新人教版数学八下小专题( 四 ) 中点四边形问题

最新人教版八年级下学期数学期中考试试卷考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）1、下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．2、以下各数是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3、一次函数y＝﹣2x+3的图象经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限4、如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km5、不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D6、下列命题正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．有三个角是直角的四边形是正方形7、在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．（a+b）（a﹣b）＝c2C．a：b：c＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：58、将一次函数y＝的图象向左平移2个单位得到的新的函数的表达式（）A．y＝x+1B．y＝x+2C．y＝x﹣1D．y＝x﹣2 9、我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意平行四边形的中点四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形10、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．2.5B．5C．2.4D．1.2二、填空题（每小题3分，满分18分）11、﹣＝．12、已知一次函数y＝2x﹣1的图象上有两点M（x1，y1）、N（x2，y2），若x1＞x2，则y1y2（填“＞”“＜”或“＝”）．13、已知a＝+2，b＝﹣2，则ab＝．14、如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则a+b的值是．15、若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是．16、如图，已知正方形ABCD中，AD＝3，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于．最新人教版八年级下学期数学期中考试试卷（答卷）考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟姓名：____________ 学号：_____________座位号：___________一、选择题题号12345678910答案二、填空题11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17、计算：．18、一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，6），B（﹣3，﹣2）两点．（1）此一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．19、已知一次函数y＝（k﹣3）x+3k+1．（1）若y是x的正比例函数，求k的值；（2）若该函数图象经过第一、二、四象限，求k的取值范围．20、某校为落实“双减”政策，进一步促进校园文化建设和学生全面发展，学校开展了适合学生素质发展的课后服务内容，该内容分为4个类别，分别为音乐类（A），美术类（B），科技类（C），体育类（D），现抽取了部分学生对该服务内容的喜欢程度，并根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图：请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生一共有人，扇形统计图中，A对应的扇形圆心角的度数是．（2）请补全上面的条形统计图和扇形统计图．（3）若该校共有学生2600人，请估计其中喜欢“科技类”的学生人数．21、如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AEC是等腰三角形；（2）若AB＝8，BC＝16，求图中△ACE的面积．22、某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求y关于x的函数关系式．（3）在第（2）问的条件下，如果A型电脑至少购进20台，则购进两种型号的电脑100台的利润为多少钱？23、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8．在OC 边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求CE的长；（2）求点D的坐标；（3）求DE所在的直线解析式．24、四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数．25、如果直线l1与直线l2相交于A点，且夹角为45°，则称l2为l1的芙蓉线，A点为芙蓉点．这个45°的角为芙蓉角．（1）若直线l1为y轴，直线l2的解析式为y＝kx+2，当l1为l2的芙蓉线时，k 的值为；（2）直线y＝﹣x+3分别与y轴，x轴交于A，B两点，点P是x轴上B点右侧的一点，且BP＝m（m＞0），点Q在直线y＝x﹣3上，其横坐标为m+6，判断∠QAP是否为芙蓉角，并说明理由；（3）直线l3的解析式为y＝﹣3x+3，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点M 是x轴上的一个动点，直线MC是直线l3的芙蓉线．①求M点的坐标；②点N是直线l3上异于点C的一个动点，当MN为直线l3的芙蓉线时，直接写出相应的芙蓉点的坐标．。

人教版八下18.1.2平行四边形判定(第3课时)教学设计教学流程图地位与作用本节内容是在学习平行四边形性质与判定后进行的，是平行四边形性质的应用．在研究平行四边形性质时，我们借助三角形的有关知识进行研究，在学习了平行四边形后，也可以利用平行四边形来研究三角形，体现了辩证与联系的思想．三角形中位线定理是三角形中重要的定理，它揭示了连结三角形任意两边中点所得的线段与第三边的位置关系和倍分关系，与相似等内容有着密切的联系，在图形证明和计算中具有广泛的应用．概念解析三角形的中位线平行于第三边并且等于等三边的一半，在同一个题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系，两者在这里得到完美呈现．应用这个定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系，根据具体情况，灵活使用．思想方法三角形的中位线定理的探索和证明，可以完整地体现“合情推理，提出猜想——演绎推理，证明猜想”的几何探究过程，引导学生经历这样的过程，有利于他们体会两种推理功能不同、相辅相成；三角形中位线定理的发现和证明过程体现了归纳、类比、转化等思想方法，核心是通过构造平行四边形，把三角形的问题转化为平行四边形问题．知识类型三角形中位线定理属于原理与规则类知识，需要学生在经历探索、猜想、证明的过程中理解新知识，在联系与应用中将知识转化为能力．教学重点基于以上分析，本课的教学重点是：探索并证明三角形的中位线定理.教学目标解析教学目标1．通过作图、猜想、验证等得出三角形的中位线定理，并能给出证明．2．会利用三角形的中位线定理解决有关问题．目标解析达成目标1的标志是：理解三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的区别；能通过作图测量等手段猜想三角形中位线与第三边的数量关系与位置关系；能抓住中点这个关键信息，利用对角线互相平分构造平行四边形进行定理的证明.达成目标2的标志是：明确三角形中位线定理的条件与结论；对于题目中存在两个中点的问题能自动联想中位线定理是否可用；在只有一个中点的情况下，根据题目信息（包括结论信息）添加辅助线；能在复杂图形中能敏捷感知中位线并灵活运用三角形中位线定理解决问题．教学问题诊断分析具备的基础学生已经掌握了三角形全等、平行线、平行四边形的性质和判定等知识，在前面的学习中积累了较丰富的几何猜想与论证的经验，并且具备一定的分析思维能力.与本课目标的差距分析八年级学生知识的迁移能力有限，数学思想方法的运用也不够灵活，三角形的中位线定理既要证明线段的位置关系，又要证明线段的倍分关系，对于几何逻辑思维尚不成熟的八年级学生来讲，难度较大．存在的问题三角形的中位线定理的证明的突破口在于添加辅助线，学生在前面的学习中，添加辅助线的练习相对较少，因此，如何适当添加辅助线、是学生的困难所在.应对策略教学中，教师让学生通过观察和动手测量，作出初步猜想，再引导学生去证明猜想，重点分析辅助线是如何想到的．通过问题串的策略让学生意识到所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，结合结论与条件的中点信息，联想已学过的知识，在追问与交流中发现构造平行四边形来证明的方法，同时及时回顾与多种证法来深化认识加深体会．教学难点基于以上分析，本课的教学难点是：证明三角形的中位线定理时添加辅助线．教学支持条件分析可印发练习纸以便于学生构造不同的平行四边形添加辅助线，可用实物投影或希沃授课软件展示学生的成果；用ppt展示定理的证明；可用常用统计软件统计显示测评结果；根据测评结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．教学支持条件分析可印发练习纸以便于学生构造不同的平行四边形添加辅助线，可用实物投影或希沃授课软件展示学生的成果；用ppt展示定理的证明；可用常用统计软件统计显示测评结果；根据测评结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．教学过程设计课前检测1．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种答案：B2．A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有() A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C3．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是()A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDE答案：D4．四个点A，B，C，D在同一平面内，现有下列四个条件：①AB＝CD；②AD＝BC；③AB∥CD；④AD∥BC，从这些条件中任选两个能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种答案：B5．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A. 8B. 10C. 12D. 14答案：C设计意图：本组课前检测题主要检查学生对于平行四边形判定掌握的情况．前4题是关于平行四边形的判定，最后一题是关于三角形中位线定理的问题，设计此问题的意图是检查学生对于三角形中位线定理的直观感知．这些知识都是本节课学生所需要的，如果学生这些知识不完整，必将影响本节的学习，需要进行适当的复习．新课学习1.掌握概念，明确区别如图1，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.问题1：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？师生活动设计：教师直接提出问题，让学生通过作图，观察得出中位线与中线的区别：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一个端点是三角形的一个顶点．设计意图：让学生理解三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的区别.2.提出问题，观察猜想问题2：观察图1，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？师生活动设计：教师直接提出问题，让学生通过观察和动手测量DE，BC的长度，作出初步猜想．设计意图：让学生通过观察测量，提出猜想.3.分析问题，寻找思路问题3：要确定猜想正确，必须进行证明，这首先要对照图形写出已知、求证．请试一试！（已知：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.求证：DE∥BC且DE=BC）追问1：怎样分析证明思路？师生活动设计：教师引导学生分析，判断两直线平行，可以用平行线的判定，也可以用平行四边形性质，由于已知条件是线段关系（中点导致出现线段相等），而从线段相等出发证线段平行，应该用平行四边形判定，图中没有平行四边形，因此需要构造一个平行四边形.另外证明线段的倍分可以进行截长或补短.根据以上分析，让学生构造不同的平行四边形如图2(1)---（5）．设计意图：让学生运用化三角形问题为平行四边形问题的思想，构造出不同的联系条件和结论的几何模型——平行四边形，形成不同的解题方案．追问2：请各自试一试，上面的五种方案是否都可行，如可行，说出辅助线的画法，如不可行，请说明原因．师生活动设计：学生在独立思考的基础上分小组讨论，教师进行必要的启发．设计意图：在上述方案中，图2中的（1）（2）（3）无法实施，因为根据现有的知识无法判定平行四边形．而方案（4）(5)可行．让学生经历从失败到成功的过程，让学生体会数学问题的解决过程伴随着挫折，需要持之以恒地理性思考．4.推理论证，形成定理问题4：请用适当的方法证明猜想．师生活动设计1：教师引导学生针对方案4，5进行证明．方案4有以下两种证明方法（方案5证明方法与方案4相类似）．方法1：如图3，延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图4，延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．问题5 ：请用自己的语言说出得到的结论．师生活动设计：教师引导学生用文字语言和符号语言描述定理内容：（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）结合图形给出数学表达形式：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，且DE=BC .设计意图：用演绎推理证明结论，培养学生严谨的科学态度．由学生讨论得到添加辅助线的方法，提升学生分析与解决问题的能力．目标检测1：如图5，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，D，E，F，分别是边BC，AC，AB的中点，斜边上的中线是线段_______，直角△ABC的中位线分别是____________，∠CED=______°，四边形AEDF的周长为__________.设计意图：辨别三角形中位线与中线的区别，能直接应用中位线定理.如果学生能够顺利完成，则进行例1的教学，如果存在问题，则引导学生结合图形再次理解三角形中位线定理.5.尝试运用，掌握定理例1 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．师生活动设计：教师引导学生分析，因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：如图6，连结AC，△DAC中，∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．同理EF∥AC，EF=AC．∴HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．设计意图：例1是三角形中位线性质与平行四边形的判定的综合应用，通过巧妙构造三角形，并运用三角形的中位线定理来解题，体会三角形中位线定理的魅力，巩固新知识．可以借助与多媒体或教具把辅助线的添加方法讲清楚，证明完成后，可得出一般认识：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．这个结论今后也会经常会用到．目标检测2：如图7，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点.求证：(1)∠A=∠DEF；(2)四边形AFED的周长等于AB+AC.设计意图：能运用三角形中位线定理以及平行四边形的判定解决有关问题．如果学生能顺利完成，则展开追问1，如果存在困难，则引导学生关注“点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点.”这个条件，从而应用三角形中位线定理解决问题.追问1：图中有哪些平行四边形？设计意图：通过找平行四边形让学生进一步巩固新知识．课堂小结问题6：通过本节课的研究，你感悟到什么？还有什么疑惑？师生活动设计：让学生回顾课堂中学到的知识，并畅谈由此受到的启发，教师在倾听学生的回答的同时注意适时的归纳总结.设计意图：学生自主小结，提高学生的数学概括表达能力，增强学生学习过程中的反思意识．有助于学生在归纳过程中把所学的知识条理化、系统化．目标检测设计1．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC 和BC的中点M，N，如果测得MN＝20m，那么A，B两点间的距离是____m.2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．一个三角形的周长是120cm，过三角形各边的中点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是_______cm．4．如图，AD是△ABC的中线，EF是中位线. 求证：AD与EF互相平分.5．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．。

