第7章 截面几何性质答案

bh bh Iz 12 12 b 3 h h 3 12
3 3
I y Iz
D 4


64 64 4 D (1 4 ) 64

d 4
三、
y1
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
z1
y z dA y
y1
已知 I z , I y , I yz
b a O1
2
y1 y a,
2 A A A A A
I z 2aSz a 2 A
I y1 z1 y1 z1dA ( y a )(z b)dA
A A
yzdA azdA bydA abdA
A A A A
I yz aSy bSz abA
I y1 I y 2bSy b A
• 平面图形的惯性矩
I z y 2 dA
A
I y z 2 dA
A
y x
面积A
• 平面图形的极惯性矩
dA y z
Ip
r dA y
2 A A
2
z
2
dA
o
r
I p Iz I y
• 惯性矩和极惯性矩为正值，单位为m4 或mm4。
• 平面图形的惯性半径
y x r y
面积A
Iz i A
2 z
Iy i A
2 y
dA
iz iy
Iz A Iy A
o
图形对z轴和y轴的惯性半径 （单位为m 或mm）
z
• 例7-2 求矩形截面对其对称轴z和y的惯性矩 和惯性半径。 y • 解：
I z y 2 dA

截面几何性质 作业专业班级 姓名 学号1. 判断题（1）任意平面图形至少有1对形心主惯性轴，等边三角形有3对形心主惯性轴。

（ × ） （2）平面图形的几何性质中，静矩和惯性矩的值可正、可负、可为零。

（ × ） （3）平面图形中，使静矩为零的轴必为对称轴。

（ × ） 2. 选择题（1）若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。

A. 静矩为零，惯性矩不为零B. 静矩和惯性矩均不为零C. 静矩和惯性矩均为零D. 静矩不为零，惯性矩为零（2）设图形具有三个以上（含三个）对称轴时，对某一形心轴的惯性矩I 1 ，对某一对正交形心轴的惯性积为I 2。

则当形心轴绕形心旋转时（ A ）。

A. I 1值不变，I 2恒等于零B. I 1 值不变，I 2不恒等于零C. I 1值变化，I 2恒等于零D. I 1值变化，I 2不恒等于零（3）任意图形的面积为A ，x C 轴通过形心C ，x 1轴和x C 轴平行，并相距a ，已知图形对x 1轴的惯性矩是I 1，则对x C 轴的惯性矩为（ A ）。

A. 21xC I I Aa =-B. 0xC I =C. 21xC I I Aa =+D. 1xC I I Aa =+C x 1（4）图示等底等高的矩形和平行四边形，对其形心轴y 的惯性矩I a 和I b 满足（ A ）。

A. I a = I bB. I a > I bC. I a < I bD. 不能确定（a ）（b ）（5）设矩形对其对称轴z 的惯性矩为I ，当其长宽比保持不变，面积增加1倍时，该矩形对其对称轴z 的惯性矩将变为（ A ）。

A. 4IB. 2IC. 8ID. 16I（6）图示任意形状图形，形心轴z 将图形分为两部分，则一定成立的是（ A ）。

A. S z 1 + S z 2 = 0B. I z 1 = I z 2C. A 1 = A 2D. S z 1 = S z 2（7）图形对通过某点的所有轴的惯性矩中，图形对主惯性轴的惯性矩一定（ A ）。

立体几何中的截面(解析版)在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形。

总共有三种截面方式，分别为横截、竖截、斜截。

我们需要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

正六面体的基本斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

圆柱体的基本截面也有其特殊性质。

我们可以运用线、面平行的判定定理与性质求截面问题，或者结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题。

此外，我们还可以灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等。

建立函数模型也是求最值问题的一种方法。

在一个透明的塑料制成的长方体内灌进一些水，固定底面一边于地面上，再将倾斜，有四个命题。

其中，水的部分始终呈棱柱状，棱AD始终与水面平行，当倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值。

水面的面积在转动过程中会改变，而BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH。

因此，正确的命题序号为①③④。

一个容积为1立方单位的正方体，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G。

若此可以任意放置，则该可装水的最大容积是多少？分析本题，不能用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形。

进一步地，截面也不能为正五边形。

这是因为正方体的每个面都是正方形，而五边形无法与正方形相切。

因此，无论如何调整平面的位置，都不能得到五边形的截面。

而且OE=OC是抛物线的直线准线，所以焦点F在OC上，且OF=OC=1.故选：D二、完形填空在数学课上，老师讲到一个有趣的问题：如何用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形。

