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05 第五节隐函数微分法隐函数微分法是一种在方程中含有多个变量时，用一个变量的导数表示另一个变量的导数的方法。
它的主要思想是将多元函数的某些变量看作常量（约束条件），然后将剩余的变量用其他变量的导数来表示。
这种方法在自然科学、工程技术以及经济学等领域中得到广泛应用。
一、隐函数微分法的基本思想我们考虑一个二元函数 $z=f(x,y)$，假设在某一点 $(x_0,y_0)$ 处，方程$F(x,y,z)=0$ 成立，这个方程可以看做是 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的隐函数。
我们要求在这个点上，$z$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的值。
首先，我们可以对方程两边求导，得到：$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0$$于是，我们得到了两个方程：下面，我们通过一个例子来说明隐函数微分法的具体步骤。
假设我们要求以下方程的$\frac{dy}{dx}$：$$x^2+y^2=9$$我们可以将它看作是 $y$ 对 $x$ 的隐函数，并将它表示为 $F(x,y)=x^2+y^2-9=0$。
然后，我们对这个方程两边求导：$$\frac{\partial F}{\partial x}=2x$$将这三个式子带入到基本式中：这个结果说明了什么？实际上，这意味着在 $x^2+y^2=9$ 的曲线上，$y$ 和 $x$ 的变化率是无穷大的。
这是因为曲线的斜率在 $x=\pm \sqrt{2}$ 的点处无穷大。
隐函数微分法有广泛的应用，特别是在自然科学、工程技术以及经济学等领域中。
下面，我们举几个例子，展示隐函数微分法的实际应用。
1. 科学研究中的应用隐函数微分法在科学研究中的应用十分广泛。
例如，当我们研究一个物理系统时，通常会涉及到多个变量之间的关系。
第五节 隐函数微分法分布图示★ 一个方程的情形（1） ★ 例1 ★ 例2★ 一个方程的情形（2）★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 方程组的情形★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题9—5 ★ 返回内容要点一、一个方程的情形定理1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且,0),(00≠y x F y ,0),(00=y x F 则方程),(y x F 0=在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(x f y = 它满足),(00x f y = 并有.yx F Fdx dy -= (5.2) 定理2 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 且,0),,(,0),,(000000≠=z y x F z y x F z则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =,它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy zx F F y zF F x z -=∂∂-=∂∂ (5.4) 二、方程组的情形定理 3 设),,,(),,,(v u y x G v u y x F 、在点),,,(0000v u y x P 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，又,0),,,(,0),,,(00000000==v u y x G v u y x F 且函数F 、G 雅可比行列式),(),(v u G F J ∂∂=在点),,,(0000v u y x P 不等于零，则方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 在点),,,(0000v u y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数),,(),,(y x v v y x u u ==它们满足条件),,(),,(000000y x v v y x u u == 其偏导数公式由(5.9)和(5.10)给出. ),(),(),(),(v u G F v x G F x u ∂∂∂∂-=∂∂， ),(),(),(),(v u G F x u G F x v ∂∂∂∂-=∂∂. (5.9)),(),(),(),(v u G F v y G F y u ∂∂∂∂-=∂∂， ),(),(),(),(v u G F y u G F y v∂∂∂∂-=∂∂. (5.10)例题选讲一个方程的情形例1（E01） 验证方程0122=-+y x 在点(0, 1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导数、当0=x 时1=y 的隐函数)(x f y =,求这函数的一阶和二阶导数在0=x 的值.证 令,1),(22-+=y x y x F 则x F ,2x =y F ,2y =)1,0(x F ,0=)1,0(y F 2=,0≠依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某领域内能唯一确定一个有连续导数,当0=x 时1=y 的隐函数),(x f y =函数的一阶和二阶导数为dx dy yxF F =,y x -=0=x dx dy ,0=22dx y d 2y y x y '-=2)(y yx x y --=,13y -=022=x dx y d .1-=例2 求由方程 0=+-y x e e xy 所确定的隐函数y 的导数.,0=x dxdydx dy 解 此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过,这里我们直接用公式求之.