中点四边形问题总结

中点四边形规律总结规律总结：中点四边形： 如图，四边形ABCD 勺各边的中点，所构成的四边形 EFGH 叫做四边形ABCD 勺中点四边形。

三角形的中位线定理，矩形的对角线相等，菱形的对角线互 相垂直，正方形的对角线相等且互相垂直。

例1:无论四边形ABCD 勺形状怎么变化，中点四边形 EFGH 勺形状始终为。

请写出猜想，并证明。

已知，如图，四边形 ABCD 中, E 、H 、C 、G 分别为AB 、BC CD DA 中点 求证：四边形EFGH 是 ________________ .相关知识点: 任意四边形的中点四边形是“平行四边形” 任意平行四边形的中点四边形是“平行四边形” 任意矩形的中的四边形是菱形；任意菱形的中点四边形是矩形；任意正方形的中点四边形是正方形；D证明：连接AC,利用三角形的中位线定理和平行四边形的定义即可证明例2研究特殊四边形的中点四边形的形状。

使四边形ABCD 分别为平行四边形、 矩形、菱形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形 EFGH 形状。

发现：中点四边形的形状有 _________________________________________ .① 顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是什么四边形提出猜想，并说明你的 猜想是否正确② 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是什么四边形提出猜想，并说明你的 猜想是否正确。

例3、反之若.中点四.边形_.EFGH 分别为.矩形、菱形和正方形.，贝u 四边形ABCD 是否 一定分别为菱形、矩形(等腰梯形)、正方形观察下面图形。

问题：决定中点四边形EFGH 勺形状的主要因素是四边形ABCD 勺边角对角线 概括规律：决定中点四边形EFGH 勺形状的主要因素是 _______________________ 。

⑴ _______________________________ ,则四边形EFGH 为菱形；⑵ _______________________________ ,则四边形EFGH 为矩形；⑶ __________________________________ ,则四边形EFGH 为正方形例4.如图(1) (2) (3)，最外面的矩形、菱形、正方形的面积为 1,则最里面的E CGD B中点四边形的面积图（3）。

四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AE BD ⊥交BC 于点E ．求证：2BE CE =．例2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AM BD ⊥于M ，交BC 于点E ．求CDE S ∆．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ∠=︒，M 为AB 中点． 若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，求梯形ABCD 的面积．BB例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC ∆中，7AC =，4BC =，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ∠=︒+∠．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．EA四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ⊥，垂足为F ．求证：FG DG =．例8．如图，在ABC ∆内取一点P ，使PBA PCA ∠=∠，作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，AD 上有一点E 使得BE EC ⊥，且45CED ∠=︒．求证：AB CD BC +=．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP ADQ MQNP S S S ∆∆=+四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形例11．如图，在任意五边形ABCDE 中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF 中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF +=+，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A D B E =．求证：CDE AFE ∠=∠．ABE1ADABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P ，求NPC ∠的度数．2．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ∠=∠，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ⊥，OQ AB ⊥，P Q 、为垂足．求证：DP DQ =．3．如图，在ABC ∆中，2A B ACB ∠+∠=∠，8BC =，D 为AB 的中点，且CD =，求AC 的长．BBD BAFE MABCDM4．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB =5．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD =．6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠。

顺次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形有什么特征？
关于这个问题在各种平台上讲解的很多，但是不够具体全面，这实际上是数学课本课后的一个问题，下面杜老师详细的解答这个问题。

首先定义中点四边形：任意一个四边形中点顺次连接起来构成的四边形叫中点四边形
证明：如图，连接BD，
∵H,E分别是AD,AB的中点
∴HE是△ABD的中位线
∴HE平行且等于BD的一半（HE∥BD，HE=1/2BD）
同理GF平行且等于BD的一半（GF∥BD，GF=1/2BD）
∴HE∥GF，HE=GF
∴四边形EFGH是平行四边形
特殊图形的中点四边形
①若原四边形是平行四边形，则中点四边形是平行四边形
②若原四边形是矩形，则中点四边形是菱形
③若原四边形是菱形，则中点四边形是矩形
④若四边形是正方形，则中点四边形是正方形
写到最后：
①任意四边形，中点四边形是平行四边形
②对角线相等的四边形，中点四边形是菱形
③对角线垂直的四边形，中点四边形是矩形
④对角线垂直且相等的四边形，中点四边形是正方形。

中点四边形证明平行四边形-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分应该包括对本文主题的简要介绍和背景说明。

