2016-2017学年广西桂林市高一下学期期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年广西桂林中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．（5分）空间的点M（1，0，2）与点N（﹣1，2，0）的距离为（）A．B．3C．D．43．（5分）圆C1：x2+（y﹣1）2=1和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．内含4．（5分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．5．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．（5分）在△ABC中，∠C=90°，0°＜A＜45°，则下列各式中，正确的是（）A．sinA＞sinB B．tanA＞tanB C．cosA＜sinA D．cosB＜sinB7．（5分）过点（1，﹣1）的圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的最大弦长与最小弦长的和为（）A．17B．18C．19D．208．（5分）已知=，则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）以圆C1：x2+y2+4x+1=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1B．（x﹣）2+（y﹣）2=2C．（x+1）2+（y+1）2=1D．（x+）2+（y+）2=210．（5分）已知函数（x∈R），则下列结论正确的是（）A．函数f（x）是最小正周期为π的奇函数B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间上是增函数D．函数f（x）的图象关于点对称11．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）过直线y=2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）化简=．14．（5分）点P（x，y）是﹣60°角终边与单位圆的交点，则的值为．15．（5分）已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点恰有3个，则正实数a的值为．16．（5分）已知函数f（x）=2sinx，g（x）=2cosx，直线x=m与f（x），g（x）的图象分别交M，N两点，则|MN|的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）化简下列各式：（1）sin（3π+α）+tan（α﹣π）sin（+α）（2）．18．（12分）求圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）的圆的方程．19．（12分）已知α，β均为锐角，sinα=，cos（α+β）=，求（1）sinβ，（2）tan（2α+β）20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，]上的最大、最小值及相应的x的值．21．（12分）已知f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若y=f（x+φ）关于直线x=对称，求|φ|的最小值；（3）当x∈[0，]时，若方程|f（x）|﹣m=0有4个不同的实数解，求实数m 的取值范围．22．（12分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．（1）求曲线E的方程；（2）已知m≠0，设直线l：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y ﹣m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为﹣1时，求直线CD的方程．2016-2017学年广西桂林中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）如果cosθ＜0，且tanθ＜0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【解答】解：∵cosθ＜0，在二，三象限，且tanθ＜0，在二，四象限，综合可得：θ在第二象限的角．故选：B．2．（5分）空间的点M（1，0，2）与点N（﹣1，2，0）的距离为（）A．B．3C．D．4【解答】解：∵M（1，0，2）与点N（﹣1，2，0），∴|MN|==2．故选：C．3．（5分）圆C1：x2+（y﹣1）2=1和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．内含【解答】解：圆C1：x2+（y﹣1）2=1和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25的圆心坐标分别为（0，1）和（3，4），半径分别为r=1和R=5，∵圆心之间的距离d=，R+r=6，R﹣r=4，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选：A．4．（5分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选：A．5．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：因为：y=sin（2x+）=sin2（x+）．根据函数图象的平移规律可得：须把函数y=sin2（x+）相右平移个单位得到函数y=sin2x的图象．故选：D．6．（5分）在△ABC中，∠C=90°，0°＜A＜45°，则下列各式中，正确的是（）A．sinA＞sinB B．tanA＞tanB C．cosA＜sinA D．cosB＜sinB 【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，∴A=90°﹣B，∵0°＜A＜45°，∴0°＜A＜B＜90°∴sinB＞sinA，故A错误，tanB＞tanA，故B错误，∴sinB＞sin（90°﹣B），sinB＞cosB，故D正确，∴sin（90°﹣A）＞sinA，cosA＞sinA，故C错误，故选：D．7．（5分）过点（1，﹣1）的圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的最大弦长与最小弦长的和为（）A．17B．18C．19D．20【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的圆心C（1，2），半径r==5，设点A（1，﹣1），|AC|==3＜r，∴点A在圆内，∴最大弦长为2r=10，最小弦长为：2=2=8．∴过点（1，﹣1）的圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0的最大弦长与最小弦长的和为：10+8=18．故选：B．8．（5分）已知=，则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由=，可得：2cos2α=cos（）得：4cos22α=cos2（）∵cos2（）=2cos2（）﹣1，即1﹣sin2α=2cos2（）∴8cos22α=1﹣sin2α由cos22α+sin22α=1．∴8（1﹣sin22α）=1﹣sin2α解得：sin2α=．故选：B．9．（5分）以圆C1：x2+y2+4x+1=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1B．（x﹣）2+（y﹣）2=2C．（x+1）2+（y+1）2=1D．（x+）2+（y+）2=2【解答】解：∵圆C1：x2+y2+4x+1=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0，∴两圆相减可得公共弦方程为l：2x﹣2y=0，即x﹣y=0又∵圆C1：x2+y2+4x+1=0的圆心坐标为（﹣2，0），半径为；圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的圆心坐标为（﹣1，﹣1），半径为1，∴C1C2的方程为x+y+2=0∴联立可得公共弦为直径的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣1），∵（﹣2，0）到公共弦的距离为：，∴公共弦为直径的圆的半径为：1，∴公共弦为直径的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=1故选：C．10．（5分）已知函数（x∈R），则下列结论正确的是（）A．函数f（x）是最小正周期为π的奇函数B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间上是增函数D．函数f（x）的图象关于点对称【解答】解：函数=﹣cos2（x﹣）=﹣cos（2x﹣）．最小正周期T=，f（﹣x）=﹣cos（﹣2x﹣）=﹣cos（2x+）≠﹣f（x），不是奇函数，A不对．当x=时，即f（）=﹣cos（2×﹣）=﹣，不是最值，B不对．由f（x）在≤2x﹣是单调递减，可得：．∴函数f（x）在区间上是减函数，C不对．当x=﹣时，即f（﹣）=﹣cos（﹣2×﹣）=﹣cos=0．函数f（x）的图象关于点对称．D对．故选：D．11．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，表示右半个圆x2+y2=1上的点（x，y）与原点（0，﹣2）连线的斜率，设k=，故此圆的切线方程为y=kx﹣2，再根据圆心（0，0）到切线的距离等于半径，可得r==1，平方得k2=3求得k=±，故的取值范围是[，+∞），故选：D．12．（5分）过直线y=2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接PM、AM，可得当切线l1，l2关于直线l对称时，直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线，∵圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=，∴点M坐标为（3，2），半径r=，点M到直线l：2x﹣y=0的距离为PM==，由PA切圆M于A，得Rt△PAM中，sin∠APM==，得∠APM=30°，∴∠APB=2∠APM=60°．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）化简=．【解答】解：原式==．故答案为．14．（5分）点P（x，y）是﹣60°角终边与单位圆的交点，则的值为．【解答】解：角﹣60°的终边为点P（x，y），可得：tan（﹣60°）=．故答案为：．15．（5分）已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点恰有3个，则正实数a的值为．【解答】解：因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d=1，即d==1，解得a=±．（﹣舍去）．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=2sinx，g（x）=2cosx，直线x=m与f（x），g（x）的图象分别交M，N两点，则|MN|的最大值为4．【解答】解：直线x=m与和f（x）=2sinx，g（x）=2cosx，的图象分别交于M，N两点，设M（m，2sinm ），N（m，2cosm），则|MN|=|2sinm﹣2cosm|=4|sin（m﹣）|当且仅当m=，k∈z时，等号成立，则|MN|的最大值4，故答案为：4．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）化简下列各式：（1）sin（3π+α）+tan（α﹣π）sin（+α）（2）．【解答】解：（1）sin（3π+α）+tan（α﹣π）sin（+α）原式=﹣sinα+tanα•cosα=﹣sinα+=0；（2）．原式==tan（45°﹣15°）=tan30°=．18．（12分）求圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）的圆的方程．【解答】解：设圆心Q为（a，﹣2a），根据题意得：圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=|PQ|，即=，解得：a=1，∴圆心Q（1，﹣2），半径r=，则所求圆方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．