课时训练(二十六) 正方形及中点四边形|夯实基础|1.根据下列条件,能判定一个四边形是正方形的是()A.对角线互相垂直且平分B.对角相等C.对角线互相垂直、平分且相等D.对角线相等2.[2022最新·滨州] 下列命题,其中是真命题的为()A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形3.[2016·河北] 关于▱ABCD的叙述,正确的是()A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形4.[2022最新·广安] 下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.15.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.如图26-5,正方形ABCD的周长为28cm,点N在对角线BD上,则矩形MNGC的周长是()图26-5A.24cmB.14cmC.18cmD.7cm7.如图26-6,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别为1和3,则正方形ABCD的边长是()图26-6A.2√2B.3C.√10D.48.[2022最新·天津] 如图26-7,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()图26-7A .AB B .DEC .BD D .AF9.[2022最新·枣庄] 如图26-8,把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN ,再过点B 折叠纸片,使点A 落在MN 上的点F 处,折痕为BE.若AB 的长为2,则FM 的长为()图26-8A .2B .√3C .√2D .110.[2022最新·泰安] 如图26-9,在正方形ABCD 中,M 为BC 上一点,ME ⊥AM ,ME 交AD 的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE 的长为()图26-9A .18B .1095C .965D .25311.[2022最新·青岛] 如图26-10,已知正方形ABCD 的边长为5,点E ,F 分别在AD ,DC 上,AE=DF=2,BE 与AF 相交于点G ,H 为BF 的中点,连接GH ,则GH 的长为.图26-1012.[2022最新·德阳] 如图26-11,将边长为√3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A'BC'D',那么图中阴影部分的面积为()图26-11A.3B.√3C.3-√3D.3-√3213.正方形的对角线长为2,则正方形的周长为,面积为.14.[2022最新·兰州] 在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的是(填序号).15.[2015·无锡] 如图26-12,已知矩形ABCD的对角线长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的周长等于cm.图26-1216.[2015·广安] 如图26-13,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60°,则四边形EFGH的面积为cm2.图26-1317.[2022最新·宿迁] 如图26-14,正方形ABCD的边长为3,点E在边AB上,且BE=1.若点P在对角线BD上移动,则P A+PE的最小值是.图26-1418.[2022最新·包头样题二] 如图26-15,边长为6的大正方形中有两个小正方形,小正方形的顶点均在大正方形的边或对角线上.若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1与S2的和为.图26-1519.[2022最新·常德] 如图26-16,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上,若设AE=x,正方形EFGH 的面积为y,则y与x之间的函数关系式为(不必写出自变量的取值范围).图26-1620.[2022最新·白银] 如图26-17,已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≌△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.图26-1721.[2022最新·聊城] 如图26-18,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形ABCD的边长是5,BE=2,求AF的长.图26-1822.[2022最新·潍坊] 如图26-19,M是正方形ABCD的边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.图26-1923.[2022最新·眉山] 如图26-20,E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF交AC于点H,交DC于点G.(1)求证:BG=DE;(2)若G为CD的中点,求HG的值.GF图26-20|拓展提升|24.[2022最新·包头样题一] 如图26-21,已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形,点E 在线段DC 上,点A ,D ,G 在同一条直线上,且AD=3,DE=1,连接CG ,AE ,并延长AE 交CG 于点H ,则EH 的长为()图26-21A .