令,y x e e xy F +-=则x F ,x e y -=y F ,y e x +=dx dy y x F F -=,yx ex y e +-= 由原方程知0=x 时，,0=y 所以=x dxdy0==+-=y x yx e x y e .1=例3 求由方程 a a xyz z (333=-是常数）所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数xz ∂∂和.yz ∂∂ 解 令,3),,(33a xyz z z y x F --=则x F ',3yz -=y F ',3xz -=z F '.332xy z -=显然都是连续.所以，当z F 'xy z 332-=0≠时，由隐函数存在定理得x z ∂∂z x F F ''=xy z yz 3332---=,2xy z yz -= y z ∂∂z y F F ''=xy z xz 3332---=.2xyz xz -=例4（E02）设,04222=-++z z y x 求 .22xz∂∂ 解 令,4),,(222z z y x z y x F -++=则x F ,2x =z F ,42-=z∴xz ∂∂z x F F -=,2z x -=22x z ∂∂2)2()2(z x z xz -∂∂+-=2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=注：在实际应用中，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不一定非得套公式，尤其在方程中含有抽象函数时，利用求偏导或求微分的过程则更为清楚.例5（E03）设 ),,(xyz z y x f z ++= 求.,,zy y x x z ∂∂∂∂∂∂ 解z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅=x z xy yz f x z f v u 1x z∂∂,1vu v u xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得0⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂⋅=y x yz xz f y x f v u 1yx∂∂,v u v u yzf f xzf f ++= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂⋅=z y xz xy f z y f v u 1zy ∂∂.1v u vu xzf f xyf f +--=例6（E04）设,0),,(=---x z z y y x F 其中F 具有连续偏导数，且,032≠'-'F F 求证.1=∂∂+∂∂yzx z 证 由题意知方程确定函数).,(y x z z =在题设方程两边取微分,得),,(x z z y y x dF ---0d =,0=即有 .0)()()(321=-'+-'+-'x z d F z y d F y x d F.0)()()(321=-'+-'+-'dx dz F dz dy F dy dx F合并得 ,)()()(321231dz F F dy F F dx F F '-'='-'+'-' 解得 dz ,32123231dy F F F F dx F F F F '-''-'+'-''-'=从而x z ∂∂,3231F F F F '-''-'=y z ∂∂,3212F F F F '-''-'=于是y z x z∂∂+∂∂3232F F F F '-''-'=.1=例7 设方程 ze z y x =++确定了隐函数),,(y x z z =，求,22xz∂∂,2y x z∂∂∂ .22y z ∂∂ 解 方程两边分别对x 求偏导和对y 求偏导,得 ,1xze x z z ∂∂=∂∂+.1x z e y z z ∂∂=∂∂+ 所以,11-=∂∂z e x z .11-=∂∂z e y z22x z ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=x z x x z e e z z ∂∂⋅-=2)1(111)1(2-⋅--=z z z e e e .)1(3--=z z e e 同理22y z∂∂.)1(3--=z z e e例8 设,),,(xyz z y x f u ==而z 是由方程03333=-++xyz z y x 所确定的y x ,的函数，求.xu ∂∂ 解x u ∂∂x z z f x f ∂∂∂∂+∂∂=,2323222xz z y x z y x ∂∂+=将z 看作y x ,的函数,所给的方程两边对x 求偏导数得,0333322=∂∂--∂∂+xzxy yz x z z x 即x z ∂∂.22xyz x yz --= 于是 x u ∂∂.232223222xyz x yz z y x z y x --⋅+=例9 设 ),(,sin ),,,(y x z z x y z y x f u ===由方程 0),,(2=z e x y ϕ确定，其中ϕ,f 具有一阶连续的偏导数，且,0≠∂∂z ϕ 求 .dxdu解 因,sin x y =),(y x z z =由0),,(2=z e x y ϕ确定,故dx du 1⋅∂∂=x fx y f