19．（12分）已知α，β均为锐角，sinα=，cos（α+β）=，求（1）sinβ，（2）tan（2α+β）【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵α均为锐角，sinα=，得cosα=，又∵α+β∈（0，π），cos（α+β）=，可得：sin（α+β）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣= (6)分（2）∵tanα=，tan（α+β）=，…9分∴tan（2α+β）===…12分20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，]上的最大、最小值及相应的x的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由图象可知，A=2，…（1分）周期T=[﹣（﹣）]=π，∴=π，ω＞0，则ω=2，…（3分）从而f（x）=2sin（2x+φ），代入点（，2），得sin（+φ）=1，则+φ=+2kπ，k∈Z，即φ=﹣+2kπ，k∈Z，…（5分）又|φ|＜，则φ=﹣，…（6分）∴f（x）=2sin（2x﹣）．…（7分）（2）∵x∈[0，]，则2x﹣∈[﹣，]，…（8分）∴当2x﹣=，即x=时，f（x）max=2，…（10分）当2x﹣=﹣，即x=0时，f（x）min=﹣．…（12分）21．（12分）已知f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若y=f（x+φ）关于直线x=对称，求|φ|的最小值；（3）当x∈[0，]时，若方程|f（x）|﹣m=0有4个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1===．由，k∈Z，得，k∈Z．∴函数f（x）在R上的单调递减区间是[]，k∈Z；（2）f（x+φ）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+），∵x=是f（x+φ）的对称轴，∴2φ+=kπ，k∈Z，即φ=，k∈Z．∴|φ|的最小值为；（3）|f（x）|在[0，]上的图象如下：当直线y=m与函数y=|f（x）|的图象有4个不同交点时，就是方程|f（x）|﹣m=0有4个不同的实数根，由图可知，m的取值范围是∅．22．（12分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．（1）求曲线E的方程；（2）已知m≠0，设直线l：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y ﹣m=0交曲线E于B，D两点，若CD的斜率为﹣1时，求直线CD的方程．【解答】（1）解：设曲线E上任意一点坐标为（x，y），由题意，，…（2分）整理得x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3，∴曲线E的方程为（x﹣2）2+y2=3．…（4分）（2）解：由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N（1，0），…（6分）设曲线E的圆心为E，则E（2，0），线段CD的中点为P，则直线EP：y=x﹣2，设直线CD：y=﹣x+t，由，解得点，…（8分）由圆的几何性质，，…（9分）而，|ED|2=3，，解之得t=0，或t=3，…（10分）∴直线CD的方程为y=﹣x，或y=﹣x+3．…（12分）。

2015-2016学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．sin300°的值是（）A．﹣B．﹣C．D．2．设=（1，2），=（6，k），若⊥，则实数k的值等于（）A．3 B．12 C．﹣3 D．﹣123．若α是第二象限角，且sinα=，则cosα=（）A．B．﹣C．﹣D．4．过直角坐标平面内三点O（0，0），A（2，0），B（0，2）的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y+1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 5．如图所示的程序框图，其运行结果为（）A．2 B．3 C．4 D．56．函数y=sin（x+）的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（，0）对称C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称7．已知向量，是两个不共线向量，若（2﹣）∥（+k），则实数k的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．28．某种饮料每箱装4听，如果其中有一听不合格，从一箱中随机抽取两听，则抽到不合格品的概率为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x+y=（）A．B．C．﹣D．﹣10．要得到函数y=﹣cos（﹣）的图象，只需将y=sinx的图象（）A．向右平移个单位，再将所得图象上每点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位，再将所得图象上每点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍C．每点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位D．每点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位11．已知点A（2，0），B（0，﹣1），点P是圆x2+（y﹣1）2=1上的任意一点，则△PAB面积的最大值为（）A．2 B．C．D．12．若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，则sin（α﹣β）=（）A．B．﹣C．﹣D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．从0～1之间随机取数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为．14．已知单位向量，的夹角为60°，则|+|=．15．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为．16．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间（﹣，）上单调递增，则ωmax=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在直角坐标平面内，已知点A（﹣1，3），B（2，5），=（1，2）．（1）求；（2）求（2+）•．（1）根据如表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程=bx+a；（2）若投入资金10万元，试估计获得的利润有多少万元？参考公式：b=，a=﹣b．19．已知向量=（1，cosα），=（﹣2，sinα），且∥．（1）求tanα的值；（2）求cos（+2α）的值．20．对某校高一学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的频率．21．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）部分图象如图所示：（1）写出函数f（x）的解析式；（2）若存在x∈[0，]使得f（x）+4cos2x+m=0，求实数m的取值范围．22．已知圆M的圆心在x轴上，圆M与直线y+2=0相切，且被直线x﹣y+2=0截得的弦长为2．（1）求圆M的方程；（2）已知F（，0），圆M在第一象限上的点P在x轴上的射影为Q，E为PQ中点，过E引圆x2+y2=1的切线，并延长交圆M于点N，证明：|EF|+|EN|为定值．2015-2016学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．sin300°的值是（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】运用诱导公式即可化简求值．【解答】解：sin300°=sin=﹣sin120°=﹣sin60°=﹣．故选：B．2．设=（1，2），=（6，k），若⊥，则实数k的值等于（）A．3 B．12 C．﹣3 D．﹣12【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的数量积和向量的垂直的充要条件即可求出．【解答】解：设=（1，2），=（6，k），⊥，∴•=1×6+2k=0，解得k=﹣3，故选：C．3．若α是第二象限角，且sinα=，则cosα=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据题意，由sinα=结合同角三角函数基本关系可得cos2α=1﹣sin2α=，即cosα=±，又由α是第二象限角，分析可得cosα＜0，即可得答案．【解答】解：根据题意，sinα=，则cos2α=1﹣sin2α=，即cosα=±，又由α是第二象限角，则cosα＜0，故cosα=﹣，故选：C．4．过直角坐标平面内三点O（0，0），A（2，0），B（0，2）的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y+1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 【考点】圆的标准方程．【分析】过直角坐标平面内三点O（0，0），A（2，0），B（0，2）的圆是以AB为直径的圆，求出圆心与半径，即可求出圆的方程．【解答】解：过直角坐标平面内三点O（0，0），A（2，0），B（0，2）的圆是以AB为直径的圆，圆心为（1，1），半径为，圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故选：D．5．如图所示的程序框图，其运行结果为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=4时不满足条件x≤3，退出循环，输出y的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得x=1，y=1满足条件x≤3，执行循环体，x=2，y=2满足条件x≤3，执行循环体，x=4，y=3不满足条件x≤3，退出循环，输出y的值为3．故选：B．6．函数y=sin（x+）的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（，0）对称C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数是非奇非偶函数，故排除A、C；再根据当x=时，函数y取得最大值为1，从而得出结论．【解答】解：对于函数y=sin（x+），由于它是非奇非偶函数，故它的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除A、C；再根据当x=时，函数y取得最大值为1，故函数y的图象关于直线x=对称，故排除B，故选：D．7．已知向量，是两个不共线向量，若（2﹣）∥（+k），则实数k的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理、向量共面的基本定理即可得出．【解答】解：∵（2﹣）∥（+k），则存在实数λ，使得2﹣=λ（+k），∵向量，是两个不共线向量，∴，解得k=．故选：A．8．某种饮料每箱装4听，如果其中有一听不合格，从一箱中随机抽取两听，则抽到不合格品的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4听饮料中抽2听，共有C42种结果，满足条件的事件是检测出不合格饮料，共有C31种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：从一箱中随机抽取两听，共种方法，如果其中有一听不合格，共种方法，故抽到不合格品的概率P==，故选：D．9．在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x+y=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据平面向量的线性表示与运算法则，求出x、y的值即可．【解答】解：△ABC中，点M，N满足=2，=，所以=+=+=+（﹣）=﹣，又=x+y，所以x=，y=﹣，所以x+y=．故选：A．10．