这个问题引起了我的思考，我开始想象一个平面在正方体中穿过的情景。

我发现，如果截面是一个正五边形，那么这个五边形的五条边必须分属于正方体的五个不同的面。

但是，正方体的每两个相对的面是平行的，所以这五条边中必有两条边是平行的。

zc yc Sy A Sz A
Az A Ay A
i i i i
ci
ci

其中式中Ai、zci、yci—公别表示各个简单截成的面积及形心坐标。
二.惯性矩、极惯性矩、惯性积
1.惯性矩
平面图形对z轴的惯性矩
z
y A o dA z
I z y dA
2 A
图形对y轴的惯性矩
I y z 2 dA
A
y 惯性矩恒大于零
惯性矩的单位： m4
二.惯性矩、极惯性矩、惯性积
2.极惯性矩
z
y A o
图形对原点的极惯性矩

dA z
I P dA
2 A
极惯性矩的单位： m4
y
二.惯性矩、极惯性矩、惯性积
3.惯性积 图形对z、y轴的惯性积
z y A o
工程力学
第七章 截面的几何性质
主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节
静矩和形心 惯性矩、极惯性矩和惯性积 惯性矩的平行移轴公式 转轴定理、主惯性轴和主惯性矩
工程上常见的截面形状
工程中的各种构件或结构，其横截面都是具有一定几何 形状的平面图形，而其强度、刚度和稳定性都与这些平 面图形的几何性质有关。
bh3 12
矩形截面对其形心轴的惯性矩为：
bh3 Iz 12
hb3 Iy 12
三.平行移轴公式
z
z1
y1
zC
y dA z b
z1
平行移轴公式为：
a A C o
yC
I z I zc a 2 A 2 I y I yc b A
y1
y
平行移轴公式表明： ①截面对任意轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的形心轴的 惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。 ②截面对任意一对正交轴的惯性积，等于截面对与之平行的一 对正交形心轴的惯性积加上截面面积与两对轴之间距离的乘积。

截面几何性质一、判断题1.图形对任意轴的惯性矩恒大于零。

（）2.静矩和惯性矩与该图形的材料有关。

（）3.静矩和惯性矩都是对一定坐标而言的，对不同的坐标，这些几何量有不同的值。

（）4.在所有平行的坐标轴中，图形对过形心的坐标轴的惯性矩最小。

（）5.图1所示矩形截面，m—m线以上部分和以下部分对形心轴Z两个静矩的绝对值相等。

（）6.矩形对其一对称轴Z的惯性矩为Ι，则当其长宽比保持不变，而面积增加一倍时，该矩形对Z的惯性矩将变为4Ι。

（）7.图2所示圆截面，当其圆心沿Z轴向右移动时，惯性矩Ιy增大，Ιz不变。

（）图1 图28.矩形截面的底边平行于Z轴，该截面对Z轴的惯性矩。

（）图39.形截面，若直径增大1倍，则截面对形心轴的惯性矩将增大为原来的4倍。

（）10.惯性矩有正值、有负值也有零，而面矩只有正值。

（）11.横截面面积相同的情况下的两端为球铰的压杆，采用圆形截面比方形更合理。

（）二、选择题1.图4所示直径为d的实心圆，下列公式不正确的是（）。

A． Sx = Sy = 0B． Iy = Ix = πd4/32C． Ip = πd4/32D． Wp =πd3/16图 42.梁截面面积相同时，其截面的抗弯能力( )。

A．工字形>矩形>圆形 B．矩形>工字形>圆形C．圆形>矩形>工字形 D．工字形>圆形>矩形3.截面形状及坐标如图所示，设截面图形的面积为A，则对Y轴和Y1轴的惯性矩之关系为（）。

A．Iy1=Iy+（a2+b2）A B．Iy1=Iy+（a2-b2）AC．Iy1=Iy+（a+b）2A D．Iy1=Iy+（b2-a2）A三、填空题1.图5所示圆环型截面，外径为D，内径为d ，则截面对中性轴z的抗弯截面系数Wz=____________ 。