在这篇文章中，我们将探讨中点四边形与平行四边形之间的关系，并提出如何通过中点四边形来证明平行四边形的方法。

中点四边形是一个重要的几何概念，它可以帮助我们理解平行四边形的性质和特点。

通过本文的研究，我们将深入探讨中点四边形的定义、证明平行四边形的方法以及平行四边形的性质。

通过这些研究，我们可以更好地理解几何学中的重要概念，并提高我们的数学思维能力。

因此，本文旨在帮助读者更深入地了解中点四边形与平行四边形之间的关系，以及如何应用中点四边形来证明平行四边形的重要性。

1.2 文章结构本文将围绕中点四边形的定义、证明平行四边形以及平行四边形的性质展开讨论。

首先我们将介绍中点四边形的定义，引出证明平行四边形的方法。

接着我们将详细讲解如何通过中点四边形证明平行四边形的过程，并探讨平行四边形的一些重要性质。

最后，我们将总结中点四边形与平行四边形之间的关系，并强调应用中点四边形证明平行四边形的重要性。

通过本文的阐述，读者将能更深入地理解中点四边形与平行四边形的联系，以及如何运用中点四边形证明平行四边形的方法。

1.3 目的:本文的目的在于探讨中点四边形与平行四边形之间的关系，并通过证明和分析的方法，阐述中点四边形如何能够证明平行四边形的性质。

通过深入研究这一主题，我们可以更好地理解几何学中关于平行四边形的性质和特点，从而帮助读者提升对几何学知识的理解和运用能力。

同时，通过本文的撰写，也旨在引导读者重视中点四边形在证明平行四边形中的重要性，从而增加对中点四边形的认识和应用。

最终，我们希望通过本文的讨论和分析，使读者对中点四边形与平行四边形的关系有更深入的理解，为其学习和研究几何学提供有益的参考和启示。

2.正文2.1 中点四边形的定义:中点四边形是指在一个四边形中，如果连结相邻两边的中点，这些连线形成的新图形就是中点四边形。

八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题5.9中点四边形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•兴宁市期末）若正方形ABCD各边的中点依次为E、F、G、H，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．（2021秋•成华区期末）顺次连接菱形四边中点形成的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定3．（2021春•霍林郭勒市校级月考）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．平行四边形D．正方形4．（2021秋•和平区期末）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．三角形5．（2019秋•龙岗区期末）如图，四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接四边形各边中点得到的图形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．以上都不对6．（2021春•宣城期末）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．17．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形8．（2021春•武昌区校级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（）A．当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形B．当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形C．当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形D．以上说法都不对9．（2018•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（2021春•遵化市期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上、11．（2021春•宜兴市月考）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形．12．（2021秋•南海区月考）顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是．13．（2021春•泰兴市月考）四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形为形．14．（2021秋•南海区月考）已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是．15．（2020春•孝义市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，依次连接AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，得到四边形EFGH，点M是EF的中点，连接OM，若AB＝10，则OM的长为．16．（2021秋•榆阳区校级月考）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是正方形．17．（2021•西城区校级开学）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是．18．（2021春•昆明期末）如图，某小区要在一块矩形ABCD的空地上建造一个如图所示的四边形花园EFGH，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若AB＝10m，AD＝20m，则四边形EFGH的面积为m²．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•海陵区校级期中）如图，O为∠BAC内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AB＝AC，AO平分∠BAC时，求证：四边形EFGH为矩形．20．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）①当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件时，四边形EGFH是矩形．21．（2021春•滦州市期末）已知：如图，四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD和AC的中点．（1）求证：四边形MPNQ是平行四边形．（2）若满足AB＝CD．试判断MN与PQ的位置关系（不用说明理由）．22．（2021春•集贤县期末）在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．（1）如图1，试判断四边形PQMN怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2），判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论．23．（2021春•盐城期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、EH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）再加上条件后，能使得四边形EFGH是矩形．请从①四边形ABCD是菱形，②四边形ABCD 是矩形．这两个条件中选择1个条件填空（写序号），重新画图并写出证明过程．24．（2021春•泗阳县期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB＝CD，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．。

四边形解题技巧一、平行四边形应用举例平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明．1．求角的度数例1 如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC 的度数．例2 （2007·河北）如图，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F=______．2．求线段的长例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A =120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的长．例4 (2006·河北)如图，在DABCD中，AD＝5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为( )A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和43．求周长例5 (2006·日照)如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF= 45°，且2，求ABCD的周长．AE+AF=24．求第三边的取值范围例6 (2006·双柏)如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是( )A．10<m<12 B．2<m<22 C．l<m<ll D．5<m<65．综合计算题例7 如图,ABCD的周长为210 ，BC的长为35，AE⊥BC于E，AF⊥DC，垂足为36DC延长线上的点F，AE=3．求：(1)∠D的度数；(2)AF的长．6．探索题例8 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于点F，∠AD C的平分线DG交边AB于点G，且DG与CF交于点E．请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．二、添作中位线，妙证几何题三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解．例9 如图，在△ABC中，AB<AC，点D在AC上，且有CD=AB，E、F分别是AD和BC的中点，连结EF并延长与BA的延长线相交于点G，求证：AE=AG．例10 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N．求证：∠OMN=∠ONM.例11 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。

