最新八年级下平行四边形专题汇总

初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为n(n-3)/2.二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法。

2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的。

1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；4）面积：①S=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形。

3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形③方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.矩形性质①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）。

3.矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角。

②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等。

八年级下册数学平行四边形知识点一、平行四边形的定义在数学中，平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

也就是说，平行四边形有两对边分别平行，并且对边长度相等。

这个定义很重要，因为它决定了平行四边形的性质和特点。

二、平行四边形的性质1. 对角线性质：平行四边形的两条对角线互相平分，即对角线长度相等。

2. 对边性质：平行四边形的对边互相平行且长度相等。

3. 内角性质：平行四边形的内角互相补角，即相对的内角之和为180度，所以任意对角线夹角互为补角。

4. 定理：平行四边形的对角线互相平分并且等长。

三、平行四边形的应用平行四边形在几何学中有着广泛的应用，尤其在计算面积和解决实际问题时非常有用。

1. 面积计算：平行四边形的面积等于底边长乘以高，即S=底×高。

2. 平行四边形的性质在解决实际问题时很有用，比如建筑设计、地图绘制等。

四、个人观点和理解平行四边形是几何学中一个非常重要的概念，它具有丰富的性质和应用价值。

在学习和掌握平行四边形知识点的过程中，我深刻体会到了数学的逻辑性和严谨性。

通过对平行四边形的研究，我不仅提高了自己的数学思维能力，也更加深入地理解了几何学在现实生活中的应用。

总结回顾通过本文的阐述，我们深入探讨了八年级下册数学平行四边形的知识点，包括定义、性质、应用等方面。

我们了解到平行四边形具有特定的对角线性质和对边性质，以及在面积计算和实际问题中的应用。

通过学习和掌握这些知识，我们不仅能提高自己的数学水平，也能更好地理解几何学在实际生活中的重要性。

希望本文的内容能够帮助你更深入地理解平行四边形的知识，提高数学学习的兴趣和能力。

平行四边形是几何学中非常重要的一个概念，它的性质和应用非常广泛。

在平行四边形的学习过程中，除了了解其定义、性质和应用外，还可以进一步深入探讨平行四边形的相关定理及证明，以及与其他几何图形的关联等内容。

1. 平行四边形的相关定理在学习平行四边形的过程中，我们可以深入了解一些与平行四边形相关的定理，比如平行四边形的对角线互相平分并且等长、平行四边形的对角线长度的平方和等于边长的平方和等等。

八年级下册数学平行四边形知识点平行四边形是我们在数学学习中会遇到的一个重要概念。

它具备一些特殊的性质和规律，对于我们解题和解析几何的能力有很大的帮助。

本文将详细介绍八年级下册数学平行四边形的知识点，包括定义、性质、判定方法及相关定理。

一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。

四边形的两组对边分别是平行边，而对边之间的两组夹角分别是对顶角。

平行四边形的定义为：如果一个四边形的对边互相平行，则它是一个平行四边形。

平行四边形的对边长度相等，对角线互相等长。

二、平行四边形的性质平行四边形有一些独特的性质，掌握这些性质对于解题非常重要。

1. 对边性质：平行四边形的对边互相平行且相等长，即两对对边分别平行且长度相等。

2. 对角性质：平行四边形的对角线互相平分且相等长，即两条对角线分别相等长且平分。

3. 额角性质：平行四边形的一个内角与外角之和为180度，即内外角互为补角。

4. 同底角性质：平行四边形的两组对边夹角相等，即对等长的两边相对应的角相等。

5. 对顶角性质：平行四边形的两组对角之和为180度，即对等长的两个对角之和为180度。

三、平行四边形的判定方法对于给定的四边形，我们可以利用以下判定方法来确定它是否为平行四边形。

1. 判定方法一：如果一个四边形的对边长度相等，那么它是一个平行四边形。

2. 判定方法二：如果一个四边形的对角线互相相等，那么它是一个平行四边形。

3. 判定方法三：如果一个四边形的一个内角与外角之和为180度，那么它是一个平行四边形。

利用这些判定方法，我们可以轻松地确定一个四边形是否是平行四边形。

四、平行四边形的相关定理平行四边形还有一些重要的定理，它们进一步扩展了平行四边形的性质和应用。

1. 对角线分割定理：平行四边形的对角线把它分割成两个面积相等的三角形。

2. 对角线互补定理：平行四边形的对角线相交于一点，这个点将对角线分成互补角。

3. 等腰三角形定理：平行四边形的对边相等，则它是一个等腰三角形。

平行四边形复习
C
D
A
O
一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方
形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线. 二 定理：中心对称的有关定理
※1．关于中心对称的两个图形是全等形.
※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三 公式：
1．S 菱形 =2
1
ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高） 3．S 梯形 =2
1
（a+b ）h=Lh.（a 、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位线） 四 常识：
※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2
)3n (n . 2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.
平行四边形
矩形
菱形正
方
形。

八年级下册平行四边形题目一、平行四边形的性质相关题目1. 已知平行四边形ABCD中，∠A = 50°，求其他内角的度数。

- 解析：- 因为平行四边形的邻角互补，所以∠A与∠B互补。

- 已知∠A = 50°，则∠B=180° - ∠A = 180°-50° = 130°。

- 又因为平行四边形的对角相等，所以∠C = ∠A = 50°，∠D=∠B = 130°。

2. 在平行四边形ABCD中，AB = 3cm，BC = 5cm，求平行四边形ABCD的周长。

- 解析：- 平行四边形的对边相等，所以AB = CD = 3cm，BC = AD = 5cm。

- 那么平行四边形ABCD的周长为AB + BC+CD + AD = 3 + 5+3+5 = 16cm。

二、平行四边形的判定相关题目1. 四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，求证：四边形ABCD是平行四边形。

- 解析：- 连接AC。

- 在△ABC和△CDA中，AB = CD，BC = AD，AC = CA（公共边）。

- 根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△ABC≌△CDA。

- 所以∠BAC=∠DCA，∠BCA = ∠DAC。

- 根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD，AD∥BC。

- 所以四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。

2. 已知四边形ABCD中，∠A = ∠C，∠B = ∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形。

- 解析：- 因为四边形内角和为360°，即∠A+∠B + ∠C+∠D = 360°。

- 又因为∠A = ∠C，∠B = ∠D，所以2∠A+2∠B = 360°，即∠A+∠B = 180°。

- 所以AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）。

- 同理可得∠A+∠D = 180°，所以AB∥CD。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结杭信一中何逸冬一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等=⨯的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补对角：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③说明四边形ABCD的四条相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．③先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．（4）识别等腰梯形的常用方法①先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．②先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．③先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等．5．几种特殊四边形的面积问题①设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．②设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=12 ab．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ．平行四边形 矩形 菱形 正方形 图形性质1．对边且 ；2．对角 ； 邻角 ；3．对角线； 1．对边且 ；2．对角且四个角都是 ；3．对角线；1．对边 且四条边都 ；2．对角 ； 3．对角线 且每 条对角线 ；1．对边 且四条边都 ；2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 且每条对角线 ；面积【素材积累】1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。