２.图6所示矩形截面尺寸如图所示，截面对z轴的惯性矩Iz =__________________ 。

图 5 图 6四、计算题1.求图7所示平面图形的形心。

§7.9立体几何中的截面、交线问题重点解读“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力．求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解．题型一截面作图例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面，写出作法．解如图所示，五边形DQMFN即为所求截面．作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H，连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，则五边形DQMFN即为所求截面．思维升华作截面的几种方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程．(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点．(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线．跟踪训练1如图，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，D 1，M 三点作正方体的截面，作出这个截面图，写出作法．解如图，连接CD 1，连接D 1M 并延长，交DA 的延长线于点N ，连接CN 交AB 于点P ，连接MP ，则四边形CD 1MP 为过C ，D 1，M 三点的正方体的截面．题型二截面图形的形状判断例2(多选)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段DD 1上的动点，若过A ，B 1，E 三点的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状可能为()A ．等边三角形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形答案ABD解析当点E 与D 1重合时，过A ，B 1，E 三点的截面是等边三角形AB 1D 1，故A 正确；当点E 与D 重合时，过A ，B 1，E 三点的截面为矩形AB 1C 1D ，故B 正确；若截面为菱形，则必有AB 1＝AE ，此时点E 与D 1重合，故C 错误；当点E 与DD 1中点重合时，记C 1D 1的中点为F ，连接EF ，FB 1，C 1D (图略)，易知EF ∥DC 1，由正方体性质可知，AD ∥B 1C 1且AD ＝B 1C 1，所以四边形AB 1C 1D 为平行四边形，所以DC 1∥AB 1，所以EF ∥AB 1且EF ＝12AB 1，设正方体棱长为2，则AE ＝B 1F ＝22＋12＝5，所以过A ，B 1，E 三点的截面为等腰梯形AB 1FE ，故D 正确．思维升华判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置．跟踪训练2已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是()A ．等腰三角形B ．等腰梯形C ．五边形D ．正六边形答案D解析如图①，由图可知，截面ABC 为等腰三角形，选项A 可能；截面ABEF 为等腰梯形，选项B 可能；如图②，截面AMDEN 为五边形，选项C 可能；因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六边形，故过两底的顶点不可能得到正六边形，选项D 不可能．题型三截面图形的周长或面积例3(2024·朔州模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为3，E 为棱BB 1上靠近B 1的三等分点，则平面AED 1截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的截面面积为()A ．211B ．411C ．222D ．422答案C解析延长AE ，A 1B 1交于点F ，连接D 1F 交B 1C 1于点G ，如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，∵平面AFD 1∩平面ADD 1A 1＝AD 1，平面AFD 1∩平面BCC 1B 1＝EG ，∴AD 1∥GE ，又∵AD 1＝32，GE ＝2，∴四边形AEGD 1是梯形，且为平面AED 1截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的截面．又∵D 1G ＝AE ＝13，在等腰梯形AEGD 1中，过G 作GH ⊥AD 1，∴GH ＝D 1G 2－D 1H 2＝11，∴S ＝12·(AD 1＋EG )·GH ＝12×(2＋32)×11＝222.思维升华几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得以解决．跟踪训练3(2023·新乡模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，过A ，D 1，E 三点的截面把正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1分成两部分，则该截面的周长为()A．32＋25B．22＋5＋3C．9D．22＋25＋22答案A解析如图，取BC的中点F，连接EF，AF，BC1，E，F分别为棱CC1，BC的中点，则EF∥BC1，又在正方体中BC1∥AD1，则有EF∥AD1，所以平面AFED1为所求截面，因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，所以EF＝2，D1E＝AF＝22＋12＝5，AD1＝22，所以四边形AFED1的周长为32＋25.课时精练一、单项选择题1．过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使截面与底面ABCD 所成二面角为45°，则此截面的形状为()A．三角形或五边形B．三角形或四边形C．正六边形D．三角形或六边形答案D解析过棱AB，BC的中点E，F作正方体ABCD－A1B1C1D1的截面，∵二面角D1－EF－D，二面角B1－EF－B都大于45°，∴当截面为EFHJIG时，如图所示，为六边形；当截面为EFM 时，如图所示，为三角形．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝2，AD ＝AA 1＝4，E ，F 分别为BB 1，A 1D 1的中点，过点A ，E ，F 作长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的一个截面，则该截面的周长为()A ．62B ．65C ．25＋42D ．45＋22答案D解析如图，连接AF ，过点E 作EP ∥AF 交B 1C 1于点P ，连接FP ，AE ，即可得到截面AFPE ，因为E 为BB 1的中点，EP ∥AF ，所以B 1P ＝12A 1F ＝1，因为AB ＝2，AD ＝AA 1＝4，则AF ＝42＋22＝25，所以EP ＝12AF ＝5，AE ＝22＋22＝22，FP ＝22＋12＝5，所以截面AFPE 的周长为25＋5＋22＋5＝45＋2 2.3．(2023·承德模拟)在三棱锥P －ABC 中，AB ＋2PC ＝9，E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，过E 作平行于AB ，PC 的平面，则该平面截三棱锥P －ABC 所得截面的周长为()A ．5B ．6C ．8D ．9答案B解析如图所示，在三棱锥P －ABC 中，过E 分别作EF ∥AB ，EH ∥PC ，再分别过点H ，F 作HG ∥AB ，FG ∥PC ，可得E ，F ，G ，H 四点共面，因为AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，所以AB ∥平面EFGH ，同理可证，PC ∥平面EFGH ，所以截面即为平行四边形EFGH ，又由E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，且AB ＋2PC ＝9，所以EF ＝13AB ，EH ＝23PC ，所以平行四边形EFGH 的周长为2(EF ＋EH )＝23(AB ＋2PC )＝6.4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，过M ，N 的平面所得截面为四边形，则该截面的最大面积为()A ．