《概率统计》练习题及参考答案

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. 习题一

（A）

1.写出下列随机试验的样本空间：

（1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。

2. 记三事件为CBA,,。试表示下列事件：

（1）CBA,,都发生或都不发生；（2）CBA,,中不多于一个发生；（3）CBA,,中只有一个发生；（4）CBA,,中至少有一个发生； （5）CBA,,中不多于两个发生；（6）CBA,,中恰有两个发生；（7）CBA,,中至少有两个发生。

3.指出下列事件A与B之间的关系：

（1）检查两件产品，事件A=“至少有一件合格品”，B=“两件都是合格品”；

（2）设T表示某电子管的寿命，事件A={T>2000h}，B={T>2500h}。

4.请叙述下列事件的互逆事件：

（1）A=“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”；

（2）B=“数学考试中全班至少有3名同学没通过”；

（3）C=“射击三次，至少中一次”；

（4）D=“加工四个零件，至少有两个合格品”。

5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。

6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。

7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。

8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。

9.设A,B为任意二事件,且知4.0)()(BpAp,28.0)(BAp,求)(BAp；)(ABp。

10.已知41)(Ap，31)(ABp，21)(BAp，求)(BAp。

11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。

12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？

13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。 .

. 14.10个考签中有4个难签,3人参加抽签（不放回）,甲先、乙次,丙最后。求:

(1)甲抽到难签；（2）甲、乙都抽到难签；（3）甲没抽到难签而乙抽到难签；（4）甲、乙、丙都抽到难签的概率。

15.设A，B为两事件，且7.0)(,6.0)(BpAp，问（1）在什么条件下)(ABp取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(ABp取到最小值，最小值是多少？

16.设事件A与B互不相容，且1)(0Bp，试证明)(1)()(BpApBAp 。

17.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区被淹没。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2,当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3,求（1）该时期内这个地区被淹没的概率？（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率是多少？

18.12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回去,求第三次比赛时取到的3个球中有2个是新球的概率。

19.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求:（1）全厂的次品率；（2）如果抽出的产品是次品，此产品是哪个车间生产的可能性大？

20.设一仓库中有12箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、4箱、3箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.15,0.18,从这12箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得合格品的概率；若取得合格品,问该产品为哪个厂生产的可能性大？

21.设患乙肝的人经过检查,被查出患乙肝的人概率为0.95,而未患乙肝的人经过检查,被误认为有乙肝的概率为0.002；又设全城居民中患有乙肝的概率为0.001。若从居民中随机抽一人检查,诊断为有乙肝,求这个人确实有乙肝的概率。

22.据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

23.两射手彼此独立地向一目标射击,设甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,则目标被击中的概率是多少？

24.某射手的命中率为0.95,他独立重复地向目标射击5次,求:（1）恰好命中4次的概率；（2）至少命中3次的概率。

25.事件CBA,,相互独立，证明CBA,,也相互独立。

26.高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3。又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6；若敌机中三弹则必然坠落。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。

27.袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3 个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。试求第一次和第二次都取到黄球的概率。

（B）

1.已知某家庭有3个小孩,且至少有一个是女孩,求该家庭至少有一个男孩的概率。

2.甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概.

. 率分别为0.9,0.8及0.85。求:（1）在这段时间内有机床需要工人照管的概率；（2）机床因无人照管而停工的概率；（3）若3部机床不需要工人照管的概率均为0.8，这段时间内恰有一部机床需要人照管的概率。

3.设bBpaAp)(,)(，则bbaBAp1)(。

4.若)()(ApBAp，则)()(BpABp。

5.已知三事件321,,AAA都满足)3,2,1(iAAi，证明：

2)()()()(321ApApApAp。

6.酒店一楼有三部电梯，今有5位客人要乘电梯.假定选择哪部电梯是随机的，求每部电梯内至少有一位旅客的概率。

7.有6匹赛马，编号为1,2,3,4,5,6.比赛时，它们越过终点的顺序是等可能的，记A=1号马跑在前三位，B=2号马跑在第二位，求)(Ap，)(Bp和)(ABp。

8.设CBA,,是两两独立且不能同时发生的随机事件，且xCpBpAp)()()(，求x的最大值。

9.带活动门的小盒子中有采自同一巢的20只工蜂和10只雄峰，现随机地放出5只做实验，求其中有3只工蜂的概率。

习题二

（A）

1.下列函数中哪些可以作为某个随机变量的分布函数，并说明理由。

(1))(,21)(22RxexFx；(2)xxFsin)(；

(3)

1,11,11)(2xxxxF；(4)

0,10,6.00,0)(xxxxF 。

2.设离散型随机变量X的分布函数

1,110,7.001,2.01,0)(xxxxxF

求X的分布列。

3.设离散型随机变量X的分布列为

X -1 1 2

p 0.2

0.5 0.3 .

.

求：（1）X的分布函数；（2）}5.0{Xp；（3）}31{Xp。

4.设随机变量X的概率函数为：nknakXp,,1,0,}{，试确定常数a。

5. 设随机变量X服从泊松分布，且}2{}1{XpXp，求}4{Xp及}1{Xp。

6.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号.

（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；

（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.

7.设随机变量X的密度函数为

（1）其它,021,)11(2)(2xxxf；（2）其它,021,210,)(xxxxxf，

求X的分布函数)(xF.

8.设随机变量X的密度函数

其它,010,)(xbxaxf，

且83}21{Xp，试求出 a，b。

9.设随机变量X的密度函数为

其它,01,)(2xcexfx，

求:（1）c；（2）}21{Xp；（3）X的分布函数。

10.设随机变量X的概率密度为

,0,0;0,)(xxAexfx，

求:（1）A；（2）}40{Xp；（3）X的分布函数。

11.在长度为t的时间间隔内到达某港口的轮船数X服从参数为3/t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。某天12至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为多少？

12.若随机变量X在]6,1[上服从均匀分布，试求方程012Xxx有实根的概率。

13.设随机变量),2(~2NX，且3.0}42{Xp，求概率}0{Xp。

14.设)25,4(~NX，求}80{Xp。 .

. 15.由某机器生产的螺柱的长度（cm）服从正态分布)06.0,05.10(2N，规定长度在范围

10.05±0.12内为合格品，求一螺柱为合格品的概率。

16.某种型号器件的寿命X（以小时计）具有密度函数

.,0,1000,1000)(2其它xxxf

现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？

17.设连续型随机变量X的分布函数为1,110,0,0)(2xxaxxxF，求：（1）系数a；（2）}7.03.0{Xp；（3）密度函数)(xf。

18.设),(YX的联合分布为下表

（1）求YX,的边缘分布；（2）判别YX,是否独立。

19.设二维随机变量),(YX只能取数组10,0,1,1,1,3,2,0的值，且取这些组值的概率依次为111,,,6312512，写出),(YX的联合分布列并求出YX,的边缘分布。

20.已知随机变量YX,的分布列分别为

且1}0{XYp，求（1）YX,的联合分布列；（2）YX,是否独立？为什么？

21.已知二维随机变量),(YX的联合联合分布列为

问当,为何值时，YX,相互独立？ X Y 0 1

0 0.1 0.1

1 0.8 0

X -1 0 1

p 1/4 1/2 1/4 Y 0 1

p 1/2 1/2

X Y 0 2 3

1 1/6 1/9 1/18

2 1/3 α β