人教版八年级下册第18章《平行四边形》章末专题复习《中位线》相关训练一．选择题1．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED＝90°+∠C，则BC+2AE 等于（）A．AB B．AC C．AB D．AC2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，F，G为BC上的点，连接DG、EF，若AB＝5cm，BC＝8cm，FG＝4cm，则△HFG的面积为（）A．1cm2B．1.5cm2C．2cm2D．3cm23．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（）A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大4．如图，在三边互不相等的△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，连接DE，过点C作CM∥AB交DE的延长线于点M，连接CD、EF交于点N，则图中全等三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对5．如图，在△ABC中，动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，则线段CP的中点Q运动的速度为（）A．3cm/s B．2cm/s C．1.5cm/s D．1cm/s6．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（）A．1B．C．D．7．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，则MD的长为（）A．3B．C．5D．8．如图，点B是直线l外一点，在l的另一侧任取一点K，以B为圆心，BK为半径作弧，交直线l于点M、N；再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧相交于点P；连接BP交直线l于点A；点C是直线l上一点，点D、E分别是线段AB、BC的中点；F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝8，AB＝6，则四边形AEDF的周长为（）A．8B．10C．16D．189．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝8，BC＝14，则线段EF的长为（）A．2B．3C．5D．610．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上两点，AE＝16，BF＝12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为（）A．10B．8C．2D．2011．如图，BD、CE是△ABC的两条角平分线，AN⊥BD于点N，AM⊥CE于点M，连接MN，若△ABC的周长为17，BC＝7，则MN的长度为（）12．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（）A．8B．9C．10D．1213．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．4C．5D．614．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是中线，CF⊥AD于点F，AC＝5，AB＝13，则EF的长为（）A．B．C．3D．415．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）二．填空题（共10小题）16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AC，BD的中点，已知AB＝12，CD ＝6，则EF＝．17．△ABC中，∠ACB＝90°，BD＝AC，M、N分别为CD、AB的中点，CD＝2，MN＝2，则CN＝．18．如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分别是AC、BD的中点，P 是AB边上的中点，则∠EPF＝°．19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝．20．如图，四边形ABCD中，∠BMF+∠CNF＝90°，E、F分别是AD、BC的中点，AB＝5，CD＝12，则EF＝．21．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE 并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．22．如图，在△ABC中，D为BC边中点，P为AC边中点，E为BC上一点且BE＝CE，连接AE，取AE中点Q并连接QD，取QD中点G，延长PG与BC边交于点H，若BC ＝6，则HE＝．23．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝．24．如图，△ABC的顶点落在两条平行线上，点D、E、F分别是△ABC三边中点，平行线间的距离是8，BC＝6，移动点A，当CD＝BD时，EF的长度是．25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CD与△ABC的两条角平分线AE，BF分别交于H，G两点，点P，Q分别为HE，GF的中点，连接PQ，若AC＝4，BC＝6，则PQ的长为．三．解答题（共7小题）26．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长分别与BA、CD的延长线交于点M、N，∠BME与∠CNE的大小关系如何？试说明理由．27．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD中点，连EF交BD、AC于P、Q求证：OP＝OQ．28．（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：FG＝（AB+BC+AC）．[提示：分别延长AF、AG与直线BC相交]（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．29．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD 的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD 的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．30．如图，在△ABC中，D为AC上一点，AB＝CD，F是AD的中点，M为BC的中点，连接MF并延长交BA延长线于点E，G为EF的中点，求证：AG⊥ME．31．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．32．如图，在四边形ABCD中，BC、AD不平行，且∠BAD+∠ADC＝270°，E、F分别是AD、BC的中点，已知EF＝4，求AB2+CD2的值．参考答案一．选择题1．解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC＝∠DEF．又∵点D是AB的中点，∴EF＝AE．∵∠DEF＝∠BFC＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+∠C）＝90°﹣∠C，∴∠FBC＝∠BFC，∴BC＝FC，∴BC+2AE＝AC．故选：B．2．解：连接，作AK⊥BC于K．∵AB＝AC，∴BK＝CK＝BC＝×8＝4，在Rt△ABK中，AK＝＝＝3，∵D、E分别是AB，AC的中点，∴DE是中位线，即平分三角形的高且DE＝8÷2＝4，∴DE＝BC＝FG，∴△DEH≌△GFH，H也是DG，EF的中点，∴△HFG的高是AK÷2＝1.5÷2＝0.75，∴S△HFG＝4×0.75÷2＝1.5．故选：B．3．解：连接AQ，∵点Q是边BC上的定点，∴AQ的大小不变，∵E，F分别是AP，PQ的中点，∴EF＝AQ，∴线段EF的长度保持不变，故选：A．4．解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴∠EDC＝∠FCD，∵F是BC边的中点，∴CF＝BC，∴DE＝CF，在△DNE和△CNF中，∴△DNE≌△CNF（AAS），同理△AED≌△CEM，∵E、F分别是AC、BC边的中点，∴EF∥AB，又CM∥AB，∴CM∥EF，∵DE∥BC，CM∥EF，∴四边形EFCM是平行四边形，∴△EFC≌△CME，△BCD≌△MDC，∴△EFC≌△ADE，∴图中全等三角形共有5对故选：C．5．解：取AC的中点H，连接QH，当点P与点A重合时，点Q与点H重合，∵点Q是线段CP的中点，点H为AC的中点，∴QH＝AP，∵动点P在AB边上由点A向点B以3cm/s的速度匀速运动，∴点Q运动的速度为1.5cm/s，故选：C．6．解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE＝AM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC•sin∠ACN＝，∴AM＝，∵BD＝DA，BE＝EM，∴DE＝，故选：B．7．解：延长BD交CA的延长线于E，∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD，∴∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADB＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（ASA），∴BD＝DE，AB＝AE＝6，∴CE＝AC+AE＝9+6＝15，又∵M为△ABC的边BC的中点，∴DM是△BCE的中位线，∴MD＝CE＝×15＝7.5．故选：D．8．解：由题意得，BA⊥MN，∴BC＝＝10，∵∠BAC＝90°，点E是线段BC的中点，∴AE＝BE＝BC＝5，∴∠EAB＝∠B，∵∠FDA＝∠B，∴∠FDA＝∠EAB，∴DF∥AE，∵点D、E分别是线段AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC＝4，∴四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF的周长＝2×（4+5）＝18，故选：D．9．解：延长AF交BC于G，在△BF A和△BFG中，，∴△BF A≌△BFG（ASA）∴BG＝AB＝8，AF＝FG，∴GC＝BC﹣BG＝6，∵AD＝DB，AF＝FG，∴DF∥BC，由AD＝DB，∴AE＝EC，∵AF＝FG，AE＝EC，∴EF＝GC＝3，故选：B．10．解：∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵点P，D分别是AF，AB的中点，∴PD＝BF＝6，PD∥BC，∴∠PDA＝∠CBA，同理，QD＝AE＝8，∠QDB＝∠CAB，∴∠PDA+∠QDB＝90°，即∠PDQ＝90°，∴PQ＝＝10，故选：A．11．解：∵△ABC的周长为17，BC＝7．∴AB+AC＝17﹣BC＝10．如图，分别延长AM、AN交BC于点G，F．∵∠BNA＝∠BNF＝90°，BN＝BN，∠NBA＝∠NBF ∴△BNA≌△BNF（ASA）∴AN＝FN，AB＝FB同理，AM＝MG，AC＝GC，即MN为△AGF的中位线，∴MN＝GF，而FB+GC＝AB+AC，即BC+GF＝AB+AC，∵BC＝7，AB+AC＝10，∴GF＝3，∴MN＝GF＝，故选：A．12．解：连接AE，并延长交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE＝DE，在△AEB和△KED中，，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB），∵EG为△BCD的中位线，∴EG＝BC，又FG为△ACD的中位线，∴FG＝AD，∴EG+GF＝（AD+BC），∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6，∴EG+GF＝6，FE＝3，∴△EFG的周长是6+3＝9．故选：B．13．解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝DE＝4．故选：B．14．解：延长CF交AB于G，如图所示：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠GAF＝∠CAF，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝5，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝13﹣5＝8．又∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝4．故选：D．15．解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，故选：C．二．填空题（共10小题）16．解：连接CF并延长交AB于G，∵AB∥CD，∴∠FDC＝∠FBG，在△FDC和△FBG中，，∴△FDC≌△FBG（ASA）∴BG＝DC＝6，CF＝FG，∴AG＝AB﹣BG＝12﹣6＝6，∵CE＝EA，CF＝FG，∴EF＝AG＝3，故答案为：3．17．解：过点N作NE⊥BC于点E，则NE∥AC，又N是AB的中点，∴NE＝AC，BE＝（2+BD）＝（2+AC）＝1+AC，∴EM＝MD+DE＝1+BD﹣BE＝AC，∴NE＝ME，由勾股定理得，MN2＝ME2+NE2，即（2）2＝ME2+NE2，解得，NE＝ME＝2，∴CN＝＝＝．故答案为：．18．解：∵四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，∴∠BAD+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，∵E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，∴PE是△ABC的中位线，PF是△ABD的中位线，∴PE∥BC，PF∥AD，∴∠BPF＝∠BAD，∠APE＝∠ABC，∴∠APE+∠BPF＝∠BAD+∠ABC＝140°，∴∠EPF＝180°﹣140°＝40°，故答案为：40．19．解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示：∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，∴NF∥BE，MF∥AD，NF＝BE＝5，MF＝AD＝12，∵∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵MF∥AD，∴MF⊥BC，∵NF∥BE，∴NF⊥MF，在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN＝＝＝13；故答案为：13．20．解：连接BD，取BD的中点H，连接EH，HF，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴EH∥AB，EH＝AB＝，HF∥CD，HF＝CD＝6，∴∠HEF＝∠BMF，∠HFE＝∠CNF，∵∠BMF+∠CNF＝90°，∴∠HEF+∠HFE＝90°，∴∠EHF＝90°，∴EF＝＝＝，故答案为：．21．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，∵点D，E分别为AB，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠BDE＝∠MAN＝90°，∴∠BDE＝∠A'EF，∴AB∥A'E，∴∠ABC＝∠A'EB，∴∠A'BC＝∠A'EB，∴A'B＝A'E，Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A'E，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AE′＝，∴AB＝；②当∠A'FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，∴∠ACF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝2；综上所述，AB的长为或2；故答案为：或2．22．解：连接PQ．∵BD＝DC＝3，BE＝BC＝，EC＝，∵AQ＝QE，AP＝PC，∴PQ∥EC，PQ＝EC＝，∵∠QPG＝∠GHD，∠QGP＝∠DGH，QG＝GD，∴△PQG≌△HDG（AAS），∴PQ＝HD＝，BH＝BD﹣DH＝3﹣＝，∴HE＝BE﹣BH＝﹣＝，故答案为．23．解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴EG∥AC且EG＝AC＝×4＝2，FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝．故答案为：224．解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵过点D作DH⊥BC于点H，BC＝6，∴BH＝CH＝3．又平行线间的距离是8，点D是AB的中点，∴DH＝4，∴在直角△BDH中，由勾股定理知，BD＝＝＝5．∵点D是AB的中点，∴AB＝2BD＝10．又点E、F分别是AC、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝5．故答案是：5．25．解：延长CP交AB于K，延长CQ交AB于L，△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBF，又∵CD⊥AB，∴∠CGF＝∠BGD＝90°﹣∠ABF＝90°﹣∠CBF＝∠CFB，∴CG＝CF．又∵Q是GF的中点，∴CQ⊥GF，∴∠CQB＝∠LQB＝90°，∴∠BCQ＝∠BLQ，∴BL＝BC＝6，∴CQ＝LQ，同理得：CE＝CH，∵P是EH的中点，∴CP⊥EH，∴AP⊥CK，同理得AK＝AC＝4，CP＝PK，∵CP＝PK，CQ＝LQ，∴PQ＝LK＝（BL+AK﹣AB）＝（6+4﹣2）＝5﹣；故答案为：5﹣．三．解答题（共7小题）26．解：∠BME＝∠CNE，理由如下：连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，∵点E、F分别是BC、AD的中点，∴HF∥BM．HF＝AB，HE∥CD，HE＝CD，∴∠1＝∠BME，∠2＝∠ENC，∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠1＝∠2，∴∠BME＝∠CNE．27．证明：取BC中点G，连EG、FG，∵E，G为AB、BC中点，∴EG＝AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG＝BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．28．解：（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，∴∠BAF＝∠BMF，在△ABF和△MBF中，，∴△ABF≌△MBF（ASA），∴MB＝AB，∴AF＝MF，同理：CN＝AC，AG＝NG，∴FG是△AMN的中位线，∴FG＝MN，＝（MB+BC+CN），＝（AB+BC+AC）．（2）猜想：FG＝（AB+AC﹣BC），证明：如图2，延长AG、AF，与直线BC相交于M、N，∵由（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF，∴NB＝AB，AF＝NF，同理CM＝AC，AG＝MG，∴FG＝MN，∴MN＝2FG，∴BC＝BN+CM﹣MN＝AB+AC﹣2FG，∴FG＝（AB+AC﹣BC）．29．解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE＝，PE∥AB，∴∠PEF＝∠ANF，同理PF＝，PF∥CD，∴∠PFE＝∠CME，又PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF，∴∠OMN＝∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．（2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF＝AB，同理，HE∥CD，HE＝CD，∵AB＝CD∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∵∠EFC＝60°，∴∠HEF＝60°，∴∠HEF＝∠HFE＝60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°∴∠AGD＝90°即△AGD是直角三角形．30．证明：连接BD，取BD的中点为O，连接FO，MO，∵F是AD的中点，M为BC的中点，∴MO是△BCD的中位线，FO是△ABD的中位线，∴MO＝CD，FO＝AB，MO∥AC，OF∥AB，∵AB＝CD，∴MO＝FO，∴∠OFM＝∠OMF，∵OF∥AB，∴∠OFM＝∠AEF，∵OM∥AC，∴∠OMF＝∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵G为EF的中点，∴AG⊥ME．31．（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，∵E，H分别是AD，BD的中点，∴EH∥AB，EH＝AB，∴∠BME＝∠HEF，∵F，H分别是BC，BD的中点，∴FH∥CD，FH＝CD，∴∠CNE＝∠HFE，∵AB＝CD∴HE＝FH，∴∠HEF＝∠HFE∴∠BME＝∠CNE；（2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴EH＝AB，FH＝CD，FH∥AC，∴∠HFE＝∠FEC＝45°，∵AB＝CD＝2，∴HF＝HE＝1，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°，∴．32．解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，∵∠BAD+∠ADC＝270°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM∥AB，FM∥CD，EM＝AB，FM＝CD，∴∠MNF＝∠ABC，∠MFN＝∠C，∴∠MNF+∠MFN＝90°，即∠NMF＝90°，由勾股定理得，ME2+MF2＝EF2＝16，∴AB2+CD2＝（2ME）2+（2MF）2＝64．。