要得到函数y=﹣cos（﹣）的图象，只需将y=sinx的图象（）A．向右平移个单位，再将所得图象上每点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位，再将所得图象上每点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍C．每点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位D．每点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵﹣cos（﹣）=sin（x﹣），∴将y=sinx的图象向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）的图象，再将所得图象上每点纵坐标不变，横坐标变为原来2倍可得y=sin（x﹣）=sin（x﹣﹣）=﹣cos（﹣）的图象，故选：A．11．已知点A（2，0），B（0，﹣1），点P是圆x2+（y﹣1）2=1上的任意一点，则△PAB面积的最大值为（）A．2 B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先利用点到直线的距离公式求得圆心（0，1）到直线AB的距离为d，可得P到直线AB的距离最大值（d+1），从而求得△PAB面积的最大值为•AB•（d+1）的值．【解答】解：要使△PAB的面积最大，主要点P到直线AB的距离最大．由于AB的方程为+=0，即x﹣2y=0，圆心（0，1）到直线AB的距离为d==，故P到直线AB的距离最大值为+1，再根据AB=，可得△PAB面积的最大值为•AB•（d+1）=••（+1）=1+，故选：C．12．若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，则sin（α﹣β）=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】将两等式两边平方相加或相减，结合同角的平方关系和二倍角的余弦公式、两角和差正弦公式，以及和差化积公式，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：sinα+cosβ=，①cosα+sinβ=，②①2+②2，可得（sin2α+cos2α）+（sin2β+cos2β）+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=，即为2+2sin（α+β）=，即有sin（α+β）=，①2﹣②2，可得（sin2α﹣cos2α）+（cos2β﹣sin2β）+2（sinαcosβ﹣cosαsinβ）=﹣，即为﹣cos2α+cos2β+2sin（α﹣β）=﹣，即有2sin（α﹣β）+2sin（α﹣β）sin（α+β）=﹣，即为2sin（α﹣β）（1+）=﹣，解得sin（α﹣β）=﹣．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．从0～1之间随机取数a，则事件“3a﹣1＜0”发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】求出不等式的等价条件，利用几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由3a﹣1＜0得0＜a＜，则对应的概率P==，故答案为：．14．已知单位向量，的夹角为60°，则|+|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接根据向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：∵单位向量，的夹角为60°，∴|+|2=2+2+2•=1+1+2×=1+1+1=3，即|+|=，故答案为：．15．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现采用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为3．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．【解答】解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为，故答案为：3；16．若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间（﹣，）上单调递增，则ωmax=．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，求得ω的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间（﹣，）上单调递增，∴，求得ω≤，故ωmax=，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在直角坐标平面内，已知点A（﹣1，3），B（2，5），=（1，2）．（1）求；（2）求（2+）•．【考点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用=，=即可得出．（2）分别计算2+，．再利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：（1）=（2，5）﹣（﹣1，3）=（3，2）．∴==﹣（1，2）+（3，2）=（2，0）．（2）2+=2（1，2）+（2，0）=（4，4）．=（﹣3，﹣2）．∴（2+）•=﹣12﹣8=﹣20．（1）根据如表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程=bx+a；（2）若投入资金10万元，试估计获得的利润有多少万元？参考公式：b=，a=﹣b．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据上表提供的数据，求出样本中心坐标，以及b，代入回归直线方程求出a，即可求线性回归方程；（2）现投入资金10万元，利用回归直线方程，直接求获得利润的估计值．【解答】解：（1）∵=3，=5，∴b==1.7，∴a=5﹣1.7×3=﹣0.1，∴y=1.7x﹣0.1；（2）x=10时，y=1.7×10﹣0.1=16.9万元．19．已知向量=（1，cosα），=（﹣2，sinα），且∥．（1）求tanα的值；（2）求cos（+2α）的值．【考点】平行向量与共线向量．【分析】（1）根据向量平行列出方程得出sinα，cosα的关系，得出tanα即可；（2）根据三角恒等变换求解即可．【解答】解：（1）∵∥，∴sinα﹣（﹣2）cosα=0，∴tanα=﹣2；（2）cos（+2α）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα===．20．对某校高一学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的频率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布表与频率分布直方图，求出对应的数值，补充完整图形即可；（3）根据频率分布直方图计算对应的频数，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）由题意知，小组[10，15）内的频数是10，频率是0.25，所以=0.25，解得M=0.25；又频数和为10+24+m+4=M，解得m=2，所以p===0.05；又频率和为1，所以0.25+n+0.10+0.05=1，解得n=0.6；由[15，20）组的频率为0.6，[25，30）组的频率为0.05，所以补充频率分布直方图如下：（2）在样本中，在[25，30）内的人数为2，记为A，B，在[20，25）内的人数为4，记为c、d、e、f；从这6名同学中取出2人的取法有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种，且出现的机会均等；至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf共9种，所以至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为P==．21．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）部分图象如图所示：（1）写出函数f（x）的解析式；（2）若存在x∈[0，]使得f（x）+4cos2x+m=0，求实数m的取值范围．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得﹣m的范围，可得m的范围．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）部分图象，可得A=2，•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．（2）由题意可得，f（x）+4cos2x+m=0在[0，]上有解，即﹣m=f（x）+4cos2x=2sin2xcos+2cos2xsin+4cos2x=sin2x+cos2x+2cos2x+2=sin2x+3cos2x+2=2（sin2x•+cos2x）+2=2sin（2x+）+2 在[0，]上有解．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴2sin（2x+）+2∈[﹣1，2+2]，∴﹣m=f（x）+4cos2x∈[﹣1，2+2]，故m∈[﹣2﹣2，1]．22．已知圆M的圆心在x轴上，圆M与直线y+2=0相切，且被直线x﹣y+2=0截得的弦长为2．（1）求圆M的方程；（2）已知F（，0），圆M在第一象限上的点P在x轴上的射影为Q，E为PQ中点，过E引圆x2+y2=1的切线，并延长交圆M于点N，证明：|EF|+|EN|为定值．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）设圆的圆心为M（a，0），由题意圆的半径为r=2，利用被直线x﹣y+2=0截得的弦长为2，建立方程，求出a，即可求圆M的方程；（2）分别求出|RN|，|EF|，|ER|，即可证明结论．【解答】（1）解：设圆的圆心为M（a，0），由题意圆的半径为r=2，∵被直线x﹣y+2=0截得的弦长为2，∴，解得a=﹣4或0，∴圆M的方程为（x+4）2+y2=4或x2+y2=4；（2）证明：由题意，满足要求的圆M的方程为x2+y2=4．设P（x，y），则E（x，），记直线EN与圆M相切于点R，则|RN|==，|EF|==，|ER|===x，∴|EF|+|EN|=|EF|+ER|+|RN|=+x+=2+．2016年8月20日。

桂林市2017-2018学年度下学期期末质量检测高一年级数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）AC2）A．2 C．43．已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为（）A．11 B．22 C．33 D．444．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（）A．1 B．2 C．3 D．451坐标为（）A 1⎛⎫6 ）AC7 ）A84 ）A ．8B ．5C ．3D ．29120 ）A．2 C．410）A11其中正确的判断是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12取值范围是（）A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1314．生物兴趣小组的同学到课外调查某种植物的生长情况，共测量了30株该植物的高度（单位：厘米），并画出样本频率分布直方图如图，则高度不低于25厘米的有株．e的方程是2x15．已知O的轨迹方程是．1612，则三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（1（218．在桂林市某中学高中数学联赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图.分数在85分或85分以上的记为优秀.（1）根据茎叶图读取出乙学生6次成绩的众数，并求出乙学生的平均成绩以及成绩的中位数；（2）若在甲学生的6次模拟测试成绩中去掉成绩最低的一次，在剩下5次中随机选择2次成绩作为研究对象，求在选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的概率.19． 已知角,αβ的顶点在（1（2.20．（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，并估.21． 已知函数()24sin 4f x π⎛=⎝（1（2（32，求.22． 半径为2右上方.（1（2），不存在，请说明理由.桂林市2017—2018学年度下学期期末质量检测高一年级数学参考答案一、选择题1-5:CACBA 6-10:DACBB 11、12：CD二、填空题13．15 15三、解答题17．解：（1（218．解：（1）由茎叶图可以得出：乙六次成绩中的众数为94.（2）将甲六次中最低分64去掉，得五次成绩分别为78,79,83,88,95.从五次成绩中随机选择两次有以下10其中满足选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的有7种.19．解：（1（220．解：（1）根据表中数据，绘制散点图如图所示（2）依题意，计算21．解：（1（2（3)...22．解：（1（2所以。