四边形的存在性内容分析本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线，考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力．知识结构模块一平行四边形的存在性知识精讲平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想．常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系进行求解即可．在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。

在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形．- 2 -ABCM 1M 2M 31、 知识内容：已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图ABC ．第四个点M 则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M 点）．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3） 更换顶点，求出所有可能的点；（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =24 cm ，BC =26 cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm /s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形； （2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形．例题解析思路剖析【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为A (3， 0)，点B 的坐标为B (0， 4)．（1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点 的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P 的坐标．【例3】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线y ＝kx ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l 与x 轴交于点C ． （1）求直线l 的表达式；（2）点D 为该平面直角坐标系内的点，如果以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行 四边形，求点D 的坐标．ABOxyAB Oxy【例4】如图，已知直线l1经过点A(－5，－6)且与直线l2：362y x=-+平行，直线l 2与x轴、y轴分别交于点B、C．（1）求直线l1的表达式及其与x轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形．并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案．【例5】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．xOy- 4 -【例6】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠B 是锐角，AF ⊥BC 于点F ， CH ⊥AD 于点H ， 在AB 边上取点E ，使得AE ＝AH ，在CD 边上取点G ，使得CG ＝CF ．联结EF 、FG 、GH 、HE ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）当∠B 为多少度时，四边形EFGH 是正方形．并证明．【例7】 如图所示，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，正比例函数y =kx （x 为自变量）的图像与双曲线2y x=-交于点A ，且点A 的横坐标为2-．（1）求k 的值；（2）将直线y =kx （x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ，如点D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形．ABC OxyABCDEFGH- 6 -【例8】 在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =4，将一个30°角的顶点P 放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC ，且交边AC 于点E ，30°的另一边交射线BC 于点D ，连ED ．（1）如图，当四边形PBDE 为等腰梯形时，求AP 长；（2）四边形PBDE 有可能为平行四边形吗．若可能，求出PBDE 为平行四边形时，AP 的长，若不可能，说明理由；（3）若点D 在BC 边上（不与B 、C 重合），试写出线段AP 的取值范围．ABCDE P梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力．梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类．常见题型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k 相等而b 不相等．若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形．若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形．【例9】 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12cm ，DC =8cm ，且∠C =60°，动点P 以1cm/s的速度从点A 出发，沿AD 方向向点D 移动，同时，动点Q 以2cm /s 的速度从点C 出发，沿C 出发，沿CB 方向向点B 移动，连接PQ ，（1）得四边形ABQP 和四边形PQCD .若设移动的时间为t 秒（0＜t ＜7），四边形PQCD 的面积为ycm ²，求y 与t 的函数关系式；（2）当t 为何值时，四边形QPCD 是等腰梯形．说明理由； （3）当t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形．模块二 梯形的存在性知识精讲例题解析QPBCDA- 8 -【例10】 如图，一次函数33y x b =+的图像与x 轴相交于点A (53，0)、与y 轴相交于点B ． （1）求点B 的坐标及∠ABO 的度数；（2）如果点C 的坐标为（0，3），四边形ABCD 是直角梯形，求点D 的坐标【例11】 如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点G 为BC 的中点，点E 为线段BC 延长线上的一点，且CE ＝12BC ，过点E 作EF //CA ，交CD 于点F ，联结OF ．（1）求证：OF //BC ；（2）如果四边形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【例12】 如图，在平面直角坐标系中，直线l 1经过O 、A (1，2)两点，将直线l 1向下平移6AB C OxyABCDEFGO个单位得到直线l 2，交x 轴于点C ，B 是直线l 2上一点，且四边形ABCO 是平行四边形．（1）求直线l 2的表达式及点B 的坐标；（2）若D 是平面直角坐标系内的一点，且以O 、A 、C 、D 四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点D 的坐标．【例13】 已知一次函数142y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，梯形AOBC 的边AC =5．（1） 求点C 的坐标；（2） 如果点A 、C 在一次函数y =kx +b （k 、b 为常数，且k <0）的图像上，求这个一次 函数的解析式【例14】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，点P 是x 轴上一动点，以线段APAOC xy为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：∠ABQ＝90°；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABOPQ xyABO xy图1备用图- 10 -【例15】 在直角平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y =x +b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，连接OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；（3）若动点P 在x 轴的正半轴上，以每秒2个单位长的速度向右运动；动点Q 在射线CM 上，且以每秒1个单位长的速度向右运动，若P 、Q 分别由O 点、C 点同时出发，问几秒后，以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形可以成为平行四边形；以P 、Q 、O 、D 为顶点的四边形是否可以成为等腰梯形．写出理由．1AO4CxMy- 12 -【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点C ，且点C 为线段OB 的中点． （1）求直线AC 的表达式；（2）如果四边形ACPB 是平行四边形，求点P 的坐标．【拓展】如果以A 、C 、P 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．【习题2】 如图，在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与y 轴交于点A ，与直线12y x =相交于点B ，点C 是线段OB 上的点，且△AOC 的面积为12． （1）求直线AC 的表达式；（2）设点P 为直线AC 上的一点，在平面内是否存在点Q ，使四边形OAPQ 为菱形， 若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．随堂检测ABCOxy ABO xy【习题3】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，AB ＝8cm ，BC ＝26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边以1cm /s 的速度向D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边以3 cm /s 的速度向B 运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t 秒，当t 为何值时，线段PQ ＝CD ．【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A 、B两点，点A 的坐标为(2，3)，点B 的横坐标为6． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）如果点C 、D 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCD 是平行四边形，求直线CD 的表达式．课后作业ABCDQPAB CDABOxy【作业2】已知一条直线y=kx+b在y轴上的截距为2，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△ABO的面积为4．（1）求点A的坐标；（2）若k<0，在直角坐标平面内有一点D，使四边形ABOD是一个梯形，且AD∥BO，其面积又等于20，试求点D的坐标．【作业3】定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．（1）若特征数为[3，k－1]的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）一次函数y＝kx＋b的图像与x轴交于点A(3-，0)，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图像的交点为C (m，4)．求过A、B两点的一次函数的特征数；（3）在（2）的条件下，若点D与A、O、C构成的四边形为平行四边形，直接．．写出所有符合条件的点D的坐标．A BCO x y- 14 -【作业4】 如图所示，直线y =-2x +12，分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，点D 的纵坐标是4． （1） 求点C 的坐标和直线AD 的解析式；（2） P 是直线AD 上的点，请你找出一点Q ，使得以O 、A 、P 、Q 这四个点为顶点的 四边形是菱形，写出所有满足条件的Q 的坐标．BA Cyx。

新人教版八年级数学下册《平行四边形》教案设计（10篇）八年级数学下册《平行四边形》教案设计篇1教学准备教师准备：投影仪，教具：课本“探究”内容；补充材料制成投影片．学生准备：复习，平行四边形性质；学具：课本“探究”内容．学法解析1．认知题后：学习了三角形全等、平行四边形定义、•性质以后学习本节课内容．2．知识线索：3．学习方式：采用动手操作来发现新的知识，通过交流形成知识体系．教学过程一、回顾交流，逆向思索教师提问：1．平行四边形定义是什么？如何表示？2．平行四边形性质是什么？如何概括？学生活动：思考后举手回答：回答：1．•两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（教师在黑板上画出下图：帮助学生直观理解）回答：2．平行四边形性质从边考虑：（1）对边平行，（2）对边相等，（3）•对边平行且相等（“”）；从角考虑：对角相等；从对角线考虑：两条对角线互相平分．（借助上图直观理解）．教师归纳：（投影显示）平行四边形【活动方略】教师活动：操作投影仪，显示课本P96和P97“探究”的问题．用问题牵引学生动手操作、思考、发现、归纳、论证，可以让学生分成4人小组讨论，•然后再进行小组汇报，教师同时也拿出教具同学在一起探索．学生活动：分四人小组，拿出准备好的学具探究．在活动中发现：（1）•将两长两短的四根细木条（或用硬纸片），用小钉铰合在一起，做成四边形，如果等长的木条成对边，那么无论如何转动这四边形，它的形状都是平行四边形；（2）•若将两根细木条中点用钉子钉合在一起，用像皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形，转动两根木条，这个四边形是平行四边形．（3）将两条等长的木条平行放置，•另外用两根木条（不一定等长）用钉子予以加固，得到的四边形一定是平行四边形。

八年级数学下册《平行四边形》教案设计篇2教材分析：平行四边形的面积计算教学是在学生掌握了平行四边形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上进行的，它同时又是进一步学习三角形面积、梯形面积、圆的面积和立体图形表面积计算的基础。