专题18.1 平行四边形一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2019·厦门市湖里中学初二月考）一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°2．（2020·全国初二课时练习）下列说法不正确的是（）A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对边平行且相等D．平行四边形的对角互补，邻角相等3．（2019·贵州初二期末）如图，EF为△ABC的中位线，若AB=6，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．54．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）将平行四边形纸片沿过其对称中心的任一直线对折，下图不可能的是（）A．B．C．D．5．（2020·陕西西北工业大学附属中学初三月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A ．6B ．12C ．18D ．246．（2020·全国初二课时练习）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种7．（2017·湖北初二期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③8．（2020·广东初三期末）如图，EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB=4，BC=6，OE=3，那么四边形EFCD 的周长是（ ）A ．16B ．13C ．11D ．109．（2019·河南初二期中）在ABCD 中，已知76A C ∠+∠=︒，则下列正确的是（ ）A ．28A ∠=︒B ．142B ∠=︒C ．48C ∠=︒D ．152D ∠=︒10．（2019·河北初二期末）如图，在▱ABCD 中，∠BAD ＝120°，连接BD ，作AE ∥BD 交CD 延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，且CF ＝1，则AB 的长是( )A ．2B ．1C D11．（2019·曲阜师范大学附属实验学校初二月考）如图所示，在长为5cm，宽为3cm的长方形内部有一平行四边形，则平行四边形的面积为（）．A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm212．（2019·浙江初二期末）下图入口处进入，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁13．（2019·河北金华中学初三开学考试）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试了一种辅助线，如图1，图2所示，其中辅助线做法能够用来证明三角形中位线定理的是（）A．小丽和小亮的辅助线做法都可以B．小丽和小亮的辅助线做法都不可以C．小丽的辅助线做法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线做法可以，小丽的不可以14．（2020·山东省东营市河口区义和镇中心学校初二期末）如图，将一张平行四边形纸片撕开并向两边水平拉伸，若拉开的距离为l cm，AB＝2cm，∠B＝60°，则拉开部分的面积（即阴影面积）是（）A ．1cm 2B ．2cm 2C 2D ．2二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2019·民勤县新河乡中学初二月考）已知ABCD 中一条对角线分A ∠为35°和45°，则B ∠=________度．16．（2019·厦门市湖里中学初二月考）如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的角平分线交CD 于E ，若DE ：EC=3：1，AB 的长为8，则BC 的长为______17．（2019·福建初三）如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F ，若BF ＝10，则AB 的长为____．18．（2020·全国初二课时练习）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=12，点E 是BC 的中点．点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的两点，其中点P 以每秒个1单位长度的速度从点A 运动到点D 后再返回点A ，同时点Q 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发向点B 运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t 为_____秒时，以点A 、P ，Q ，E 为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·全国初二课时练习）已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 中BD 上的点，且BE ＝DF ，试说明，四边形AECF是平行四边形。

平行四边形的性质知识点一：平行四边形的定义两组对边分别 的四边形叫做平行四边形1.在平行四边形ABCD 中.EF 平行AD.HN 平行AB.则图中的平行四边形共有 个知识点二：平行四边形的性质题型二：勾股定理在轴对称问题中的应用例二 如图.在ABC ∆中.∠B=22.5°.AB 的垂直平分线交BC 于点D.BD=26,AE ⊥BC 于点E.求AE 的长。

例三 牧童在A 处放牛.其家在B 处.A.B 处到河岸的距离分别为AC=400m,BD=200m,且CD=800m,牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水.所走路程最短？最短路程是多少？题型三：勾股定理在梯子移动问题中的应用例四一架5M的梯子.斜靠在一竖直的墙上.这时梯足距离墙角3m.如果梯子的顶端下滑1m.则梯足将滑动m练习：一架长 2.5m的梯子.斜立在一竖起的墙上.梯子底端距离墙底0.7m.如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m.那么梯子底端将向左滑动米题型四：勾股定理与方程组的综合应用中.AB=13,BC=14,AC=15,求BC上的高AD。

例五在ABC例六在一棵树CD上10m高的地方.有两只猴子.一只爬下树走到离树20m处的池塘A处.另外一只爬到树顶D后沿着直线跳到A处.如果两只猴子所经过的距离相等.试问这棵树多高？题型五勾股定理在航海问题中的应用例七甲船以16海里每小时的速度离开港口.向东南航行.乙船在同时同地向西南方向航行.已知它们离开港口1.5小时候分别到达B,A两点.且已知AB=30海里.乙船每小时走多少海里？题型六勾股定理在图形折叠盒求面积问题中的应用例八把长方形纸条ABCD沿着EF ,GH同时折叠.B,C恰好落在AD的点P处.如果∠FPH=90°.PF=8.PH=6,则长方形ABCD的边BC长为（）A.20B.22C.24D.30例九阴影部分是两个正方形.图中还有一个大正方形和两个直角三角形.求两阴影正方形面积的和练习：1.如图.矩形纸片ABCD的长AD=9㎝.宽AB=3㎝.将其折叠.使点D与点B重合.那么折叠后DE的长是多少？2.如图.在长方形ABCD中.将∆ABC沿AC对折至∆AEC位置.CE与AD交于点F。

第6讲 平行四边形单元整体分类总复习考点一 多边形的内角和、外角和知识点睛：1. n 边形的内角和为()()31802≥︒⨯-n n ，外角和为360°，反过来，已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数2. 对角线公式从n 边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，将n 边形分成（n-2）个三角形，n 边形的对角线共有()23-n n 条 类题训练1．（2022•九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）A ．十边形B ．十一边形C ．十二边形D ．十三边形【分析】设这个多边形为n 边形，根据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解．【解答】解：设这个多边形为n 边形，它的外角分别为x 1，x 2，⋯，x n ，则对应的内角分别为4x 1+30°，4x 2+30°，⋯，4x n +30°，根据题意得，x 1+x 2+⋯+x n ＝360°，（4x 1+30°）+（4x 2+30°）+⋯+（4x n +30°）＝（n ﹣2）×180°，∴4×（x 1+x 2+⋯+x n ）+30°n ＝（n ﹣2）×180°，∴4×360°+30°n ＝（n ﹣2）×180°，∴1440°+30°n ＝180°n ﹣360°，∴150°n ＝1800°，∴n ＝12，故选：C ．2．（2021秋•黄冈期末）一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条【分析】首先计算出多边形的边数，再根据n 边形从一个顶点出发可引出（n ﹣3）条对角线可得答案．【解答】解：多边形的边数：360°÷40°＝9，从一个顶点出发可以引对角线的条数：9﹣3＝6（条），故选：D ．3．（2021秋•海阳市期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则（n﹣2）•180°＝1350°﹣α，∵0°＜α＜180°，∴（1350﹣180）÷180＜n﹣2＜1350÷180，∴6＜n−2＜7，∵n为正整数，∴n＝9，∴这个多边形的边数n的值是9．故选：C．4．（2021秋•丹东期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（）A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为n﹣3计算即可．【解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，∴多边形的边数为5+3＝8，故选：B．5．（2021秋•天元区期末）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（）A．36°B．72°C．108°D．144°【分析】由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五边形的性质，得∠MBC＝72°，从而解决此题．【解答】解：如图，AB的延长线交l2于点M，∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形ABCDE的每个外角相等．∴∠MBC＝＝72°．∵l1∥l2，∴∠2＝∠BMD，∵∠1＝∠BMD+∠MBC，∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC，∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．故选：B．6．（2021春•浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是110°，则∠ADC的外角α的度数是（）A．90°B．85°C．80°D．70°【分析】根据多边形外角和为360°，进行求解即可．【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠C＝110°，∴∠C相邻的外角度数为：180°﹣110°＝70°，∴∠α＝360°﹣70°﹣110°﹣110°＝70°．故选：D．考点二平行四边形的性质知识点睛：1.平行四边形的性质定理∶（1）平行四边形的对边平行且相等.（2）平行四边形的对角相等，邻角互补.（3）平行四边形的对角线互相平分.2.利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.类题训练1．（2021秋•任城区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列判断错误的是（）A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD 【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，故A正确；∴AD∥BC，故B正确；∴AD＝BC，故C正确；故选：D．2．（2021秋•鄞州区校级期末）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（）A．30°B．20°C．40°D．35°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD＝180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；故选：A．3．（2022春•秀英区校级月考）如图，在▱ABCD中，AD＝8，AB＝5，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，则EF＝（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，∴EF＝2；故选：A．4．（2021秋•绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C 点坐标．【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，∴EF∥CG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE＝CE，∴AG＝2AF，CG＝2EF，∵A（4，0），E（3，1），∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，∴AG＝2，∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，∴C（2，2）．故选：D．5．（2022•越秀区校级开学）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（）A．+1B．C．D．【分析】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO＝1，BO＝2，利用三角形的面积公式计算△ABO的面积，结合平行四边形的性质可得DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，即可得到OE+2EF的值．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．6．（2021秋•九江期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，∠BAC＝30°，AB ＝5cm，则它的面积为．【分析】根据S▱ABCD＝2S△ABC，所以求S△ABC可得解．作BE⊥AC于E，在直角三角形ABE中求BE从而计算S△ABC．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E．在直角三角形ABE中，∠BAC＝30°，AB＝5cm，∴BE＝AB•sin∠CAB＝5×＝2.5（cm），S△ABC＝AC•BE÷2＝10（cm2），∴S▱ABCD＝2S△ABC＝20cm2．故答案为：20cm2．7．（2021秋•鄞州区校级期末）平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OB的值，然后根据三角形三边关系，即可求得m的取值范围．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝×10＝5，OB＝OD＝BD＝×6＝3，∵OA﹣OB＜AB＜OA+OB，∴5﹣3＜m＜5+3，∴m的取值范围是：2＜m＜8．故答案为：2＜m＜8．8．（2021秋•桓台县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是．【分析】作AM⊥BC于M，如图所示：根据直角三角形的性质得到BM＝AB＝×2＝1，根据勾股定理得到AM＝＝＝，得到S平行四边形ABCD＝BC•AM ＝3，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，BO＝DO，根据全等三角形的性质得到S＝S△DOF，于是得到结论．△BOE【解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝×2＝1，在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，∴AM＝＝＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴S△BOE＝S△DOF，∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝，故答案为：．9．（2022•海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）求证：AF＝CE；（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥CF，又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF＝CE；（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，∵AB＝2，∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．10．（2021秋•海曙区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF 并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，∴∠E＝∠DCF，∵点F是AD中点，∴AF＝DF，∵∠EF A＝∠CFD，∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD＝AE，∴AB＝AE；（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，∵BC＝2AE，∴AE＝AF，∵∠E＝31°，∴∠AFE＝∠E＝31°，∴∠DAB＝2∠E＝62°．11．（2021秋•桓台县期末）已知，如图在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，可证∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，然后通过SAS即可证得△ADE≌△CBF；（2）证出四边形AHCG是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADE＝∠CBF，∵OE＝OF，∴DE＝BF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∵△ADE≌△CBF，∴∠DAE＝∠BCF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥HC，∵AH∥CG，∴四边形AHCG是平行四边形，∴AH＝CG．考点三平行四边形的判定知识点睛：1.平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

