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正⽐例与反⽐例的意义3初⼀数学导学案（下册）第三单元⽐例主备⼈：耿初晴第⼆节正⽐例与反⽐例的意义第四课时成反⽐例的量⼀、【学习⽬标】1、知识与技能1）进⼀步理解正反⽐例的意义，掌握正反⽐例的量的变化规律。
2）正确地判断两种相关联的量是否成或正⽐例反⽐例，了解正反⽐例的联系与区别。
2、过程与⽅法通过表格的对⽐，进⼀步培养学⽣分析、⽐较、抽象、概括的能⼒。
让学⽣掌握判断两种相关联的量成不成⽐例关系的⽅法，培养他们判断、推理的能⼒，渗透函数思想3、情感、态度与价值观使学⽣进⼀步认识到⽣活中处处有数学，从⽽培养他们数学兴趣。
⼆、【复习准备】（1）提问什么叫做成正⽐例的量？怎样判别两个量是否成正⽐例关系呢？（2）什么叫做成反⽐例的量？怎样判别两个量是否成正反例关系呢？三、【⾃主探究】1、观察下⾯的两个表，根据表分别填空。
在表⼀中相关联的量是和，随着变化，是⼀定的。
因此，时间和路程成关系。
在表⼀中相关联的量是和，随着变化，是⼀定的。
因此，时间和速度成关系。
四、合作探究的问题填表：五、⾃主学习达标检测题1、判断下⾯题中的两个量是否成⽐例，成正⽐例还是反⽐例，并说明理由。
（1）订阅《中国少年报》的份数和钱数。
（2）和⼀定，加数和另⼀个加数。
（3）每包书中册数相同，包数与总册数。
（4）全班学⽣⼈数⼀定，每组的⼈数和组数。
（5）圆的半径和它的⾯积。
2、填空（1）被除数⼀定，除数和商成⽐例。
（2）积⼀定，和成⽐例。
（3）⼀个因数⼀定，积和另⼀个因数成⽐例。
（4）三⾓形⾯积⼀定，底和⾼成⽐例。
（5）圆的周长和半径成⽐例。
（6）三⾓形底⼀定，它的⾯积和⾼成⽐例。
4、判断分⼦、分母、分数值中⼀种量⼀定，另外两种量成什么⽐例。
六、课后巩固练习课本练习七8、10配套练习册第25页想⼀想2、3、4。
一、区别1.它们的意义不同比是表示两个量之间的相除关系，如a÷b可以写成a∶b，比里有两个数。
比例则表示两个比相等的式子。
比如4∶2=2，8∶4=2，所以4∶2=8∶4，比例里有四项，也就是四个数。
正比例和反比例是表示两种相关联量之间的关系，如果相关联的两种量相对应数的比的比值或商一定，这两种量就成正比例关系，如果乘积一定，这两种量就成反比例关系。
比如直径∶半径=2（一定），所以直径和半径成正比例关系。
如果速度×时间=路程（一定），那么速度和时间则成反比例关系。
◎相雨婷2.比和比例的性质不同比的基本性质和分数的基本性质，以及商不变的性质相同，是指比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值的大小不变。
比的基本性质可以用来化简比。
例如48∶20=（48÷4）∶（20÷4）=12∶5。
而比例的基本性质是指在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，它可以用来解比例，也可以用来判断两个比能否组成比例。
例如1∶3和2∶7，因为1×7=7、3×2=6，7≠6，所以1∶3和2∶7不能组成比例。
3.正、反比例的图像不同在坐标系里，依据正比例中两个量的对应关系，画出的是一条直线，而反比例画出的则是一条曲线。
二、联系比例是由比组成的，它里面有两个比。
正比例和反比例都是表示两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也随着变化。
判断两种相关联的量是否成正、反比例，关键都是找出与之相对应的不变量。
比如3∶x=y∶4，根据比例的基本性质，因为xy=3×4=12，积一定，所以x和y成反比例关系。
如果x=y，因为x和y 是相等关系，所以x÷y=1，商不变，所以这时x、y成正比例关系。
正比例和反比例的意义一、正比例的意义正比例关系是指两个变量之间的关系，当一个变量增大时，另一个变量也随之增大，并且两个变量之间的比值保持不变。
正比例关系在许多领域具有重要意义。
1. 实际应用正比例关系在实际应用中得到广泛应用。
例如，速度与时间的关系通常是正比例关系。
在物理学中，我们可以根据物体的速度和时间来计算物体所走的距离。
又如，成员数量与总费用之间的关系通常也是正比例关系。
在经济学中，企业的成本和产量之间的关系通常被描述为正比例关系。
2. 权衡和计划正比例关系的存在使得我们能够在做出决策时进行权衡和计划。
通过观察两个变量之间的正比例关系，我们可以预测其中一个变量的变化对另一个变量的影响。
这对于制定有效的计划和做出明智的决策至关重要。
3. 图表和图形正比例关系可以通过制作图表和图形来可视化。
例如，我们可以用散点图来表示两个变量之间的正比例关系。
通过观察散点图，我们可以更直观地理解和分析两个变量之间的关系，并且可以预测和推断未来的变化。
二、反比例的意义反比例关系是指两个变量之间的关系，当一个变量增大时，另一个变量相应地减小，并且两个变量之间的乘积保持不变。
反比例关系也在许多领域中具有重要意义。
1. 逆向依赖关系反比例关系在一些情况下可以表示逆向依赖关系。
例如，时间和速度之间的关系通常是反比例关系。
在运动学中，我们知道物体的速度等于它所走过的距离除以所花费的时间。
当时间增加时，速度减小；而当时间减小时，速度增加。
这种反比例关系为我们理解和研究物体的运动提供了重要的数学工具。
2. 优化和最佳化反比例关系也在优化和最佳化问题中发挥重要作用。
在一些情况下，我们需要通过调整一个变量来最大化或最小化另一个变量。
反比例关系使得我们可以通过增加一个变量来减少另一个变量，或者通过减少一个变量来增加另一个变量。
这种关系对于优化问题的求解非常有用。
3. 比例转换反比例关系可以通过比例转换来应用到实际问题中。
例如，一个过程中的速度和所需时间之间的反比例关系可以通过比例转换为速度和所走距离之间的正比例关系。
【数学知识点】正比和反比的概念
两个事物或一事物的两个方面，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，如老年
人随着年龄的增长，体力反而逐渐衰弱，就是反比。