22B ．25C.3102D.92答案D解析如图所示，面积最大的截面四边形为等腰梯形MNCA ，其中MN ＝2，AC ＝22，AM ＝CN ＝5，高为h ＝5－12＝322，故面积为12×(2＋22)×322＝92.5.从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点)而得到的几何体如图所示，用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为()A ．4π－4B ．4πC ．4π－2D ．2π－2答案C解析截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，则截面圆的面积为4π，设正四棱锥的底面正方形边长为a ，则2a 2＝16，所以a ＝22，正四棱锥的底面正方形的面积为(22)2＝8，由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似，设圆面中挖去一个正方形的面积为S ′，正四棱锥的底面正方形的面积为S ，则S ′S ＝S ′8＝14，从而S ′＝2，所以截面图形的面积为4π－2.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AD ，C 1D 1的中点，过M ，N ，B 1三点的平面截正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1所得的截面形状为()A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形答案B解析如图，在AB 上取点Q ，且BQ ＝3AQ ，取CD 的中点P ，连接QM ，BP ，NP ，B 1Q .在DD 1上取点R ，且D 1R ＝3DR ，连接NR ，MR .因为AQ CP ＝AM BC ＝12∠QAM ＝∠PCB ，所以△QAM ∽△PCB ，所以∠AQM ＝∠BPC .又AB ∥CD ，所以∠ABP ＝∠BPC ，所以∠ABP ＝∠AQM ，所以QM ∥BP .因为N ，P 分别为C 1D 1，CD 的中点，所以PN ∥CC 1，且PN ＝CC 1.根据正方体的性质，可知BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1，所以PN ∥BB 1，且PN ＝BB 1，所以四边形BPNB 1是平行四边形，所以B 1N ∥BP ，所以B 1N ∥QM .同理可得NR ∥B 1Q .所以五边形QMRNB 1即为所求正方体的截面．二、多项选择题7．用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是()A ．锐角三角形B ．直角梯形C ．正五边形D ．正六边形答案BC解析对于A ，截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形．如图所示的截面为△ABC .设DA ＝a ，DB ＝b ，DC ＝c ，所以AC 2＝a 2＋c 2，AB 2＝a 2＋b 2，BC 2＝b 2＋c 2.所以由余弦定理得，cos ∠CAB ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2a 22a 2＋b 2a 2＋c2>0，所以∠CAB 为锐角．同理可求，∠ACB 为锐角，∠CBA 为锐角．所以△ABC 为锐角三角形，故A 不符合题意；对于B ，如图，截面图形如果是四边形，可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形，不可能是直角梯形，故B 符合题意；对于C ，如图，当截面为五边形时，不可能出现正五边形，故C 符合题意；对于D ，当截面过棱的中点时，如图，即截面为正六边形，故D 不符合题意．8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，H 是棱BC ，D 1C 1，AA 1上的动点(包含端点)，且满足CE ＝D 1F ＝AH ，则下列结论正确的是()A ．DB 1⊥平面EFHB ．存在E ，F ，H ，使得点D 到平面EFH 的距离为1C ．平面EFH 截此正方体所得截面面积的最大值为33D ．平面EFH 截此正方体所得截面的周长为定值答案ACD解析如图所示，建立空间直角坐标系，设CE ＝D 1F ＝AH ＝m ，m ∈[0,2]，则D (0,0,0)，E (m ,2,0)，F (0，m ,2)，H (2,0，m )，B 1(2,2,2)，DB 1—→·EF →＝(2,2,2)·(－m ，m －2,2)＝－2m ＋2m －4＋4＝0，故DB 1—→⊥EF →，即DB 1⊥EF ，同理可得DB 1⊥EH ，EF ∩EH ＝E ，EF ，EH ⊂平面EFH ，故DB 1⊥平面EFH ，故A 正确；平面EFH 的一个法向量为DB 1—→＝(2,2,2)，点D 到平面EFH 的距离为|DH →||cos 〈DH →，DB 1—→〉|＝|DH →·DB 1—→||DB 1—→|＝4＋2m 23＝1，解得m ＝3－2，不满足题意，故B 错误；设平面EFH 分别与A 1D 1，AB ，CC 1交于P ，Q ，R ，设P (p ,0,2)，则PF →·DB 1—→＝(－p ，m ,0)·(2,2,2)＝－2p ＋2m ＝0，p ＝m ，即P (m ,0,2)，同理可得，Q (2，m ,0)，R (0,2，m )，故|HR →|＝|PE →|＝|FQ →|＝22，PF ∥HR ∥QE ，如图，过点P 作PM ⊥HR 于M ，EN ⊥HR 于N ，则|PM →|＝62(2－m )，|EN →|＝62m ，截面面积为S ＝12(2m ＋22)×62(2－m )＋12×(22＋22－2m )×62m ＝－3(m －1)2＋33，当m ＝1时有最大值为33，故C 正确；截面的周长为2m ＋2(2－m )＋2m ＋2(2－m )＋2m ＋2(2－m )＝62，为定值，故D 正确．三、填空题9．(2024·曲靖模拟)“中国天眼”(如图1)是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠(球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R ，球冠的高度是h ，则球冠的面积S ＝2πRh )．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积(球冠面积)约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为________米参考数值：4π－1≈答案130解析由题意得(R －h )2＋2502＝R 2，则2Rh ＝h 2＋2502，则S ＝2πRh ＝πh 2＋2502π＝250000，所以h 2＝250000－2502ππ＝250所以h ＝2504π－1≈250×0.52＝130.10.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则过A ，M ，C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为________．答案32＋14解析由题意可知过A ，M ，C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC 1的周长，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各侧面均为矩形，所以AC 1＝AC 2＋CC 12＝14，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面部分展开图如图所示，则在矩形ACC 1A 1中，AM ＋MC 1≥AC 1＝AC 2＋CC 21＝32，所以过A ，M ，C 1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为32＋14.。

