5 函数的微分

CH 5 微分中值定理及其应用1．中值定理定理1 Rolle 中值定理设)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)('=ξf 。

定理2 Lagrange 中值定理设)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ。

定理3 Cauchy 中值定理设)(x f ，)(x g 在],[b a 连续，在),(b a 可导，且0)('≠x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--。

定理4 Taylor 中值定理设)(x f 在0x 的某个邻域有1+n 阶导数，则在该邻域成立=+=)()()(x R x P x f n n)()(!)(...)(!2)(''))((')(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f n n n +-++-+-+=其中)(x P n 称为)(x f 在0x 的n 次Taylor 多项式，)(x R n 称为n 次Taylor 多项式的余项。

Lagrange 型余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ。

Peano 型余项))(()(0n n x x o x R -=。

常见初等函数的展开式:(1) 132)!1(!1...!31!211++++++++=n n xx n e x n x x x e ξ(2) +--+-+-=-+12153)!12(1)1(...!51!31sin n n x n x x x x12)!12()2sin()1(+++-n n x n πξ (3) 221242)!22(cos )1()!2(1)1(...!41!211cos +++-+-+-+-=n n n n x n x n x x x ξ (4) 1132)1)(1(1)1(1)1(...3121)1ln(+-++-+-+++-=+n n n n x n x n x x x x ξ (5) ++--++-++=+n x n n x x x !)1)...(1( (2)1(1)1(2ααααααα11)1()!1())...(1(+--++--n n x n n αξααα2．单调性及其判定定理5 设)(x f 在),(b a 可导,则 (1) )(x f 在),(b a 内单调递增(递减)的充要条件是)0)('(0)('≤≥x f x f ;(2) )(x f 在),(b a 内严格单调递增(递减)的充要条件是:1) )0)('(0)('≤≥x f x f ,),(b a x ∈∀;2) 在),(b a 的任何子空间上,0)('≠x f .注意掌握利用函数单调性证明不等式方法.3．极值与最值设)(x f 在),(0b a x ∈取到极值,则或者0)('0=x f 或者)(x f 在0x 不可导,两者必居其一.极值判断的充要条件:定理6 第一充分条件设0x 在的某邻域可导,且0)('0=x f .若)('x f 在0x x =左右两侧异号,则0x x =是)(x f 极值点;若)('x f 在0x x =左右两侧同号,则0x x =不是)(x f 极值点.1) 当),(00x x x δ-∈时,0)('<x f ;当),(00δ+∈x x x 时, 0)('>x f ,则)(x f 在0x x =取到极小值;2) 1) 当),(00x x x δ-∈时,0)('>x f ;当),(00δ+∈x x x 时,0)('<x f ,则)(x f 在0x x =取到极值;定理7 第二充分条件设)(x f 在0x 处二阶可导,则0x x =是)(x f 的极值点.1) 当0)(''0>x f 时, 0x x =是)(x f 的极小值点,2) 当0)(''0<x f 时, 0x x =是)(x f 的极大值点.若)(x f 在],[b a 连续,则)(x f 在],[b a 必取到最值.最值点将只会在区间端点,驻点获导数不存在的点取得.逐一比较,便可获得最大值,最小值.4．凹凸性与拐点定义 设)(x f y =在区间D 有定义,对任意]1,0[∈λ,任意D x x ∈21,,1) 若),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称)(x f 为D上的凸函数(上凸);2) 若),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+则称)(x f 为D上的凹函数(下凸).定理8 设)(x f 在D 上可导,则下述论断等价:1) )(x f 为D 上的凹函数;2) )(x f 在D 上单调函数;3) 对任意D x x ∈21,,成立))((')(12212x x x f x x f -+≥.推论 设)(x f 在D 上二阶可导,则)(x f 为D 上的凹函数的充要条件是0)(''≥x f . Jensen 不等式:若)(x f 为],[b a 上的凹函数, 对任意的D x x x n ∈,,21,0≥i λ,11=∑=n i i λ,则成立)()(11i n i i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ.函数凹凸性发生改变的转折点,称为拐点.若)(x f 在0x 二阶可导,则))(,(00x f x 成为曲线)(x f y =拐点的必要条件是0)(''=x f .通过考察0x x =处两侧)(''x f 的变号情况,可以确定))(,(00x f x 是否为拐点. 若)(x f 为],[b a 上的凸函数,相应的结论可以推得.5．渐近线水平渐近线:,A y =若A x f x =∞→)(lim . 垂直渐近线: 0x x =,若∞=→)(lim 0x f x x . 斜渐近线:b kx y +=, 若k xx f x x =→)(lim 0,b kx x f x x =-→])([lim 0.6．弧微分与曲率对于适当定义的有向曲线弧,成立22dy dx ds +=. 对于不同形式的曲线,分别有dy y x dx x y ds 1)()(122+=+=dt t y t x ds )()(22+=θθθd r r ds )(')(2+=曲率|lim |||0s ds d K s ∆∆==→∆ϕϕ,曲率半径KR 1=.例题分析例1．若)(x f 在],[b a 连续,在),(b a 可导,0)()(==b f a f ,证明存在),(b a ∈ξ,使得)()('ξξf f =.证:构造函数xe xf x F )()(=. 易证)(x F 在],[b a 满足Rolle 定理条件,故存在),(b a ∈ξ,使.0)('=ξF0)()(')('2=-=ξξξξξξe e f e f F ,即)()('ξξf f =.例2．设函数f 在],[b a 上可导,证明存在),(b a ∈ξ,使得)(')()]()([222ξξf a b a f b f -=-.证:构造)(')()]()([)(222ξf a b a f b f x x F ---=.验证 )()()()(22a F a f b b f a b F =-=故)(x F 在],[b a 上满足Rolle 定理条件,于是存在),(b a ∈ξ,使得 0)(')()]()([2)('22=---=ξξξf a b a f b f F .。