cos ⋅∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂+∂∂∂∂+x y z x z z f cos x z∂∂zx ∂∂∂∂-=ϕϕ,231ϕϕ'⋅'-=x y z ∂∂32ϕϕ'⋅'-=y e (其中)03≠∂∂='zϕϕ于是dx du x f ∂∂=x y fcos ⋅∂∂+.cos 2321z f x e x y ∂∂⋅''⋅+'-ϕϕϕ例10（E05）设 ⎩⎨⎧=+-+-=--+,01,0222xy v u y x v u 求.,u yu x ∂∂∂∂解 由题意知,方程组确定隐函数组),,(v u x x =).,(v u y y = 在题设方程组两边对u 求偏导,得,022=∂∂-∂∂⋅-u y u x x u .01=∂∂-⋅∂∂--uy x y u x 利用克莱姆法则,解得u x ∂∂,2122y x xu -+=u y∂∂.2222yx yu x -+-=例11（E06）设⎩⎨⎧=+=-,1,0xv yu yv xu 求,x u ∂∂x v y u ∂∂∂∂,,.y v∂∂ 解一 由题意知,方程组确定隐函数),,(y x u u =).,(y x v v = 在题设方程组两边取微分,有.0⎩⎨⎧=+++=--+vdx xdv udy ydu vdy ydv udx xdu 把dv du ,看成未知的,解得du ],)()([122dy yu xv dx yv xu y x -++-+=即有 ,22y x yv xu x u ++=∂∂.22y x yu xv y u +-=∂∂同理,我们还可以求出,dv 从而得到,22y x xv yu x v +-=∂∂.22y x yv xu y v ++-=∂∂注:此题也可用公式法求解.解二 用公式推导的方法,将所给方程的两边对x 求导并移项得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂,vx v x xu y u x v y x ux J x y y x -=,22y x += 在0≠J 的条件下,有x u ∂∂x y y x x v yu ----=,22y x yv xu ++-= x v∂∂xy y x v y ux ---=,22y x xv yu +-= 将所给方程的两边对y 求导,用同样方法得y u ∂∂,22y x yu xv +-=y v ∂∂.22y x yv xu ++-=例12 设,sin ,0),,(),,,(2x y z e x z y x f u y===ψ其中,f ψ具有连续的偏导数且,03≠'ψ 求.dxdu 解 由题意知,题设方程组隐含函数组),(x y y =),(x z z =在方程),,(z y x f u =两端对x求导,得dxdu .dx dzf dx dy f f z y x '+'+'= (1) 又由方程x y sin =知dxdy.cos x = (2) 再在方程0),,(2=z e x y ψ两边对x 求导,得,02321=⋅'+⋅⋅'+⋅'dxdzdx dy e x y ψψψ 解得dxdz).cos 2(1213x e x y ψψψ'+''-= (3) 把(2)、(3)代入(1),即得dxdu).cos 2(cos 213x e x f x f f y z yx ψψψ'+'''-'+'= 注: 此题也可以利用多元函数的一阶微分形式不变性及微分的四则运算方便地计算出,请读者试之.例13（E07）在坐标变换中我们常常要研究一种坐标),(y x 与另一种坐标),(v u 之间的关系. 设方程组⎩⎨⎧==),(),,(v u y y v u x x (5.14) 可确定隐函数组),,(),,(y x v v y x u u == 称其为方程组(5.14)的反函数组. 设),(),,(),,(),,(y x v y x u v u y v u x 具有连续的偏导数，试证明.1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂v u y x y x v u证 将),,(y x u ),(y x v 代入(1),有,0)],(),,([0)],(),,([⎩⎨⎧=-=-y x v y x u y y y x v y x u x x 在方程组两端分别对x 和y 求偏导,得⎩⎨⎧=''-''-=''-''-0001x v x u x v x u v y u y v x u x 和.0100⎪⎩⎪⎨⎧=''-''-=''-''-y v y u y v y u v y u y v x u x 即 ⎩⎨⎧=''+''=''-''01x v x ux v x u v y u y v x u x .10⎪⎩⎪⎨⎧=''+''=''+''y v yu y v y uv y u y v x u x 由vv u u y y xxy x y x v u v u ''''⋅''''v y u y v y u y vx u x vx u x y v y u x v x u y v y u x v x u ''+''''+''''+''''+''=1001=1=.1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂v u y x y x v u 证毕. 