中点四边形是矩形的条件好吧，今天咱们聊聊中点四边形是矩形的那些事儿。

这可不是随便说说的，里面可有不少学问。

不过，放心，咱们轻松点，咱们把数学说得简单点，就像喝水一样，别紧张。

首先呢，中点四边形，听起来是不是有点高大上？其实它就是一个四边形，四条边的中点连接起来的样子。

就好比你把一个大方块的边上各挖个小洞，然后把这些洞连起来，形成了个新形状。

哎呀，这个新形状可不简单，得看它是个什么玩意儿。

要是它是矩形，那就真是太棒了，咱们可得认真研究一下。

说到矩形，大家伙儿应该都知道，矩形就是长方形的那种，四个角都是直角，且对边相等。

简单点说，矩形就是个特别规矩的家伙，跟那些喜欢“偏差”的形状比起来，它可真是规规矩矩，安安分分。

咱们要判定一个中点四边形是不是矩形，有几个条件得满足。

比如说，得看看对角线的长度。

对角线长度相等的话，那这中点四边形基本上可以打包票是个矩形。

再说了，咱们还能通过中点四边形的斜边来判断它是不是矩形。

这就像你在操场上和朋友打球，大家分成两队，咱们就得看你们这两队的阵形。

如果这两队的阵形呈对称状态，那肯定是一场精彩的比赛，想想都觉得激动！同样的道理，如果中点四边形的两条对角线也对称，那它的“阵形”也一定是个矩形。

这可不是随便说说，真有道理。

然后啊，中点四边形还有一个特性，就是它的边和对角线的夹角。

咱们要看这些夹角是不是都是90度，要是都那么乖，那这小子八成是个矩形，嘿嘿，听上去可真不错呀。

就像咱们家里的方桌，四条腿直直的，放在哪儿都稳稳当当，这就是矩形的魅力所在。

简直就是稳如泰山，动也不动。

大家要记得，什么事情都有例外。

中点四边形可不一定都是矩形，遇上那些边长不一样的，就得小心了。

你看，人生也是这样，有时候你以为是方方正正的事，结果转个弯就变得复杂了。

好比你做饭，结果盐放多了，那就别想吃了，哈哈。

所以啊，咱们在判断的时候可得谨慎，别被表面现象给迷了眼。

接着说说，数学这玩意儿，就像一把双刃剑。

咱们看起来简单的几何图形，里面其实藏着无数的奥秘。

利用中点法解决平行四边形存在性问题平行四边形作为特殊的四边形,一直是中考试题中的主角。

尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高。

此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质；考查识图作图、运算求解、数学表达等能力；数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想。

学生在处理问题的时候,往往不能正确分类，导致漏解。

此外,在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算,学生顺利完成的难度就更大。

如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线互相平分，即对角线的中点互相重合，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径，简称“中点法”。

不需画图证明，跨越了复杂的推理过程和艰难的探索发现以及证明过程，学生的思路清晰明了。

一、已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点。

此类题是解决平行四边形存在性问题的基础题。

由于有三个点A、B、C已经确定，在作图时，一般会分别选择AB、AC、BC为对角线来进行画图，根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称来解决问题。

具体求解方法是利用平行四边形的对角线互相平分，即对角线的中点互相重合。

如果平行四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（, ）、B（，）、C（, ）、D（, ），则,，化简为,。

即平行四边形每条对角线上两个顶点的横坐标之和相等,纵坐标之和也相等。

简称“中点法”。

例：如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点．若平面内有一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．图1解：先求出三个点坐标，A(-2,0)、B(4,0)、C(0，-4），再分别以三边为平行四边形对角线构造平行四边形，如图答-1：①以为对角线，,；同理=4，所以；②以为对角线，；③以为对角线，.综上所述，的坐标为.二、已知两个定点，另外两个点一般在抛物线上或抛物线对称轴上或x轴上或y轴上。