第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。

定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。

若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。

因此导数也常称为微商。

二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。

微分公式大全24个微分公式是微积分中非常重要的一部分，下面我将列举24个常见的微分公式：1. 常数函数微分，(k)' = 0。

2. 幂函数微分，(x^n)' = nx^(n-1)。

3. 指数函数微分，(e^x)' = e^x.4. 对数函数微分，(ln(x))' = 1/x.5. 三角函数微分，(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)。

6. 反三角函数微分，(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)。

7. 和差函数微分，(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。

8. 积函数微分，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

9. 商函数微分，(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)f(x)g'(x))/g(x)^2。

10. 复合函数微分，(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)。

11. 反函数微分，如果y = f(x)和x = g(y)是互为反函数的函数，那么有dy/dx = 1/(dx/dy)。

12. 参数方程的微分，如果x = f(t)和y = g(t)是参数方程，那么dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)。

13. 隐函数微分，如果F(x, y) = 0定义了y作为x的隐函数，那么dy/dx = (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。

14. 对数微分，d(ln(x)) = 1/x dx.15. 指数微分，d(e^x) = e^x dx.16. 对数函数微分，d(log_a(x)) = (1/xln(a)) dx.17. 幂函数微分，d(x^n) = nx^(n-1) dx.18. 三角函数微分，d(sin(x)) = cos(x) dx，d(cos(x)) = -sin(x) dx，d(tan(x)) = sec^2(x) dx.19. 反三角函数微分，d(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2) dx，d(arccos(x)) = -1/√(1-x^2) dx，d(arctan(x)) = 1/(1+x^2) dx.20. 对数函数的微分，d(log_b(x)) = (1/xln(b)) dx.21. 反双曲函数微分，d(arcsinh(x)) = 1/√(x^2+1) dx，d(arccosh(x)) = 1/√(x^2-1) dx，d(arctanh(x)) = 1/(1-x^2) dx.22. 反双曲函数微分，d(arccsch(x)) = -1/|x|√(1+x^2) dx，d(arccoth(x)) = -1/(1-x^2) dx.23. 反双曲函数微分，d(arccsech(x)) = -1/(x√(1-x^2)) dx.24. 反双曲函数微分，d(arccoth(x)) = -1/(1-x^2) dx.这些是常见的微分公式，它们在求导过程中经常被使用。