课时授课计划
第七章截面的几何性质
通过例子引入（让学生知道截面的重要性）
截面尺寸和形状完全相同的杆件，因为放置的方式不同，
其承载能力是大不相同的。

思考：抗弯能力与截面形状有何关系？
一、静矩与形心
平面图形对某轴的静矩等于其面积与形心
坐标（形心到该轴的距离）的乘积。

特性：
当坐标轴通过该平面图形的形心（简称形心轴）时，静矩等于零；反之，若平面图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过形心。

二、惯性矩
简单图形对其形心轴的的惯性矩
（见课本111页表7-1）
三、惯性矩的平行移轴公式
已知
对z 轴的惯性矩：
平行移轴定理，或称为平行移轴公式：截面对任意轴的惯性矩，等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。

四、例题分析
1、T 字形截面尺寸及形心位置如下图所示，求该截面对其形心轴的惯性矩。

2、讲解：例8－7
五、讨论
形心的计算。

⎩⎨⎧+=+=b z z a y y C
C
⎰=A c z dA y I C
2
⎰=A z dA
y I 2⎰⎰++=+=A
C C A C z dA a a y y dA a y I )2()(2
2
2。

简明材料力学第3版课后答案第七章1.灰铸铁的硬度测定方法是（） [单选题] *A.布氏硬度(正确答案)B.洛氏硬度C.维氏硬度2.下列物质属于晶体的是（） [单选题] *A.松香B.水晶(正确答案)C.石蜡3.冷塑性变形的金属晶粒重新结晶为均匀的等轴晶粒需进行的热处理是( ) [单选题] *A.去应力退火B.完全退火C.再结晶退火(正确答案)4.下列情况属于相变过程的是（） [单选题] *A.液态金属的结晶(正确答案)B.晶粒长大C.冷变形金属的再结晶5.在铁碳合金的基本组成相中，属于金属化合物是（） [单选题] *A.铁素体B.渗碳体(正确答案)C.奥氏体6.调质是（） [单选题] *A.淬火+低温回火B.淬火+中温回火C.淬火+高温回火(正确答案)7.下列关于合金元素在钢中的作用论述错误的是（） [单选题] *A.合金元素的加入使铁素体产生固溶强化B.合金元素的加入使奥氏体相区的大小发生改变C.除钴外，合金元素的加入使C曲线左移(正确答案)8.阻止石墨化的元素有（） [单选题] *A.硅B.磷C.硫(正确答案)9.属于软基体上分布硬质点的轴承合金有（） [单选题] *A.锡基巴氏合金(正确答案)B.铝基轴承合金C.珠光体灰铸铁10.碳以片状石墨形式存在的铸铁是（） [单选题] *A.灰铸铁(正确答案)B.白口铸铁C.球墨铸铁11. 截面上的全应力的方向( ) [单选题] *A、平行于截面(正确答案)B、垂直于截面C、可以与截面任意夹角D、与截面无关12. 脆性材料的延伸率( ) [单选题] *A、小于5%(正确答案)B、小于等于5%C、大于5%D、大于等于5%13.危险截面是（）所在的截面。

[单选题] *A、最大面积B、最小面积C、最大应力(正确答案)D、最大内力14. 描述构件上一截面变形前后的夹角叫（） [单选题] *A、线位移B、转角(正确答案)C、线应变D、角应变15. 塑性材料的名义屈服应力使用（） [单选题] *A、σS表示(正确答案)B、σb表示C、σp表示D、σ0.2表示16. 描述构件上一截面变形前后的夹角叫（） [单选题] *A、线位移B、转角(正确答案)C、线应变D、角应变17.塑性材料的名义屈服应力使用（） [单选题] *A、σS表示(正确答案)B、σb表示C、σp表示D、σ0.2表示18. 构件在外力作用下（）的能力称为稳定性。

15-1(1-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的丁轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是二，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴"的惯性矩1-曲-hh 1_ 仍所以再次应用平行轴定理，得返回15-2(1-9) 试求图示"=-1■■-的半圆形截面对于轴T的惯性矩，其中轴T与半圆形的底边平行，相距1 m。

解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是亠:- -，用平行轴定理得截面对形心轴"的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴芒的惯性矩返回15-3(1-10) 试求图示组合截面对于形心轴 丁的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。