注: 此结果类似于一元函数反函数的导数公式.1=⋅dxdy dy dx 推广到三维情形:若),,,(w v u x x =),,,(w v u y y =),,(w v u z z =确定反函数组),,,(z y x u u =),,,(z y x v v =).,,(z y x w w = 则在一定条件下,有.1),,(),,(),,(),,(=∂∂⋅∂∂z y x w v u w v u z y x例14（E08）设方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=22vu y vu x 确定反函数组⎩⎨⎧==),,(),,(y x v v y x u u 求.,,,y v y u x v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解 由,),(),(⎩⎨⎧==y x v v y x u u 在题设方程组两边对x 求偏导,得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂+∂∂⋅-=x v vx u x v x u u 2021 解得 x u ∂∂,142+-=uv v x v ∂∂.141+=uv 同理,在题设方程组两边对y 求偏导,可得y u ∂∂,141+=uv y v ∂∂.142+=uv u课堂练习1.设,⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ其中ϕ为可微函数, 求y z y x z x ∂∂+∂∂. 2.设,),,(223z y x z y x f =其中),(y x z z =为由方程03333=-++xyz z y x所确定的隐函数, 试求).1,0,1(-'x f3.设),,(t x f y =而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数, 试求.dxdy。
第五节 函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容：一、微分的定义计算函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆是我们非常关心的。
一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。
先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0x 变到x x ∆+0（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为x ，面积为A ，则A 是x 的函数：2x A =。
薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x自0x 取得增量x ∆时，函数A 相应的增量A ∆，即()()2020202x x x x x x A ∆+∆=-∆+=∆。
从上式可以看出，A ∆分成两部分，第一部分A x ∆02是A ∆的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分()2x ∆在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当0→∆x 时，第二部分()2x ∆是比x ∆高阶的无穷小，即()()x x ∆=∆02。
由此可见，如果边长改变很微小，即x ∆很小时，面积的改变量A ∆可近似地用第一部分来代替。
一般地，如果函数()x f y =满足一定条件，则函数的增量y ∆可表示为()x x A y ∆+∆=∆0，其中A 是不依赖于x ∆的常数，因此x A ∆是x ∆的线性函数，且它与y ∆之差()x x A y ∆=∆-∆0，是比x ∆高阶的无穷小。
所以，当0≠A ，且x ∆很小时，我们就可近似地用x A ∆来代替y ∆。
定义： 设函数()x f y =在某区间内有定义，x x ∆+0及x 0在这区间内，如果函数的增量图2-1()()00x f x x f y -∆+=∆可表示为 ()x x A y ∆+∆=∆0， ① 其中A 是不依赖于x ∆的常数，而()x ∆0是比x ∆高阶的无穷小，那么称函数()x f y =在点0x 是可微的，而x A ∆叫做函数()x f y =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，即 x A dy ∆=。
下面讨论函数可微的条件。
设函数()x f y =在点0x 可微，则按定义有①式成立。
①式两边除以x ∆，得 ()xx A x y ∆∆+=∆∆0。
于是，当0→∆x 时，由上式就得到 ()00limx f x y A x '=∆∆=→∆。
因此，如果函数()x f 在点0x 可微，则()x f 在点0x 也一定可导（即()0x f '存在），且()0x f A '=。
反之，如果()x f y =在点0x 可导，即()00limx f x y x '=∆∆→∆ 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成()α+'=∆∆0x f xy ， 其中0→α（当0→∆x ）。
由此又有()x x x f y ∆+∆'=∆α0。
因()x x ∆=∆0α，且不依赖于x ∆，故上式相当于①式，所以()x f 在点0x 也是可微的。
由此可见，函数()x f 在点0x 可微的充分必要条件是函数()x f 在点0x 可导，且当()x f 在点0x 可微时，其微分一定是()x x f dy ∆'=0。
②当()00≠'x f 时，有()()1lim 1lim lim00000=∆∆'=∆'∆=∆→∆→∆→∆x y x f x x f y dy y x x x 。
从而，当0→∆x 时，y ∆与dy 是等价无穷小，这时有()dy dy y 0+=∆， ③即dy 是y ∆的主部。
又由于()x x f dy ∆'=0是x ∆的线性函数，所以在()00≠'x f 的条件下，我们说dy 是y ∆的线性主部（当0→∆x ）。
这是由③式有0lim0=-∆→∆dy dy y x ， 从而也有0lim0=-∆→∆dy dy y x 。