√105B .2√105C .3√55D .√55 25.[2022最新·台州] 如图26-22,在正方形ABCD 中,AB=3,点E ,F 分别在CD ,AD 上,CE=DF ,BE ,CF 相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3,则△BCG 的周长为.图26-2226.[2022最新·青山区一模] 如图26-23,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC,DC 分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若AEAB =23,则3S△EDH=13S△DHC,其中正确的结论是(填序号).图26-2327.[2022最新·青山区二模] 如图26-24,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PH·PC.其中正确的是(填序号).图26-24参考答案1.C2.D3.C4.C[解析] 根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四条边相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故③错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.5.D6.B7.C8.D[解析] 如图,取CD的中点E',连接AE',PE'.由正方形轴对称的性质可知EP=E'P,AF=AE',∴AP+EP=AP+E'P.∵AP+E'P≥AE',∴AP+EP的最小值是AE'的长,即AP+EP的最小值是AF的长.故选D.9.B[解析]∵四边形ABCD为正方形,AB=2,M,N分别为BC,AD的中点,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,∴FB=AB=2,BM=1.在Rt△BMF中,FM=√BF2-BM2=√22-12=√3,故选B.10.B[解析] 在Rt△ABM中,根据勾股定理得AM=√AB2+BM2=√122+52=13,因为四边形ABCD为正方形,所以AD=AB=12.因为ME⊥AM,所以∠AME=90°,所以∠AME=∠MBA.因为AD∥BC,所以∠EAM=∠AMB,所以△ABM∽△EMA,所以BMAM =AMAE,即513=13AE,所以AE=1695,所以DE=AE-AD=1695-12=1095.11.√342[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD=5,∠BAD=∠D=∠C=90°.又∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF,∴∠DAF=∠ABE ,∴∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG=90°,即∠BGF=90°.在Rt △BCF 中,CF=CD -DF=3,∴BF=√52+32=√34.在Rt △BGF 中,∵H 为BF 的中点,∴GH=12BF=√342.12.C[解析] 如图,连接AM.由旋转的性质可知∠1=∠4=30°,∴∠2+∠3=60°.在Rt △ABM 和Rt △C'BM 中,∵AB=C'B ,∴Rt △ABM ≌Rt △C'BM ,∴∠2=∠3=30°.在Rt △ABM 中,∵AB=√3,∠2=30°,∴AM=tan30°·AB=1.∴S △ABM =S △BMC'=√32,∴S 阴影=S 正方形A'BC'D'-(S △ABM +S △BMC')=3-√3.13.4√2214.①③④[解析]①有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,故①正确;②BD 为平行四边形的对角线,AB 为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD 时,平行四边形不可能是正方形,故②错误; ③由OB=OC ,得AC=BD ,由OB ⊥OC 得AC ⊥BD ,∴▱ABCD 为正方形,故③正确;④由AB=AD ,得▱ABCD 为菱形.又∵AC=BD ,∴四边形ABCD 为正方形,故④正确.15.1616.9√317.√10[解析] 连接PC.根据正方形的对称性知P A=PC ,所以当点C ,P ,E 在同一条直线上时,P A+PE=PC+PE=CE 最小,根据勾股定理求得CE=√BC 2+BE 2=√32+12=√10.18.1719.y=2x 2-4x+4[解析] 由题中条件可知,图中的四个直角三角形是全等三角形,AE=x ,则AF=2-x.在Rt △EAF 中,由勾股定理可得EF 2=(2-x )2+x 2=2x 2-4x+4,即正方形EFGH 的面积y=2x 2-4x+4.20.解:(1)证明:∵F 是BC 边的中点,∴BF=FC.∵F ,G ,H 分别是BC ,BE ,CE 的中点,∴GF ,FH 是△BEC 的中位线,∴GF=HC ,FH=BG.在△BGF 和△FHC 中,{BF =FC ,BG =FH ,GF =HC ,∴△BGF ≌△FHC (SSS).(2)当四边形EGFH 是正方形时,∠BEC=90°,GF=GE=EH=FH.∵GF ,FH 是△BEC 的中位线,∴BE=CE ,∴△BEC 是等腰直角三角形.连接EF ,则EF ⊥BC ,EF=12BC=12AD=12a ,∴S 矩形ABCD =AD ·EF=a ·12a=12a 2.21.