桂林市2017-2018学年度下学期期末质量检测高一年级数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 与角终边相同的角是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据表示终边相同角，即可判断。

详解：因为周期为，所以与终边相同的角是所以选C点睛：本题考查了终边相同角的表示方法，考查基本的概念，属于基础题。

2. 圆的半径是（）A. B. 2 C. D. 4【答案】A【解析】分析：一般方程转化为标准方程，即可得到半径值。

详解：把一般方程转化为圆的标准方程由标准方程，可知半径为所以选A点睛：本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，根据标准方程求圆心或半径，属于基础题。

3. 已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为（）A. 11B. 22C. 33D. 44【答案】C【解析】分析：计算出阴影部分黄豆占总数的比值；由几何概型概率求法即可求得阴影部分面积。

详解：落在阴影部分的黄豆占总数的比例为矩形面积为所以阴影部分面积为所以选C点睛：本题考查了利用几何概型求阴影面积的方法，属于基础题。

4. 在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：根据扇形面积公式，，可得，选B．考点：扇形的面积．【思路点晴】本题主要考查的是弧度制下扇形的面积公式的应用，属于容易题，本题利用弧度制下扇形的面积公式确定已知中包含的条件有：，将两者代入面积公式即可解出.在本题中要熟悉两个点：第一，单位圆中的半径为；第二，弧度制下的扇形的面积公式：，做题过程中注意应用那个公式．5. 在如图所示空间直角坐标系内，正方体的棱长为1，则棱中点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据空间直角坐标系，求得B、B1的坐标，根据中点坐标公式即可求得中点坐标。

2016-2017学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若α＝﹣60°，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5分）圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心坐标是（）A．（2，0）B．（0，2）C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）3．（5分）已知正方形ABCD的对角线相交于点O，若随机向此正方形内投放一颗豆子，则它落在△AOB内的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα的值为（）A．﹣B．C．D．5．（5分）如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶图统计表，则该运动员得分的中位数是（）A．2B．24C．23D．266．（5分）要得到函数y＝sin2（x），x∈R的图象，只需把函数f（x）＝sin2x，x∈R的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．（5分）在平行四边形ABCD中，＝（）A．0B．C．2D．28．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．C．D．9．（5分）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（）A．y＝sin x B．y＝|sin x|C．y＝tan x D．y＝cos（x﹣）10．（5分）已知向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，2），则下列结论正确的是（）A．∥B．⊥C．⊥（）D．⊥（）11．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝8上存在一点P到直线y＝﹣x的最短距离为，则实数a的值为（）A．﹣3B．3C．D．﹣3或3 12．（5分）在锐角△ABC中已知B＝，|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣1，6）B．（0，4）C．（0，6）D．（0，12）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）tan的值为．14．（5分）如图所示，已知长方体中OA＝AB＝2，AA1＝3，则点C1的坐标为．15．（5分）过点P（4，2）作圆x2+y2+2x﹣2y+1＝0的一条切线，切点为Q，则|PQ|＝．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是三、解答题（共6小题，满分70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤）17．（10分）已知cosα＝﹣，α∈（，π），求tanα和sin2α的值．18．（12分）为了了解网购是否与性别有关，对50名青年人进行问卷调查得到了如下的统计表：（1）用分层抽样的方法在喜爱网购的人中抽6人，其中抽到多少名女性？（2）在上述抽到的6人中选2人，求恰好有一名男性的概率．19．（12分）已知向量，满足：||＝||＝1，且＝﹣（1）求与的夹角θ（2）求||．20．（12分）已知某企业近3年的前7好个月的月利润（单位：百万元）如下的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高？（2）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式预测第3年8月份的利润相关公式：＝＝，＝．21．（12分）已知向量＝（1，2sin x），＝（1，cos x﹣sin x），f（x）＝（1）求函数f（x）最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当x∈[0，]时，若方程|f（x）|＝m有两个不等的实数根，求m的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的圆心在x正半轴上，半径为2，且与直线x﹣y+2＝0相切（1）求圆C的方程（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny＝1与圆O：x2+y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB面积；若不存在，请说明理由．2016-2017学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若α＝﹣60°，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵α＝﹣60°＝﹣1×360°+300°，∴α是第四象限角．故选：D．2．（5分）圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心坐标是（）A．（2，0）B．（0，2）C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）【解答】解：圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心坐标是（2，0），故选：A．3．（5分）已知正方形ABCD的对角线相交于点O，若随机向此正方形内投放一颗豆子，则它落在△AOB内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：已知正方形ABCD的对角线相交于点O，若随机向此正方形内投放一颗豆子，则它落在△AOB内的概率为＝；故选：A．4．（5分）若角α的终边经过点P（4，﹣3），则sinα的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴x＝4，y＝﹣3，r＝|OP|＝5，∴sinα＝＝﹣，故选：C．5．（5分）如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶图统计表，则该运动员得分的中位数是（）A．2B．24C．23D．26【解答】解：由茎叶图知，运动员在某个赛季得分为：12，15，22，23，25，26，31，∴该运动员得分的中位数为：23．故选：C．6．（5分）要得到函数y＝sin2（x），x∈R的图象，只需把函数f（x）＝sin2x，x∈R的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数y＝sin2（x﹣）的图象．故选：A．7．（5分）在平行四边形ABCD中，＝（）A．0B．C．2D．2【解答】解：＝+＝，故选：B．8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝0，k＝0满足条件k＜6，执行循环体，k＝2，s＝满足条件k＜6，执行循环体，k＝4，s＝满足条件k＜6，执行循环体，k＝6，s＝+＝不满足条件k＜6，退出循环，输出s的值为．故选：C．9．（5分）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（）A．y＝sin x B．y＝|sin x|C．y＝tan x D．y＝cos（x﹣）【解答】解：A．sin（﹣x）＝﹣sin x；∴y＝sin x是奇函数；B．|sin（﹣x）|＝|﹣sin x|＝|sin x|；∴y＝|sin x|是偶函数；C．tan（﹣x）＝﹣tan x；∴y＝tan x是奇函数；D.；∴该函数是奇函数．故选：B．10．（5分）已知向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，2），则下列结论正确的是（）A．∥B．⊥C．⊥（）D．⊥（）【解答】解：向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，2），∴+＝（﹣1，﹣1），﹣＝（3，﹣5），∴•（）＝2﹣2＝0，∴⊥（），∵1×2﹣3×2＝﹣4≠0，∴A不正确∵•＝﹣2﹣6＝﹣8≠0，故B不正确，∵•（）＝3+15≠0．故C不正确，故选：D．11．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝8上存在一点P到直线y＝﹣x的最短距离为，则实数a的值为（）A．﹣3B．3C．D．﹣3或3【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝8的圆心为C（a，a），半径r＝2，∴圆心C到直线y＝﹣x的距离为d＝＝|a|．∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2＝8上存在一点P到直线y＝﹣x的最短距离为，∴d﹣r＝|a|﹣2＝，∴a＝±3．故选：D．12．（5分）在锐角△ABC中已知B＝，|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣1，6）B．（0，4）C．（0，6）D．（0，12）【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，∵∠B＝，|﹣|＝||＝2，∴C（1，），设A（x，0）∵△ABC是锐角三角形，∴A+C＝120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），∴1＜x＜4，则＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，∴的范围为（0，12）．