第一章 |过关测试 11.如图1－15所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上
方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满 家具后，高4米，宽2.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这 个通道？
图1－15
解：如图1－16所示，过直径的中点O，作 直径的垂线交下底边于点D.
如图1－16所示，在Rt△ABO中，由题意知 OA＝2米，DC＝OB＝2.6×＝1.3(米)，
所以△ABC 是直角三角形，∠A 为直角．
5．如果一个三角形的三边长分别为 a＝m2－n2，b＝2mn， c＝m2＋n2(m>n)，求证：三角形是直角三角形．
证明：∵a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋2m2n2＋n4. c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4， ∴a2＋b2＝c2. 所以根据勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．
考点三 勾股定理的实际应用
例3 如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破 ，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上另一停 靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围 半径250 m范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有
危险而需要暂时封锁？
的说法正确？并说明理由．(参考数据：29≈5.392)
图1－3
第[解一析章] |过要关使测蚂试蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF ，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方案类似
，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、 宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发 现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需 要计算了．
图1－2
[解析] 要判断公路 AB 段是否需要封锁，则需要比较点 C 到
AB 的距离与 250 m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面
积计算点 C 到 AB 的距离．
解：作 CD⊥AB 于 D，因为 BC＝400 m，AC＝300 m，∠ACB
＝90°，根据勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2，即 3002＋4002＝AB2，
所以 AB＝500 m.
由 三 角 形 的 面 积 可 知 ： 12 AB·CD
＝
1 2
BC·AC
，所以
500CD ＝
400×300，所以 CD＝240 m.
因为 240＜250，即点 C 到 AB 的距离小于 250 m，所以有危险，
公路 AB 段需要暂时封锁．
方法技巧
转化思想是一种重要的数学思想，它的应用十分广泛 ，如通过作高可以将非直角三角形的问题转化为直角 三角形的问题来解决，通过建模可以将实际问题转化 为数学问题来解决等．
别为 a、b、c，则 c2＝ a2＋b2 ，a2＝ c2－b2 ，b2＝c2－a2
.
作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求
另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．
2．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a、b、c 满足：a2＋b2＝c2
直角三角形．
，那么这个三角形是
图1－17
13.如图1－18，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间 斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和 为( A )
图1－18
A．6 B．5 C. 6 D．36
14．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点 沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是__1_0_____．
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
图1－11
8．如图1－12，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置
的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方
形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝ __2_._4_4___.
图1－12
[解析] 由勾股定理的几何意义可知：S1＋S2＝1, S2＋S3＝1.21, S3＋S4 ＝1.44， ∴S1＋S2＋S3＋S4＝2.44.
例4 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有 一个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长
方体盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处
的食物，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？
过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点， 再走对角线BF；乙生说：我认为应由A先走对角线AC，再走C到F 点；丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD， 利用勾股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD 展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学
则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连接AF，在 Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝52＋22＝29≈5.392，
∴AF＝5.39 cm.连接AC， ∵AF<AC＋CF，
∴丁的方法比乙的好． 比较丙生与丁生的计算结果，知丙生的说法正确．
图1－4
图1－5
方法技巧
最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用，一般做法 是把长方体(或其他几何体)侧面展开，将立体图形问题转化为 平面图形问题，再根据两点之间线段最短，用勾股定理求解．
解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方 形AEFD，如图1－4所示：
则AE＝AB＋BE＝4(cm)，EF＝3 cm，连接AF，在Rt△AEF中， AF2＝AE2＋EF2＝42＋32＝25，∴AF＝5(cm)．连接BF，
∵AF<AB＋BF，
∴丙的方法比甲的好．
第一按章丁生|过的关办测法试，将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形 ABFG，如图1－5所示：
9．如图1－13所示，有一圆柱体，它的高为40 cm，底面周长
为60 cm.在圆柱的下底面A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面上 与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是____5_0___cm.
10．如图1－14，是一块长、宽、高分别是4 cm、2 cm和1 cm
的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着 长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要
所以AB2＝22－1.32＝2.31.
因为4－2.6＝1.4,1.42＝1.96,2.31＞ 1.96，所以卡车可以通过．
答：卡车可以通过
图1－勾股定理，创制了一幅“ 弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．图1－17是由弦图变化得 到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1 ＋S2＋S3＝15，则S2的值是____5____．
在 Rt△ECF 中，有 EF2＝a22＋a42＝156a2. 在 Rt△FDA 中，有 AF2＝a22＋a2＝54a2.
在 Rt△ABE 中，有 BE＝a－14a＝34a，
∵AE2＝a2＋34a2＝1265a2，
∴AF2＋EF2＝AE2.
根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90°，
∴AF⊥EF.
易错警示 根据 a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条 短边及最长边的平方和，导致错误．
解：∵ a2＝196，b2＝1265，c2＝1， ∴a2＋c2＝b2， ∴三角形是直角三角形．
4．在△ABC 中，AC＝2a，BC＝a2＋1，AB＝a2－1，其中 a＞1， △ABC 是不是直角三角形？如果是，哪一个角是直角？
解：因为 AC2＋AB2＝4a2＋a4－2a2＋1＝a4＋2a2＋1. BC2＝(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1， 即 AC2＋AB2＝BC2.
爬行的最短路径的长是_____5___cm.
图1－13
图1－14
[解析] 因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大小比较， 再从各个路线中确定最短的路线．
(1)展开前面、右面．由勾股定理得 AB2＝(2＋4)2＋12＝37； (2)展开前面、上面．由勾股定理得 AB2＝(1＋4)2＋22＝29； (3)展开左面、上面．由勾股定理得 AB2＝(2＋1)2＋42＝25. 所以最短路径的长为 AB＝5 cm.
3．勾股数
正整数
满足 a2＋b2＝c2 的三个
，称为勾股数．
考点攻略
考点一 应用勾股定理计算 例1 已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边长的平方．
[解析] 因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角 边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3,4为直角边． 而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边， 也可能为直角边．
图1－19
15.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁 上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上 ，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下 底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这 个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？
北师大版八年级上册 期末总复习典型题
CONTENT
目录
第一章 勾股定理 第二章 实数
第三章 位置与坐标 第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
第六章 数据分析 第七章 平行线的证明
第一章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么a2＋b2＝c2