第07讲模型构建专题：中点模型之斜边中线、中点四边形中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后两类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt ABC△斜边上的中线，则：（1）12AD BC=BD DC==；（2）ABD△，ACD△为等腰三角形；（3）2ADB C∠=∠，2ADC B∠=∠．图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）AM MD=；（2）2AMD ABD∠=∠．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）模型2：中点四边形模型中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．如图1，已知点M 、N 、P 、Q 是任意四边形ABCD 各边中点，则四边形MNPQ 为平行四边形.图1图2图3图4结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）如图2，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为矩形.结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）如图3，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，则四边形MNPQ 为菱形.结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．如图4，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为正方形.推广与应用1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的12.【题型一利用斜边的中线等于斜边的一半求角度】例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在ABC 中，32A ∠=︒，大于12AC 长为半径画弧，直线MN 与AC 相交于点E ，过点C 作CD AB ⊥，CD 与BE 相交于点F ，若BD CE =，则BFC ∠的度数是．【答案】106︒/106度【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接DE ，如图，利用基本作图得到E 点为AC 的中点，则根据斜边上的中线性质得到DE CE AE ==，则32EDA A ∠=∠=︒，再证明BD ED =得到DBE DEB ∠=∠，然后根据三角形外角性质计算出16DBE ∠=︒，接着计算出BFC ∠．【详解】解：连接DE ，，由作法得MN 垂直平分AC ，∴E 点为AC 的中点，∵CD AB ⊥，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，∴DE CE AE ==，∴32EDA A ∠=∠=︒，∵BD CE =，∴BD ED =，∴DBE DEB ∠=∠，∵EDA DBE DEB ∠=∠+∠，∴1162DBE ADE ∠=∠=︒，∴BFC DBF BDF ∠=∠+∠=故答案为：106︒．【变式1-1】（2024八年级下则BCD ∠=度．【答案】70【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质．在Rt ABC △中，根据CD 是斜边AB 上的中线，得CD AD =，可求出20ACD ∠=︒即可解决问题．【详解】解：在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，CD AD ∴=，20A ACD ∴∠=∠=︒，902070BCD ACB ACD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：70．【变式1-2】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在Rt AEB 和Rt AFB 中，90AEB AFB ∠=∠=︒，O为AB 的中点，连接EF ，OE ，若50EAF ∠=︒，则OEF ∠=．∵90AEB AFB ∠=∠=︒，O 为∴12OE OF AB OA OB ====∴,EAO OEA OAF OFA ∠=∠∠=∠∴EOB FOB OAE ∠+∠=∠+∠即：100EOF ∠=︒∵OE OF =，∴()1180100402OEF ∠=︒-︒=故答案为：40︒．【变式1-3】（23-24八年级下·全国点E ，F 分别为AC ，CD 的中点，12BE AC =，D α∠=，则BEF ∠的度数为（用含α的式子表示）．【答案】2703α︒-【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形中位线定理、直角三角形的性质、等边对等角，求出90DAC α∠︒=-，结合角平分线的定义得出90CAB DAC α∠=∠=︒-，由直角三角形的性质得出BE AE EC ==，由等边对等角得出90EAB EBA α∠=∠=︒-，推出1802CEB α∠=︒-，由三角形中位线定理得出90CEF DAC α∠=∠=︒-，即可得出答案．【详解】解：∵=90ACD ∠︒，D α∠=，∴9090DAC D α∠=︒-∠=︒-，∵AC 平分BAD ∠，∴90CAB DAC α∠=∠=︒-，∵90ABC ∠=︒，E 为AC 的中点，12BE AC =，∴BE AE EC ==，∴90EAB EBA α∠=∠=︒-，∴1802CEB EAB EBA α∠=∠+∠=︒-，∵点E ，F 分别为AC ，CD 的中点，∴EF AD ∥，∴90CEF DAC α∠=∠=︒-，∴1802902703BEF BEC CEF ααα∠=∠+∠=︒-+︒-=︒-，故答案为：2703α︒-．【题型二利用斜边的中线等于斜边的一半求线段长】例2.（23-24八年级下·北京·期中）如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为2.4km ，则MC =km ．【答案】1.2【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由AC BC ⊥，得出90ACB ∠=︒，由点M点F 在线段DE 上，且AF BF ⊥．若4AB =，7BC =，则EF 的长为．连接BE ，点F 为BE 上一动点，连接HF DF DF 、，的延长线交AB 于点P ，若PB PF =，则HF 的长为．【答案】3【分析】延长BE CD 、，交于点G ，连接CF ，如图所示，结合矩形性质，利用两个三角形全等的判定得到()AAS ABE DGE ≌，从而得到AB DG =，进而由矩形性质得到GD CD =，再由等腰三角形的判定与性质得到12FD GD CD GC ===，再由直角三角形的判定确定90CFG ∠=︒，最后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．【详解】解：延长BE CD 、，交于点G ，连接CF ，如图所示：在矩形ABCD 中，AB CD ∥，则,G ABE GDA BAD ∠=∠∠=∠，点E 为边AD 的中点，AE DE ∴=，()AAS ABE DGE ∴ ≌，AB DG ∴=，在矩形ABCD 中，AB CD =，则GD CD =，PB PF =，ABE PFB ∴∠=∠，GFD PFB ∠=∠，ABE G ∠=∠，GFD G ∴∠=∠，FD GD ∴=，则12FD GD CD GC ===，DFC DCF ∴∠=∠，在CFG △中，()()180G GFC GCF DFC DCF GFD G ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒，即90G GFD CF F D C ∠︒+=，∴90CFB ∠=︒，点H 为边BC 的中点，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中6AB =，2BC =．运动过程中点D 到点O 的最大距离是．∵90MON ∠=︒，矩形ABCD ∴13,2OE AE AB AD ===∴2213DE AE AD =+=∵OD OE DE ≤+，∴当点D ，点E ，点O 共线时，∴点D 到点O 的最大距离故答案为：313+．【题型三利用斜边的中线等于斜边的一半证明】∥交DC的延长线于点E．过点D作例3.（2024·北京·三模）如图，矩形ABCD，过点B作BE AC⊥于F，G为AC中点，连接FG．DF BE=．(1)求证：BE AC(2)若24，，求FG的长．==AB BCA作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF BE=，连接DF．(1)求证：四边形AEFD 是矩形；(2)连接OE ，若10AD =，6OE =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)485【分析】（1）根据菱形的性质可得AD BC ∥且AD BC =，等量代换得到AD EF =，推出四边形AEFD 是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得出结论；（2）由菱形的性质可得AC BD ⊥，AO CO =，10AB BC AD ===，由直角三角形斜边上的中线的性质可得212AC OE ==，由勾股定理可得22222AB BE AC CE AE -=-=，计算出BE 的长，最后再由勾股定理计算出AE 的长即可．