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∠ABC=∠C=90°.∵BH ⊥AE ,垂足为H ,∴∠BAE+∠ABH=90°.∵∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BAE=∠CBF .在△ABE 和△BCF 中,{∠ABE =∠C =90°,AB =BC ,∠BAE =∠CBF ,∴△ABE ≌△BCF (ASA),∴AE=BF .(2)∵△ABE ≌△BCF ,∴CF=BE=2.∵正方形的边长为5,∴AD=CD=5,∴DF=CD -CF=5-2=3.在Rt △ADF 中,AF=√AD 2+DF 2=√52+32=√34.22.解:(1)证明:∵四边形ABCD 为正方形,∴AB=AD ,∠BAD=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°.∵BF ⊥AM ,DE ⊥AM ,∴∠DEA=∠AFB=90°,∴∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE.∴△ABF ≌△DAE ,∴AE=BF .(2)设EF=x ,则AE=x+2,BF=AE=x+2.∵△ABF ≌△DAE ,∴S 四边形ABED =S △BEF +S △ABF +S △DAE =S △BEF +2S △ABF =24,即12x (x+2)+12×2(x+2)×2=24,解得x 1=4,x 2=-10(舍去),∴EF=4,BF=6,∴BE=√42+62=2√13,∴sin ∠EBF=EF BE =2√13=2√1313. 23.[解析](1)要证明BG=DE ,只需证明△BCG ≌△DCE ,利用AAS 或ASA 证明即可;(2)设正方形ABCD 的边长为a ,先求出BG 的长,从而得出CE ,DE 的长,分别利用△ABH ∽△CGH 和△DFG ∽△DCE ,得到HG 和GF 的长,从而求出HGGF 的值. 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴BC=DC ,∠BCD=90°,∴∠DCE=180°-90°=90°,∴∠BCD=∠DCE ,∴∠CBG+∠BGC=90°.∵BF ⊥DE ,∴∠CBG+∠E=90°,∴∠BGC=∠E ,∴△BCG ≌△DCE ,∴BG=DE.(2)设正方形ABCD 的边长为a.∵G 为CD 的中点,∴CG=GD=12a.在Rt △BCG中,BG=√BC 2+CG 2=√a 2+(a 2)2=√52a. ∵△BCG ≌△DCE ,∴CE=CG=a 2,DE=BG=√52a.∵AB ∥DC ,∴△ABH ∽△CGH ,∴BH GH =AB CG =2,∴HG BG =13,∴HG=13BG=13×√52a=√56a. 又∵∠DFG=∠DCE=90°,∠FDG=∠CDE ,∴△DFG ∽△DCE ,∴GF EC =DG DE ,即GF 12a =12a √52a ,解得GF=√510a , ∴HG GF =√56a √510a =53. 24.A 25.3+√15[解析]∵在正方形ABCD 中,AB=3,∴S 正方形ABCD =32=9.∵阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3,∴空白部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为1∶3,∴S 空白=3.∵四边形ABCD 是正方形,∴BC=CD ,∠BCE=∠CDF=90°.又∵CE=DF ,∴△BCE ≌△CDF (SAS),∴∠CBE=∠DCF .∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,即∠BGC=90°,△BCG 是直角三角形.易知S △BCG =S 四边形FGED =32,∴S △BCG =12BG ·CG=32,∴BG ·CG=3.在Rt △BCG 中,根据勾股定理,得BG 2+CG 2=BC 2,即BG 2+CG 2=9,∴(BG+CG )2=BG 2+2BG ·CG+CG 2=9+2×3=15,∴BG+CG=√15,∴△BCG 的周长=BG+CG+BC=3+√15.26.①②③④[解析]∵四边形ABCD 为正方形,EF ∥AD ,∴EF=AD=DC ,∠ACD=45°,∠GFC=90°,∴△GFC 为等腰直角三角形,∴GF=CF ,∴EF -GF=DC -CF ,即EG=DF ,故①正确;∵△CFG 为等腰直角三角形,H 为CG 的中点,∴FH=CH ,∠EFH=∠DCH=45°.又∵EF=DC ,∴△EHF ≌△DHC ,故③正确;∵△EHF ≌△DHC ,∴∠FEH=∠CDH ,∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠FEH+∠ADF -∠CDH=∠AEF+∠ADF=180°,故②正确;∵AE AB =23,∴AE=2BE.在△EGH 和△DFH 中,∵EG=DF ,∠EGH=∠DFH=135°,GH=FH ,∴△EGH ≌△DFH ,∴EH=DH,∠EHG=∠DHF,∴∠EHD=∠EHG+∠AHD=∠AHD+∠DHF=∠AHF=90°,∴△EHD是等腰直角三角形.DH2=13x2,过点H作HM⊥CD于点M,设HM=x,则DM=5x,CD=6x,DH=√26x,∴S△EDH=12S△DHC=1HM·CD=3x2,∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确.227.①②④。