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）tan的值为﹣1．【解答】解：tan＝tan（π﹣）＝﹣tan＝﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）如图所示，已知长方体中OA＝AB＝2，AA1＝3，则点C1的坐标为（0，2，3）．【解答】解：∵长方体中OA＝AB＝2，AA1＝3，∴由空间直角坐标系的性质得：点C1的坐标为：（0，2，3）．故答案为：（0，2，3）．15．（5分）过点P（4，2）作圆x2+y2+2x﹣2y+1＝0的一条切线，切点为Q，则|PQ|＝5．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+1＝0的圆心C（﹣1，1），半径r＝＝1，∵P（4，2），∴|PC|＝＝，|QC|＝r＝1，∴|PQ|＝＝＝5．故答案为：5．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是（，3）【解答】解：要求函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，所以﹣＜T，即＜，解得0＜ω＜8．且存在k∈Z，使得﹣+2kπ＜ω•+＜+2kπ＜ω•+＜+2kπ．因为0＜ω＜8，所以．所以﹣＜k＜，所以k＝0，所以﹣＜ω•+＜＜ω•+＜，由﹣＜ω•+＜解得﹣9＜ω＜3．由＜ω•+＜，解得＜ω＜，所以＜ω＜．故答案为（，3）．三、解答题（共6小题，满分70分解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤）17．（10分）已知cosα＝﹣，α∈（，π），求tanα和sin2α的值．【解答】解：∵cosα＝﹣，α∈（，π），∴sinα＝＝，∴tanα＝＝﹣，sin2α＝2sinαcosα＝2••（﹣）＝﹣．18．（12分）为了了解网购是否与性别有关，对50名青年人进行问卷调查得到了如下的统计表：（1）用分层抽样的方法在喜爱网购的人中抽6人，其中抽到多少名女性？（2）在上述抽到的6人中选2人，求恰好有一名男性的概率．【解答】解：（1）∵从喜欢网购的共30人中抽6人，抽取比例为，而女性共有20人，∴女性抽到20×＝4人．（2）记6人中，女性为A1，A2，A3，A4，男性为B1，B2，所有的可能为（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共有15种不同的抽法，而恰好有一名男性有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1）（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），共8种不同的方法，∴恰有一名男性的概率为p ＝．19．（12分）已知向量，满足：||＝||＝1，且＝﹣（1）求与的夹角θ（2）求||．【解答】解：（1）||＝||＝1，且＝﹣，可得cosθ＝＝＝﹣，由0≤θ≤π，可得θ＝；（2）||＝＝＝＝．20．（12分）已知某企业近3年的前7好个月的月利润（单位：百万元）如下的折线图所示：（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高？（2）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式预测第3年8月份的利润相关公式：＝＝，＝．【解答】解：（1）设近3年的前7个月中的每月的月平均利润为，其中i＝1，2， (7)由折线图可知月平均利润5、6、7月的较高，计算得＝6，＝6，＝，所以5月和6月的平均利润最高；（2）由题意，计算＝×（1+2+3+4）＝2.5，＝×（4+4+6+6）＝5，＝＝＝0.8，＝＝5﹣0.8×2.5＝3，写出回归方程是＝0.8x+3，当x＝8时，＝0.8×8+3＝9.4（百万元），即预测第3年8月份的利润为940万元．21．（12分）已知向量＝（1，2sin x），＝（1，cos x﹣sin x），f（x）＝（1）求函数f（x）最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当x∈[0，]时，若方程|f（x）|＝m有两个不等的实数根，求m的取值范围．【解答】解：（1）由已知得f（x）＝•＝1+2sin x（cos x﹣sin x）＝sin（2x+），故f（x）的最小正周期T＝＝π；（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈z，交点：﹣+kπ≤x≤+kπ，故f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，（k∈z）；（3）画出函数y＝|f（x）|在[0，]上的简图如下所示：，当m∈（0，1）∪（1，）时，直线y＝m和y＝|f（x）|的图象在[0，]上有2个不同的交点，故方程|f（x）|＝m有2个不同的实数根，故m的范围是（0，1）∪（1，）．22．（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C的圆心在x正半轴上，半径为2，且与直线x﹣y+2＝0相切（1）求圆C的方程（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny＝1与圆O：x2+y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵圆C的圆心在x正半轴上，半径为2，且与直线x﹣y+2＝0相切，∴设圆心坐标为（a，0），则2＝，由a＞0，解得a＝2，∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝4．（2）假设存在点M（m，n）在圆C上满足题设，则有（m﹣2）2+n2＝4．n2＝4﹣（m﹣2）2＝4m﹣m2，且0≤m≤4，又∵原点到直线l：mx+ny＝1的距离d＝＝＜1，解得，∵|AB|＝2，∴S△OAB＝＝＝＝，∵，∴当时，S△OAB有最大值，最大面积为，此时n＝．∴存在点M（，），使得直线l：mx+ny＝1与圆O：x2+y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积取最大值．。

桂林市2017-2018学年度下学期期末质量检测高一年级数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与角23π终边相同的角是（ ）A ．113πB ．()223k k Z ππ-∈ C ．()223k k Z ππ+∈ D ．()()2213k k Z ππ++∈2．圆220x y ++=的半径是（ ）A B ．2 C ． D ．43．已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为（ ）A ．11B ．22C ．33D ．444．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．在如图所示空间直角坐标系内，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则棱1BB 中点的坐标为（ ）A ．11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若角,,A B C 是ABC ∆的三个内角，则下列等式一定成立的是（ ）A ．()cos cos ABC += B ．()sin sin A B C +=-C ．cos sin 2A C B +=D ．sin cos 22B C A += 7．已知tan 2α=-，2παπ<<，则sin cos αα+=（ ）A ．5B ．5-C ．15D ．15- 8．执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是（ ）A ．8B ．5C ．3D ．29．已知向量a r 与b r 的夹角为120°，()1,0a =r ，2b =r ，则2a b +=r r （ ）A B ．2 C ． D ．410．函数2cos 2y x x =-的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =为偶函数，则ϕ的值为（ ）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π 11．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ②点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．在ABC ∆中，BC CA CA AB ⋅=⋅uu u r uu r uu r uu u r ，2BA BC +=uu r uu u r ，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则BA BC ⋅u u r u u u r 的取值范围是（ ）A ．[)2,1-B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．22,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r ，则2a b -=r r ．14．生物兴趣小组的同学到课外调查某种植物的生长情况，共测量了30株该植物的高度（单位：厘米），并画出样本频率分布直方图如图，则高度不低于25厘米的有 株．15．已知O e 的方程是2220x y +-=，O 'e 的方程是228100x y x +-+=，由动点P 向O e 和O 'e 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 ．16．正方形ABCD 的边长为1，,P Q 分别为边,AB AD 上的点，若APQ ∆的周长为2，则PCQ ∠= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知,a b r r 为两个不共线向量，2,1a b ==r r ，2c a b =-r r r ，d a kb =+u r r r .（1）若c d ∥r u r ，求实数k ；（2）若7k =-，且c d ⊥r u r ，求a b ⋅r r .18． 在桂林市某中学高中数学联赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图.分数在85分或85分以上的记为优秀.（1）根据茎叶图读取出乙学生6次成绩的众数，并求出乙学生的平均成绩以及成绩的中位数；（2）若在甲学生的6次模拟测试成绩中去掉成绩最低的一次，在剩下5次中随机选择2次成绩作为研究对象，求在选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的概率.19． 已知角,αβ的顶点在()0,0O ，点()21,2cos P θ，()2sin ,1Q θ-分别在角,αβ的终边上，且1OP OQ ⋅=-u u u r u u u r .（1）求cos2θ的值；（2）求()cos αβ+的值.20． 已知具有相关关系的两个变量,x y 之间的几组数据如下表所示：（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计当20x =时，y 的值.参考公式：1221ˆn i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.21． 已知函数()24sin sin 42x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()cos sin cos sin 1x x x x +--.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）常数0ω>，若函数()y fx ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的取值范围； （3）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数ω的值.22． 已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）若直线AB 过点()1,0M ，且与圆C 交于,A B 两点（A 在x 轴上方，B 在x 轴下方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.桂林市2017—2018学年度下学期期末质量检测高一年级数学参考答案一、选择题1-5CACBA 6-10DACBB 11、12：CD二、填空题13．