微分公式大全高等数学在高等数学中，微分是研究函数的变化率和导数的一门重要内容。

微分公式的正确掌握是学习和应用微分的重要基础。

下面将列举一些常见的微分公式，供大家参考。

1. 基本微分公式（1）常数函数微分：若y=C，C为常数，则dy/dx=0；（2）幂函数微分：若y=x^n，n为常数，则dy/dx=nx^(n-1)；（3）指数函数微分：若y=a^x，a>0且a≠1，则dy/dx=a^x*lna；（4）对数函数微分：若y=log_a x，a>0且a≠1，则dy/dx=1/(xlna)；（5）三角函数微分：若y=sin x，则dy/dx=cos x；若y=cos x，则dy/dx=-sin x；若y=tan x，则dy/dx=sec^2 x；（6）反三角函数微分：若y=arcsin x，则dy/dx=1/sqrt(1-x^2)；若y=arccos x，则dy/dx=-1/sqrt(1-x^2)；若y=arctan x，则dy/dx=1/(1+x^2)；（7）双曲函数微分：若y=sinh x，则dy/dx=cosh x；若y=cosh x，则dy/dx=sinh x；若y=tanh x，则dy/dx=sech^2 x；（8）反双曲函数微分：若y=arcsinh x，则dy/dx=1/sqrt(1+x^2)；若y=arccosh x，则dy/dx=1/sqrt(x^2-1)；若y=arctanh x，则dy/dx=1/(1-x^2)。

2. 复合函数微分法则（1）链式法则：若y=f(u)，u=g(x)，则dy/dx=dy/du*du/dx；（2）乘积法则：若y=u*v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=u*(dv/dx)+v*(du/dx)；（3）商积法则：若y=u/v，u=g(x)，v=h(x)，则dy/dx=(v*du/dx-u*dv/dx)/v^2。

3. 隐函数微分若方程F(x, y)=0表示一个隐函数，其中y是x的显含函数，则通过隐函数微分可以求出dy/dx。

函数微分的定义函数微分的定义:设函数在某区间内有定义,x0 及 x0+△x 在这区间内,若函数的增量可表示为,其中 A 就是不依赖于△x 的常数, 就是△x 的高阶无穷小,则称函数在点 x0可微的。

叫做函数在点 x0 相应于自变量增量△x 的微分,记作dy,即: = 。

通过上面的学习我们知道:微分 就是自变量改变量△x 的线性函数,dy 与△y 的差 就是关于△x 的高阶无穷小量,我们把 dy 称作△y 的线性主部。

于就是我们又得出:当△x→0 时,△y≈dy、导数的记号为:,现在我们可以发现,它不仅表示导数的记号,而且还可以表示两个微分的比值(把△x 瞧成 dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分),还可表示为:由此我们得出:若函数在某区间上可导,则它在此区间上一定可微,反之亦成立。

导数的定义:设函数在点 x0 的某一邻域内有定义,当自变量 x在 x0 处有增量△x(x+△x 也在该邻域内 )时,相应地函 数有增量,若△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在,则称这个极限值为在 x0 处的导数。

记为: 还可记为:,函数 在点 x0 处存在导数简称函数 在点 x0 处可导,否则不可导。

若函数 在区间(a,b)内每一点都可导,就称函数 在区间(a,b)内可导。

这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的 x 值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,我们就称这个函数为原来函数函数微分的定义的导函数。

导数公式微分公式函数与、差、积、商的求导法则函数与、差、积、商的微分法则拉格朗日中值定理 如果函数少有一点 c,使在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至成立。

这个定理的特殊情形,即:的情形,称为罗尔定理。

描述如下:若在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且,那末在(a,b)内至少有一点 c,使成立。

函数微分的定义注:这个定理就是罗尔在 17 世纪初,在微积分发明之前以几何的形式提出来的。