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是菱形，AD BC ∴∥且AD BC =，BE CF = ，BC EF ∴=，AD EF ∴=，AD EF ∥ ，∴四边形AEFD 是平行四边形，AE BC ⊥ ，90AEF ∴∠=︒，∴四边形AEFD 是矩形；（2）解： 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，AO CO =，10AB BC AD ===，AE BC ⊥ ，90AEB AEC ∴∠=∠=︒，212AC OE ∴==，22222AB BE AC CE AE -=-= ，()2222101210BE BE ∴-=--，145BE ∴=，AO OC =，OB OD =．(1)直接．．写出AB 与CD 的数量关系和位置关系；(2)当CD AD =时，四边形ABCD 是什么特殊四边形？并说明理由；(3)在（2）的基础上，过点A 作AE BC ⊥于点E ，连接OE ，若10AD =，4EC =，求OE 的长．点E 在AB 上，连接DE 交AC 于点K ，EF AD ⊥于点F ，EF 交AC 于点U ，G 为AC 的中点，连接DG ，且2DGC FED ∠=∠．(1)如图1，求证：DE AC ⊥；(2)如图2，当ED AU =时，求BCD ∠的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BD ，BD =2CK =，求BC 的长．【题型四中点四边形中的规律探究问题】例4.（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在菱形ABCD 中，边长为1，60A ∠=︒．顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形1111D C B A ；顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，可得四边形2222A B C D ，顺次连接四边形2222A B C D 各边中点，可得四边形3333A B C D ；…；按此规律继续下去．四边形2024202420242024A B C D 的面积是．【答案】202532/2025132【分析】本题考查了菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解题的关键．根据菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，依次求出四边形的面积，得出规律，即可解答．【详解】解： 菱形ABCD ，ADB ∴ ，CDB △为等边三角形，1BD ∴=，【变式4-1】（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，顺次连接矩形11112222，再顺次连接四边形2222A B C D 四边的中点得四边形3333A B C D ，…，按此规律得到四边形n n n n A B C D ，若矩形1111D C B A 的面积为15，那么四边形n n n n A B C D 的面积为．【题型五与中点四边形有关的证明问题】例5.（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG GH HE、、，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．(1)四边形EFGH的形状是__________，证明你的结论．(2)如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足__________条件时，四边形EFGH是正方形，证明你的结论．∴EH BD∥，12 EH BD=同理，FG BD∥，FG∴EH FG∥，EH FG=∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：互相垂直且相等（如图2，连结AC BD、同理（1）可知，四边形∵AC BD⊥，∴EH HG⊥，∴平行四边形EFGH是矩形，∵AC BD=，∴EH HG=，∴四边形EFGH是正方形．【变式5-1】（23-24八年级下的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”．(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________；A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形(2)如图1，以锐角ABC 的两边,AB AC 为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结,,BE EG GC ，求证：四边形BCGE 是“中方四边形”；(3)如图2，四边形ABCD 是“中方四边形”，若2AC 的值为32，则AB CD +的最小值是________．（不需要解答过程）∵四边形BCGE 各边中点分别为∴MN NR RL LM 、、、分别是BCG ∴1,,2MN BG MN BG RL BG =∥∥∴,,MN RL MN RL RN ML =∥∥∥∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABCD 是“中方四边形∴四边形ENFM 是正方形，∴,90FM FN MFN =∠=︒，∴222MN FM FN FM =+=的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．【答案】概念理解：D ；性质探究：①AC BD =，②AC CD ⊥；问题解决：见解析；拓展应用：（1）22MN AC =，理由见解析；（2）22【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案；性质探究：由四边形ABCD 是“中方四边形”，可得EFGH 是正方形且E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；问题解决：如图2，取四边形BCGE 各边中点分别为P 、Q 、R 、L 并顺次连接成四边形MNRL ，连接CE 交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL 是平行四边形，再证得△EAC ≌△BAG （SAS ），推出▱MNRL 是菱形，再由∠LMN =90°，可得菱形MNRL 是正方形，即可证得结论；拓展应用：（1）如图3，分别作AD 、BC 的中点E 、F 并顺次连接EN 、NF 、FM 、ME ，可得四边形ENFM 是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；（2）如图4，分别作AD 、BC 的中点E 、F 并顺次连接EN 、NF 、FM 、ME ，连接BD 交AC 于O ，连接OM 、ON ，当点O 在MN 上（即M 、O 、N 共线）时，OM +ON 最小，最小值为MN 的长，再结合（1）的结论即可求得答案．【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，故选：D ；性质探究：①AC =BD ，②AC ⊥BD ；理由如下：如图1，∵四边形ABCD 是“中方四边形”，∴EFGH 是正方形且E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∵四边形BCGE 各边中点分别为∴MN 、NR 、RL 、LM 分别是△∴MN ∥BG ，MN =12BG ，RL ∥BG ，RL =12BG ，RN ∥CE ，RN =12CE ，ML ∥CE ，ML =12CE ，∴MN ∥RL ，MN =RL ，RN ∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABDE 和四边形∴AE =AB ，AG =AC ，∠EAB 又∵∠BAC =∠BAC ，∴∠EAB +∠BAC =∠GAC 即∠EAC =∠BAG ，在△EAC 和△BAG 中，AE AB EAC BAG AC AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△BAG （SAS ∴CE =BG ，∠AEC =∠ABG 又∵RL =12BG ，RN =12CE ∴RL =RN ，∴▱MNRL 是菱形，∵M，F分别是AB，BC∴FM=12 AC，∴MN=22 AC；（2）如图4，分别作AD 连接BD交AC于O，连接当点O在MN上（即M得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【性质探究】：（2）如图1，四边形ABCD 是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的关系；【问题解决】：（3）如图2．以锐角ABC 的两边AB ，AC 为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接BE ，EG ，GC ．