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.16四边形与动点问题大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________一、解答题1．（2022春·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？(3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．2．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？(2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在线段PB上有一点M，且PM=10，当P运动秒时，四边形OAMP的周长最小, 并在图②画出点M的位置．3．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，▱ABCD中，∠B=2∠A，动点P、Q、M、N分别从点A、B、C、D同时出发，沿平行四边形的边，分别向点B、C、D、A匀速运动，运动时间记为t，当其中一个点到达终点时，其余各点均停止运动，连接PQ，QM，MN，NP．已知AB=6cm，BC=4.5cm，动点P、M的速度均是2cm/s，动点Q、N的速度均是1cm，(1)AP=_______cm，CQ=_______cm（用含t的代数式表示）(2)在点P、Q、M、N的整个运动过程中，四边形PQMN一定会是一种特殊的四边形吗？如果是，指出并证明你的结论，如果不是，说明理由．(3)在点P、Q、M、N的运动过程中，四边形PQMN能成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由．4．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB的点O在坐标原点上，点A在y轴上，AB∥OC，点B的坐标为（15，8），点C的坐标为（21，0），动点M从点A沿AB方向以每秒1个长度单位的速度运动，动点N从C点沿CO的方向以每秒2个长度单位的速度运动．点M、N 同时出发，一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t＝2时，点M的坐标为，点N的坐标为；(2)当t为何值时，四边形AONM是矩形？5．（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A点出发沿A-B-C-D移动，且点P的速度是2cm/s，设运动的时间为t秒，若点P与点A、点D连线所围成的三角形PAD的面积表示为S1．（1）当t=2秒时，求S1 =______cm2；（2）当S1=12cm2时，则t=______秒；（3）如图2，若在点P运动的同时，点Q也从C点同时出发，沿C-B运动，速度为1cm/s，若点Q与点C、点D连线所围成的三角形QCD的面积表示为S2，当|S1－S2|=18时，求t的值．6．（2021秋·江苏常州·八年级常州实验初中校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB ＝DC＝20cm，BC＝15cm，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以5cm/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且P、Q两点仍然同时出发，当点Q的运动速度为多少时，△BPE与△CQP全等？7．（2021春·江苏无锡·八年级统考期中）已知，如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P是直线BC上一个动点，连接AP，作DQ⊥AP于点Q．（1）AP•DQ＝；（2）以AP、AD为邻边作平行四边形APMD，当平行四边形APMD是菱形时，求PQ的长；（3）连接DP，以AP、DP为邻边作平行四边形APDN，当对角线PN取得最小值时，求DQ的长．8．（2021春·江苏苏州·八年级常熟市第一中学校考阶段练习）在四边形ABCD中，AD//BC，BC⊥CD，AD =6cm，BC=10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM=4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？9．（2021春·江苏连云港·八年级统考期中）如图所示，AD//BC，∠BAD＝90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C作CF⊥BE于点F．（1）线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明：（2）若AB＝8，BC＝10，P从E沿直线ED方向运动，Q从C出发沿直线CB方向运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位．①求出当t为何值时，四边形EPCQ是矩形；②求出当t为何值时，四边形EPCQ是菱形．10．（2021春·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10,0)，C (0,4)，点D是线段OA的中点，点P在线段BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线BC上是否存在一点Q，使得点O、点D、点P、点Q构成菱形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．11．（2020·江苏苏州·八年级统考期中）如图1，四边形ABCD是菱形，AD=5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．（1）求DM的长；（2）如图2，动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．（2021秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t s．（1）PC=_____________cm．（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动（点Q 运动到点D处时停止运动，P,Q两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的υ值使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．13．（2020秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，长方形ABCD，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．（1）求AE的长．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，①则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？②当t为何值时，△PAE为直角三角形，直接写出答案．14．（2020秋·江苏扬州·八年级校考期中）在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°．如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动，运动的时间为ts．（1）当t=3时，①线段CE的长为______；②当EP平分∠AEC时，求a的值；（2）若a=1，且△CEP是以CE为腰的等腰三角形，求t的值．15．（2020秋·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AD=3cm，AB=7cm，E为边AB上任一点（不与A、B重合），从点B出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点F从点D出发，以x cm/s向终点C运动，运动的时间为t s．（注：长方形的对边平行且相等，每个角都是90°）（1）若t=4，则CE= ；（2）若x=2，当t为何值时点E在CF的垂直平分线上；（3）连接BF，直接写出点C与点E关于BF对称时x与t的值．16．（2020春·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，AB＝13，BC＝50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当t＝5时，AP＝________．（2）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（3）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．17．（2022春·江苏无锡·八年级宜兴市树人中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣6，0)，点B在y轴正半轴上，∠ABO＝30°，动点D从点A出发沿着射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，同时，动点F从定点C (1，0)出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结DO，EF，设运动时间为t秒．（1）当点D运动到线段AB的中点时．①t的值为 ；②判断四边形DOFE是否是平行四边形，请说明理由．（2）点D在运动过程中，若以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的t的值．18．（2020春·江苏连云港·八年级统考期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为BC延长线上一点，且BD＝BE，连接DE，Q为DE的中点，有一动点P从B点出发，沿BC以每秒1个单位的速度向E点运动，运动时间为t秒．（1）如图1，连接DP、PQ，则S△DPQ＝ （用含t的式子表示）；（2）如图2，M、N分别为AD、AB的中点，当t为何值时，四边形MNPQ为平行四边形？请说明理由；（3）如图3，连接CQ，AQ，试判断AQ、CQ的位置关系并加以证明．19．（2019春·江苏连云港·八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．20．（2020春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．（1）直接写出坐标：D（ ， ）；（2）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；（3）在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以O、P、D、Q为顶点四边形为菱形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．21．（2022春·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考阶段练习）如图所示，菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上.点C的坐标为.动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒.(1)①点B的坐标.②求菱形ABCD的面积.(2)当t=3时，问线段AC上是否存在点E，使得PE+DE最小，如果存在，求出PE+DE最小值;如果不存在，请说明理由.(3)若点P到AC的距离是1，则点P运动的时间t等于.22．（2020春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm／s．（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗?说明理由；（2）若BD=8cm，AC=12cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形? 23．（2021春·江苏苏州·八年级常熟市第一中学校考阶段练习）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为xcm/s．当点F到达点C（即点F与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t＝s时，四边形EBFB'为正方形；（2）当x为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等？（3）是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．24．（2020秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A,B的坐标分别为A(6,0)，B(6,4)，D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→D运动，设点P运动的时间为t秒（0<t<13）.（1）点D的坐标是______；（2）当点P在AB上运动时，点P的坐标是______（用t表示）；（3）求△POD的面积S与t之间的函数表达式，并写出对应自变量t的取值范围.25．（2019秋·江苏常州·八年级校联考期中）综合探究题在之前的学习中，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°.如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以a cm/s向终点C运动，运动的时间为t s.（1）当t=3时，①则线段CE的长=______；②当EP平分∠AEC时，求a的值；（2）若a=1，且ΔCEP是以CE为腰的等腰三角形，求t的值；（3）连接DP，直接写出点C与点E关于DP对称时a与t的值.26．（2019春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AD=8，CD=4，∠D=60°，点P与点Q是平行四边形ABCD边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动.当其中一个点到达终点时，另一个随之停止运动.点P与点Q同时出发，设运动时间为t，ΔCPQ的面积为S.(1)求S关于t的函数关系式；(2)t为何值时，将ΔCPQ以它的一边为轴翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形.27．（2019春·江苏南京·八年级校联考期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)求证：矩形DEFG是正方形．(2)当点E从A点运动到C点时；①求证：∠DCG的大小始终不变；②若正方形ABCD的边长为2，则点G运动的路径长为．28．（2019春·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C 出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．29．（2019春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，将一三角板放在边长为4cm的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．设点P从A向C运动的速度为2cm/s，运动时间为x秒．探究：（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想：（2）当点Q在边CD上且x＝1s时，四边形PBCQ的面积是 ；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值；如果不可能，试说明理由．30．（2018·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠BAD=60°．动点E、F分别从点B、D同时出发，以1cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接GE、FH．设运动的时间为t s（0＜t＜4）．（1）求证：AF∥CE；（2）当t为何值时，四边形EHFG为菱形；（3）试探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．。

朔州市文曲星教育文化培训中心中考四边形与三角形复习要求是，能运用这些图形进行镶嵌，你必须会计算特殊的初中数学四边形，能根据图形的条件把四边形面积等分。

能够对初中数学特殊四边形的判定方法与联系深刻理解。

掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别是梯形添加辅助线的常用方法．掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用。

会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题．结合几何中的其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力·（一）、平行四边形的定义、性质及判定．1：两组对边平行的四边形是平行四边形．2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4·对称性：平行四边形是中心对称图形．（二）、矩形的定义、性质及判定．1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．（三）、菱形的定义、性质及判定．1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(1)菱形的四条边都相等；。

(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：s 菱=争6(n、6 分别为对角线长)．3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．（四）、正方形定义、性质及判定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线与边的夹角是45。

