), 125EH BN ∴==,65CG CD DG EN =-== . 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=.在Rt EFN △ 中, 由勾股定理得,2213EF EN FN =+= ,17cos 1365FN EFC EF ∴∠== . 故选:A .【点睛】 本题主要考查正方形,矩形的性质,相似三角形的判定及性质,勾股定理,锐角三角函数,能够作出辅助线是解题的关键.16.定义:在等腰三角形中,底边与腰的比叫做顶角的正对,顶角A 的正对记作sadA ,即sadA =底边:腰.如图,在ABC ∆中,AB AC =,2A B ∠=∠.则sin B sadA ⋅=( )A .12B 2C .1D .2【答案】C【解析】【分析】证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题.【详解】 解:∵AB=AC ,∴∠B=∠C ,∵∠A=2∠B ,∴∠B=∠C=45°,∠A=90°,∴在Rt △ABC 中,BC=sin AC B ∠2AC , ∴sin ∠B •sadA=1AC BC BC AC=g , 故选:C .【点睛】本题考查解直角三角形,等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.17.如图,将一个小球从斜坡的点O 处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y =4x -12x 2刻画,斜坡可以用一次函数y =12x 刻画,下列结论错误的是( )A .斜坡的坡度为1: 2B .小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C .小球落地点距O 点水平距离为7米D .当小球抛出高度达到7.5m 时,小球距O 点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点,判断A 、C ;根据二次函数的性质求出对称轴,根据二次函数性质判断B ;求出当7.5y =时,x 的值,判定D .【详解】 解:214212y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 解得,1100x y =⎧⎨=⎩,22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩, 72∶7=1∶2,∴A 正确; 小球落地点距O 点水平距离为7米,C 正确;2142y x x =- 21(4)82x =--+, 则抛物线的对称轴为4x =,∴当4x >时,y 随x 的增大而减小,即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势,B 正确,当7.5y =时,217.542x x =-, 整理得28150x x -+=,解得,13x =,25x =,∴当小球抛出高度达到7.5m 时,小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ,D 错误,符合题意;故选:D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质,掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键.18.如图,点M 是正方形ABCD 边CD 上一点,连接AM ,作DE ⊥AM 于点E ,BF ⊥AM 于点F ,连接BE ,若AF =1,四边形ABED 的面积为6,则∠EBF 的余弦值是( )A .21313B .31313C .23D .1313【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ;设AE=x ,则BF=x ,DE=AF=1,利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6,解方程求出x 得到AE=BF=3,则EF=x-1=2,然后利用勾股定理计算出BE ,最后利用余弦的定义求解.【详解】∵四边形ABCD 为正方形,∴BA =AD ,∠BAD =90°,∵DE ⊥AM 于点E ,BF ⊥AM 于点F ,∴∠AFB =90°,∠DEA =90°,∵∠ABF+∠BAF =90°,∠EAD+∠BAF =90°,∴∠ABF =∠EAD ,在△ABF 和△DEA 中 BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA (AAS ),∴BF =AE ;设AE =x ,则BF =x ,DE =AF =1,∵四边形ABED 的面积为6, ∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=,解得x 1=3,x 2=﹣4(舍去),∴EF=x﹣1=2,在Rt△BEF中,222313BE=+=,∴313 cos13BFEBFBE∠===.故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质:正方形的四条边都相等,四个角都是直角;正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题.也考查了解直角三角形.19.已知在 Rt ABC 中,∠C = 90°,AC= 8, BC = 15 ,那么下列等式正确的是()A.8sin17A=B.cosA=815C.tan A =817D.cot A=815【答案】D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答.【详解】由勾股定理知,AB=17;A.15sin17BCAAB== ,所以A错误;B.8cos17ACAAB==,所以,B错误;C.15tan8BCAAC==,所以,C错误;D.cotACABC==815,所以选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键.20.如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1yx=-、2yx=的图象交于B、A两点,则∠OAB大小的变化趋势为()A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变【答案】D【解析】【分析】如图,作辅助线;首先证明△BEO∽△OFA,,得到BE OEOF AF=;设B为(a,1a-),A为(b,2 b),得到OE=-a,EB=1a-,OF=b,AF=2b,进而得到222a b=,此为解决问题的关键性结论;运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=22为定值,即可解决问题.【详解】解:分别过B和A作BE⊥x轴于点E,AF⊥x轴于点F,则△BEO∽△OFA,∴BE OEOF AF=,设点B为(a,1a-),A为(b,2b),则OE=-a,EB=1a-,OF=b,AF=2b,可代入比例式求得222a b=,即222ab=,根据勾股定理可得:OB=22221OE EB aa+=+,OA=22224OF AF bb+=+,∴tan∠OAB=2222222212244baOB a bOAb bb b++==++=222214()24bbbb++=22∴∠OAB大小是一个定值,因此∠OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题;解题的方法是作辅助线,将分散的条件集中;解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答.。