广东省河源市八年级数学下册1.3.1线段的垂直平分线导学案新版北师大版

1.3线段的垂直平分线（1）第 1 课时（二）学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。

（三）重点、难点：重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

难点：垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

（四）教学过程【导入环节】（约2分钟）教师用多媒体演示：如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”【目标出示】（约1分钟）1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．【自学环节】探究一：性质探索与证明1.自学指导（约1分钟）让学生看书第22页的内容2.自主学习（约2分钟）学生按要求进行自学，教师要注意学生的学习动向，对于疑难问题及时进行提示，注意发现学生所存在的问题，以便在导学中有的放矢，重点解决。

3.教师导学（约5分钟）教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：（教师用多媒体完整演示证明过程）．探究二：逆向思维，探索判定NAPBCM1.自主学习（约2分钟）你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。

“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”2.教师导学（约12分钟） 写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． 引导学生分析证明过程，有如下几种证法：已知：线段AB ，点P 是平面内一点且PA=PB ．求证：P 点在AB 的垂直平分线上．证法一：证明：过点P 作已知线段AB 的垂线PC,PA=PB ，PC=PC ，∴Rt △PAC ≌Rt △PBC(HL 定理)．∴AC=BC ，即P 点在AB 的垂直平分线上．证法二：取AB 的中点C ，过PC 作直线． 证法三：过P 点作∠APB 的角平分线．从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．3.巩固应用（约5分钟）例题：已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC 。

1.3线段的垂直平分线〔第一课时〕教学设计一、教材的地位和作用“线段的垂直平分线第一课时〞选自《义务教育课程标准实验教科书〔北师大版〕·数学》八年级下册第一章节。

本节课主要研究线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其应用。

线段的垂直平分线是几何中的重要概念，求作线段的垂直平分线是几何中的根本作图。

在几何证明、计算中，线段垂直平分线的性质也有着重要的地位。

它是在认识了轴对称的根底上进行学习的，是之后证明线段相等、直线垂直的依据。

因此，本节课具有承上启下的作用。

二、学情分析八年级学生已经具备了一定的独立思考能力和探究问题的能力，并能在探究问题的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐步完善自己的想法。

学生在之前学习了轴对称的性质，对线段的垂直平分线有了初步的认识，这为顺利完本钱节课的任务打下了根底。

且学生已经根本掌握了运用全等三角形的知识证明线段相等、角相等，为证明线段垂直平分线的性质做好了知识准备。

但学生根底差、底子薄、努力程度不够，对于线段垂直平分线性质定理的掌握存在较大困难。

在心理上，八年级学生独立性和表现欲较强，希望得到老师和同伴的认可和肯定，表达自身价值，教师可以抓住这一心理特征，积极鼓励，增强学生学习主动性。

三、教学目标1.经历“探索——发现——猜测——证明〞的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。

2.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步开展推理能力。

3.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。

四、教学重点与难点重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

难点：垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

五、教学关键运用操作、观察、猜测得出结论，在独立思考和合作交流中突破难点。

六、教学方法本课以学生的实验探究活动为主线，以突出重点、突破难点、开展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学〞为主，讲授法、启发式教学、多媒体辅助教学等多种方法相结合。

八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线（第2课时）导学案（新版）北师大版1、3 线段的垂直平分线【学习目标】课标要求：1、能够证明三角形三边垂直平分线交于一点2、经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形3、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力、体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识目标达成：1、能够证明与线段垂直平分线相关的结论2、已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形、学习流程：【课前展示】出示问题【创境激趣】尺规作图作三条边的垂直平分线【自学导航】教师提问：“[利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?(教师可用多媒体演示作图过程)”“三角形三边的垂直平分线交于一点、”、“这一点到三角形三个顶点的距离相等、”等都是学生可以发现的直观性质。

下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流、教师质疑：“这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义、”这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论、【合作探究】（1）教师引导学生分析，寻找证明方法。

我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的、不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示、通过演示和启发，引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三线共点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可、” 虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢?师生共析，完成证明（2）讨论结束后，学生书写证明过程。

教师点评，注意几何符号语言的规范性。

已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP、求证：P点在AC的垂直平分线上、证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)、同理PB=PC、∴PA=PC、∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点、在这条线段的垂直平分线上)、∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P、进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论?” （交点P 到三角形三个顶点的距离相等、）（3）多媒体演示我们得出的结论：定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等【展示提升】典例分析知识迁移(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论。

1.3 线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．(重难点）2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识.3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.合作探究探究一：线段的垂直平分线的性质定理性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如右图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS) ；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．定理运用时的数学语言：∵∴探究二：线段的垂直平分线的判定定理你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明。

例题：已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且OB = OC.求证：直线AO 垂直平分线段BC。

．证明：∵ AB = AC，∴点 A 在线段BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。

三.当堂检测1.如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE 是AB 的垂直平分线，则（1）BD = ；（2）若∠B = 40°，则∠BAC = °，∠DAB = °， ∠DAC = °。

（3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ， △ACD 的周长为 。

EDA BC。

B课题：1.3.1 线段的垂直平分线教学目标：1．证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理，并掌握文字语言、符号语言． 2．了解线段垂直平分线的性质和判定的区别。

3．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。

4．通过学生动手操作、实验、观察，培养他们主动探索与合作能力，使学生领会数形结合、转化的数学思想和方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。

教学重点与难点：重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

难点：垂直平分线的性质及判定定理在实际问题中的准确运用。

课前准备：教师：多媒体课件融合以下几点：几何画板制作说明线段垂直平分线性质定理的实验；几何画板制作说明线段垂直平分线判定定理的课件；Flash 动画——尺规作线段垂直平分线。

学生：直尺、圆规。

教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容：由等腰三角形的特殊性质—“三线合一”引出线段垂直平分线的性质。