专题15 四边形的综合 题型全覆盖（16题）【思维导图】【考查题型】考查题型一 中点四边形1．（2020·天津河西区·八年级期中）如图，已知四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别为,,,AB BC CD DA 上的点(不与端点重合)．（1）若,,,E F G H 分别为,,,AB BC CD DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，根据题意填空：若四边形ABCD 的对角线AC 和BD 满足 时，四边形EFGH 是矩形；若四边形ABCD 的对角线AC 和BD 满足 时，四边形EFGH 是菱形；若四边形ABCD 的对角线AC 和BD 满足 时，四边形EFGH 是正方形．（3）判断对错：①若已知的四边形ABCD 是任意矩形，则存在无数个四边形EFGH 是菱形；（ ）②若已知的四边形ABCD 是任意矩形，则至少存在一个四边形EFGH 是正方形．（ ）2．（2020·山东济宁市·八年级期中）综合与实践问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．试说明中点四边形EFGH 是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：反思交流：（1）①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？依据1：；依据2：；②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为；创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并说明理由；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为．3．（2020·静宁县八年级期中）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是，证明你的结论．（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．4．（2020·广东深圳市八年级期中）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）考查题型二 特殊四边形的动点问题5．（2020·菏泽市期末）如图，在长方形ABCD 中，6AB cm =，AD 2cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t ，问：(1)当1t =秒时，四边形BCQP 面积是多少？(2)当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm ？(3)当t =_________时，以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)6．（2020·四川成都市七年级期中）如图1，在长方形ABCD 中，12AB cm =，BC 10cm =，点P 从A 出发，沿A B C D →→→的路线运动，到D 停止；点Q 从D 点出发，沿D C B A →→→路线运动，到A 点停止．若P 、Q 两点同时出发，速度分别为每秒1cm 、2cm ，a 秒时P 、Q 两点同时改变速度，分别变为每秒2cm 、54cm (P 、Q 两点速度改变后一直保持此速度，直到停止)，如图2是APD ∆的面积2()s cm 和运动时间x (秒)的图象．(1)求出a 值；(2)设点P 已行的路程为1()y cm ，点Q 还剩的路程为2()y cm ，请分别求出改变速度后，12,y y 和运动时间x (秒)的关系式；(3)求P 、Q 两点都在BC 边上，x 为何值时P ，Q 两点相距3cm ？7．（2020·耒阳市八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为ts．（1）a＝cm，b＝cm；（2）t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．8．（2020·石阡县期末）如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动．同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由．考查题型三四边形中线段最值∆沿CD所在直线折叠，9．（2020·南宁市八年级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将COD∆．得到CED（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）若2AB =，当四边形OCED 是正方形时，OC 等于多少？（3）若3BD =，30ACD ∠=︒，P 是CD 边上的动点，Q 是CE 边上的动点，那么PE PQ +的最小值是多少？ 10．（2020·北京市八年级期中）如图，长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝10，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠后点D 恰好落在BC 边上的点F 处（1）求CE 的长；（2）在（1）的条件下，BC 边上是否存在一点P ，使得PA +PE 值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．11．（2020·福建龙岩市·八年级期中）如图，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，Q 为BC 边的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，连接PB ，PQ ，求△PBQ 周长的最小值．12．（2020·河南周口市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点E 是斜边AB 上的一个动点，连接CE ，过点B ，C 分别作BD ∥CE ，CD ∥BE ，BD 与CD 相交于点D ．（1）当CE ⊥AB 时，求证：四边形BECD 是矩形；（2）填空：①当BE 的长为______时，四边形BECD 是菱形；②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______．考查题型四四边形其他综合问题13．（2020·黄石市八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．14．（2020·四川广安市九年级期末）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．15．（2020·山东临沂市·八年级期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．16．（2020·山东德州市·八年级期末）以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1)，EB和FD的数量关系是；(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．。

人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(146) 1.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求EG2+FH2的值．2.四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH(四边形EFGH称为原四边形的中点四边形)，再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形……则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于．3.如图所示，E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是形，并说明理由;(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并说明理由．4.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是BC,AD,BD,AC的中点．(1)求证：EF与GH互相平分；(2)当四边形ABCD的边满足条件时,EF⊥GH．5.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是（）A.矩形B.平行四边形C.菱形D.任意四边形6.顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形7.若四边形的对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形8.如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当中点四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD是矩形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确的是(填序号)．9.如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．10.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形11.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是（）A.矩形B.正方形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形12.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB,CD应满足的条件是．13.如图所示，E,F,G,H为四边形ABCD各边的中点，若对角线AC，BD的长都为20，则四边形EFGH的周长是（）A.80B.40C.20D.1014.如图,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60∘,则四边形EFGH的面积为cm2.15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为．16.如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，则EG2+FH2=．参考答案1.【答案】:如图，连接EF ，FG ，GH ，EH ，∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH =12BD =3. 同理可得EF ，FG ，GH 分别是△ABC ，△BCD ，△ACD 的中位线， ∴EF =GH =12AC =3，FG =12BD =3，∴EH =EF =GH =FG =3，∴四边形EFGH 为菱形，∴EG ⊥HF ，且垂足为O ，∴EG =2OE ，FH =2OH ．在Rt △OEH 中，根据勾股定理得：OE 2+OH 2=EH 2=9，等式两边同时乘4得4OE 2+4OH 2=9×4=36，∴(2OE)2+(2OH)2=36，即EG 2+FH 2=36．【解析】:连接EH,HG,GF,FE ，根据题目条件提供的四个中点，结合中位线的性质，证明四边形EFGH 为菱形，再根据菱形的性质及勾股定理求出结果.2.【答案】:116【解析】:根据题意，结合图形寻找规律：第二、四、六、八个中点四边形为菱形，第一个菱形边长为12，第二个菱形边长为14，第三个菱形边长为18，第四个菱形边长为116，即为第八个菱形的边长3(1)【答案】当四边形ABCD 是矩形时，四边形EFGH 是菱形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ．∵E ，F ，H 分别是AB ，BC ，AD 的中点，∴EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH．同理可得EF=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形【解析】:利用矩形及中位线的性质，结合菱形的判定方法进行推导证明.(2)【答案】当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，同理，EH∥BD，EH=12BD，GF=12BD，GH=12AC．∵AC=BD，∴EF=EH=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴菱形EFGH是正方形【解析】:根据三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半，先判断出AC=BD，又正方形的四个角都是直角，可以得到正方形的邻边互相垂直，然后证出AC与BD垂直，得到四边形ABCD满足的条件.4(1)【答案】证明：连接GE,GF,HF,EH．∵E,G分别是BC,BD的中点,∴EG=12CD．同理FH=12CD,FG=12AB,EH=12AB,∴EG=FH,GF=EH，∴四边形EHFG是平行四边形．∴EF与GH互相平分【解析】:根据题中提供的四个中点，得到几组中位线，利用中位线的性质，及平行四边形的判定方法，推导出四边形EHFG是平行四边形，进而推导出结论(2)【答案】当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH．【解析】:理由如下:当EF⊥GH时,四边形EGFH是菱形,此时GF=EG．∵EG=12CD,FG=12AB,∴AB=CD．∴当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH5.【答案】:C【解析】:顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是菱形．如图，∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，∴EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=FG=12BD，∴四边形EFGH为平行四边形．又∵EF为△ABC的中位线，∴EF=12AC．又∵EH=12BD，且AC=BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH为菱形．故选C．6.【答案】:B【解析】:利用菱形的性质、矩形的判定方法及中位线的性质推导出结果.7.【答案】:B【解析】:如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD．又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EH，EH⊥EF，EF⊥FG，FG⊥HG．故可判定该四边形是矩形．故选B．8.【答案】:①④【解析】:如图四边形ABCD，连接AC，BD．∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，∴EF∥GH，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确．若四边形ABCD是矩形，则AC=BD．∵EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故②错误．若四边形EFGH是菱形，则AC=BD，但四边形ABCD不一定是矩形，故③错误．若四边形ABCD是正方形，则AC=BD，AC⊥BD，∴四边形EFGH是正方形，故④正确．∴正确的叙述是①④．9.【答案】:连接AC，BD，交于点O，如图．∵E，F，G，H分别是AD，AB，CB，CD的中点，∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，EF=GH=12BD，EH=FG=12AC，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AD=CD，AB=CB，∴点D，B都在线段AC的垂直平分线上，∴DB垂直平分AC，∴DB⊥AC，OA=OC．∵EF∥DB，∴EF⊥AC．∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形【解析】:利用三角形的中位线解题.10.【答案】:D【解析】:若得到的四边形是矩形，那么邻边互相垂直，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解.11.【答案】:C【解析】:若得到的四边形是菱形，那么四条边都相等，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必相等，由此得解.12.【答案】:AB=CD【解析】:若四边形EFGH是菱形，则GH=EH，又根据题中条件所给的四个中点，利用中位线的性质推导出AB=2GH，CD=2EH，所以AB=CD.13.【答案】:B【解析】:∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，∴HG=EF=12AC，GF=HE=12BD，∴四边形EFGH的周长=HG+EF+GF+HE=12(AC+AC+BD+BD)=12×(20+20+20+20)=40 14.【答案】:9√3【解析】:连接AC,BD,相交于点O,如图所示, ∵点E,F,G,H分别是菱形四边的中点,∴EH=12BD=FG,EH∥BD∥FG, EF=12AC=HG,∴四边形EHGF是平行四边形．∵菱形ABCD中,AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴平行四边形EFGH是矩形．∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60∘,∴∠ABO=30∘.∵AC⊥BD,∴∠AOB=90∘,∴AO=12AB=3cm,∴AC=6cm．在Rt△AOB中,由勾股定理，得OB=√AB2−OA2=3√3cm, ∴BD=6√3cm．∵EH=12BD,EF=12AC,∴EH=3√3cm,EF=3cm,∴矩形EFGH的面积=EF·EH=9√3cm2. 故答案为9√315.【答案】:12【解析】:∵E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，∴HE=12AC=4,HE∥AC,GF∥AC,∴HE∥GF．同理，HG∥EF,HG=12BD=3,∴四边形EFGH是平行四边形．∵AC⊥BD，∴∠EHG=90∘,∴四边形EFGH是矩形，∴四边形EFGH的面积为3×4=1216.【答案】:50【解析】:连接HG，EH，EF，FG，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HG=EF=12AC=4，EH=FG=12BD=3，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴HE∥BD，HE=12BD，同理FG∥BD，FG=12BD，∴四边形HEFG是平行四边形．∵AC⊥BD，∴HG⊥EH，∴四边形HEFG为矩形，∴EG2+FH2=EF2+FG2+EF2+EH2=52+52=50。