八年级数学下册《平行四边形》章节重点整理
1、定义
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，用符号“□”来表示。

2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等；
（2）平行四边形的邻角互补，对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分；
3、平行四边形的判定
平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点。

下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：
第一类：与四边形的对边有关
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
第二类：与四边形的对角有关
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
第三类：与四边形的对角线有关
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形
4、平行四边形的面积
平行四边形的面积等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。

常见考法
（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长；
（2）求平行四边形某边的取值范围；
（3）考查一些综合计算问题；
（4）利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行；
（5）利用判定定理证明四边形是平行四边形。

误区提醒
（1）平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相等；
（2）“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理，它只是个等腰梯形。

z 平行四边形综合题（共40道）!一、单选题1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,∠ABC =60°，AB =2BC,E 是AB 的中点，连接CE,OE ．下列结论：①∠ACD =30°；②CE 平分∠DCB ；③CD =4OE ；④S △"#$=%&S 四边形'(")．其中结论正确的序号有（ ）A ．①②B ．②③④C ．①②③D ．①③④ 【答案】C【分析】根据AB =2BC ，点E 是AB 的中点，∠ABC =60°，可知△BCE 是等边三角形，得出∠BEC =∠BCE =60°，AE =BE =CE ，进而得出∠AEC ，根据平行四边形得性质可判断①，再根据平行四边形的性质得∠BCD =120°，即可说明CE 是否平分∠DCB ，然后说明OE 是△ABC 的中位线，可判断CD 和OE 的关系，再根据点O 是AC 的中点，得S △'#$=S △"#$，由点E 是AB 的中点，得S △'"$=S △("$=2S △"#$，进而得S △'("=4S △"#$，然后根据平行四边形的性质得S 四边形'(")=2S △'("，即可判断④，得出答案．【详解】∵AB =2BC ，点E 是AB 的中点， ∴AB =2BE .∵AB =2BC ，∠ABC =60°，∴BC =BE ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠BEC =∠BCE =60°，AE =BE =CE ，∴∠AEC =120°，∴∠ACE =∠CAE =30°．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD =2BC ，∴∠ACD =∠CAE =30°，∠BCD =120°，∴CE 是平分∠DCB ．则①②正确；∵点E 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴2OE =BC ，∴CD =4OE ．则③正确；∵点O 是AC 的中点，∴S △'#$=S △"#$．∵点E 是AB 的中点，∴S △'"$=S △("$=2S △"#$，∴S △'("=4S △"#$．由平行四边形的性质得S 四边形'(")=2S △'("， ∴S 四边形'(")=8S △"#$，即S △"#$=18S 四边形'(")． 则④不正确．所以正确的有①②③.故选：C.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，求三角形的面积等，弄清各三角形的面积之间的关系是解题的关键．2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC =EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，则下列结论：①BE 平分∠CBF ；②CF 平分∠DCB ；③BC =FB ；④PF =PC ．其中正确结论的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】D【分析】根据等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质即可证明①正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明②正确；根据平行线的性质，等角对等边即可证明③正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明④正确；即可得出答案．【详解】解：证明：∵BC=EC，∴∠CEB=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB=∠EBF，∴∠CBE=∠EBF，∴BE平分∠CBF，①正确；∵BC=EC，CF⊥BE，∴∠ECF=∠BCF，∴CF平分∠DCB，②正确；∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠ECF=∠BCF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正确；∵FB=BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF=PC，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．3．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，∠ADO；②EG=EF；③GF平分∠AGE；④GF⊥AC，其中正确的有（）下列结论：①∠OBE=%*zA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【分析】根据AD ∥BC ，AD =BC 可得OB =BC ，由E 是OC 的中点，即可判断①；由E 是OC 的中点，OB =BC ，可得∠AEB =90°，再由点E 、F 是OC 、OD 的中点，即可判断②；证明四边形BEFG 是平行四边形，可判断③，由GF ∥BE ，即可判断④；【详解】解：在▱ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠ADO =∠OBC ，∵BD =2AD ，∴OB =BC ，∵E 是OC 的中点，∴∠OBE =%*∠OBC =%*∠ADO ，故①正确；∵E 是OC 的中点，OB =BC ，∴∠AEB =90°，∵G 是AB 的中点，∴EG =%*AB ， ∵点E 、F 是OC 、OD 的中点，∴EF =%*CD ，EF ∥CD ，∵AB =CD ，∴EG =EF ，故②正确；∵EF ∥CD ，AB ∥CD ，∴BG ∥GF∵BG =%*AB =%*CD =EF ， ∴四边形BEFG 是平行四边形，∴GF ∥BE ，∴∠AGF=∠ABE，∠FGE=∠BEG，∵BG=GE，∴∠ABE=∠BEG，∴∠AGF=∠FGE，∴GF平分∠AGE，故③正确；∵GF∥BE，∴∠OEB=∠FHO=90°，∴GF⊥AC，故④正确。