课件出示：等腰三角形ABC ，其中AD 是顶角的平分线。

问题一：等腰三角形具有怎样的特殊性质？问题二：根据这一特殊的性质你还能联想到我们学过的那一个定理？问题三：我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．利用几何画板，我们也可以进行线段垂直平分线定理的验证。

具体操作如下：1.新建一个几何画板文件。

选择“线段工具”，绘制出线段AB 。

A B2.选中线段AB ，选择“构造”—“中点”命令，绘制出线段AB 的中点。

如下图所示。

AB3.AB 的中垂线。

如下AB4.AD 、线段BD 。

如下图所示。

A5.AD 的长度。

同样方法，测量出线段BD 的长度。

如下图所示。

，然后选择“度量”—“比”命令。

如下图所示。

DA DBDB = 5.85厘米DA = 5.85厘米AB选择“文件”—“保存”命令即可。

6.拖动D点，线段AD,BD的长度变化，但是它们的相等关系不变。

2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教案一. 教材分析《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第3节的内容。

本节课主要学习了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，这两个定理是几何中的重要知识，对于学生理解和掌握几何图形的性质具有重要意义。

教材通过生动的实例引入定理，并通过证明和应用让学生深入理解定理的含义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了线段的中垂线、垂线的性质等知识，对于垂直平分线的概念有一定的了解。

但是，对于定理的证明和应用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、思考、证明和应用等方式，逐步理解和掌握定理。

三. 教学目标1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

2.学会运用性质定理及其逆定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.性质定理及其逆定理的理解和证明。

2.性质定理及其逆定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。

通过设置问题，引导学生观察、思考、证明和应用，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.几何模型和教具。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：如何找到一个线段的中点，使得从这个中点向线段的两个端点引垂线，垂线的长度相等？引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，让学生初步了解定理的内容。

然后，通过几何模型和教具，引导学生观察、思考和证明定理。

3.操练（10分钟）学生分组合作，运用性质定理及其逆定理解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些练习题，让学生独立完成。

然后，学生进行讲解和讨论，巩固对性质定理及其逆定理的理解和应用。

八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线导学案（新版）北师大版一、学习目标：1、能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。

2、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力。

二、学习重点、难点：线段垂直平分线的性质定理和判定定理证明及应用。

三、学习过程：（一）、自主探究：1、如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?2、证明：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

已知：求证：证明：3、预习检测：如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；如果∠ECD=60，那么∠EDC= 。

（二）、合作探究探究点一：线段垂直平分线的判定定理1、把定理“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…”的形式。

2、写出上面定理的逆命题，它是真命题吗？如果是请证明它。

3、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线的判定定理：探究点二：应用1、如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且OB = OC、求证：直线 AO 垂直平分线段BC、你还有其他证明方法吗？2、在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N、(1) 求△AEN的周长、 (2)求∠EAN的度数、(3)判断△AEN的形状（三）、当堂检测1、如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB =5， BD =4，则AC = ，CD = ，AD = 。

2、如图，△ABC中，AB = AC，∠A =40，DE为AB 的中垂线，则∠1 = ，∠C = ，∠3 = ，∠2 = ；若△ABC的周长为16cm，BC =4cm，则AC = ，△BCE的周长为。

(四)、作业1、课本2、如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E。

八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线(第1课时)导学案(新版)北师大版（一）授课教师学习目标1、会用学过的公理和定理证明线段的垂直平分线的性质、判定定理。

2、能够利用尺规做已知线段的垂直平分线。

学习重难点学习重点：线段的垂直平分线的性质、判定定理的证明。

学习难点：尺规做已知线段的垂直平分线。

学法指导讲练结合法多媒体演示法探究法尝试指导法学习过程独立尝试学案导案一、知识回顾、引入新课如图，A、B表示两个仓库，要在一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点。

求证：PA＝PB。

证明：∵MN⊥AB∴∠PCA＝∠PCB＝90∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌PCB(SAS)∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)认真阅读课本第22-23页：①记住线段的垂直平分线的性质、判定定理。

②看懂例题的解题过程。

③尝试完成随堂练习。

合作探究证法1：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C、∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)、∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上。

证法2：取AB的中点C，过PC作直线、∵AP＝BP，AC=BC，∴ PC⊥AB、∴P点在AB的垂直平分线上。

自我挑战如图，已知AB是线段CD的垂直平分线， E是AB上的一点，如果EC＝7 cm，那么ED＝ cm，如果∠ECD＝60，那么∠EDC＝。

堂清试题1、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在上。

2、在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC 和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC的长。

3、如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE 交BC于E， AC =5，BC =8，求△AEC的周长。

自我总结1、垂直平分线把握住两个要点：1、垂直；2、平分。

2、本节知识的学习仍与三角形全等密切相连。

2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教学设计一. 教材分析《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第3节的内容。

本节课主要介绍线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过证明线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，以及线段垂直平分线垂直平分线段这两个性质，让学生理解线段垂直平分线的重要性和应用。

同时，通过逆定理的证明，让学生掌握如何判断一条直线是线段的垂直平分线。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段、射线、直线的基本概念，以及全等三角形的性质和判定。

但线段垂直平分线的性质定理及其逆定理较为抽象，需要学生具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过生动形象的比喻和具体例子，帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

2.学会运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明。

2.如何运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索；通过具体案例，让学生理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理；通过小组合作学习，培养学生之间的交流和合作能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.尺子、圆规、直尺等作图工具。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入：在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(6,7)之间有一条线段，求线段的垂直平分线方程。

让学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题。

2.呈现（15分钟）讲解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

通过PPT课件和板书，呈现定理的证明过程，让学生理解定理的含义。

同时，给出一些例子，让学生学会运用定理解决实际问题。