()5,7 14．15 15．32x =16．4π 三、解答题17．解：（1）∵c d ∥r u r ，∴c d λ=r u r .∴()2a b a kb λ-=+r r r r . 因为,a b r r 不共线，∴2112k k λλ=⎧⇒=-⎨-=⎩. （2）∵7k =-，∴7d a b =-u r r r .又∵c d ⊥r u r ，∴()()270a b a b -⋅-=r r r r . ∴2221570a a b b -⋅+=r r r r . 又∵2,1a b ==r r ,∴1a b ⋅=r r .18．解：（1）由茎叶图可以得出：乙六次成绩中的众数为94. 中位数为8284832+=. 平均成绩为717382849494836+++++=. （2）将甲六次中最低分64去掉，得五次成绩分别为78,79,83,88,95.从五次成绩中随机选择两次有以下10种情形：()78,79，()78,83，()78,88，()78,95，()79,83，()79,88，()79,95，()83,88，()83,95，()88,95，其中满足选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的有7种.设选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀为事件A ，则()710P A =. 19．解：（1）∵222sin 2cos 13cos OP OQ θθθ⋅=-=-u u u r u u u r ，1OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，∴22cos 3θ=. 所以21cos 22133θ=⋅-= （2）因为点41,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,13Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭分别在角,αβ的终边上，所以43sin ,cos 55αα==，sin 1010ββ=-=.故()34cos 51051010αβ⎛+=⨯-⨯-= ⎝⎭.20．解：（1）根据表中数据，绘制散点图如图所示（2）依题意，计算()124681065x =++++=， ()136710127.65y =++++=， 5214163664100220i i x==++++=∑， 516244280120272i ii x y ==++++=∑， 51522215272567.644ˆ 1.122056405i ii i i x y x y b x x==--⨯⨯====-⨯-∑∑， ∴ˆ7.6 1.161a=-⨯=. ∴回归直线方程为 1.11y x =+.当20x =时， 1.120123y =⨯+=.21．解：（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=.∴2T π=.（2）()2sin f x x ωω=. 由2222k x k πππωπ-≤≤+得22,22k k x k Z ππππωωωω-≤≤+∈，∴()f x ω的递增区间为22,,22k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ∵()f x ω在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∴当0k =时，有2,,2322ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. ∴0,,222,23ωππωππω⎧⎪>⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩解得304ω<≤ ∴ω的取值范围是30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. （3）()1sin 2sin cos 12g x x a x a x a =+---. 令sin cos x x t -=，则2sin 21x t =-. ∴22111122y t at a t at a =-+--=-+-221242a a t a ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭.∵sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤，∴1t ≤≤.①当2a <a <-时，在t =max 122y a ⎫=--⎪⎭.由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-（舍去).②当12a ≤≤，即2a -≤≤时，2max 142a y a =-，由21242a a -= 得2280a a --=解得2a =-或4a =（舍去）. ③当12a >，即2a >时，在1t =处max 12a y =-，由122a -=得6a =. 综上，2a =-或6a =为所求.22．解：（1）设圆心()5,02C a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则410205a a +=⇒=或5a =-.当圆心为()5,0-时，圆心在直线l 的左下方，所以0a =. 所以圆22:4C x y +=.（2）当直线AB x ⊥轴时，x 轴平分ANB ∠.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ,()22,B x y ，由()224,1x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得 ()22221240k x k x k +-+-=. ∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+. 若x 轴平分ANB ∠，则12120AN BN y y k k x t x t =-⇒+=--. ()()1212110k x k x x t x t--⇒+=--()()12122120x x t x x t ⇒-+++=， 即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得4t =. 所以 存在定点()4,0N ，使得x 轴平分ANB ∠.。

2014-2015学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．=（）A．B．C．D．2．若三点A（2，3），B（3，4），C（a，b）共线，则有（）A． a=3，b=﹣5 B． a﹣b+1=0 C． 2a﹣b=3 D． a﹣2b=03．圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含4．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是（）A．B．πC． 2πD． 3π5．将两个数a=2，b=﹣1交换，使a=﹣1，b=2，下列语句正确的是（）A．B．C．D．6．根据甲、乙两名篮球运动员某赛季9场比赛得分的茎叶图，可知（）A．甲运动员的成绩好，乙运动员发挥稳定B．乙运动员的成绩好，甲运动员发挥稳定C．甲运动员的成绩好，且发挥更稳定D．乙运动员的成绩好，且发挥更稳定7．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．如图所示的程序框图，其运行结果（即输出的S值）是（）A． 5 B． 20 C． 30 D． 429．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”10．在△ABC中，已知=（cos18°，cos72°），=（2cos63°，2cos27°），则cos∠B 等于（）A．﹣B．C．﹣D．11．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P（1，0），M（2，﹣2）为线段QR的中点，则A=（）A． 2B．C．D． 412．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．B． [2，4] C． [3，6] D． [4，6]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2016-2017学年广西南宁三中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）sin600°的值是（）A．B．C．D．2．（5分）已知sin A＝，那么cos（）＝（）A．﹣B．C．﹣D．3．（5分）已知向量＝（1，x），＝（x﹣1，2），若∥，则x＝（）A．﹣1或2B．﹣2或1C．1或2D．﹣1或﹣2 4．（5分）点M在圆（x﹣5）2+（y﹣3）2＝9上，则M点到直线3x+4y﹣2＝0的最短距离为（）A．9B．8C．5D．25．（5分）若将函数y＝sin（2x+φ）图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则φ的值为（）A．B．C．D．6．（5分）从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知，则cos（π﹣2α）＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离9．（5分）一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．510．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z 11．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1＝0与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，＝+．若点M在圆C上，则实数k＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．112．（5分）已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，点E满足＝，点F在边CD 上，若•＝1，则•＝（）A．1B．2C．D．3二、填空题13．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为．14．（5分）在区间[﹣3，2]上随机取一个数x，则事件“1≤（）x≤4”发生的概率为．15．（5分）直线的倾斜角为．16．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，设g（x）＝．若函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是．三、解答题17．（10分）已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．18．（12分）袋子中装有编号为A1，A2，A3的3个黑球和编号为B1，B2的2个红球，从中任意摸出2个球．（1）写出所有不同的结果；（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；（3）求至少摸出1个红球的概率．19．（12分）已知向量．（1）若，求x的值；（2）函数f（x）＝•+|+|2，若c＞f（x）恒成立，求实数c的取值范围．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD是正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．21．（12分）已知向量＝（cosωx﹣sinωx，sinωx），＝（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）＝•+λ（x∈R）的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y＝f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．22．（12分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7＝0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．2016-2017学年广西南宁三中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）sin600°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：sin600°＝sin（2×360°﹣120°）＝﹣sin120°＝﹣sin（180°﹣60°）＝﹣sin60°＝﹣．