一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒A解析：A【分析】 由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上且AD BD =，M 是BD 的中点．若16AC =，8BC =，则CM 等于（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10A解析：A【分析】 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出12CM BD =，设CM x =，则2BD AD x ==，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案．【详解】 解：90ACB ∠=︒，M 是BD 的中点，12CM BD ∴= 设CM x =，则2BD AD x ==16AC =162CD AC AD x ∴=-=-在Rt BCD △中，根据勾股定理得222BC CD BD +=即()()22281622x x +-=解得：5x =，故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 3．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）A ．3B ．2C ．23D ．4B解析：B【分析】 根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====∴∠111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ∵AB AD =∴△ABD 是等边三角形， ∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∵BD AC ⊥，∴//EF BD∴EF 为△ABD 的中位线， ∴122EF BD == 故选：B ．【点睛】 本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 4．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】 根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形ABCD 是平行四边形，,AO OC BO DO ∴==．ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=．根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件；③四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∠∠∴=．,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=．AO OD ∴=．,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④,DAO BAO BO DO ∠∠==，AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 5．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．20205B解析：B【分析】 结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意，以此类推，215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为15)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．6．下列命题中，错误的是（ ）A ．一组对边平行的四边形是梯形；B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C ．对角线相等的平行四边形是矩形；D ．一组邻边相等的平行四边形是菱形．A解析：A【分析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可．【详解】解：A 、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意； B 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C 、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；D 、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；故选：A ．【点睛】主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑．7．如图，以AB 为斜边的Rt ABC 和Rt ABD △位于直线AB 的同侧，连接CD ．若135,6BAC ABD AB ∠+∠=︒=，则CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．32D ．33C解析：C【分析】 取AB 的中点O ，连结OD ，OC ，根据直角三角形的性质可得OA OD OB OC ===，可得BAC OCA ∠=∠，ABD ODB ∠=∠，OCD ODC ∠=∠，在四边形ABCD 中，根据四边形的内角和为360︒，135BAC ABD ∠+∠=︒，可得出90OCD ODC ∠+∠=︒，由OC OD =，可证得COD ∆是等腰直角三角形，由6AB =，根据勾股定理，即可得出CD 的长．【详解】取AB 的中点O ，连结OD ，OC ，∵Rt ABD ∆和Rt ABC ∆的斜边为AB ，∴12OD AB =，12OC AB =， ∴OA OD OB OC ===， ∴BAC OCA ∠=∠，ABD ODB ∠=∠，OCD ODC ∠=∠，在四边形ABCD 中，360BAC OCA ABD ODB OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒， ∵135BAC ABD ∠+∠=︒，∴90OCD ODC ∠+∠=︒，∵OC OD =，∴45OCD ODC ∠=∠=︒，∴COD ∆是等腰直角三角形，∵6AB =，∴3OC OD ==，∴22223332CD OC OD =+=+=，故选：Ｃ．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质和以及勾股定理，解题的关键是正确做出辅助线．8．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，∵DA=DF ，DG=DG ，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE=12（∠ADF+∠CDF）=45°，∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.9．如图，在矩形纸片ABCD中，BC a，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为BE，点E在边CD上，则CE的长为（）A．12a B．25a C3D3D解析：D【分析】首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△EBC中求出CE即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∠BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠EBC=∠EBO=30°，∴BE=2CE根据勾股定理得：333a，故选：D．【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC 是等边三角形．10．矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．是轴对称图形C ．对角线相等D ．对角线互相垂直参考答案D解析：D【分析】根据矩形的性质即可判断．【详解】解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，∴选项A 、B 、C 正确，故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质．二、填空题11．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】 解析：103【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴22125+=13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，解得：x=103． 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．12．如图：在ABC ∆中，13,12,AB BC ==点D E 、分别是,AB BC 的中点，连接DE CD 、，如果 2.5,DE =那么ABC ∆的周长是___．30【分析】根据三角形的中位线性质求出AC的长再求出ΔABC 的周长【详解】∵点DE 分别是ABBC 的中点∴DE 是ΔABC 的中位线∴DE=AC ∵DE=25∴AC=5∵AB=13BC=12∴C △ABC=A解析：30【分析】根据三角形的中位线性质，求出AC 的长，再求出ΔABC 的周长．【详解】∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，∴DE 是ΔABC 的中位线，∴ DE=12AC ， ∵ DE=2.5 ，∴ AC=5 ， ∵ AB=13 ， BC=12 ，∴ C △ABC =AB+BC+AC=13+12+5=30．故答案为：30.【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是掌握，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13．己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE =1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则AM MC的值是______．或【分析】首先根据题意作图注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上然后由菱形的性质可得AD ∥BC 则可证得△MAE ∽△MCB 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是 解析：23或43 【分析】 首先根据题意作图，注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上，然后由菱形的性质可得AD ∥BC ，则可证得△MAE ∽△MCB ，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是3，∴AD=BC=3，AD ∥BC ，如图①：当E 在线段AD 上时，∴AE=AD －DE=3－1=2，∴△MAE ∽△MCB ，∴23MA AE MC BC ==； 如图②，当E 在AD 的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE ∽△MCB ，∴43MA AE MC BC ==． ∴MA MC的值是23或43． 故答案为23或43．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上两种情况，小心不要漏解．14．已知：如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使D C 、分别落在D C ''、的位置，若65EFB ︒∠=，则AED '∠的度数为_________．【分析】由长方形纸片可得再求解由折叠的性质求解结合平角的定义可得答案【详解】解：长方形纸片由折叠可得：故答案为：【点睛】本题考查的是矩形与折叠平行线的性质简单题解题的关键是理解折叠的性质 解析：50︒【分析】由长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒可得//,AD BC 再求解,DEF ∠ 由折叠的性质求解,D EF '∠ 结合平角的定义可得答案．【详解】 解： 长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒，//,AD BC ∴65DEF EFB ∴∠=∠=︒，由折叠可得：65D EF DEF '∠=∠=︒，180180656550.AED D EF DEF ''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：50.︒【点睛】本题考查的是矩形与折叠，平行线的性质，简单题，解题的关键是理解折叠的性质． 15．在ABCD 中，BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，若60EBF ︒∠=，且3AE =，2DF =，则EC =_______．【分析】由▱ABCD 中BE ⊥ADBF ⊥CD 可得∠D=120°继而求得∠A 与∠BCD 的度数然后由勾股定理求得ABBEBC 的长继而求得答案【详解】解：∵BE ⊥ADBF ⊥CD ∴∠BFD=∠BED=∠BFC 91【分析】由▱ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，可得∠D=120°，继而求得∠A 与∠BCD 的度数，然后由勾股定理求得AB ，BE ，BC 的长，继而求得答案．【详解】解：∵BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°，∵∠EBF=60°，∴∠D=120°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BCD=∠A=60°，∵在△ABE 中，∠ABE=30°，∴AB=2AE=2×3=6，∴CD=AB=6，BE=2233AB AE -=，∴CF=CD-DF=6-2=4，∵在△BFC 中，∠CBF=30°，∴BC=2CF=2×4=8，∴CE=2291BE BC +=，故答案为：91．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适合，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，A B 、两点分别位于山脚的两端，小明想测量A B 、两点间的距离，于是想了个主意，先在地上取一个可以直接达到A B 、两点的点C ，找到AC BC 、的中点D 、E ，并且测出DE 的长为15m ，则A B 、两点间的距离为_________m ．30【分析】由DE 分别是边ACAB 的中点首先判定DE 是三角形的中位线然后根据三角形的中位线定理求得AB 的长即可【详解】解：∵DE 分别是ACBC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线根据三角形的中位线定理得： 解析：30【分析】由D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，首先判定DE 是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB 的长即可．【详解】解：∵D 、E 分别是AC 、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线定理，得：AB=2DE=30m ．故答案为：30．