求证：四边形BCGE 是“中方四边形”；【拓展应用】：如图3，已知四边形ABCD 是“中方四边形”，M ，N 分别是AB ，CD 的中点．（4）试探索AC 与MN 的数量关系，并说明理由．（5）若2AC =，求AB CD +的最小值．【答案】（1）D ；（2）AC BD =，AC BD ⊥；（3）证明见解析；（4）22MN AC =，理由见解析；（5）AB CD +的最小值为22．【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案；（2）由中位线的性质可得：12EF AC =，EF AC ∥，12FG BD =，FG BD ∥，结合正方形的性质可得结论；（3）如图，取四边形BCGE 各边中点分别为M 、N 、R 、L 并顺次连接成四边形MNRL ，连接CE 交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL 是平行四边形，再证得EAC BAG △≌△，推出MNRL 是菱形，再由90LMN ∠=︒，可得菱形MNRL 是正方形，即可证得结论；（4）如图，记AD 、BC 的中点分别为E 、F ，可得四边形ENFM 是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；（5）如图，记AD 、BC 的中点分别为E 、F ，连接BD 交AC 于O ，连接OM 、ON ，当点O 在MN 上（即M 、O 、N 共线）时，OM ON +最小，最小值为MN 的长，再结合（1）（4）的结论即可求得答案．【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形；（2）AC BD =，AC BD ⊥．理由如下：∵四边形ABCD 是“中方四边形”，∴四边形EFGH 是正方形，∴EF FG HG EH ===，90EFG FGH GHE HEF ∠=∠=∠=∠=︒，∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，∴12EF AC =，EF AC ∥，12FG BD =，FG BD ∥，∴AC BD =，AC BD ⊥．（3）如图，设四边形BCGE 的边BC CG GE BE 、、、的中点分别为M 、N 、R 、L ，连接CE 交AB 于P ，连接BG 交CE 于K ，∵四边形BCGE 各边中点分别为M ∴MN 、NR ，RL ，LM 分别是BCG ∴MN BG ∥，12MN BG =，RL ∥∴MN RL ∥，MN RL =，RN CE ∥∴四边形MNRL 是平行四边形，∵四边形ABDE 和四边形ACFG 都是正方形，∴AE AB =，AG AC =，EAB GAC ∠=∠∴EAC BAG ∠=∠，∴()SAS EAC BAG ≌，∴CE BG =，AEC ABG ∠=∠，又∵12RL BG =，12RN CE =，∴RL RN =，∴平行四边形MNRL 是菱形，∵90EAB ∠=︒，∴90AEP APE ∠+∠=︒．又∵AEC ABG ∠=∠，APE BPK ∠=∠∴90ABG BPK ∠+∠=︒，∴90BKP ∠=︒，又∵MN BG ∥，ML CE ∥，∴90LMN ∠=︒．∴菱形MNRL 是正方形，即原四边形（4）如图，记AD 、BC 的中点分别为∵四边形ABCD 是“中方四边形∴四边形ENFM 是正方形，∴FM FN =，MFN ∠∴22MN FM FN =+=∵M ，F 分别是AB ，BC ∴12FM AC =，∴22MN AC =；（5）如图，连接BD 当点O 在MN 上（即M 、∴()2OM ON +的最小值由性质探究（1）知：AC 又∵M ，N 分别是AB ，∴2AB OM =，2CD ON =∴()2OM ON AB CD +=+∴AB CD +的最小值2MN =由拓展应用（4）知：MN 又∵2AC =，∴2MN =，∴AB CD +的最小值为2【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．一、单选题1．（2024·广东深圳·模拟预测）一技术人员用刻度尺（单位，cm ）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知90ACB ∠=︒，点D 为边AB 的中点，点A B 、对应的刻度为17、，则CD =（）A ．3.5cmB ．3cmC ．4.5cmD ．6cmFD GH 、上，若斜边AB 与直线GH 交于AB 的中点E ，则EAD ∠的大小为（）A ．60︒B ．55︒C ．45︒D ．30︒的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（）A ．AB CD=B ．AC BD ⊥C ．CD BC =D ．AC BD=【答案】B 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形EFGH 为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可．【详解】解：应添加的条件是AC BD ⊥，理由为：证明：E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，EH BD ∴∥，FG BD ∥，HG AC ∥，EF AC ∥，∴EH FG ∥，HG EF ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，A 、添加的条件是AB CD =时，四边形EFGH 为平行四边形，故此选项不符合题意；B 、添加的条件是AC BD ⊥，则EH EF ⊥，所以四边形EFGH 为矩形，故此选项符合题意；C 、添加的条件是CD BC =，四边形EFGH 为平行四边形，故此选项不符合题意；D 、添加的条件是AC BD =，是边BC 的中点，连接EF ，若16AC =，菱形ABCD 的面积96，则EF BD 的值是（）A ．12B ．13C ．712D ．512一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q，在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形．其中，所有正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【答案】A【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂直的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断．【详解】①AC与BD不平行时，中点四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，所以①正确；②AC与BD相等且不平行时，中点四边形MNPQ是菱形，故存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，所以②正确；③AC与BD互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形MNPQ是矩形，故存在无数个中点四边形MNPQ是矩形，所以③正确；④如图所示，当AC与BD相等且互相垂直时，中点四边形MNPQ是正方形，故存在两个中点四边形MNPQ 是正方形，所以④错误．故选A．【点睛】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在ABC 中，90,BAC D ∠=︒是BC 的中点，若5AD =，则BC =．点O ，DH AB ⊥于H ，连接OH ，则DHO ∠=度．为AB ，BC 的中点，若C α∠=，则DEF ∠的度数为（用含α的式子表示）．【答案】290α-︒【分析】根据三角形中位线的性质求出EF AC ∥，根据平行线的性质得出BFE C a ∠=∠=，90BEF BAC ∠=∠=︒，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出DE BE =，根据等腰三角形的性质得出90BDE B a ∠=∠=︒-，根据三角形外角的性质得出()90290DEF BFE EDF a aa ∠=∠-∠=-︒-=-︒．【详解】解：∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，∴BFE C a ∠=∠=，90BEF BAC ∠=∠=︒，∴9090B BFE a ∠=︒-∠=︒-，∵AD 是高，∴90ADB ∠=︒，∵E 为AB 的中点，∴DE BE =，∴90BDE B a ∠=∠=︒-，∵BFE DEF EDF ∠=∠+∠，∴()90290DEF BFE EDF a aa ∠=∠-∠=-︒-=-︒．故答案为：290α-︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．9．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，将四边形ABCD 各边中点依次相连，得到四边形1111D C B A ，若四边形1111D C B A 的面积为15，则四边形ABCD 的面积为．【答案】30【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形1111D C B A 是矩形，从而根据矩形的面积和三角形的每件公式进行计算．此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目．