它们的圆心构成一个边长为匸的等边三 角形。

该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形 心轴T 的距离是利用平行轴定理，得组合截面对 芒轴的惯性矩如下:15-4(1-11)试求图示各组合截面对其对称轴主的惯性矩。

71 - 1 ^- = 3.3m3上面一个圆的圆心到-轴的距离是 ■返回120x10250X10解：(a) 22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是■ I1 '二兀1利用平行轴定理得组合截面对轴T的惯性矩仆=3.4xl07 +2X12IJX10X1151= 6.58xl07mm4(b)等边角钢100x100x10的截面积是1926mm，其形心距外边缘的距离是28.4 mm,求得组合截面对轴的惯性矩如下：珥=10x6003 + 2x250x10x3052 +4x1926x(300-2S.4)2 =1.21xlO p mm 4返回15-5(1-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴-的惯性矩。

关于形心位置，可利用该题的结果。

20 20解：形心轴芒位置及几何尺寸如图所示。

惯性矩匚计算如下:1 ■ 珥=—x400x205 -^400x20x364^ +12 12x20x150x(123,6-75)a = 3.63x：07mm4x 20x150返回D15-6(1-14) 在直径匸〜H的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示，试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩=和’*。

注意平方问题
10
§A-3 惯性矩Iz=∫ A y2dA
=∫ A (a+yC)2dA
=∫ A
a2dA
+
2a∫ A
yCdA +∫ A
yC2dA
y
C
dA
a
zc
yc
∫ A
yCdA
对形心轴的面积矩=0
b
zc
z
y yc
∫ A yC2dA 对形心轴的惯性矩
故 Iz=∫ A a2dA + IzC
12m 0 m zC 0
5
若y为对称轴，则
§A-2 截面的惯性矩和惯性积
一、惯性矩的定义
Iy=∫
z2dA
A
Iz=∫ A y2dA
惯性矩恒为正
二、惯性积的定义
Iyz=∫
yzdA
A
惯性积可正、可负或为零
o
z
y z dA
y dA dA
z
Iyz= 0
zz
y
y
6
三、形心主轴和形心主惯性轴
主轴： 惯性积为零的一对坐标轴。 主惯性矩： 截面对主轴的惯性矩。
附录A 截面的几何性质
§A-1 截面的面积矩和形心位置
一、面积矩的定义
Sy=∫ zdA A
Sz=∫ ydA A
面积矩可为正、负或为零。
o
z
y z
dA
y
=
∫
ydA
A
A
= SA 二、截z面形心的位置
yc
zc
∫ =
zdA
A
A
=
Sy A
故 Sz = A yc
01. 单击添加标题
Sy = A zc

题目二
说明杆件在拉伸或压缩时，其 应力与应变的关系。
题目三
一矩形截面梁，长度为L，截面 积为A，弹性模量为E，泊松比 为v，求梁的临界截面转角。
题目四
一圆截面杆，直径为D，弹性模 量为E，泊松比为v，求杆的临 界截面转角。
答案
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
答案一
材料力学的研究对象是 固体，特别是金属和复 合材料等工程材料。其 基本假设包括连续性假 设、均匀性假设、各向 同性假设和小变形假设 。
解析四
圆截面杆的临界截面转角是指杆在受到扭矩作用 时发生弯曲变形的角度。通过弹性力学和材料力 学的知识，我们可以计算出这个角度的值。其中 ，D表示杆的直径，E表示杆的弹性模量，v表示 杆的泊松比。
03
习题三答案及解析
题目
• 题目：一矩形截面简支梁，其长度为L，截面高为h，宽度为b，且h/b=2，梁上作用的均布载荷q=100N/m，试求梁上最大 弯矩值Mmax。
解释了材料力学的基本假设，包括连续性假设、 均匀性假设、各向同性假设和线性弹性假设。这 些假设是材料力学中常用的基本概念，对于简化 复杂的实际问题、建立数学模型以及进行实验研 究具有重要的意义。
题目二解析
强调了材料力学在工程实践中的重要性，说明了 它为各种工程结构的设计、制造、使用和维护提 供了理论基础和实验依据，能够保证工程结构的 可靠性和安全性。这表明了材料力学在工程实践 中的实际应用价值。
题目四解析
解释了材料力学中的应力和应变概念，说明了应 力表示单位面积上的内力，应变表示材料在受力 过程中发生的变形程度。这些概念是材料力学中 的基本概念，对于理解和分析材料的力学行为具 有重要的意义。
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第一章测试1.下列结论中正确的是（）。

A:若物体产生位移，则必定同时产生变形；B:若物体各点均无位移，则该物体必定无变形；C:若物体产生变形，则必定物体内各点均有位移。

D:若物体无变形，则必定物体内各点均无位移；答案:B2.根据小变形条件，可以认为（）A:构件仅发生弹性变形；B:构件的变形远小于其原始尺寸；C:构件不会变形；D:都不对。