【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用；熟记三角形中位线定理是解决问题的关键． 17．如图在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若30,2ACB AB ︒∠==，则BD 的长为_______．4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4利用矩形的性质得到BD=AC=4即可【详解】在矩形中∵四边形是矩形故答案为：4【点睛】此题考查矩形的性质直角三角形30度角的性质熟记各性质是 解析：4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4，利用矩形的性质得到BD=AC=4即可．【详解】在矩形ABCD 中，90ABC ︒∠=，30,2ACB AB ︒∠==，2224AC AB ∴==⨯=，∵四边形ABCD 是矩形，4BD AC ∴==．故答案为：4．【点睛】此题考查矩形的性质，直角三角形30度角的性质，熟记各性质是解题的关键． 18．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝135°，AD ＝42，AB ＝8，作对角线AC 的垂直平分线EF ，分别交对边AB 、CD 于点E 和点F ，则AE 的长为_____．【分析】连接CE 过点C 作交AB 的延长线于点H设AE=x 则BE=8-xCE=AE=x 在根据勾股定理即可得到x 的值【详解】如图：连接CE 过点C 作交AB 的延长线于点H 平行四边形ABCD 中设AE=x 则BE= 解析：203【分析】连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，设AE=x ，则BE=8-x ，CE=AE=x ，在根据勾股定理，即可得到x 的值．【详解】如图：连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，平行四边形ABCD 中，135,42ABC AD ∠=︒=，45,42CBH BC ∴∠=︒=，90,H ∠=︒45,BCH ∴∠=︒4CH BH ∴==设AE=x ，则BE=8-x ，EF 垂直平分AC ，CE AE x ∴==，在Rt CEH 中，222CH EH EC +=，()222484x x ∴+-+=，解得：203x =， AE ∴的长为203， 故答案为：203． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．19．如图，以Rt ABC 的斜边BC 为边，向外作正方形BCDE ，设正方形的对角线BD 与CE 的交点为O ，连接AO ，若3AC =，6AO =，则AB 的值是__________．【分析】如详解图：作垂足为F 的延长线垂足为G 可证可得四边形AFOG 为正方形BF=CGAF=AG=进而可求得答案【详解】如图所示：作垂足为F 的延长线垂足为G 则四边形AFOG 为矩形四边形BCDE 是正方形 解析：623【分析】如详解图：作OF AB ⊥垂足为F ，OG AG ⊥的延长线，垂足为G ，可证OFB OGC △≌△,可得四边形AFOG 为正方形，BF=CG ，AF=AG=32，进而可求得答案．【详解】如图所示：作OF AB ⊥垂足为F ，OG AG ⊥的延长线，垂足为G ，则四边形AFOG 为矩形，四边形BCDE 是正方形，∴OB=OC ，90BOC ∠=°，9090COG COF BOF COF BOF COG∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠,,OFB OGC OB OC OFB OGCOF OG∠=∠=∴∴=△≌△ S ∴四边形AFDG 为正方形63233233233223AO AF AG AC CG AG AC BF CGAB AF BF AG CG =∴===∴=-==∴=+=+=+=故答案为：623．【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质，关键是构造全等三角形证明． 20．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意 解析：17 【分析】 根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．【详解】如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．在Rt APD 中，2211617PD AP AD =+=+=．综上可知PB DB ''+最小值为17．17【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．三、解答题21．如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝3，延长AC 到E ，使得CE ＝CD ，连接BE ．（1）求证：∠ACB ＝90°；（2）求线段BE 的长度．解析：（1）见解析；（2）11 【分析】 （1）利用勾股定理的逆定理判定AC ⊥BC ；（2）在直角△BCE 中，利用勾股定理来求BE 的长度．【详解】证明：（1）∵在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝22，AB ＝23，∴AC 2＝4，BC 2＝8，AB 2＝12，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴∠ACB ＝90°；（2）由（1）知，∠ACB ＝90°，则∠BCE ＝90°．∵D 是AB 的中点，AB ＝23，CE ＝CD ，∴CE ＝CD ＝12AB ＝3． ∴在直角△BCE 中，由勾股定理得：BE ＝22BC EC +＝22(22)(3)+＝11．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．22．如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AOD ＝60°，AD ＝2，求AC 的长度．解析：4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到OA 的长，从而可以求得AC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∵∠AOD ＝60°，AD ＝2，∴△AOD 是等边三角形，∴OA ＝OD ＝2，∴AC ＝2OA ＝4，即AC 的长度为4．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB 是等边三角形是解题的关键．23．已知：如图，在四边形ABCD 中，点G 在边BC 的延长线上，CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠，//EF BC 交CD 于点O ．（1）求证：OE OF =；（2）若点O 为CD 的中点，求证：四边形DECF 是矩形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由角平分线的定义及平行线的性质可证得DCE FEC ∠=∠，EFC DCF ∠=∠，得OE OC =，OF OC =，即可得出结论；（2）先证得四边形DECF 是平行四边形，再利用角平分线的定义可求得90ECF ∠=︒，则可证得四边形DECF 为矩形．【详解】证明：（1）∵CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠∴BCE DCE ∠=∠，DCF GCF ∠=∠∵EF ∥BC ，∴BCE FEC ∠=∠，EFC GCF ∠=∠∴DCE FEC ∠=∠，EFC DCF ∠=∠∴OE OC =，OF OC =，∴OE OF =．（2）∵点O 为CD 的中点，∴OD OC =，又OE OF =，∴四边形DECF 是平行四边形∵CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠， ∴12DCE BCD ∠=∠，12DCF DCG ∠=∠ ∴()11=9022DCE DCF BCD DCG BCG ∠+∠=∠+∠∠=︒ ∵DCE DCF ECF ∠+∠=∠， ∴90ECF ∠=︒∵四边形DECF 是平行四边形，∴平行四边形DECF 是矩形．【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．24．（1）如图，已知线段a ，c ，求作Rt ABC ，使得90C ∠=︒，BC a =，AB c =；（2）在Rt ABC 中，斜边AB 边上的中线长为5，7BC =，试比较AC ，BC 的大小． 解析：（1）见解析；（2）BC ＜AC【分析】（1）画射线BD ，以B 为端点取BC=a ，过点C 作BD 的垂线，再以点B 为圆心，c 为半径画弧，与该垂线交于点A 即可；（2）根据直角三角形的性质得到AB ，利用勾股定理求出AC ，再比较大小即可．【详解】解：（1）如图，△ABC 即为所作；（2）如图，直角三角形ABC 中，∠C=90°，D 为AB 中点，则CD=5，BC=7，∴AB=10，∴22107-51∵7=49＜51，∴BC ＜AC ．【点睛】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，勾股定理，实数的大小比较，解题的关键是依据题意作出图形．25．如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一点，点E 在BA 的延长线上，且PB PE =，连结DE ．（1）求证：PD PE =．（2）试判断DE 和BP 的数量关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）2DE BP =，见解析 【分析】（1）根据SAS 证明APD APB ≌△△可得PD=PB ，再结合PD=PE 即可得出结论； （2）证明DPE 是等腰直角三角形即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴=45CAD CAB ∠=∠︒∵AP AP =，∴()APD APB SAS ≌， ∴PD PB =， ∵PB PE =，∴PD PE =． （2）2DE BP =．理由如下：∵由（1）知，APD APB ≌△△，PD PB PE ==，∴设PEB PBE PDA x ∠=∠=∠=︒，∴1802EPB x ∠=︒-︒，∵45DAP ∠=︒，∴18045135DPA BPA x x ∠=∠=︒-︒-=︒-︒，∴1802(135)45APE EPB BPA x x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒-︒，∴135(45)90DPE DPA APE x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．∴DPE 是等腰直角三角形，∴22DE DP BP ==． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．26．如图，在AOB 和COD △中，OA OB =， OC OD =，90AOB COD ∠=∠=︒，点C 在边AB 上，点 G 是线段AD 的中点．（1）求ABD ∠的度数；（2）求证：OG 平分AOB ∠．解析：（1）∠ABD=90°；（2）证明见解析．【分析】（1）只需要证明△BOD ≌△AOC ，再根据等腰直角三角形的性质即可得出∠OBD=∠OAB=∠OBA=45°，从而求得ABD ∠的度数；（2）延长BD 与AO 的延长线交于E ，可证明△OBE ≌△OBA ，得出OA=OE ，从而得出OG 为△ADE 的中位线，根据三角形中位线的性质可求得∠AOG=∠E=45°，继而证明结论．【详解】解：（1）∵∠AOB=∠COD=90°，OA OB =，∴∠OBA=∠OAB=45°，∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC ，即∠AOC=∠BOD ，又∵OA OB =，OC OD =，∴△BOD ≌△AOC （SAS ），∴∠OBD=∠OAB=45°，∴∠ABD=∠OBA+∠OBD=90°；（2）延长BD 与AO 的延长线交于E ，∵∠AOB=90°，∴∠BOE=90°，又∵OB=OB ，∠OBD=∠OBA=45°，∴△OBE ≌△OBA （SAS ），∴∠E=∠OAB=45°，EO=OA ，又∵G 为AD 的中点，∴OG 为△ADE 的中位线，即OG//ED ，∴∠AOG=∠E=45°，即12AOG AOB ∠=∠ ， ∴OG 平分AOB ∠．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质．（1）中掌握全等三角形的判定定理，并能结合题意选择合适的定理作为依据证明是解题关键；（2）中正确作出辅助线是解题关键．27．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 的中点，AE //CD ，CE //AB ，连接DE 交AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形；（2）若∠B =60°，BC =6，求菱形ADCE 的高．解析：（1）见解析；（2）3√3【分析】（1）先证明四边形ADCE 是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB=AD ，即可得出四边形ADCE 为菱形； （2）过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ；先证明△BCD 是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt △CDF 中，求出DF 即可．【详解】解：（1）证明：∵AE ∥CD ，CE ∥AB ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点，∴CD=12AB=AD ， ∴四边形ADCE 为菱形；（2）过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，如图所示：DF 即为菱形ADCE 的高，∵∠B=60°，CD=BD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE ∥AB ，∴∠DCE=∠BDC=60°，∴∠CDF=30°，又∵CD=BC=6，∴CF=3，∴在Rt △CDF 中，DF=√CD 2−CF 2=3√3．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．28．已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE ．（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意可得到//AB CE ，从而再证明AB CE =即可得出结论；（2）结合（1）的结论可以得到//BC AD ，BCE D ∠=∠，再根据2AFC D ∠=∠推出FEC FCE ∠=∠，从而得到FC FE =即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB CD ，AB CD =，即//AB CE ，∵DC CE =，∴AB CE =，∴四边形ABEC 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BC AD ，BCE D ∠=∠，∵四边形ABEC 是平行四边形，又∵AFC FEC BCE ∠=∠+∠，∴当2AFC D ∠=∠时，则有FEC FCE ∠=∠，∴FC FE =，AE BC =，∴四边形ABEC 是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键．。