【详解】解：1A ，1B ，1C ，1D 是四边形ABCD 的中点四边形，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，∴四边形1111D C B A 为矩形，设AC x =，BD y =，11A D ∴是ABD △的中位线，111122A D BD x ∴==，同理可得1112A B y =，∴四边形1111D C B A 的面积为11111154A D AB xy ⨯==．60xy ∴=，∴四边形ABCD 的面积1302xy ==，故答案为：30．10．（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 上的动点，连接EF ，P 是线段EF 的中点，PG BC ⊥，PH CD ⊥，G ，H 为垂足，连接GH ．若12AB =，9AD =，6EF =，则GH 的最小值是．【答案】12【分析】本题考查了矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质与判定，求出GH 的最小值是解本题的关键．连接AP ，CP ，AC ，由勾股定理得到AC ，再根据直角三角形斜边上的中线性质得AP ，然后证四边形PGCH 是矩形，得HG PC =，当A ，P ，C 三点共线时，∴9BC AD ==，DC AB ==2215AC AB BC ∴=+=，P 是线段EF 的中点，∴132AP EF ==， PG BC ⊥，PH CD ⊥，90PHC PGC ∴∠=∠=︒=∴四边形PGCH 是矩形，HG PC ∴=，当A ，P ，C 三点共线时，此时，15PC AC AP =-=∴GH 的最小值是12，故答案为：12．三、解答题11．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，AB CD =．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)点E 是AD 上一点，点F 是BC 的中点，连接BE CE EF ，，，若10AD =，8BE =，6CE =，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)5EF =．【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理的逆定理；解决本题的关键是掌握矩形的性质．（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；AB AD =，AC 平分BAD ∠．(1)求证：四边形ABCD 是菱形．(2)过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE 交BC 于点F ，若20ACB ∠=︒，求CFE ∠的度数．垂足为O ，顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ；再顺次连接四边形1111D C B A 各边的中点，得到四边形2222A B C D ，…如此下去得到四边形n n n n A B C D ．(1)判断四边形1111D C B A 的形状，并说明理由．(2)求四边形1111D C B A 的面积．(3)直接写出四边形n n n n A B C D 的面积（用含n 的式子表示）．【答案】(1)四边形1111D C B A 是矩形，理由见解析两个三角形组成四边形ABCD（如图1），这是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形．(1)首先请你给出筝形的一种定义：______；（文字语言描述）(2)如图1，在边、角、对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想（定义除外）；，，，边的中点．求证：四边形PQRT是矩(3)如图2，在筝形ABCD中，P，Q，R，T分别为AB BC CD AD形．【答案】(1)把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”(2)见解析(3)见解析【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．（1）根据折叠的性质得出答案；（2）先判断出ABC ADC△≌△，即可得出结论；（3）利用三角形中位线定理证明即可．【详解】（1）解：根据观察可得，两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．故答案为：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；（2）解：如图2，①筝形的一条对角线平分一组对角；②筝形的一组对角相等；证明：①由折叠知，ABC ADC△≌△，PQ AC∴∥，12PQ= AT TD=，CR RD=TR AC ∴∥，12 RT AC=PQ RT∴=，PQ RT∥∴四边形PQRT是平行四边形，AB AD=，CB CD=AC∴垂直平分线段BDAP PB=，AT TD=PT BD∴∥，PT AC∴⊥，AC PQ∥，PT PQ∴⊥，90TPQ∴∠=︒，∴四边形PQRT是矩形．15．（23-24八年级下·G是线段CE上的点（不与C E，重合），连接FG交AC于点H，连接AE CF EH，，．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)求证：CGF AEH ∠=∠；(3)当610AB BC AH AE ===，，时，求EH 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)10【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由平行四边形的性质得出AD BC =，AB CD ，AD BC ∥，由平行线的性质得出90ACD BAC ∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质得出AE CE CF AF ===，即可得证；（2）由菱形的性质得出AE AF =，FAH EAH ∠=∠，证明()SAS AEH AFH ≌得出AEH AFH ∠=∠，再由平行线的性质得出AFH CGF ∠=∠，即可得证；（3）连接EF 交AC 于点O ，由（1）可得152BE AE EC BC ====，由勾股定理可得8AC =，由菱形的性质可得142AO OC AC ===，求出1OH =，再由勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：BA AC ⊥ ，90BAC ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，AD BC ∥，AD BC =，90ACD BAC ∠∠∴==︒，E F ，分别是BC AD ，的中点，12AE CE BC ∴==，12CF AF AD ==，AE CE CF AF ∴===，∴四边形AECF 是菱形；（2）证明： 四边形AECF 是菱形，∴AE AF =，FAH EAH ∠=∠，在AEH △和AFH 中，由（1）可得BE AE EC ==∵BA AC ⊥2222106AC BC AB ∴=-=- 四边形AECF 是菱形，142AO OC AC ∴===，EF 5AH AE == ，541OH AH AO ∴=-=-=2225OE AE AO ∴=-=-2223EH OE OH ∴=+=+16．（22-23八年级下·湖南益阳使PC PA =，PD PB =，APC BPD ∠=∠，连接CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AC ，AB ，BD ，CD 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．(1)猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；(2)点P 在线段AB 的上方时，如图2，在APB △的外部作APC △和BPD △，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果（2）中，90APC BPD ∠=∠=︒，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．∵APC BPD∠=∠∴∠+∠=∠+APC CPD BPD 又∵PC PA =，PD PB =，∴PAD PCB ≌，∴AD BC =，∵点E ，F ，G ，H 分别是∴1,2EH PG AD EF HG ===∴EH PG EF HG ===，∴四边形EFGH 是菱形．（2）成立．理由：连接AD ，BC ．APC CPD BPD ∴∠+∠=∠+判断四边形EFGH是正方形．理由：连接AD，BC．（2）中已证：APD≌△PAD PCB∴∠=∠．，∠=︒90APC∴∠+∠=︒．PAD190又12，∠=∠PCB∴∠+∠=︒，290∴∠=︒．390（2）中已证GH，EH分别是∴∥，EH ADGH BC∥．EHG∴∠=︒．90又 （2）中已证四边形EFGH∴菱形EFGH是正方形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的判定，三角形中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