故选：D．2．（5分）已知sin A＝，那么cos（）＝（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：cos（）＝﹣sin A＝﹣故选：A．3．（5分）已知向量＝（1，x），＝（x﹣1，2），若∥，则x＝（）A．﹣1或2B．﹣2或1C．1或2D．﹣1或﹣2【解答】解：∵向量＝（1，x），＝（x﹣1，2），若∥，∴x（x﹣1）﹣2＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故选：A．4．（5分）点M在圆（x﹣5）2+（y﹣3）2＝9上，则M点到直线3x+4y﹣2＝0的最短距离为（）A．9B．8C．5D．2【解答】解：由题意得圆的圆心为（5，3）则圆心到直线3x+4y﹣2＝0的距离为d＝所以M点到直线3x+4y﹣2＝0的最短距离为5﹣3＝2，故选：D．5．（5分）若将函数y＝sin（2x+φ）图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则φ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：把函数y＝sin（2x+φ）图象向右平移个单位长度后得到y＝为偶函数，∴φ﹣＝kπ+，k∈Z，故可取，故选：C．6．（5分）从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：所有可能为12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43共12个，满足条件的有6个．∴这个两位数大于30的概率为p＝．故选：A．7．（5分）已知，则cos（π﹣2α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴∴cos（π﹣2α）＝﹣cos2α＝1﹣2cos2α＝，故选：A．8．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2＝a2 （a＞0），则圆心为（0，a），半径R＝a，圆心到直线x+y＝0的距离d＝，∵圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是2，∴2＝2＝2＝2，即＝，即a2＝4，a＝2，则圆心为M（0，2），半径R＝2，圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心为N（1，1），半径r＝1，则MN＝＝，∵R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜MN＜R+r，即两个圆相交．故选：B．9．（5分）一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V1为＝2剪去的三棱锥体积V2为：＝所以几何体的体积为：2﹣＝，故选：A．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z【解答】解：由图可知A＝2，T＝4（﹣）＝π，∴ϖ＝＝2．∵由图可得点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2×+φ）＝2，解得：2×+φ＝2kπ+，k∈Z，∴由|φ|＜，可得：φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+）．∵若将y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为：g（x）＝2sin[2（x ﹣）+]＝2sin（2x+）．∴由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数g（x）的单调增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．11．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1＝0与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，＝+．若点M在圆C上，则实数k＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【解答】解：设AB的中点为D，有＝+＝2，∴||＝2||＝R＝2，∴||＝1．由点到直线的距离公式得1＝，解得k＝0，故选：C．12．（5分）已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，点E满足＝，点F在边CD 上，若•＝1，则•＝（）A．1B．2C．D．3【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系，由题意可知A（0，0），B（0，），E（1，），D（3，0），设F（3，a），则＝（1，），＝（0，），＝（3，a），＝（3，a﹣），∵＝a＝1，即a＝，∴＝（3，﹣）．∴＝3﹣1＝2．故选：B．二、填空题13．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为90°．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），＝（﹣1，0，﹣1），＝（1，﹣1，﹣1），设异面直线A1E与GF所成角为θ，cosθ＝|cos＜＞|＝＝0，∴异面直线A1E与GF所成角为90°．故答案为：90°．14．（5分）在区间[﹣3，2]上随机取一个数x，则事件“1≤（）x≤4”发生的概率为．【解答】解：∵，所以所求概率为；故答案为：15．（5分）直线的倾斜角为150°．【解答】解：由题意化直线的方程为斜截式y＝x﹣，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，则tanα＝，可得α＝150°故答案为：150°16．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，设g（x）＝．若函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是[﹣，]．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，∴f（0）＝0，即f（0）＝1+m＝0，得m＝﹣1，则f（x）＝2x﹣，则g（x）＝，则当x＞1时，函数为增函数，且当x→1时，g（x）→＝2﹣＝，当x≤1时，函数为减函数，且g（x）≥g（1）＝﹣（）＝﹣2＝﹣，由y＝g（x）﹣t＝0得g（x）＝t，作出函数g（x）和y＝t的图象如图：要使函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则函数g（x）与y＝t只有一个交点，则﹣≤t≤，故答案为：[﹣，]三、解答题17．（10分）已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y+a＝0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．【解答】解：（1）由l1⊥l2可得：a+3（a﹣2）＝0，…4分解得；…6分（2）当l1∥l2时，有，…8分解得a＝3，…9分此时，l1，l2的方程分别为：3x+3y+1＝0，x+y+3＝0即3x+3y+9＝0，故它们之间的距离为．…12分．18．（12分）袋子中装有编号为A1，A2，A3的3个黑球和编号为B1，B2的2个红球，从中任意摸出2个球．（1）写出所有不同的结果；（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；（3）求至少摸出1个红球的概率．【解答】解：（1）从5个球中任意摸出2个球，有A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2共10种情况；（2）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个基本事件．所以；（3）记“至少摸出1个红球”为事件B，则事件B包含的基本事件为A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共7个基本事件，所以．19．（12分）已知向量．（1）若，求x的值；（2）函数f（x）＝•+|+|2，若c＞f（x）恒成立，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴…（2分）由．…（4分）∵，∴π≤2x≤2π．因此．…（6分）（2）∵•＝，∴f（x）＝•+|+|2＝2﹣3sin2x，…（8分）∵π≤2x≤2π，∴﹣1≤sin2x≤0，0≤﹣3sin2x≤3，∴2≤f（x）＝2﹣3sin2x≤5，∴{f（x）}max＝5．则c＞f（x）恒成立，得c＞5．…（12分）20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD是正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）∵△P AD是正三角形，O是AD中点，∴PO⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD…．（5分）解：（2）解法1：∵平面P AD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB⊥平面P AD，过A作AG⊥PD于G，连接GB，则GB⊥PD，∴∠AGB为二面角A﹣PD﹣B的平面角，在Rt△ABG中，，∴，∴．∴二面角A﹣PD﹣B的余弦值为．解法2：（2）以O为原点，以OA为x轴，OP为z轴，建立如图所示坐标系，∴，，设平面PDB的法向量为，则，∴，又∵CD⊥平面P AD，∴平面P AD的一个法向量为，∴，∴二面角A﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分）21．（12分）已知向量＝（cosωx﹣sinωx，sinωx），＝（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）＝•+λ（x∈R）的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y＝f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝•+λ＝（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx×2 cosωx+λ＝﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ＝sin2ωx﹣cos2ωx+λ＝2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x＝π对称，∴2πω﹣＝+kπ，k∈z∴ω＝+，又ω∈（，1）∴k＝1时，ω＝∴函数f（x）的最小正周期为＝（2）∵f（）＝0∴2sin（2××﹣）+λ＝0∴λ＝﹣∴f（x）＝2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣＝f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]22．（12分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7＝0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2＝R2（a＞0），由题意知，解得a＝1或a＝，…（3分）又∵S＝πR2＜13，∴a＝1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x＝0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y＝kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6＝0，…（9分）∴△＝（6k﹣2）2﹣24（1+k2）＝3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）+6＝，＝（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）＝y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）。