八年级下册数学平行四边形知识点平行四边形是初中数学中比较基础的一个概念，在八年级下册的数学课程中也有涉及。

平行四边形的定义是：两组平行边相对的四边形。

根据这个定义，我们可以得出以下几个平行四边形的性质。

1. 对角线互相平分平行四边形的两条对角线互相平分，即将平行四边形的任意一条对角线分成两段，两段长度相等，并且分点的连线也是平行四边形的对角线之一。

2. 对边相等平行四边形的对边相等，即平行四边形的任意两组相对的边长相等，如图所示。

这个性质可以用来判断一个四边形是否为平行四边形。

3. 钝角相等，锐角相等平行四边形的相邻两个角中，有一个是锐角，另一个则是钝角。

而且在同一平行四边形中，钝角相等，锐角相等。

这个性质可以通过平行线之间的夹角定理证明。

4. 相邻补角相等平行四边形的相邻两个角是补角，即它们的和为180度。

在同一平行四边形中，相邻两个角是相等的，因此它们的补角也是相等的。

5. 高度定理平行四边形的高度是指从一个点到与其在同一条平行线上的另一条边的垂线长度。

平行四边形的面积可以通过底边长乘以高度来求得。

除了以上五个性质外，还有一些其他的平行四边形知识点也很重要，如平移变换、旋转变换等。

这些知识点可以通过实例来加深理解。

例如，通过将一张平行四边形的图形进行平移变换，可以得到一个与原图形形状相同、大小相同、但位置不同的新图形。

如果在原图形上标注出一些点或线段，那么在进行平移变换时，这些点或线段也会进行相应的移动。

这个知识点在解决棋盘问题、填表格等方面非常实用。

总之，平行四边形是数学中一个基础且重要的概念，掌握好它的一些基本性质和知识点，不仅可以提高数学成绩，还可以在实际生活中应用。

2024学年八年级数学经典好题专项（平行四边形）练习一、选择题1、如图所示是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后不能与原图重合，则这个角度不可能是（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．180°(1) (4) (5)2、下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3、对于任意的矩形，下列说法一定正确的是 ( )A ．对角线垂直且相等B ．四边都互相垂直C ．四个角都相等D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形4、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的( )A ．AO ＝ODB ．AO ⊥ODC ．AO ＝OCD ．AO ⊥AB5、如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是( )A ．∠B=∠FB ．∠B=∠BCFC ．AC=CFD ．AD=CF6、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE 是平行四边形的个数是( )①图甲，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ②图乙，DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC③图丙，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点 ④图丁，E 是AB 上一点，EF ⊥AB . A ． 3 B ． 4 C ． 1 D ． 27、如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是( ) A. 7 B. 9 C. 10 D. 11(7) (8) (9) (10) 8、如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为( )A ．20B ．30C ．40D ．509、已知平行四边形ABCD 中，8AC =，E 是AD 上一点，DCE 的周长是平行四边形ABCD 周长的一半，且5EC =，连结EO ，则EO 的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．510、如图，△ABC 的周长为17，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为点N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为点M ，若BC ＝6，则MN 的长度为（ ）A ．B ．2C ．D ．311、如图，正方形ABCD 中，点E.F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G ．若BC=4，DE=AF=1，则GF 的长为( )A ．135B ．125C ．195D ．165(11) (12) (13) (14)12、如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若25CBF ∠=︒，则(AED ∠= )A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒ 13、如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD ，CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①∠ABE ＝∠DCE ；②AG ⊥BE ；③S △BHE ＝S △CHD ；④∠AHB ＝∠EHD ．其中正确的是（ ）A ．①③B ．①②③④C ．①②③D ．①③④14、已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12)C . (65，35)D . (107，57)二、填空题15、如图，△ABP 是由△ACD 按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP ＝60°，则在这转过程中，旋转中心是 ，旋转的角度为 ．(15) (16) (18)16、如图，△DEC 是由△ABC 经过了如下的几何变换而得到的：①以AC 所在直线为对称轴作轴对称，再以C 为旋转中心，顺时针旋转90°；②以C 为旋转中心，顺时针旋转90°得△A'B'C ，再以A'C 所在直线为对称轴作轴对称；③将△ABC 向下、向左各平移1个单位，再以AC 的中点为中心作中心对称．其中正确的变换有( )A.①②B.①③C.②③ D ．①②③17、一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7，则它的一条边长a 的取值范围是18、如图，在▱ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD 交AD 于点E ，AB ＝6，BC ＝10，则EF 长为______________19、如图，在矩形ABCD 中，AE ＝AF ，过点E 作EH ⊥EF 交DC 于点H ，过F 作FG ⊥EF 交BC 于G ，当AD 、AB 满足____________(关系)时，四边形EFGH 为矩形．(19) (20) (21)20、如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E 为AB 的中点，∠A＝∠B．下列结论：①AC＝DE；②CD＝AE；③AC 平分∠BCD；④O 点是DE 的中点；⑤AC＝AB． 其中正确的序号有_______．21、如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________．22、如图，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，给出下列判断：①若△AEF 是等边三角形，则∠B ＝60°，②若∠B ＝60°，则△AEF 是等边三角形，③若AE ＝AF ，则平行四边形ABCD 是菱形，④若平行四边形ABCD 是菱形，则AE ＝AF ，其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．(22) (23) (24)23、如图，菱形ABCD 的边长为2，∠DAB =60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为 ．24、如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF ＝45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ．若AE ＝1，则△BEF 的面积为 ．三、解答题25、如图，E、F 在正方形ABCD 的边上，45EAF ︒∠=．（1）ABG 是由ADE 旋转而来，旋转中心是什么？旋转角是多少度？（2）求证：GF EF =；（3）若2,3BG BF ==，求正方形ABCD 的面积．26、如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO=CO ．（1）求证∶△AOF ≌△COE ；（2）连接AE 、CF ，则四边形AECF______（填"是"或"不是"）平行四边形．27、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F（1）求证：AE ＝CF ；（2）求证：四边形AECF 是平行四边形．28、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：ABE ∆≅△CDF ∆；（2）当线段AB 与线段AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由．29、如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作//FG CD 交BE 于点G ，连接CG ．（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若3AB =，5AD =，求四边形CEFG 的面积．30、四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形．⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．31、如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边的等边三角ABD 和等边三角形ACE ，四边形ADFE 是平行四边形．(1)当∠BAC 满足什么条件时，四边形ADFE 是矩形；(2)当∠BAC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 不存在；(3)当△ABC 分别满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形，正方形？32、已知：如图1，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH （即四边形ABCD 的中点四边形）．（1）四边形EFGH 的形状是 ，证明你的结论．（2）如图2，请连接四边形ABCD 的对角线AC 与BD ，当AC 与BD 满足 条件时，四边形EFGH 是矩形；证明你的结论．（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．33、如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE CG=，=，AH CF 且EG平分HEF∠．（1）求证：AEH CGF∆≅∆．（2）若90∠=︒．求证：四边形EFGH是正方形．EFG34、在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB外作正方形ABCD，正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）．（1）如图1，OM⊥EM并交EB延长线于点M，ON⊥AE，且交EA于点N，求证：EO平分∠AEB；（2）如图1，延长EA到P，使AP＝BE，连接OP，试猜想线段OE与OP是否相等，并证明；（3）如图2，过点C作CF⊥EB并交EB的延长线于点F，过点D作DH⊥EA并交EA的延长线于点H，CF 和DH的反向延长线交于点G，求证：四边形EFGH为正方形．参考答案一、选择题1、如图所示是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后不能与原图重合，则这个角度不可能是（ ）A．60° B．90° C．120° D．180°【答案】解：如图，观察图形可知：∠AOB＝∠EOF＝60°∴旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，故性质90°不可能与原来图形重合，故选：B．2、下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()B．B．C．D．【答案】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．3、对于任意的矩形，下列说法一定正确的是A．对角线垂直且相等 B．四边都互相垂直C．四个角都相等 D．是轴对称图形，但不是中心对称图形【解析】A．矩形的对角线相等，但不垂直，故此选项错误；B．矩形的邻边都互相垂直，对边互相平行，故此选项错误；C．矩形的四个角都相等，正确；D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误．故选C．4、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的()A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；故选C.5、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是A．∠B=∠F B．∠B=∠BCF C．AC=CF D．AD=CF【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE = 12AC ．A ．根据∠B=∠F 不能判定AC ∥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．B ．根据∠B=∠BCF 可以判定CF ∥AB ，即CF ∥AD ，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故本选项正确．C ．根据AC=CF 不能判定AC ∥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．D ．根据AD=CF ，FD ∥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．故选B ．6、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE 是平行四边形的个数是( )①图甲，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ②图乙，DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC③图丙，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点 ④图丁，E 是AB 上一点，EF ⊥AB . A ． 3 B ． 4 C ． 1 D ． 2【解析】①∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ACD ＝S △ABC ，∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴DE ∥BF ，S △ACD ＝AC ꞏDE ，S △ABC ＝AC ꞏBF ，∴DE ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形；②∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ADC ＝∠ABC ，AD ＝CB ，AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC ，∴∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，∴△ADE ≌△CBF (ASA)，∴DE ＝BF ，∠AED ＝∠BFC ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形；③∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∵E 是AB 的中点，F 是CD 的中点，∴DF ＝CD ，BE ＝AB ，∴DF ＝BE ，∴四边形BFDE 是平行四边形；④∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∵E 是AB 上一点，EF ⊥AB ，无法判定DF ＝BE ，∴四边形BFDE 不一定是平行四边形．故选A.7、如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是( )A. 7B. 9C. 10D. 11【解析】本题考查勾股定理、三角形的中位线定理和四边形的周长 . 解题思路：⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎬⎫ BD ＝4，CD ＝3 BD ⊥CD ⇒BC ＝5E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点⇒EF ＝HG ＝12BC ＝52 ⎭⎬⎫E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点 AD ＝6⇒EH ＝FG ＝12AD ＝3 ⇒四边形EFGH 的周长＝EF ＋FG ＋HG ＋EH ＝11. 故选D8、如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为( )A ．20B ．30C ．40D ．50【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴EF 是△DAB 的中位线．∴AB ＝2EF ＝10．∵菱形的四边相等，∴菱形ABCD 的周长＝4AB ＝40．故选C ．9、已知平行四边形ABCD 中，8AC =，E 是AD 上一点，DCE 的周长是平行四边形ABCD 周长的一半，且5EC =，连结EO ，则EO 的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5解析：∵DCE 的周长是平行四边形ABCD 周长的一半，即AD+CD=CD+DE+EC，∴AE=EC=5，即ACE △为等腰三角形．∵点O 是平行四边形ABCD 对角线交点，∴点O 为AC 中点．∴EO 垂直平分AC．∴AO=4．在Rt AOE 中，3EO ===．故选：B10、如图，△ABC 的周长为17，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为点N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为点M ，若BC ＝6，则MN 的长度为（ ）A ．B ．2C ．D ．3【答案】解：∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，∴∠NBA ＝∠NBE ，∠BNA ＝∠BNE ，在△BNA 和△BNE 中，，∴△BNA ≌△BNE （ASA ），∴BA ＝BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一）， ∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE +CD ＝AB +AC ＝17﹣BC ＝17﹣6＝11， ∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝5，∴MN ＝DE ＝． 故选：C ．11、如图，正方形ABCD 中，点E.F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G ．若BC=4，DE=AF=1，则GF 的长为A ．135B ．125C ．195D ．165【解析】正方形ABCD 中，∵BC=4，∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，在△BCE 和△CDF 中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF ，∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB =90°=∠CGE ，∵BCE S ∆=21BC CE ∙=21BE ∙CG, ∴CG=125，∴GF=CF ﹣CG=5﹣125=135，故选A ．12、如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若25CBF ∠=︒，则(AED ∠= )A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒【答案】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，BA ＝DA ，∠BAE ＝∠DAE ＝45°．又AD ＝AD ，∴△ABE ≌△ADE （SAS ）．