第十八章平行四边形专题练习专题1平行四边形的证明思路类型1若已知(已证)四边形中边的关系(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．6．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．类型2若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．专题2与正方形有关的四个常考模型模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．模型2正方形中过对角线交点的直角问题2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝14S正方形ABCD.模型3正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．模型4正方形中的半角模型4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.专题3特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：(1)AG＝CE；(2)AG⊥CE.3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？专题4四边形中的动点问题——教材P68复习题T13的变式与应用【例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC ＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为cm，t的取值范围为；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?【拓展变式1】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式2】从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？【拓展变式3】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式4】是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．专题5特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图2在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．1．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O.若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )A . 5B .32 5 C ．2 5 D ．452．如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是 cm .3．如图，将一张菱形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF ＝4，EH ＝3，则AB ＝ ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB>AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.求证： (1)△ADE ≌△CED ； (2)△DEF 是等腰三角形．专题6特殊平行四边形中的最值问题【例】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P 为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为．2．如图，在矩形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B ，C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 ．3．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点，则AM ＋12BM 的最小值为 ．4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，求线段AB 的最小值．参考答案：专题1 平行四边形的证明思路1．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠C. ∴∠B ＝∠EFC. ∴AB ∥EF. 又∵DE ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形．2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上， ∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F.∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．∴AB ＝DE. ∵AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴BF ＝DE ，CF ＝AE.∵∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ， ∴∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． 5．解：ED 与AG 互相平分． 理由：连接EG ，AD. ∵DE ∥AF ，DE ＝AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形． ∴AE ∥DF ，AE ＝DF. 又∵FG ＝2DF ， ∴DG ＝DF. ∴AE ＝DG. 又∵AE ∥DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形． ∴ED 与AG 互相平分．6．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC.∴AE ∥FC ，AE ＝FC.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴GF ∥EH.同理可证：ED ∥BF 且ED ＝BF. ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴GE ∥FH.∴四边形EGFH 是平行四边形．7．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证：OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．专题2 与正方形有关的四个常考模型1．解：BE ＝AF 且BE ⊥AF ，理由： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. ∴△ABE ≌△DAF(SAS )． ∴BE ＝AF ，∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF.【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，BE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF(HL )． ∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF. (2)若已知BE ⊥AF ，则BE ＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵BE ⊥AF ，∴∠AGB ＝90°. ∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA )． ∴BE ＝AF.2．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°. ∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°. ∴∠AOE ＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA )．(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下：∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式1】 解：OA ＝OP ，理由：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABO ＝∠CBO ，AB ＝BC. ∴OG ＝OH.∵∠OGB ＝∠GBH ＝∠BHO ＝90°， ∴四边形OGBH 是正方形． ∴∠GOH ＝90°.∵∠AOP ＝∠GOH ＝90°，∴∠AOG ＝∠POH. ∴△AGO ≌△PHO(ASA )． ∴OA ＝OP. 【变式2】 B3．解：(1)证明：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 易得∠PFD ＝∠CGP ＝90°. ∵BD 为正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDF ＝∠FPD ＝45°. ∴PF ＝FD.又∵FG ∥DC ，FD ∥GC ，∠ADC ＝90°， ∴四边形FGCD 为矩形． ∴DF ＝CG. ∴PF ＝CG. ∵PE ⊥PC ，∴∠FPE ＋∠GPC ＝90°. ∵∠FEP ＋∠FPE ＝90°， ∴∠FEP ＝∠GPC. ∴在△PFE 和△CGP 中，⎩⎨⎧∠PFE ＝∠CGP ，∠FEP ＝∠GPC ，PF ＝CG ，∴△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝CP.(2)成立．理由：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 同理可证△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝PC.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS )．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS )．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.专题3 特殊平行四边形的性质与判定1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC.∴∠BPF ＝∠DAE.∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE.∵∠ABF ＝∠BPF ，∴∠ABF ＝∠DAE.∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA )．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE.∴∠ABG ＝∠CBE.在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )．∴AG ＝CE.(2)设AG 交BC 于点M ，交CE 于点N.∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE.∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°.∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°.∴∠CNM ＝90°.∴AG ⊥CE.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM.∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE.∴△NDE ≌△MAE(AAS )．∴ND ＝MA.∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM 的长为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM ＝1＝12AD ＝AE ，∠DAB ＝60°， ∴△AEM 是等边三角形．∴∠AME ＝∠AEM ＝60°，EM ＝AE ＝ED.∴∠EMD ＝∠EDM ＝30°.∴∠AMD ＝∠AME ＋∠EMD ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．4.(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形，证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．5．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠BEF.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203. 6．解：(1)能说明四边形EHFG 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD.而AE ＝12AB ，CF ＝12CD ， ∴AE 綊CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴GF ∥EH.同理可得GE ∥HF.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．由(1)知，四边形EHFG 是平行四边形．连接EF.当四边形ABCD 是矩形时，四边形EBCF 也是矩形，∴EH ＝FH ，∴四边形EHFG 是菱形．(3)当四边形ABCD 是矩形且AB ＝2AD 时，四边形EHFG 是正方形．由(2)知，当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．又由AB ＝2AD 可知，四边形EBCF 是正方形．根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，∴四边形EHFG是正方形．专题4四边形中的动点问题【例】(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；解：(2)设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.∴当t＝4时，PQ∥CD.(3)设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，∴CF＝BC－BF＝6 cm.①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.∴当t＝8时，PQ＝CD；②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4 s时，PQ＝CD.综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.【拓展变式1】解：不存在．理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．由例知当t＝4 s时，四边形PQCD是平行四边形．此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．【拓展变式2】解：如图，由题意，得AP ＝t ，DP ＝12－t ，CQ ＝2t ，BQ ＝18－2t.要使四边形PQBA 是矩形，已有∠B ＝90°，AD ∥BC ，即AP ∥BQ ，只需满足AP ＝BQ ，即t ＝18－2t ，解得t ＝6.所以当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．【拓展变式3】 解：不存在．理由：要使四边形PQBA 是正方形，则四边形PQBA 一定是矩形．由变式2知，当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．此时AP ＝t ＝6≠8，即AP ≠AB ，所以按已知速度运动，四边形PQBA 只能是矩形，不可能是正方形．【拓展变式4】 解：△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：图1 图2 图3①如图1，当QC ＝DC 时，即2t ＝10，∴t ＝5.②如图2，当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH ＝CH ＝12CQ ＝t. 在矩形ABHD 中，BH ＝AD ＝12，∴CH ＝BC －BH ＝6，∴t ＝6.③如图3，当QD ＝QC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，DH ＝8，CH ＝6，DC ＝10，CQ ＝QD ＝2t ，QH ＝|2t －6|.在Rt △DQH 中，DH 2＋QH 2＝DQ 2.∴82＋|2t －6|2＝(2t)2.解得t ＝256. 综上，当t ＝5或6或256时，△DQC 是等腰三角形专题5 特殊平行四边形中的折叠问题【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN .由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形．∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°. 【拓展延伸】 解：四边形MBGB′是菱形．证明：∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB′，BG ＝B′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°.∴△MBG 是等边三角形．∴BM ＝BG.∴BM ＝MB′＝BG ＝B′G.∴四边形MBGB′是菱形．1．C2． 94cm . 3．5．4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD.在△ADE 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)由(1)知，△ADE ≌△CED ，∴∠AED ＝∠CDE.∴△DEF 是等腰三角形．小专题(十) 特殊平行四边形中的最值问题【例】 解：作点E 关于直线AC 的对称点E′(易知点E′在CD 上)，连接E′F ，交AC 于点P.则PE ＝PE′，CE ′＝CE.∴PE ＋PF ＝PE′＋PF ＝E′F.∴P 即为所求的使PF ＋PE 最短的点．∵正方形ABCD 的边长为4，BE ＝1，F 为AB 的中点， ∴BF ＝2，CE ＝CB －BE ＝3.∴CE ′＝CE ＝3.过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠FGE′＝∠FGC ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠FGC ＝90°.∴四边形FBCG 是矩形．∴CG ＝BF ＝2，FG ＝BC ＝4.∴E ′G ＝E′C －CG ＝1.∴在Rt △E ′FG 中，E ′F ＝FG 2＋E′G 2＝42＋12＝17. ∴PF ＋PE 的最小值为17.12．AD 的中点．34．解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCA ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°. ∴∠COA ＝∠DOB.在△COA 和△DOB 中，⎩⎨⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠COA ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB(ASA )．∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，得OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴OD ＝OC.又∵OA ⊥CD ，∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB的最小值为 2.。

利用中点坐标解决平行四边形存在性问题1.•已知平面直角坐标系中，有四个点A （-3，0）、B （0，-4）、C （3，0）、D （0，4）（1）在下面的平面直角坐标系中描出各点，并顺次连接，试判断所得四边形的形状，并说明理由； （2）若以A 、B 、C 、E 四点为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点E 的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：434+-=x y 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标．（2）设P 是直线AB 上一动点，直线PR ∥x 轴，点Q 在直线PR 上，设点P 的横坐标为m ，试用含有m 的代数式表示点Q 的纵坐标n ．（3）在（2）的条件下，若以B 、O 、Q 、A 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q 的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l 1：y=34x 与直线l 2：y=mx+415相交于点A （a ，512），且直线l 2交x 轴于点B ．（1）填空：a= ，m= ；（2）在坐标平面内是否存在一点C ，使以O 、A 、B 、C 四点为顶点的四边形是平行四边形形．若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）图中有一动点P 从原点O 出发，沿y 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度向上移动，设运动时间为t 秒．若直线AP 能与x 轴交于点D ，当△AOD 为等腰三角形时，求t 的值．4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y ＝−43x+3交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A 的坐标．（2）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5.在平面直角坐标系中，A （0，1），B （0，-3），点C 在x 轴上，点D 在直线y=21x-2上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标以及对应的点D 的坐标．6.在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （2，3），C （3m ，4m+1），D 在x 轴上，若以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标 。

难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP＝10，∴PM ＝12AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