两种相关联的量，一种量变化，另一
种量也随着变化。
且一种量随着另一种量的增大而增大。
如果这两种量相对应的两个数的
比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系，
我们就称这两个变量成正比例。
正比例的图像是在一条过原点的射线上。
就是从统计表的横坐标、纵坐标交汇处沿左
下角到右上角的对角线发展，延伸至表格外，在这里正比例的意义上它可以向下延伸，所
以认为它是直线。
反比例关系在应用题中属于归总问题。
反映在除法中，当被除数一定，除数和商成反
比例关系。
在分数中，当分数的分子一定，分母与分数值成反比例关系。
正比例与反比例的关系如下：
相同之处:1、事物关系中都有两个变量，一个定量。
2、在两个变量中，当一个变量
发生变化时，则另一个变量也随之发生变化。
3、相对应的两个变数的积或商都是一定的。
相互转化:当反比例中的x值（自变量的值）也转化为它的倒数时，由反比例转化为
正比例；当正比例中的x值（自变量的值）转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：y=k (一定)x例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
工总＝工效（一定）工总和工时是成正比例的量工时路程＝速度（一定）所以路程与时间成正比例。
时间（2）反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x × y = k （一定）例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
不同点知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。
（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x 和y 是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合y=k (一定)，则x 和y 成正比例；若符合x ×y =k （一定），则x 和y 成反x比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】题型一：根据图标填写信息例 1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义 （1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：()一定k xy= 例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
工总工时 ＝工效（一定） 工总和工时是成正比例的量路程时间 ＝速度（一定） 所以路程与时间成正比例。
（2）反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x ×y =k （一定）例如，长×宽＝面积（一定） 长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定） 每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
不同点知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。
（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x 和y 是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合()一定k xy=，则x 和y 成正比例；若符合x ×y =k （一定），则x 和y 成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】题型一：根据图标填写信息例1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
正比例和反比例的意义知识点正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母 x 和y表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：y k一定x例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
工总＝工效（一定）工总和工时是成正比工时例的量路程＝速度（一定）所以路程与时间成时间正比例。
（2）反比例2两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母 x 和y表示两种相关联的量，用k表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x× y =k （一定）例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
3正比例反比例相同点不同点知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。
（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
4知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x和y是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合y k 一定，则 x 和y成正比例；若符合 xx×y =k（一定），则x和 y 成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】题型一：根据图标填写信息例 1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