桂林市2017-2018学年度下学期期末质量检测高一年级数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与角23π终边相同的角是（ ）A ．113πB ．()223k k Z ππ-∈ C ．()223k k Z ππ+∈ D ．()()2213k k Z ππ++∈2．圆220x y ++=的半径是（ ）A B ．2 C ． D ．43．已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为（ ）A ．11B ．22C ．33D ．444．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．在如图所示空间直角坐标系内，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则棱1BB 中点的坐标为（ ）A ．11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若角,,A B C 是ABC ∆的三个内角，则下列等式一定成立的是（ ）A ．()cos cos ABC += B ．()sin sin A B C +=-C ．cos sin 2A C B +=D ．sin cos 22B C A += 7．已知tan 2α=-，2παπ<<，则sin cos αα+=（ ）A ．5B ．5-C ．15D ．15- 8．执行如图所示的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是（ ）A ．8B ．5C ．3D ．29．已知向量a r 与b r 的夹角为120°，()1,0a =r ，2b =r ，则2a b +=r r （ ）A B ．2 C ． D ．410．函数2cos 2y x x =-的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =为偶函数，则ϕ的值为（ ）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π 11．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ②点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．在ABC ∆中，BC CA CA AB ⋅=⋅uu u r uu r uu r uu u r ，2BA BC +=uu r uu u r ，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则BA BC ⋅u u r u u u r 的取值范围是（ ）A ．[)2,1-B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．22,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r ，则2a b -=r r ．14．生物兴趣小组的同学到课外调查某种植物的生长情况，共测量了30株该植物的高度（单位：厘米），并画出样本频率分布直方图如图，则高度不低于25厘米的有 株．15．已知O e 的方程是2220x y +-=，O 'e 的方程是228100x y x +-+=，由动点P 向O e 和O 'e 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 ．16．正方形ABCD 的边长为1，,P Q 分别为边,AB AD 上的点，若APQ ∆的周长为2，则PCQ ∠= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知,a b r r 为两个不共线向量，2,1a b ==r r ，2c a b =-r r r ，d a kb =+u r r r .（1）若c d ∥r u r ，求实数k ；（2）若7k =-，且c d ⊥r u r ，求a b ⋅r r .18． 在桂林市某中学高中数学联赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图.分数在85分或85分以上的记为优秀.（1）根据茎叶图读取出乙学生6次成绩的众数，并求出乙学生的平均成绩以及成绩的中位数；（2）若在甲学生的6次模拟测试成绩中去掉成绩最低的一次，在剩下5次中随机选择2次成绩作为研究对象，求在选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的概率.19． 已知角,αβ的顶点在()0,0O ，点()21,2cos P θ，()2sin ,1Q θ-分别在角,αβ的终边上，且1OP OQ ⋅=-u u u r u u u r .（1）求cos2θ的值；（2）求()cos αβ+的值.20． 已知具有相关关系的两个变量,x y 之间的几组数据如下表所示：（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计当20x =时，y 的值.参考公式：1221ˆn i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.21． 已知函数()24sin sin 42x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()cos sin cos sin 1x x x x +--.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）常数0ω>，若函数()y fx ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的取值范围； （3）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数ω的值.22． 已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）若直线AB 过点()1,0M ，且与圆C 交于,A B 两点（A 在x 轴上方，B 在x 轴下方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.桂林市2017—2018学年度下学期期末质量检测高一年级数学参考答案一、选择题1-5CACBA 6-10DACBB 11、12：CD二、填空题13．()5,7 14．15 15．32x =16．4π 三、解答题17．解：（1）∵c d ∥r u r ，∴c d λ=r u r .∴()2a b a kb λ-=+r r r r . 因为,a b r r 不共线，∴2112k k λλ=⎧⇒=-⎨-=⎩. （2）∵7k =-，∴7d a b =-u r r r .又∵c d ⊥r u r ，∴()()270a b a b -⋅-=r r r r . ∴2221570a a b b -⋅+=r r r r . 又∵2,1a b ==r r ,∴1a b ⋅=r r .18．解：（1）由茎叶图可以得出：乙六次成绩中的众数为94. 中位数为8284832+=. 平均成绩为717382849494836+++++=. （2）将甲六次中最低分64去掉，得五次成绩分别为78,79,83,88,95.从五次成绩中随机选择两次有以下10种情形：()78,79，()78,83，()78,88，()78,95，()79,83，()79,88，()79,95，()83,88，()83,95，()88,95，其中满足选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀的有7种.设选出的成绩中至少有一次成绩记为优秀为事件A ，则()710P A =. 19．解：（1）∵222sin 2cos 13cos OP OQ θθθ⋅=-=-u u u r u u u r ，1OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，∴22cos 3θ=. 所以21cos 22133θ=⋅-= （2）因为点41,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,13Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭分别在角,αβ的终边上，所以43sin ,cos 55αα==，sin 1010ββ=-=.故()34cos 51051010αβ⎛+=⨯-⨯-= ⎝⎭.20．解：（1）根据表中数据，绘制散点图如图所示（2）依题意，计算()124681065x =++++=， ()136710127.65y =++++=， 5214163664100220i i x==++++=∑， 516244280120272i ii x y ==++++=∑， 51522215272567.644ˆ 1.122056405i ii i i x y x y b x x==--⨯⨯====-⨯-∑∑， ∴ˆ7.6 1.161a=-⨯=. ∴回归直线方程为 1.11y x =+.当20x =时， 1.120123y =⨯+=.21．解：（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=.∴2T π=.（2）()2sin f x x ωω=. 由2222k x k πππωπ-≤≤+得22,22k k x k Z ππππωωωω-≤≤+∈，∴()f x ω的递增区间为22,,22k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ∵()f x ω在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∴当0k =时，有2,,2322ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. ∴0,,222,23ωππωππω⎧⎪>⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩解得304ω<≤ ∴ω的取值范围是30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. （3）()1sin 2sin cos 12g x x a x a x a =+---. 令sin cos x x t -=，则2sin 21x t =-. ∴22111122y t at a t at a =-+--=-+-221242a a t a ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭.∵sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤，∴1t ≤.①当2a <a <-时，在t =max 122y a ⎫=--⎪⎭.由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-（舍去).②当12a ≤≤，即2a -≤≤时，2max 142a y a =-，由21242a a -= 得2280a a --=解得2a =-或4a =（舍去）. ③当12a >，即2a >时，在1t =处max 12a y =-，由122a -=得6a =. 综上，2a =-或6a =为所求.22．解：（1）设圆心()5,02C a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则410205a a +=⇒=或5a =-.当圆心为()5,0-时，圆心在直线l 的左下方，所以0a =. 所以圆22:4C x y +=.（2）当直线AB x ⊥轴时，x 轴平分ANB ∠.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ,()22,B x y ，由()224,1x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得 ()22221240k x k x k +-+-=. ∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+. 若x 轴平分ANB ∠，则12120AN BN y y k k x t x t =-⇒+=--. ()()1212110k x k x x t x t--⇒+=--()()12122120x x t x x t ⇒-+++=， 即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得4t =. 所以 存在定点()4,0N ，使得x 轴平分ANB ∠.。