2019 年八年级数学下册小专题(四)特别平行四边形的性质与判断练习（新版）新人教版1．(2017 ·荆州 ) 如图，在矩形ABCD中，连结对角线AC， BD，将△ ABC沿 BC方向平移，使点 B 移到点 C，获得△D CE.(1)求证：△ ACD≌△ EDC；(2)请研究△ BDE 的形状，并说明原因．解： (1) 证明：∵四边形 ABCD是矩形，∴ AB＝ DC， AC＝ BD， AD＝ BC，∠ ADC＝∠ ABC＝90°.由平移的性质得： DE＝ AC，CE＝ BC，∠ DCE＝∠ ADC＝90°， DC＝ AB，∴AD＝ EC.在△ ACD和△ EDC中，AD＝ EC，∠ADC＝∠ ECD，CD＝ DC，∴△ ACD≌△ EDC(SAS)．(2)△ BDE是等腰三角形．原因以下：∵ AC＝ BD，DE＝ AC，∴ BD＝ DE.∴△ BDE是等腰三角形．2．如图，在 ?ABCD中，过点D作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD上， CF＝ AE，连结 AF， BF.(1)求证：四边形 BFDE是矩形；(2)若 CF＝ 6， BF＝8， DF＝10，求证： AF 是∠ DAB的均分线．证明： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ CD， AB＝ CD.又∵ CF＝ AE，∴BE＝ DF.又∵ BE∥DF，∴四边形BFDE为平行四边形．∵DE⊥ AB，∴∠ DEB＝ 90°.∴四边形BFDE是矩形．(2)∵四边形 BFDE是矩形，∴∠BFD＝ 90° . ∴∠ BFC＝90° .在 Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝CF2＋ BF2＝62＋ 82＝ 10.∴AD＝ BC＝ 10.又∵ DF＝ 10，∴ AD＝ DF.∴∠ DAF＝∠ DFA.∵AB∥ CD，∴∠ DFA＝∠ FAB.∴∠ DAF＝∠ FAB.∴ AF 是∠ DAB的均分线．3．(2017 ·张掖 ) 如图，矩形ABCD中， AB＝ 6， BC＝ 4，过对角线BD中点 O的直线分别交AB， CD边于点 E， F.(1)求证：四边形 BEDF是平行四边形；(2)当四边形 BEDF是菱形时，求 EF 的长．解： (1) 证明：∵四边形ABCD是矩形， O是 BD的中点，∴∠ A＝90°，AD＝BC＝ 4，AB∥DC，OB＝OD.∴∠ OBE＝∠ ODF.在△ BOE和△ DOF中，∠OBE＝∠ ODF，OB＝ OD，∠BOE＝∠ DOF，∴△ BOE≌△ DOF(ASA)．∴ EO＝ FO.又∵ OB＝OD.∴四边形BEDF是平行四边形．(2)∵四边形 BEDF是菱形，∴ BD⊥ EF.设 BE＝ x，则 DE＝x， AE＝6－ x.222在 Rt △ADE中，DE＝AD＋AE，22213∴ x＝ 4＋ (6 －x) .解得 x＝3.2 2∵BD＝ AD＋ AB＝2 13，1∴ OB＝2BD＝13.∵ ⊥，∴＝22213－＝. BD EF EO BE OB3∴EF＝2EO＝4 13. 34．(2016 ·青岛 ) 已知：如图，在 ?ABCD中， E，F 分别是边 AD，BC上的点，且 AE＝CF，直线 EF 分别交 BA的延伸线、 DC的延伸线于点 G，H，交 BD于点 O.(1)求证：△ ABE≌△ CDF；(2)连结 DG，若 DG＝ BG，则四边形 BEDF是什么特别四边形？请说明原因．解： (1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝ CD，∠ BAE＝∠ DCF.在△ ABE 和△ CDF中，AB＝ CD，∠BAE＝∠ DCF，AE＝ CF，∴△ ABE≌△ CDF(SAS)．(2)四边形 BEDF是菱形．原因：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD＝ BC， AD∥ BC.∵AE＝ CF，∴ DE＝BF.∴四边形 BEDF是平行四边形．∴BO＝ DO.在△ BGD中，∵ BG＝ DG， BO＝ DO，∴ GO⊥ BD.∴四边形 BEDF是菱形．5．(2 017·青岛 ) 已知：如图，在菱形ABCD 中，点 E，O，F 分别是边AB，AC， AD的中点，连结CE，CF，OF.(1)求证：△ BCE≌△ DCF；(2)当 AB与 BC知足什么条件时，四边形 AEOF是正方形？请说明原因．解： (1) 证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝ BC＝ CD＝ DA，∠ B＝∠ D.又∵ E， F 分别是 AB， AD的中点，∴ BE＝ DF.在△ BCE和△ DCF中，BC＝ DC，∠ B＝∠ D，BE＝ DF，∴△ BCE≌△ DCF(SAS) ．(2)当 AB与 BC知足 AB⊥BC时，四边形 AEOF为正方形．原因以下：∵ E， O分别是 AB， AC的中点，∴ EO∥ BC.又∵ BC∥AD，∴ OE∥ AD，即 OE∥AF.同理可证OF∥AE，∴四边形AEOF为平行四边形．∵在菱形ABCD 中，点 E，F 分别是边AB, AD 的中点，∴AE＝AF.∴四边形 AEOF为菱形．∵ AB⊥ BC，∴∠ BAD＝∠ B＝90°.∴四边形 AEOF为正方形．6 ．如图 1，在 ?ABCD中， AF 均分∠ BAD交 BC于点 F， CE均分∠ BCD交 AD于点 E.图1图2(1)求证：四边形 AFCE是平行四边形；(2)如图 2，若 BE⊥EC，求证：四边形 ABFE是菱形．证明： (1) ∵AF 均分∠ BAD， CE均分∠ BCD，11∴∠ FAE＝2∠BAE，∠ FCE＝2∠FCD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ BAE＝∠ FCD， AD∥ BC.∴∠ FAE＝∠ FCE，∠ FCE＝∠ CED.∴∠ FAE＝∠ CED.∴AF∥ EC.又∵ AE∥CF，∴四边形AFCE为平行四边形．(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，∴∠ AOE＝∠ BEC＝ 90° .∴∠ AOE＝∠ AOB＝ 90° .在△ ABO和△ AEO中，∠BAO＝∠ EAO，AO＝ AO，∠AOB＝∠ AOE，∴△ ABO≌△ AEO(ASA) ．∴BO＝ EO.同理可得△ ABO≌△ FBO，∴AO＝ FO.∴四边形ABFE是平行四边形．又∵ AF⊥BE，∴平行四边形ABFE是菱形．7．以下图， E， F，G， H 分别是四边形ABCD的边 AB， BC， CD， AD的中点．(1)当四边形 ABCD是矩形时，四边形 EFGH是菱形，请说明原因；(2)当四边形 ABCD知足什么条件时，四边形 EFGH为正方形？并说明原因．解： (1) 原因：∵四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD.1由题意，得EF＝2AC， EH＝1112BD， GH＝2AC， GF＝2BD，∴EF＝ EH＝ GH＝ GF.∴四边形EFGH是菱形．(2)当四边形 ABCD知足 AC＝ BD且 AC⊥BD 时，四边形 EFGH为正方形．原因：∵ E， F 分别是四边形ABCD的边 AB， BC的中点，1∴EF∥ AC， EF＝2AC.111同理： EH∥BD， EH＝2BD， GF＝2BD， GH＝2AC.又∵ AC＝ BD，∴ EF＝ EH＝ GH＝ GF.∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥ BD，∴ EF⊥EH.∴四边形EFGH是正方形．。

八年级数学（下册）知识点总结第十六章 二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。

3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a4.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

5.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

6.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 27.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a ≥0，b ≥0）；=（b ≥0，a>0）． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315； （2）22)-(x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x xy y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -4、比较数值（1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b <a b < 例1、比较35与53的大小。

第09讲专题4平行（特殊）四边形中的最值问题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A．2B．C．3D．【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC•BC＝，∴＝，∴CM＝，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故选：B．2．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AD＝2AB＝8，点H，G分别是边CD，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为．【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，过点A作AN⊥BC于点N，∴AM＝DM＝AD＝×8＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝AD＝×8＝4，∴AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠DMC＝×60°＝30°，∴∠ACD＝∠MCA+∠MCD＝30°+60°＝90°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，在Rt△ACN中，∠ACN＝∠BCD﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，∴AN＝AC＝×4＝2，∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AG，∵AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为4，最小值为2，∴EF的最大值为2，最小值为，∴EF的最大值与最小值的差为2﹣＝，故答案为：．3．如图，在▱ABCD中，已知AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点Q，则线段QC的最小值为2﹣4．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，连接AC，∵AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则AH＝AB•sin∠ABC＝4sin60°＝2，BH＝AB•cos∠ABC＝4cos60°＝2，∴CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，在Rt△ACH中，AC＝＝＝2，∵点B与点Q关于直线AP对称，∴AQ＝AB＝4，∴点Q在以A为圆心AB为半径的⊙A上，∴当C、Q、A三点共线时QC最小，QC的最小值＝AC﹣AQ＝2﹣4，故答案为：2﹣4．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为6．【解答】解：如图所示：∵四边形PAQC是平行四边形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案为：6．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（）A．12B．10C．9.6D．4.8【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵F，M分别是AD，DE的中点，∴FM＝，∴当AE取最小值时，FM的值最小，由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，∴CH＝，∴BH＝＝＝8，∴＝48，又∵，∴，∴AE＝9.6，∴FM＝4.8，故选：D．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝4，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4cm，∴，∵四边形PAQC是平行四边形，∴AB∥CQ，∴当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ＝CD＝2cm，故选：A．7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．4B．5C．6D．10【解答】解：∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF是△MND的中位线，∴EF＝DN，当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，∴EF长度的最大值为5，故选：B．8．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD 的最小值是（）A．B．3+3C．6+D．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME，∵MD＝MB，∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE＝＝＝3，∴2DE＝6．∴MA+MB+MD的最小值是6．故选：D．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴BD＝＝10，∵点A和点M关于BE对称，∴AB＝BM＝6，∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．故DM的最小值为4．故选：C．G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是7.5．【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，∴AC＝＝＝10，∵P是线段EF的中点，∴AP＝EF＝2.5，∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC＝∠PHC＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5，∴GH的最小值是7.5，故答案为：7.5．11．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为．【解答】解：如图，连接AC、AE、CF、CG，在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD＝CD，DE＝DG＝EF，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝DE+CF+CG＝EF+CF+AE，∴当点A、E、F、C在同一直线上时（此时点F与点C重合），DE+CF+AE最小，最小值为线段AC长，在Rt△ABC中，AC＝，∴d1+d2+d3的最小值为．12．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．（提示：根据轴对称的性质）【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴AE＝AD＝1，DE＝＝，∴EF+BF的最小值为．13．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，O是MN的中点，若AB＝5，BC＝12，当点P在AC上运动时，BO的最小值是．【解答】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∴∠ABC＝∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝13，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴点O是BP的中点，∴BO＝BP＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝，∴MN＝，∴BO的最小值＝MN＝，故答案为：．14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是菱形内一动点，且满足MN＝1，连接CN，则CN的最小值为﹣1．【解答】解：过点M作MH⊥CD，交CD的延长线于点H，如图所示：在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，∴∠HDM＝∠A＝60°，∴∠HMD＝30°，∵点M是AD边的中点，∴DM＝1，∴DH＝，根据勾股定理，得HM＝，∵CD＝2，∴CH＝，根据勾股定理，得CM＝，∵MN＝1，当点N运动到线段CM上的点N′时，CN取得最小值，CN′＝CM﹣MN＝﹣1，∴CN的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，在菱形ABCD中，AC＝24，BD＝10．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为．【解答】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，∴AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝12，OD＝OB＝BD＝5，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝＝13，，∵CD•OH＝OC•OD＝S△COD∴×13OH＝×12×5，解得OH＝，∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，∴∠OFE＝∠OGE＝∠FOG＝90°，∴四边形OGEF是矩形，∴OE＝FG，∴OE≥OH，∵FG≥，∴FG的最小值为，故答案为：．16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则BF+DE最小值是（）A．13B．10C．12D．5【解答】解：延长AD，取点M，使得AD＝DM，连接MP，如图，∵EF∥BC，四边形ABCD是矩形，∴四边形AEFD和四边形EBCF是矩形，∵AD＝DM，AE＝DF，∠EAD＝∠FDM＝90°，∴△ADE≌△DMF（SAS），∴DE＝MF，∴BF+DE＝BF+FM，∵点E，F分别是AB，DC上的动点，故当B，F，M三点共线时，BF+DE的值最小，且BF+DE的值等于BM的值，在Rt△BAM中，，故选：B．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，HA＝4+4＝8，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝∴BF+DE最小值为4．故选：C．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为（）A．4.8B．5C．2.4D．3.6【解答】解：如图，连接AD，∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，∴，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，，∴，∴AO的最小值为2.4，故选：C．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值．【解答】（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°，∴∠DFB＝∠C＝90°，∴∠DFC＝90°＝∠C，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C，∴四边形CEDF是矩形；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，∴CD＝EF，∴当CD有最小值时，EF的值最小，∵当CD⊥AB时，CD有最小值，∴CD⊥AB时，EF有最小值，∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5，∴CD的最小值为5，∴EF的最小值为5．20．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠ACF＝60°，AC＝AB，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，＝S△ACF，则S△ABE＝S△AEC+S△ACF＝S△故S四边形AECFAEC+S△ABE＝S△ABC，是定值；作AH⊥BC于H点，如图所示：∵∠AHB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，∴，在Rt△ABH中，根据勾股定理得：，＝S△ABC＝．∴S四边形AECF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝S菱形ABCD﹣S△AEF，∵S△CEF∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，∵△AEF为等边三角形，∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，∵当AE⊥BC时，AE最小，∴AE的最小值为AH的长，过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：∵△AEF为等边三角形，∴，∠AEF＝60°，∴，∴，∴，＝S四边形AECF﹣S△AEF＝16，∴S△CEF即△CEF的面积的最大值为．21．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，即∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，∵四边形ABCD是正方形，∴点M为BD的中点；②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．。