式子dydy y -∆表示以dy 近似代替y ∆时的相对误差，于是我们得到结论：在()00≠'x f 的条件下，以微分()x x f dy ∆'=0近似代替增量()()00x f x x f y -∆+=∆时，相对误差当0→∆x 时趋于零。
因此，在x ∆很小时，有精确度较好的近似等式dy y ≈∆。
函数()x f y =在任意点x 的微分，称为函数的微分，记作dy 或()x df ，即()x x f dy ∆'=。
评注：⑴由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。
例如求x sin 对x 的导数时就可以看成x sin 微分与x 微分的商，即 x x dx xxdx x d xd cos 221cos sin ==。
⑵函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差x ∆的高阶无穷小。
因此要会应用下面两个公式：()x x f dy y ∆'=≈∆0，()()()x x f x f x x f ∆'+≈∆+'000。
作近似计算。
二、微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。
在直角坐标系中，函数()x f y =的图形是一条曲线。
对于某一固定的0x 值，曲线上有一个确定点()00y x M ，当自变量x 有微小增量x ∆时，就得到曲线上另一点()y y x x N ∆+∆+00，.从图2-2可知：x MQ ∆=，y QN ∆=。
过M 点作曲线的切线,它的倾角为α，则 ()0tan x f x MQ QP '⋅∆=⋅=α，即 QP dy =。
由此可见，当y ∆是曲线()x f y =上的M 点的纵坐标的增量时，dy 就是曲线的切线上M 点的纵坐标的相应增量。
当x ∆很小时，dy y -∆比x ∆小得多。
因此在点M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则由()dx x f dy '=，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当v u 、都可导）： ()dv du v u d ±=±， ()C d u Cu d =， ()udv vdu v u d +=⋅， 2v udv vdu v u d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛。
微分公式表：()dx x x d 1-=μμμ，()xdx x d cos sin =，()xdx x d sin cos -=，()xdx x d 2sec tan =， ()xdx x d 2csc cot -=，()xdx x x d tan sec sec =，()xdx x x d cot csc csc -=， ()adx a a d x x ln =，()dx e e d x x =，()dx a x x d a ln 1log =，()dx x x d 1ln =， ()dx x x d 211arcsin -=，()dx x x d 211arccos --=，()dx xx d 211arctan +=， ()dx x x arc d 211cot +-=。
注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。
例如： x d dx x 21=，x d dx x112-=，()b ax d a dx +=1，x x da a dx a ln 1=。
图2-21． 复合函数微分法则与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设()u f y =及()x u ϕ=都可导，则复合函数()[]x f y ϕ=的微分为()()dx x u f dx y dy x ϕ''='=。
由于()du dx x ='ϕ，所以，复合函数()[]x f y ϕ=的微分公式也可以写成()du u f dy '=或du y dy u'=。
由此可见，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式()du u f dy '=保持不变。
这一性质称为微分形式不变性。
这性质表示，当变换自变量时（即设u 为另一变量的任一可微函数时），微分形式()du u f dy '=并不改变。
例1： 已知y xe y +=1，求dy .解：)1(y xe d dy +==dy xe dx e y y +，所以yyxe e dy -=1例2： 设y =dy 。
解 记22u a x =+，则y d du y y u u '==.又 d ()d 2d u u x x x x ='=，故d 2d y x x x ==. 例3： 填空题⑴ 若函数12[()]x y f x =，其中f 是可微的正值函数，则_______dy =；⑵ 设函数()y y x =由方程2xy x y =+确定，则0______x dy ==．解：⑴ 由于函数可写为21ln ()ef x x y =，所以1221[()][ln ()]x dy f x d f x x =， 故111222221[2()()[()]ln ()]x x dy f x f x f x f x dx x-'=-． ⑵ 这是一个求隐函数微分的问题．由方程2xy x y =+可得，当0x =时，1y =．在方程两端同时求微分，有2ln 2()xy ydx xdy dx dy ⋅⋅+=+ 代入0x =，1y =得0ln 2x dx dx dy=⋅=+ 故 0(l n 21)x d y d x ==-．。