∴∠ADE ＝∠ABE ＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED ＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C ．13、如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD ，CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①∠ABE ＝∠DCE ；②AG ⊥BE ；③S △BHE ＝S △CHD ；④∠AHB ＝∠EHD ．其中正确的是（ ） A ．①③ B ．①②③④ C ．①②③ D ．①③④【答案】解：∵四边形ABCD 是正方形，E 是AD 边上的中点，∴AE ＝DE ，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ＝90°，∴△BAE ≌△CDE （SAS ），∴∠ABE ＝∠DCE ，故①正确；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，DH ＝DH ，∴△ADH ≌△CDH （SAS ），∴∠HAD ＝∠HCD ，∵∠ABE ＝∠DCE ，∴∠ABE ＝∠HAD ，∵∠BAD ＝∠BAH +∠DAH ＝90°，∴∠ABE +∠BAH ＝90°，∴∠AGB ＝180°﹣90°＝90°，∴AG ⊥BE ，故②正确；∵AD ∥BC ，∴S △BDE ＝S △CDE ，∴S △BDE ﹣S △DEH ＝S △CDE ﹣S △DEH ，即；S △BHE ＝S △CHD ，故③正确； ∵△ADH ≌△CDH ，∴∠AHD ＝∠CHD ，∴∠AHB ＝∠CHB ，∵∠BHC ＝∠DHE ，∴∠AHB ＝∠EHD ，故④正确；故选：B ．14、已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ， ∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4， 根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ， 直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．故选D二、填空题15、如图，△ABP 是由△ACD 按顺时针方向旋转某一角度得到的，若∠BAP ＝60°，则在这转过程中，旋转中心是 ，旋转的角度为 ．【解答】解：旋转中心为点A ，旋转角为∠BAC ＝∠BAP +∠P AC ＝60°+30°＝90°；故答案为A ，90°．16、如图，△DEC 是由△ABC 经过了如下的几何变换而得到的：①以AC 所在直线为对称轴作轴对称，再以C 为旋转中心，顺时针旋转90°；②以C 为旋转中心，顺时针旋转90°得△A'B'C ，再以A'C 所在直线为对称轴作轴对称；③将△ABC 向下、向左各平移1个单位，再以AC 的中点为中心作中心对称．其中正确的变换有( )A.①②B.①③C.②③ D ．①②③答案A 根据题意分析可得△DEC 可以由△ABC 经过：①以AC 所在直线为对称轴作轴对称，再以C 为旋转中心，顺时针旋转90°得到，故正确；②以C 为旋转中心，顺时针旋转90°得△A'B'C ，再以A'C 所在直线为对称轴作轴对称变化得到，故正确；③将△ABC 向下、向左各平移1个单位，所得三角形与△DEC 为轴对称图形，以AC 的中点为中心，作中心对称得不到△DEC ，故错误．17、一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7，则它的一条边长a 的取值范围是OD C B A【解析】如图，不妨设AB a =，5AC =，7BD =，在ABO ∆中，52AO =，72BO =，由三角形三边关系可得 AO BO AB AO BO -<<+，即16a <<．18、如图，在▱ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD 交AD 于点E ，AB ＝6，BC ＝10，则EF 长为______________【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝10，DC ＝AB ＝6．∴∠AFB ＝∠FBC ．∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ．∴∠AFB ＝∠ABF ．∴AF ＝AB ＝6．同理可得DF ＝DC ＝6． ∴EF ＝AF +DE ﹣AD ＝6+6﹣10＝2．19、如图，在矩形ABCD 中，AE ＝AF ，过点E 作EH ⊥EF 交DC 于点H ，过F 作FG ⊥EF 交BC 于G ，当AD 、AB 满足____________(关系)时，四边形EFGH 为矩形．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°. ∵AE ＝AF ，∴∠AFE ＝∠AEF ＝45°.又∵EH ⊥EF ，FG ⊥EF ，∴∠GFB ＝∠HED ＝45°，∴△DHE 和△BGF 都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH 是矩形，则EH ＝FG ，∴ED ＝FB ， 又∵AE ＝AF ，∴AD ＝AB .20、如图，已知DE∥BC，AB∥CD，E 为AB 的中点，∠A＝∠B．下列结论：①AC＝DE；②CD＝AE；③AC 平分∠BCD；④O 点是DE的中点；⑤AC＝AB． 其中正确的序号有_______．解：①∵DE∥BC，AB∥CD，∴四边形BCDE 是平行四边形，∴BC=DE，∵∠A=∠B，∴AC=BC，∴AC=DE；故①正确；∵四边形BCDE 是平行四边形，∴CD=BE，∵E 为AB 的中点，∴AE=BE，∴CD=AE；故②正确； ∵AB∥CD，∴∠A=∠ACD，∵∠A=∠B，∴∠ACD=∠B，但∠B 不一定等于∠ACB，故AC 不一定是∠BCD 的平分线；故③错误；在△AOE 和△COD 中，,A OCD AOE COD AE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOE≌△COD（AAS），∴OE=OD，即O 是DE 的中点；故④正确；∵AC=BC，但不能确定AC=AB，故⑤错误．答案： ①②④21、如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________．【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.22、如图，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，给出下列判断：①若△AEF 是等边三角形，则∠B ＝60°，②若∠B ＝60°，则△AEF 是等边三角形，③若AE ＝AF ，则平行四边形ABCD 是菱形，④若平行四边形ABCD 是菱形，则AE ＝AF，其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．【解析】①∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝60°，AE ＝AF ，又∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠C ＝120°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∠C ＝∠BAD ＝120°，∴∠B ＝180°－∠C ＝60°，故①正确；②∵∠D ＝∠B ＝60°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝90°－60°＝30°，∴∠EAF ＝120°－30°－30°＝60°，但是AE 不一定等于AF ，故②错误；③若AE ＝AF ，则21BC ꞏAE ＝21CD ꞏAF ，∴BC ＝CD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故③正确； ④若平行四边形ABCD 是菱形，则BC ＝CD ，∴21BC ꞏAE ＝C 21D ꞏAF ，∴AE ＝AF ，故④正确； 故答案为①③④.23、如图，菱形ABCD 的边长为2，∠DAB =60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE的周长最小，则△PBE24、如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF ＝45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ．若AE ＝1，则△BEF 的面积为 ．解：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM ＝∠FCD +∠DCM ＝180°，CM ＝AE ＝1，∴F 、C 、M 三点共线，∴DE ＝DM ，∠EDM ＝90°，∴∠EDF +∠FDM ＝90°，∵∠EDF ＝45°，∴∠FDM ＝∠EDF ＝45°，在△DEF 和△DMF 中，，∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF ＝MF ，设BF ＝x ，则CF ＝3﹣x ，FM ＝3﹣x +1＝4﹣x ，EF ＝4﹣x ，∵Rt △BEF 中，BE 2+BF 2＝EF 2，∴22+x 2＝（4﹣x ）2，解得x ＝，∴BF ＝，∴△BEF的面积为××2＝．故答案为：．三、解答题25、如图，E、F 在正方形ABCD 的边上，45EAF ︒∠=．（1）ABG 是由ADE 旋转而来，旋转中心是什么？旋转角是多少度？（2）求证：GF EF =；（3）若2,3BG BF ==，求正方形ABCD的面积．解：（1）由旋转性质可得旋转中心为A 点，旋转角度为90°；（2）ABG △由ADE 旋转而来，ABG ADE ∴≅ ，,AG AE BAG DAE ∴=∠=∠90,45BAD EAF ︒︒∠=∠= ，45GAF BAG BAF ︒∴∠=∠+∠=，GAF EAF ∴∠=∠在EAF △由GAF 中AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAF GAF SAS ∴≅ ，GE EF ∴=；（3）设正方形边长为x ，235EF GF ==+=222(3)(2)5x x ∴-+-=，6x ∴=或1x =-（舍弃）∴正方形面积为2636=．26、如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO=CO ．（1）求证∶△AOF ≌△COE ；（2）连接AE 、CF ，则四边形AECF______（填"是"或"不是"）平行四边形．解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ，在△AOF 和△COE 中FAO ECO AO CO AOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AOF 和△COE （ASA ）．（2）由（1）△AOF 和△COE ，∴OF=OE ，又∵OA=OC ，∴四边形AEOF 为平行四边形．27、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F（1）求证：AE ＝CF ；（2）求证：四边形AECF 是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AED ＝∠CFB ＝90°，在△ADE 和△CBF中，，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴AE ∥CF ，∵AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．28、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：ABE ∆≅△CDF ∆；（2）当线段AB 与线段AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE ＝OB ，DF ＝OD ，∴BE ＝DF ，在△ABE 和△CDF 中，∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）解：当AC ＝2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：∵AC ＝2OA ，AC ＝2AB ，∴AB ＝OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠OEG ＝90°，同理：CF ⊥OD ，∴AG ∥CF ，∴EG ∥CF ，∵EG ＝AE ，OA ＝OC ，∴OE 是△ACG 的中位线，∴OE ∥CG ，∴EF ∥CG ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∵∠OEG ＝90°，∴四边形EGCF 是矩形．29、如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作//FG CD 交BE 于点G ，连接CG ．（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若3AB =，5AD =，求四边形CEFG的面积．解：（1）证明：由题意可得，BCE BFE ≌，∴BEC BEF ∠=∠，FE CE =，∵//FG CE ，∴FGE CEB ∠=∠，∴FGE FEG ∠=∠，∴FG FE =，∴FG EC =，∴四边形CEFG 是平行四边形， 又∵CE FE =，∴四边形CEFG 是菱形；（2）∵矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，BC BF =，∴90BAF ∠=︒，5AD BC BF ===，∴4AF =，∴1DF =，设EF x =，则CE x =，3DE x =-，∵90FDE ∠=︒，∴21+22)3(x x =-，解得，53x =，∴53CE =， ∴四边形CEFG 的面积是：51353CE DF ⋅=⨯=．30、四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证： ⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形．⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．解析：⑴ 因为()11802GHE BHC ABC BCD ∠=∠=︒-∠+∠， ()11802GFE AFD DAB CDA ∠=∠=︒-∠+∠， 所以GHE GFE ∠+∠()13602ABC BCD CDA DAB =︒-∠+∠+∠+∠180=︒ ⑵ 若四边形ABCD 为平行四边形，则180ABC BCD ∠+∠=︒所以()360180DAB CDA ABC BCD ∠+∠=︒-∠+∠=︒． 从而1180180902GFE ∠=︒-⨯︒=︒，故1180180902GHE ∠=︒-⨯︒=︒． 同理，四边形EFGH 的另两个角都是直角，所以，四边形EFGH 为矩形．⑶ 若四边形ABCD 为矩形，则由⑵知四边形EFGH 是矩形．GCD EAB ∆∆≌，HBC FAD ∆∆≌，GC EB =，HC HB =，GH HE =，故矩形EFGH 为正方形．31、如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边的等边三角ABD 和等边三角形ACE ，四边形ADFE 是平行四边形．(1)当∠BAC 满足什么条件时，四边形ADFE 是矩形；(2)当∠BAC 满足什么条件时，平行四边形ADFE 不存在；(3)当△ABC 分别满足什么条件时，平行四边形ADFE 是菱形，正方形？【答案】解 (1)当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE 是矩形，∴∠DAE ＝360°－120°－150°＝90°；∵四边形ADFE 是平行四边形，∴四边形ADFE 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)；(2)当∠BAC ＝60°时，平行四边形ADFE 不存在， ∠DAE ＝180°－60°－60°－60°＝0°；(3)当AB ＝AC 且∠BAC 不等于60°时，平行四边形ADFE 是菱形．当AB ＝AC ，∠BAC ＝150°时，平行四边形ADFE 是正方形．32、已知：如图1，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是 ，证明你的结论．（2）如图2，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足 条件时，四边形EFGH是矩形；证明你的结论．（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．【答案】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连结BD．∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH＝BD，同理FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下： 如图2，连结AC、BD．∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形；（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：如图3，连结AC、BD．∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH＝BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四边形EFGH是矩形．故答案为：平行四边形；互相垂直．33、如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE CG=，=，AH CF ∠．且EG平分HEF（1）求证：AEH CGF∆≅∆．（2）若90∠=︒．求证：四边形EFGH是正方形．EFG【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D ．∵AE ＝CG ，AH ＝CF ，∴EB ＝DG ，HD ＝BF ．∴△BEF ≌△DGH （SAS ），∴EF ＝HG ． 又∵△AEH ≌△CGF ，∴EH ＝GF ．∴四边形HEFG 为平行四边形．∴EH ∥FG ，∴∠HEG ＝∠FGE ．∵EG 平分∠HEF ，∴∠HEG ＝∠FEG ，∴∠FGE ＝∠FEG ，∴EF ＝GF ，∴四边形EFGH 是菱形． 又∵∠EFG ＝90°，∴平行四边形EFGH 是正方形．34、在Rt△AEB 中，∠AEB ＝90°，以斜边AB 为边向Rt△AEB 外作正方形ABCD ，正方形ABCD 的对角线交于点O （如图1）．（1）如图1，OM ⊥EM 并交EB 延长线于点M ，ON ⊥AE ，且交EA 于点N ，求证：EO 平分∠AEB ；（2）如图1，延长EA 到P ，使AP ＝BE ，连接OP ，试猜想线段OE 与OP 是否相等，并证明；（3）如图2，过点C 作CF ⊥EB 并交EB 的延长线于点F ，过点D 作DH ⊥EA 并交EA 的延长线于点H ，CF和DH 的反向延长线交于点G ，求证：四边形EFGH为正方形．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOA ＝90°，OB ＝OA ，∴∠BON +∠AON ＝90°，∵∠AEB ＝90°，OM ⊥EM ，ON ⊥AE ，∴四边形MENO 为矩形，∴∠MON ＝90°，∴∠BON +∠BOM ＝90°，∴∠BOM ＝∠AON ，在△BOM 和△AON 中，90OM ONA BOM AON OB OA ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOM ≌△AON （AAS ），∴OM ＝ON ，∵OM ⊥EM ，ON ⊥AE ，∴EO 平分∠AEB ；（2）解：OE ＝OP ，理由如下：由（1）可知，△BOM ≌△AON ，∴∠OBM ＝∠OAN ，∴∠OBE ＝∠OAP ，在△OBE 和△OAP 中，OB OA OBE OAP BE AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBE ≌△OAP （SAS ），∴OE ＝OP ；（3）证明：∵CF ⊥EB ，DH ⊥EA ，∴∠F ＝∠H ＝∠AEB ＝90°，∴四边形EFGH 为矩形， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∴∠EAB +∠DAH ＝90°，∠EAB +∠ABE ＝90°，∠ADH +∠DAH ＝90°，∴∠EAB ＝∠HDA ，∠ABE ＝∠DAH ．在△ABE 与△ADH 中，90EAB HDA AEB DHA AB DA ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADH （AAS ），∴BE ＝AH ，AE ＝DH ，同理可得：△ABE ≌△BCF ，△ADH ≌△DCG ，△DCG ≌△CBF ，∴BE ＝CF ，AE ＝BF ，AH ＝DG ，DH ＝CG ，DG ＝CF ，CG ＝BF ，∴CG +FC ＝BF +BE ＝AE +AH ＝DH +DG ，∴FG ＝EF ＝EH ＝HG ，∴四边形EFGH 为正方形．。