2021年八下期中考试金牌解答题压轴题训练（四）（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、解答题1．观察下列等式：1 ========回答下列问题：（1（2；（3…．【答案】（1（2（3）1【分析】（1）根据题目的运算，先将分式通分，然后化简计算，即可得答案；（2）根据题目的运算，先将分式通分，然后化简计算，即可得答案；（32121121n nn n，化简求值即可．【详解】（1257575222757552775=（222121212121n n n n n2222212121n n n n22212121n n n n22221n n2121n n（3）由（22121121n n n n53757573=15375757331537573717573175531【点睛】本题考查了利用平方差公式对二次根式进行有理化，熟悉相关运算法则是解题的关键． 2．（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a )，B(a ，0)(a >0)．C 为线段AB 的中点，CD⊥x 轴于D ，若⊥AOB 的面积为2，则⊥CDB 的面积为 ．（2）如图2，⊥AOB 为等腰直角三角形，O 为直角顶点，点E 为线段OB 上一点，且OB ＝3OE ， C 与E 关于原点对称，线段AB 交x 轴于点D ，连CD ，若CD⊥AE ，试求ADDB的值．（3）如图3，点C 、E 在x 轴上，B 在y 轴上，OB ＝OC ，⊥BDE 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB 、ED 交于点A ，CD 交y 轴于点F ，试探究：CO EOBF-是否为定值?如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．【答案】（1）12；（2）2AD DB =；（3）是定值，2CO EO BF-=． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得12DC BD a ==，分别表示∴AOB 和∴CDB 的面积，根据∴AOB 的面积为2即可得出结论；（2）连接AC ，作DM∴BC ，与BC 交于M ，证明∴ACO∴∴DCM 可得OE=CO=DM=MB ，设它们为m ，从而可得OB=3m ，借助勾股定理和线段的和差分别表示AD 和BD ，即可得出它们的比值；（3）作DN∴OB ，交y 轴与N ，证∴ACO∴∴DCM 和∴COF∴∴DNF 全等，借助全等三角形的性质和线段的和差可得2F C E B O O -=，由此可得结论． 【详解】解：（1）∴A(0，a )，B(a ，0)，∴AO=OB=a ，∴ABO=45°，， ∴C 为线段AB 的中点，∴122BC AB ==， ∴CD∴x 轴，∴∴CDB=90°，∴DCB=90°-∴ABO=45°， ∴DC=BD ，∴222DC DB BC +=，∴12DC BD a ==， ∴∴AOB 的面积为2，即2122a =， ∴2111111222422CDB S a a a ∆=⋅⋅=⋅=， 故答案为：12； （2）如下图连接AC ， ∴C 与E 关于原点对称， ∴CO=OE ，∴∴AOB 为等腰直角三角形， ∴∴OAB=∴B=45°，AO∴CB ， ∴∴EAO+∴AEC=90°，AC=AE ， ∴∴CAO=∴EAO ， ∴AE∴CD ，∴∴BCD+∴AEC=90°， ∴∴CAO=∴EAO=∴BCD ，∴∴ADC=∴BCD+∴B ，∴CAB=∴CAO+∴OAB, ∴∴ADC=∴CAB ， ∴AC=CD ，作DM∴BC ，与BC 交于M ，∴∴DMC=90°，∴∴MDB=∴B=45°，∴DM=MB，在∴ACO和∴DCM中，∴DMC AOCCAO BCDAC CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∴ACO∴∴DCM（AAS）,∴OE=CO=DM=MB，∴OB＝3OE，设OE=CO=DM=MB=m，∴OB＝3OE，∴OA=OB=3m，∴,BD AB====，∴AD=，∴2ADDB==；（3）是定值，作DN∴OB，交y轴与N，∴∴DNB=∴BOE=∴BOC=90°， ∴∴DBN+∴NBD=90°， ∴∴BDE 为等腰直角三角形， ∴∴DBN+∴OBE=90°，BD=BE ， ∴∴NBD=∴OBE ， 在∴NBD 和∴OEB 中∴90NBD OBE DNB BOE BD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ∴∴NBD∴∴OEB （AAS ）， ∴ND=OB=OC ，NB=OE ， 在∴COF 和∴DNF 中∴90CFO NFD DNB BOC CO ND ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴∴COF∴∴DNF （AAS ）， ∴NF=OF ，∴OE BN NF BF OF BF ==-=-,OC OB OF BF ==+, ∴()2F CO E OF BF O O F BF B +-=--=，∴2CO EOBF-=．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形，全等三角形的性质和判定等．能正确作出辅助线，构造全等三角形建立线段之间的联系是解题关键． 3．在平面直角坐标系中点A 、B 的坐标分别为()0,A a ，(),0Bb ．（1）如图1，若点C 、B 关于y 轴对称，126CAB ∠=︒，请直接写出ABC ∠的度数ABC ∠=___________；（2）如图2，点D 的坐标为()1,2D c a b c ⎛⎫< ⎪⎝⎭，ADO ABO ∠=∠，试用字母b 、c 表示线段AB 的长；（3）如图3，点D 的坐标为()(),0D a a b <，且EA ED EB EF ===，点F 的坐标分别为(),F m m ，试用字母a 、b 、m 表示线段AB 的长． 【答案】（1）27°；（2）AB=2c －b ；（3）2AB m a b =-- 【分析】（1）由点C 、B 关于y 轴对称可得AB=AC ，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；（2）作辅助线如图，易得DE 是∴AOG 的中位线，可得AD=DG ，根据直角三角形的性质可得AD=OD=DG ，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和以及等量代换可得∴BAD=∴BGD ，从而可得AB=BG ，进一步即可求出答案；（3）连接OE ，作EG∴DB 于G ，EH∴x 轴于H ，如图，易证O 、E 、F 三点共线，设E （n ，n ），根据两点间的距离公式可得)EF m n =-，由等腰三角形的性质可推出2a bn +=，然后在Rt∴BEG 中，由勾股定理结合上述结论即可得出结论． 【详解】解：（1）∴点C 、B 关于y 轴对称， ∴AB=AC ， ∴126CAB ∠=︒， ∴ABC ∠=1801801262722CAB ︒-∠︒-︒==︒；故答案为：27°；（2）延长AD 交x 轴于点G ，作DE∴y 轴于E ，DF∴x 轴于F ，如图， ∴()1,2D c a b c ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴OE=DF=12a ，DE∴OG ，∴OA=a ， ∴AE=OE=12a ， ∴DE 是∴AOG 的中位线， ∴AD=DG ， ∴AD=OD=DG ， ∴∴DOG=∴DGO ，∴∴ADO=∴ABO ，∴AHD=∴OHB ， ∴∴DAB=∴DOG ， ∴∴BAD=∴BGD ， ∴AB=BG ，∴DO=DG ，DF∴x 轴， ∴OG=2OF=2c ，又∴OG=OB+BG=b+AB=2c ， ∴AB=2c －b ；（3）连接OE ，作EG∴DB 于G ，EH∴x 轴于H ，如图，∴EA=ED ，OA=OD=a ，OE=OE ， ∴∴AOE∴∴DOE ， ∴∴AOE=∴DOE=45°， ∴OE 平分∴AOD ， ∴(),F m m ，∴F 在∴AOD 的平分线上， ∴O 、E 、F 三点共线，设E （n ，n ），则)EF m n ==-，∴ED=EB ，EG∴DB ，∴DG=BG ，即n －a=b －n ，可得2a bn +=， 在Rt∴BEG 中，由勾股定理得()222222222222a b a b a b BE BG EG n b n +-+⎛⎫⎛⎫=+=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴222AB a b =+，∴()222222AB BE EF m n ===-，∴()222442a b AB m n m +⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴2AB m a b =--． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理以及整式的乘法运算等知识，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．4．阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：==><再例如：求y=的最大值．做法如下：解：由20,20x x+≥-≥可知2x≥，而y==当2x=2，所以的最大值是2．解决下述问题：（1）比较4和（2）求y=【答案】（1）4<；（2）y的最大值为21．【分析】（1）利用分子有理化得到4=然后比较4和的大小即可得到4与（2）利用二次根式有意义的条件得到01x ，而y 利用当0x =时，有最大值11得到所以y 的最大值；利用当1x =时，10得到y 的最小值．【详解】解：（1）4==，=，而>4>4∴>4∴<（2）由10x -，10x +，0x 得01x ，y =+∴当0x =11，所以y 的最大值为2；当1x =有最大值，1，0，所以y 1．【点睛】 本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．5．已知：在⊥ABC 中，CA =CB ，⊥ACB =90º，D 为⊥ABC 外一点，且满足⊥ADB =90°． （1）如图1，若2AC =，AD =1，求DB 的长．（2）如图1，求证：DA DB +=．（3）如图2所示，过C 作CE ⊥AD 于E ，BD =2，AD =6，求CE 的长．【答案】（1）DB=（2）见解析；（3）2【分析】（1）在Rt∴ABC中，根据勾股定理，得AB=2，在Rt∴ABD中，根据勾股定理，得DB=；（2）过C点作CF∴CD，构造手拉手模型，运用等腰直角三角形的性质可得证；（3）过C点作CF∴CD，构造手拉手模型，运用三角形全等可得证．【详解】（1）解：在Rt∴ABC中，∴CA CB==∴2AB=，∴在Rt∴ABD中，DB==（2）证明：如图，过C点作CF∴CD交DB的延长线于点F．∴∴ACB=∴DCF=90°，∴∴ACD=∴BCF，∴∴CAD+∴CBD=360°－(∴ACB+∴ADB)=180°，∴CBF+∴CBD=180°，∴∴CAD=∴CBF，又∴CA=CB，∴∴CAD∴∴CBF(ASA)，∴CD=CF，AD=BF，∴DF=，∴DF=DB+BF=DB+DA，∴DA DB+=．（3）解：如图，过C点作CF∴CD交AD与F点，∴∴ACB=∴DCF=90°，即∴ACF+∴BCF=∴BCD+∴BCF=90°，∴∴ACF=∴BCD，∴∴AFC=∴FCD+∴CDA=90°+∴CDA，∴CDB=∴CDA+∴ADB=90°+∴CDA，∴∴AFC=∴CDB，又∴CA=CB，∴∴CAF∴∴CBD(AAS)，∴CF=CD，AF=BD，∴∴CDF是等腰直角三角形，又∴CE∴AD，∴E为DF中点，∴AD=6，AF=BD=2，∴FD=AD－AF=4，∴122CE DF==．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的全等，手拉手模型的构造，熟练构造手拉手模型是解题的关键.6．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，点B（4，3），E，F分别为OA，BC边上的中点，动点P从点E出发以每秒2个单位速度沿EO方向向点O运动，同时，动点Q从点F出发以每秒1个单位速度沿FB方向向点B运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止．连接EF、PQ，且EF与PQ相交于点M，连接AM．（1）求线段AM的长度；（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，连接CH，求线段CH长度的最小值．【答案】(1)【分析】(1)证明∴FMQ∴∴EMP，且相似比为1=2=FM FQME PE，由EF=3求出FM=1，ME=2，再在Rt∴MEA中，由勾股定理即可求出AM的长度；(2)连接AM，取MA中点I，只要C、H、I，此时会形成∴ICH，根据三角形两边之差小于第三边可知，CH>IC-IH，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，由此即可求解．【详解】解：(1)∴BC∥OA，∴∴FQM=∴EPM，且∴FMQ=∴EMP，∴∴FQM∴∴EPM，设运动时间为t，则FQ=t，PE=2t∴1=2=FM FQME PE，又FE=3，∴FM=1，ME=2，又E为OA的中点，∴EA=OE=2，∴在Rt∴MEA中，===MA故答案为：(2)如下图所示，连接AM，取AM中点I，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，否则构成∴ICH，三角形两边之差小于第三边CH，过I点作IN∴BC于N，连接IH，∴FM ∥IN ∥AB ，且I 是AM 的中点，∴IN 是梯形MFBA 的中位线，∴IN=11()(13)222+=+=MF AB ，112==FN FB ,在Rt∴CIN 中，由勾股定理：CI又I 为直角∴AHM 斜边AM 上的中点，∴111222=====IH IM MA∴当C 、H 、I 三点共线时，CH 有最大值为=-=CH CI IH【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，梯形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形两边之差小于第三边等知识点，具有一定的综合性，熟练掌握各性质是解决本题的关键．7．阅读下列材料，然后回答问题．⊥一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：===1)2=1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．⊥学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1+...（2）已知 m 是正整数， a，b 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ．（31=【答案】（1）12-；（2）2；（3）9 【分析】（1）先将式子的每一项进行分母有理化，再计算即可；（2）先求出,a b ab +的值，再用换元法计算求解即可；（31=的值，再对【详解】解：（1）原式12019+2222=+++12019122+++==（2）∴a ，b∴2(21),1a b m ab +==+= ∴2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴222()18232019a b ++=∴2298a b +=∴24(21)100m +=∴251m =±-∴m 是正整数∴m=2．（31=得出21=20=∴2281=+=0≥≥9=．【点睛】本题考查的知识点是分母有理化以及利用换元思想求解，解此题的关键是读懂题意．理解分母有理化的方法以及利用换元方法解题的方法．8．已知ABC 中，60BAC ∠=︒，以AB 和BC 为边向外作等边ABD △和等边BCE ．（1）连接AE 、CD ，如图1，求证：AE CD =；（2）若N 为CD 中点，连接AN ，如图2，求证：2CE AN =；（3）若AB BC ⊥，延长AB 交DE 于M ，DB =3，则BM = ．（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2． 【分析】（1）由等边ABD △和等边BCE ．AB=DB ，BC=BE ，可推得∴ABE=∴DBC ，可证(SAS)ABE DBC △≌△由性质AE CD =即可；（2）延长AN 使NF AN =，连接FC ，由N 为CD 中点，可得CN=DN ，可证(SAS)ADN FCN △≌△，可得CF AD AB ==，NCF NDA ∠=∠，可求∴DAC=120°，可推出60ACF ∠=︒，可证(SAS)ABC CFA ≌，由性质得2CE BC AF AN ===即可；（3）过E 作EG∴BE ，交AM 延长线于G 由AB BC ⊥，60BAC ∠=︒，DB =∴EBM =30°，求得∴G==60°=∴CAB ，可证∴CAB∴∴BGE （AAS ）由性质得GE=AB=DB =，利用30°角的直角边与斜边关系得，再证∴AD∴∴GME （AAS ），得AM=GM 可求得BG=即可．【详解】（1）证明：∴等边ABD △和等边BCE ．AB=DB ，BC=BE ，∴ABD=∴CBE=60°，∴∴ABD+∴ABC=∴CBE+∴ABC ，∴∴ABE=∴DBC ，(SAS)ABE DBC △≌△，AE CD ∴=；（2）延长AN 使NF AN =，连接FC ，∴N 为CD 中点，∴CN=DN ，又∴AND=∴FNC ，(SAS)ADN FCN △≌△，CF AD AB ∴==，NCF NDA ∠=∠，∴60BAC ∠=︒，∴DAB=60°，∴∴DAC=120°，∴60ACF ACD NCF ACD ADN ∠=∠+∠=∠+∠=︒，BAC ACF ∴∠=∠，∴AC=CA ，(SAS)ABC CFA ≌，2CE BC AF AN ∴===；（3）过E 作EG∴BE ，交AM 延长线于G ，∴AB BC ⊥，60BAC ∠=︒，DB =，，由勾股定理得：=∴∴EBM=180°-∴ABC -∴CBE=30°，∴∴G=180°-∴GBE -∴BEG=60°=∴CAB ，∴BC=EB ，∴∴CAB∴∴BGE （AAS ），∴GE=AB=DB =，∴∴DAM=60°=∴G ，又∴∴AMD=∴GME ，∴∴AD∴∴GME （AAS ），∴AM=GM ，∴GM=AB+BM ，，，∴2BM =．故答案为：2．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段中点，线段和差，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理应用，线段中点，线段和差计算是解题关键．9．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心．（1）写出一种你学过的和美四边形________；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG OH 、、、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若3,2,4AB BC CD ===，求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3＝S2+S4；（4【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直解答；（2）根据矩形的判定定理解答；（3）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答；（4）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可．【详解】解：（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，故选：A．（3）由和美四边形的定义可知，AC∴BD，则∴AOB＝∴BOC＝∴COD＝∴DOA＝90°，又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴∴AOE的面积＝∴BOE的面积，∴BOF的面积＝∴COF的面积，∴COG的面积＝∴DOG的面积，∴DOH的面积＝∴AOH的面积，∴S1+S3＝∴AOE的面积+∴COF的面积+∴COG的面积+∴AOH的面积＝S2+S4；（4）如图2，连接AC、BD交于点O，则AC∴BD，∴在Rt∴AOB中，AO2＝AB2-BO2，Rt∴DOC中，DO2＝DC2-CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2-BO2+DC2-CO2＝AB2+DC2-BC2＝32+42-22＝21，即可得AD．【点睛】本题考查的是和美四边形的定义、矩形的判定、勾股定理的应用，正确理解和美四边形的定义、掌握矩形的判定定理是解题的关键．。