答案:B3.线应变和切应变是度量一点处变形程度的两个基本量，它们的量纲都为一。

（）A:对B:错答案:A4.内力的大小与截面位置无关。

（）A:错B:对答案:A5.轴线和横截面是构成杆的两个基本几何要素。

（）A:对B:错答案:A第二章测试1.材料的弹性模量与（）有关A:材料的种类；B:材料的截面面积；C:材料的长度；D:材料的截面形状。

答案:A2.一圆截面轴向拉杆，若其直径增加一倍，则抗拉强度和刚度均是原来的2倍。

（）A:对B:错答案:B3.泊松比μ、弹性模量E和切变模量G之间相互独立。

（）A:对B:错答案:B4.进行挤压计算时，圆柱面挤压面面积取为接触面的正投影面面积。

（）A:对B:错答案:A5.现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。

从承载能力与经济效益两个方面考虑，图示结构中两种合理选择方案是（）。

A:1和2 杆均为钢；B:1杆为铸铁，2 杆为钢；C:1和2 杆均为铸铁。

D:1 杆为钢，2 杆为铸铁；答案:D第三章测试1.单位长度扭转角与（）无关。

A:材料性质；B:杆的长度；C:截面几何性质。

D:扭矩；答案:B2.一受扭等截面圆轴，若将轴的长度增大一倍，其它条件不变，则轴两端的相对扭转角也将增大一倍。

（）A:错B:对答案:B3.建立圆轴扭转切应力公式时，“平面假设”给出了圆轴扭转的变形规律。

（）A:对B:错答案:A4.当截面上的切应力超过比例极限时，圆轴扭转变形公式仍适用。

（）A:错B:对答案:A5.等截面圆轴，左段为钢，右段为铝，两端承受扭转力矩后，左、右两段的最大剪应力和单位长度扭转角分别（）。

附录 I 截面图形的几何性质
附录Ⅰ 截面图形的几何性质
I-1 填空题： I-1(1) 当一个正方形的边长和一个圆形的直径相等时，两图形对 其形心轴的惯性矩之比应为 16 。
3π
I-1(2) 若已知图示平面图形对 A 轴的惯性矩为 27 bh3 ，则图 4
形对 C 轴的惯性矩为 3 bh3 ，对 D 轴的惯性矩为 9 bh3 。
y xC
−α
0
α
= 2 R3 sin α 。 3
x Oα C
R
A = R 2α 。
xC
=
2R3 sin α 3R 2α
=
2 R sinα 3α
。
题 I-4 图
I-5 如图的截面由一个直径为 D 的半圆和一个矩形组成。如果图形的形心位于半圆的水
平直径处，求矩形的高 a。
解：上半圆对形心轴的静矩：
S1
=
12
-1-
B
A
题 I-1(6) 图
工程力学习题解答
I-2 单选题：
I-2(1) 边长为 4a 的正方形，在如图位置挖去一个边长为 a
的小正方形，余下的阴影图形对坐标轴 x、y、x′、y′的静
矩分别为 S x , S y , S x′ , S y′ ，其中只有 C 是对的。
A． S x
=
a3 2
B． S y =
C． I x = I x′ + (a2 + a′2 ) A D． I x = I xC + (a + a′)2 A E． I x = I x′ + 2aa′A + a2 A F． I x = I x′ + 2aSx′ + a2 A
b′ C a′

第七章截面几何性质思考题与习题7-1．如图所示T形截面，C为形心，z为形心轴，问z轴上下两部分对z轴的静矩存在什么关系？答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正）。

7-2．如图所示矩形截面m-m以上部分对形心轴z的静矩和m-m以下部分对形心轴z 的静矩有何关系？答：同上。

7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、可负、还可为零？略。

教材中有关定义在有说明。

7-4．图a所示矩形截面，若将形心轴z附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图b，问此截面对z轴的惯性矩有何变化？为什么？答：惯性矩为变大。

因为点到轴的距离越远越惯性矩越大，b)图离轴远的点更多。

7-5．图示直径为D 的半圆，已知它对z 轴的惯性矩1284D I z π=，则对z 1轴的惯性矩如下计算是否正确？为什么？1285821284224211D D D D A a I I z πππ=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+= 答：不对。

平行移轴公式2C z z I I a A =+中，C z I 的轴必须是过形心且与z 平行的轴。

7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系？惯性半径i z 是否就是图形形心到该轴的距离？答：惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：z i =。

惯性半径不是图形形心到该轴的距离。

7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为z 1轴，试计算对z 1轴的静矩。

解：a)16320040402004016040 1.2481022z S ()mm =⨯⨯++⨯⨯=⨯ b)1634024020010024040200 3.712102z S ()()mm =⨯⨯⨯+⨯⨯+=⨯或163240240120160200100 3.71210z S mm =⨯⨯-⨯⨯=⨯ c)1634012080401604012040120402011521022z S ()().mm =⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯=⨯ 7-8．如图7—20所示截面图形，求 （1）形心C 的位置； （2）阴影部分对z 轴的静矩。