初中数学平行四边形中的中点四边形的对角线有什么特点在平行四边形中的中点四边形，其对角线有一些特点和性质。

在本文中，我们将详细讨论这些特点和性质，并提供相关的解释和证明。

首先，让我们回顾一下平行四边形的定义。

平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。

为了方便讨论，我们可以假设平行四边形的对边AB和CD是平行的，对边AD和BC是平行的。

中点四边形是指通过连接平行四边形的对角线AC和BD而形成的四边形。

现在，让我们来讨论中点四边形的对角线的特点。

1. 对角线的长度相等：在平行四边形中的中点四边形中，对角线AC和BD的长度是相等的。

这是因为平行四边形的两对对边是平行的，且对角线相交于它们的中点。

因此，根据线段的性质，对角线的长度相等。

证明：根据平行四边形的定义，我们知道对边AB和CD是平行的，对边AD和BC是平行的。

连接对角线AC和BD。

由于AC和BD是对角线，它们相交于它们的中点O。

根据三角形的SAS（边-角-边）相似性质，我们可以得出三角形AOC和BOD是全等三角形。

因此，AO和BO的长度相等，CO和DO的长度相等。

由于中点四边形的定义是通过连接平行四边形的对角线AC和BD而形成的，我们可以得出结论：对角线AC和BD的长度是相等的。

2. 对角线互相平分：在平行四边形中的中点四边形中，对角线AC和BD互相平分。

这意味着对角线AC将对角线BD平分，对角线BD将对角线AC平分。

证明：根据平行四边形的定义，我们知道对边AB和CD是平行的，对边AD和BC是平行的。

连接对角线AC和BD。

由于AC和BD是对角线，它们相交于它们的中点O。

我们可以通过反证法来证明对角线AC将对角线BD平分。

假设对角线AC不将对角线BD平分，即存在一个点E在BD上，使得AE≠EC。

由于平行四边形的两对对边是平行的，我们可以得出结论：三角形AOD和COE是相似的。

根据相似三角形的性质，我们可以得到AO/CO = AO/CO = AD/BC。