平行四邊形知識點一、四邊形相關1、四邊形的內角和定理及外角和定理四邊形的內角和定理：四邊形的內角和等于360°。

四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。

推論：多邊形的內角和定理：n 邊形的內角和等于•-)2(n 180°； 多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

2、多邊形的對角線條數的計算公式設多邊形的邊數為n ，則多邊形的對角線條數為2)3(-n n 。

二、平行四邊形1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形． 平行四邊形的定義既是平行四邊形的一條性質，又是一個判定方法．2．平行四邊形的性質：平行四邊形的有關性質和判定都是從 邊、角、對角線 三個方面的特征進行簡述的．（1）角：平行四邊形的對角相等，鄰角互補；（2）邊：平行四邊形兩組對邊分別平行且相等；ABDO C（3）對角線：平行四邊形的對角線互相平分；（4）面積：①S ==⨯底高ah ； ②平行四邊形的對角線將四邊形分成4個面積相等的三角形．3．平行四邊形的判別方法①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 ②方法1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形③方法2：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 ④方法3：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形⑤方法4： 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形三、矩形1. 矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

2. 矩形性質①邊：對邊平行且相等； ②角：對角相等、鄰角互補，矩形的四個角都是直角；③對角線：對角線互相平分且相等； ④對稱性：軸對稱圖形（對邊中點連線所在直線，2條）．3. 矩形的判定：滿足下列條件之一的四邊形是矩形①有一個角是直角的平行四邊形； ②對角線相等的平行四邊A DB CO形； ③四個角都相等識別矩形的常用方法① 先說明四邊形ABCD 為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD 的任意一個角為直角．② 先說明四邊形ABCD 為平行四邊形，再說明平行四邊形ABCD 的對角線相等．③ 說明四邊形ABCD 的三個角是直角．4. 矩形的面積① 設矩形ABCD 的兩鄰邊長分別為a,b ，則S 矩形=ab ．四、菱形1. 菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。