习题I −1 试求平面图形的形心位置。

解：由对称 m 3.0c =z m 357.02.04.04.02.02.06.07.02.04.04.04.02.01.02.06.0c =⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=y解：m 093.04.01.01.03.005.04.01.015.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=z m 193.04.01.01.03.03.04.01.005.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=yI −2 试求平面图形的形心坐标。

解：O(c)(a)z(b)l n n dzz zdzz z lnln2100c ++==⎰⎰()2c +=-=⎰⎰n ldzz ydyy l y nlnl n n解：由对称 r z =cπππ342322223222cr rr rydyy ry r==-=⎰I −3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。

（图中C 为截面形心）解：3c **mm 24000302040=⨯⨯==y A S zzO(d)(a)(b)解：3c **mm 422505.322065=⨯⨯==y A S zI −4 求以下截面对z 轴的惯性矩。

（z 轴通过截面形心） 解：()64646442414241d d d d I z -=-=πππ解：12121242414241a a a a I z -=-=I −5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。

解： 432bh y bdy h y I hz =⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎰I −6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。

其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。

(a)a(b)C解： 444m 3927.06422164211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππd I z由（I-2）知z 1、 z 0之间的距离π34cr y =所以由2c1Ay I I z z += 得 4222cm1098.0314213927.01=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-=-=ππAy I I z z于是 4222m30.33141211098.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+=+=ππAaI I z zI −7 在直径D =8a 的圆截面中，开了一个2a ×4a 的矩形孔，如图所示。

b b A Iy ≻ Iy， x ≺ Ix； . a Ia a b b B. Iy ≻ Iy， x ≻ Ix； Ia
a b b C. Iy ≺ Iy， x ≻ Ix； Ia y
b b D Iy ≺ Iy， x ≺ Ix。 . a Ia y
o
x
o
x
(a)
(b)
C
课堂练习
I.
图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（
y
2R
R
O
C. Iy ≻ Ix；
B
R
x
课堂练习
I.
图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则 （ ）不是一对主轴。
A O ； . xy
y1
y
B. O xy； 1 1
C. O x1y1 ； 2
D O x1y。 . 3
O1 O2
O
O3
x
x1
C
课堂练习
I.
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
xy
∫
A
∫
A
5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、 dA x x n n n n
y
y
2
∫ (− xy )dA = 0
A 2
dA
I P = ∑ I Pi
i =1
I x = ∑ I xi
i =1
I y = ∑ I yi
i =1
I xy = ∑ I xyi
D
课堂练习
I. 图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成 Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。
A I +I .

截⾯⼏何性质答案第七章截⾯⼏何性质基本要求与重点1.形⼼与重⼼（1）理解重⼼与形⼼，熟知常见规则图形形⼼的位置。

（2）记住以下常见规则⼏何图形的形⼼位置：圆及圆环、矩形、三⾓形。

（3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形⼼位置。

2.⾯积静矩（⼜称静矩或⾯矩）（1）了解⾯积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。

（2）能熟练计算组合图形的静矩。

（3）熟知⾯积静矩的重要性质。

3.惯性矩与极惯性矩。

（1）理解惯性矩与极惯性矩（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系（4）掌握平⾏轴定理及组合图形惯性矩的计算⽅法。

（5）记住圆及圆环对圆⼼的极惯性矩（6）记住矩形截⾯对其对称轴的惯性矩。

4.了解惯性积、形⼼主轴的概念主要内容1.形⼼与重⼼（1）概念与性质重⼼是物体的重⼒中⼼，形⼼是⼏何体的形状中⼼。

对均质物体，重⼼与形⼼位置重合。

若存在⼏何对称同，则形⼼必在对称轴上。

（2）计算形⼼位置的计算公式分积分式与代数式两种。

其中，常⽤的是代数形式的计算公式：11n n ic i ic ii i c c x A y A x y A A====∑∑， 2.⾯积静矩（⼜称静矩或⾯矩）（1）定义：分为代数式和积分式两种形式有限式：⼏何图形的⾯积乘以形⼼到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。

积分式：⼏何图形的元⾯积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元⾯积对该轴的静矩；所有点的元⾯积静矩之和，为⼏何图形的对该轴的静矩。

（2）⾯积静矩的重要性质：若图形对某轴的⾯积静矩为零，则该轴过这⼀图形的形⼼；反之亦然。

也就是说，静矩为零与轴过形⼼互为充要条件。

（3）计算根据实际情况可选⽤代数式或积分式进⾏计算，⼯程中主要是利⽤代数式进⾏计算。

11S S n nx ix i i c i i y A y A ====??=?∑∑11S S n ny iy i i c i i x A x A ====??=?∑∑3.惯性矩与极惯性矩。